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第四节等效节点力


第四节
?k ? ? ?
e e

等效节点力与载荷列阵
e
(3-29)

一、单元等效结点载荷

?? ? ? ?R?

﹂——是单元等效节点载荷向 量,是有作用在单元上的体积力

? p? 、表面力?q?和集中力

?G?分别移置到节点上,在逐点加以合成而得到的:

?R?

e

T ?? R ? ? i

RT j

T? Rm ?

T T

?

?? R ? ? xi

Ryi Rxj Ryj Rxm R ym ? ? ?

移置原则——虚功等效,即原载荷与节点载荷在任何虚位移 上的虚功相等。故有 T e ? * e?

? ?

?? ? ?? ?R? ? ?? ? f ? ? p?tdxdy ? ? ? f ? ?q?tds ? ? f ? ?G?
* T * T * T ? l

( a) 式中

? ?
f*

T

? *? ?u ? ? ? ? ? ? ? ?N ? *? ? v ? ?

? ?
?*
1

e
— — 单 元内任 一 点

的虚位移,将其代入式(a) ,得

T ? ?* e? R e ? ? ? ? ? ?

? ?

e T? ? * ? ?? ? ? ? ? ? ? ?

? ?
e

? N ? ? p?tdxdy ? ? ? ?N ? ? ?q?tds ? ? N ? ?? ? l
T

T

T

? ?G?? ? ?

所以有

?R?

?
T

6?1

? ?N ? ? ? p?tdxdy ? ? ?? ? l
↓ 体积力 1. 均质等厚单元的自重

?N ? ? ?


T

?q?tds ? ? ?N ? ? ?G?
T

↓ 集中力 移置到节点上

表面力

设单元的厚度为 t,单位体积重量为ρ ,则体力为

??t
j
3

??t ??t
3 3

i m x
2

y

?0 ? p ? ? ? ? ? ?? ? ?
单元等效节点载荷

?R?

e

? Ri ? ? ? ? ?R j ? ? ?R ? ? m?

??
?

? N ? ? p?tdxdy ?
T

??
?

? Ni I ? ? ? N I ? j ? ? p?tdxdy ?N I ? ? m ?

其中每个节点的等效节点载荷为

? ? Rxi ? ? ? ?Ri ? ? ? R ? ? yi ? ? ?

?? ?

? Ni 0 ? ? 0 ? ? ?? ? tdxdy ? ? 0 N ? i? ? ? ??

? ??
?

?0 ? ?0 ? ? ? N i ? ? tdxdy ? ? 1 ? ? ? ? ? ? t ? ? ? ? ? 3 ?
(i,j,m 轮换)

因为 Ni ? Li ,所以上式积分按面积坐标积分公式求解:

?? Nidxdy ? ?? Lidxdy ?
? ?

1!0!0! ? 2? ? (1 ? 0 ? 0 ? 2)! 3

则单元等效节点载荷为
T 1 ? ? ?R? ? ? 3 ??t ?0 1 0 1 0 1?

e

可见,对于均值等厚自重的三角形单元所受的重力,只 要把 1/3 的重量直接加到每个节点上即可。

3

2. 作用在 ij 边上的均布侧压

j

1 qlt 2

q y m x
?q ? q ? ? ? ?0 ? ? ?
单元等效节点载荷

s i

1 qlt 2

设单元的厚度为 t,ij 边长为 l ,则表面力为

?R?

? Ri ? e ? ? ? ?R j ? ? ? ? ? Rm ?

?
l

? ?N ? ?

T

?q?tds ?

?
l

? Ni I ? ? ? ? N j I ? ?q?tds ? ? N I ? m ?

(1)方法 1——按面积积分计算 其中节点 i 的等效节点载荷为

? ?
因为 N i

?1 ? ? ? ?q ? ? ? Rxi ? ? ? qlt ? Ri ? ? ? ? Ni ? ? tds ? ? 2 ? R ? l ? ?0 ? ? ? ? ? yi ? ? 0 ? ?

?

? Li

,所以上式积分按面积坐标积分公式求解:

4

? Nids ? ? Lids ?
l l

1!0! l l? (1 ? 0 ? 1)! 2

同理,有

? ?

?1 ? ? Rxj ? ?q ? ? ? ? ? ? qlt ? R j ? ? ? ? N j ? ? tds ? ? 2 ? R ? ?0 ? ? ? ? ? yj ? ? l ? 0 ? ?

?

? ?

? ? ?q ? ? ?0? ? Rxm ? ? Rm ? ? ? N tds ? ? ? ? m? ? R 0 ? ?0? ? ? ? ? ? ym ? ? l

?

则单元等效节点载荷为

T 1 ? ? ?R? ? 2 qlt ?1 0 1 0 0 0?

e

可见,对于作用在长度为 l 的 ij 边上、面力集度为 q 的 均布表面力,只要把 (2)方法 2 在 ij 边上,有

1 qlt 的力移置到节点 i 和 j 上即可。 2

Ni ? 1 ?
由几何关系

x ? xi x ? xi , Nj ? , Nm ? 0 x j ? xi x j ? xi

x ? xi ? s ? cos? , x j ? xi ? l ? cos?
所以

Ni ? 1 ? l , N j ?

s , Nm ? 0 l
5

每个节点的等效节点载荷为

?1 ? ? ? R l ? ? ? ? q q s? ? ix ? ? qlt ? ? R ? ? N tds ? 1 ? tds ? ? i ? ? R ? ? i ?0 ? ?2 ? ? ?0 ? ? 0? l ? ? ? ? ? ? ? ? ? iy ? ? l ? 0 ? ?

?R ?
j

?1 ? ? ? l s ?q ? ?q ? ? R jx ? ? qlt ? ? ? ? ? ? N j ? ? tds ? ?0 ? ? tds ? ? 2 ? R ? l ?0 ? l ?0 ? ? ? ? jy ? ? 0 ? ?

?Rm ? ? ? ?

? Rmx ? ?q ? ?0 ? ? ? N tds ? ? ? m? ? ? ? R 0 ?0 ? ? ? ? ? my ? ? l

2. 作用在 ij 边上 x 方向三角形分布载荷 设节点 m 到 ij 边的距离为 h,则在 ij 边的面积坐标为

1 (l ? s )h s Li ? 2 ? 1 ? ? Ni 1 l lh 2 s Lj ? ? N j l

Lm ? N m ? 0

j

h

s y m x i

q

6

则表面力为

?q? ? ?

? Ni ? q ? ? 0 ? ?
? Ni I ? ? ? N I ? j ? ?q?tds ?N I ? ? m ?

单元等效节点载荷

?R?

e

? Ri ? ? ? ? ?R j ? ? ?R ? ? m?

?
l

? N ? ?q?tds ?
T

?
l

?

?
l

? Ni I ? ? ? ? Ni q ? ? N j I ? ? 0 ? tds ? ?N I ? ? ? m ?

其中每个节点的等效节点载荷为

?1 ? ? ? R ? ? N q ? ? q ? xi ? ? qlt ? i 2 R ? ? N tds ? L tds ? ? i? ?R ? ? i ? 0 ? ?3 ? i ? ? ? 0 ? ? ? ? ? l ? ? yi ? ? l ? 0 ? ?

?R ?
j

?1 ? ? ? ? Ni q ? ? ?q ? ? Rxj ? ? ? qlt ? ? ? ?? ?Nj ? ? tds ? ? Li L j ? ? tds ? ? 6 ? R 0 ? ? ?0 ? l ? ? ? ? ? yj ? ? l ? 0 ? ?

? ? Ni q ? ?0 ? ? Rxm ? ? R ? ? N tds ? ? m? ?R ? ? m ? 0 ? ? ? ?0 ? ? ? ? ? ym ? ? l
则单元等效节点载荷为

? 1 ?2 1 R ? qlt 0 0 0 0 ? ? 2 ?3 ? 3 ? ?
e

T

7

4. 集中力的等效节点载荷

?R?

e

? ? N ? ?G?
T

m P y c y i x
? Px ? ?G ? ? ? P ? ? y?

j P x

P

节点 i 的等效节点载荷为

? ? N i 0? ? ? ? ? Px ? ? ? Px ? ? ?Ri ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( N i )c ? ? (i,j,m 轮换) ?? 0 Ni ? ? ?? ? Py ? ? ? Py ? ? ?? ?c ?
式中 ( Ni )c ——为形函数在集中力作用点 c 处的值。则单元 等效节点载荷为

?R?

e

? ( Ni )c Py ( N j )c Px ( N j )c Py ( N m )c Px
T ? ( N m )c Py ? ?

?( N ) P i c x ? ?

8

若集中力作用在单元质心处,则有

( N i )c ? ( N j ) c ? ( N m ) c ?
单元等效节点载荷

1 3
Px Py ? ?
T

1? R ? ? ? 3 ? Px Py

e

Px Py

若集中力作用在节点 i 处,则

( N i )c ? 1, ( N j )c ? ( N m )c ? 0
单元等效节点载荷

?R?

e

?? P Py 0 0 0 0? ? x ?

T

由此可见,在节点 i 处的等效节点载荷与集中力相等,而在 节点 j 和 m 处等效节点载荷等于零。 因此,在有限元分析时,通常要求集中力的作用点布 置为节点。这样在计算单元等效节点载荷时,可以不考虑集 中力的等效载荷,而把它直接加到整体等效节点载荷中。故 单元等效节点载荷计算公式可改为:

?R? ? ?? ?? N ?? ? p?tdxdy ? ? 6?1 ? l
T
↓ 体积力

e

T ?N ? ? ?

?q?tds
移置到节点上

↓ 表面力

9

二、 整体等效结点载荷 若结构离散化为 m 个单元,n 个节点,则整体等效节点 载荷为

R? ? ?R0 ? ?R? ? ? ? e
e 2n?1
↓ 作用在节点上的集中力

m

例题 5 图式结构, 设其单位体积重量为ρ , 厚为 t, 单元③ ij 边的边长为 l1 ? 2l 。计算 (1)单元等效节点载荷; (2)整体等效节点载荷。

y 2j

q

l



4 P imj

m i ② j m③ i 1 3 5 q x P l l

10

解: (1)单元等效节点载荷 单元① 体积力 表面力
T 1 ? ? ?P? ? ? 3 ??t ?0 1 0 1 0? 1 T (1) 1 ? ? Q ? ? q l t 0 1 0 1 0 0 ? ? ? ? 2 (1)
(1) (1)

单元 1 等效节点载荷

?R? ? ?P? ? ?Q?
(1)

? ? ?0 ?

1 1 1 1 ? ??t ? qlt 0 ? ??t ? qlt 0 3 2 3 2
i?4 j?2

? 1 ? ??t ? 3 ? m ?1

T

单元②——只有体积力 单元 2 等效节点载荷

?R?
单元③ 体积力

(2)

T 1 ? ? ? ? ?? t ? 0 1 0 1 0 ? 1 3

1

3

4

T (3) 1 P ? ? ? ? t 0 1 0 1 0 1 ? ? ? ? ? ? 3

表面力

?Q?

(3)

1 1 ?2 ? ? ? q1l ?t 0 0 0 ? 0 2 3 3 ? ?

T

单元 3 等效节点载荷

11

?R?

(3)

? ?P? ? ?Q?
(3)

(3) T

? 1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ql1t ? ??t ? ql1t ? ??t 0 ? ??t ? 3 6 3 3 ? 3 ? i ?5 j?4 m?3
(2)整体等效节点载荷

?R? ? ?
10?1 1

3

0 ? ? ? ? 2 ? ? ? ?t ? 3 ? ? ? ? 0 ? ? 1 1 ? ? ??t ? qlt ? ? 3 2 ? ? ? 0 ? ? ? e ? ? 2 ??t ? P ? ? ?R? ? R0 ? ? 3 ? ? ? 1 ? ? ql1t ? P ? ? 6 ? ? ? 1 ? ? ??t ? qlt ? 2 ? ? 1 ? ? ? ql t 1 ? ? 3 ? ? 1 ? ? ? ?t ? ? ? 3 ? ?

? ?

12


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