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2.1.1


天体的运行

一、课题引入

生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢?

复习提问:
1.圆的定义是什么?

2.圆的标准方程是什么?

若取一条长度一定且没有弹性的细绳,把它的两端 都固定在图板的同一点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动 笔尖,这时笔尖画出的轨迹是什么图形?

引例:

平面内到定点的 距离等于定长的 点的轨迹是圆.

探究:若将细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板上 不同的两点F1、F2处,并用笔尖拉紧绳子,再移动笔尖一 周,这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢?

探 究 取一 条定 长 的 细绳, 把它的两端都固 M 定在图板的同一点处 , F F 套上铅笔, 拉紧绳子, 移 动笔尖, 这时笔尖?动点? 图2.1 ? 1 画出的轨迹是一个圆 .如果把细绳的两端拉开 一 段距离, 分别固定在图板的两点 处 (图 2.1 ? 1 ), 套 上铅笔 , 拉紧绳子, 移动笔尖,画出的轨迹是什么 ?动点?满 曲线? 在这一过程中 , 你能说出移动笔尖 足的几何条件吗 ?
1 2

绘图纸上的三个问题 1.视笔尖为动点,两个图钉为定点, 动点到两定点距离之和符合什么条件? 其轨迹如何? 2.改变两图钉之间的距离,使其与绳 长相等,画出的图形还是椭圆吗? 3.绳长能小于两图钉之间的距离吗?

探究结论:
若常数大于|F1F2|, 则点M的轨迹是(椭圆 ) 若常数等于|F1F2|,则点M的轨迹是( 线段F1F2 ) 若常数小于|F1F2|,则点M的轨迹( 不存在 )

归纳:椭圆的定义:
平面内与两定点F1、F2的距离之和等定长(大 于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆. 定点F1、F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的距 离叫做椭圆的焦距.

在直角坐标平面上直线和圆都有相应 的方程,从而就可以用代数方法来研 究它们的几何性质、位置关系等。 那么椭圆的方程又是什么呢? 求曲线方程的一般步骤,可概括为:

建系 代坐标

设点

列式

化简、证明

椭圆的方程
y

o

以经过椭圆焦点 F1,F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2的中垂线为y轴,建立直角坐标系xoy。 设 M(x,y)是椭圆上的任一点, 设椭圆的焦距为 2c,点M与两焦 点的距离之和为常数 2a。 故椭圆的两焦点坐标分别为 F1(-c,0) 和 F2(c,0)

x

故由椭圆的定义得

| MF1 | ? | MF2 |? 2a (a > c)

( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? 2a
2 2 2 2

移项,得

( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a ? ( x ? c ) 2 ? y 2
(a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )

化简,得

y
b



x2 y2 ? 2 2 ?1 2 a a ?c

a c

o

x

观察左图, 你能从中找出表示 c 、 a 的线段吗? a2-c2 有什么几何意义?

令 | OP |? a 2 ? c 2 ? b
则方程可化为

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

如果以椭圆的焦点所在直 线为 y 轴,且F1、F2的坐标分 别为(0,-c)和(0,c), a 、b 的含义都不变,那么椭 圆又有怎样的标准方程呢?

y
F2 M

o
F1

x

只需将 x,y 交换位置 即得椭圆的标准方程:

y 2 x2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b

?焦点在x轴上的标准方程:

x y ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b
?焦点在y轴上的标准方程:

2

2

y x ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b
如果已知椭圆的标准方程,如何确定焦点在哪条坐 标轴上?
(1)焦点在x轴的椭圆,x2项分母较大. (2)焦点在y轴的椭圆,y2 项分母较大.

2

2

椭圆的标准方程 y
F1 O F2

y
F1

x

O F2

x

方 程




y2 x2 ? 2 ?1 2 a b (1)方程的左边是两项平方和的形式,等号的右边是1; (2)在椭圆两种标准方程中,总有a>b>0; (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上; (4)a、b、c都有特定的意义,
a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半;c—半焦距.
有关系式 a 2

x2 y2 ? ?1 2 2 a b

? b 2 ? c 2成立。

练习:下列方程哪些表示椭圆?若表示椭圆 焦点在那个轴上?(独立思考后回答)
x y (1) ? ?1 16 16 2 2 x y (2) ? ?1 25 16
2 2

(3)9 x ? 25 y ? 225 ? 0
2 2

(4) ? 3x ? 2 y ? ?1
2 2

x2 y2 (5) 2 ? 2 ?1 m m ?1

口答:
x2 y 2 1. 2 ? 2 ? 1, 则a= 5 ,b= 3 ; 5 3 x2 y 2 2. 2 ? 2 ? 1, 则a= 6 ,b= 4 4 6
x2 y2 3. ? ? 1 9 6 x2 y2 4. ? ? 1 7 4

; ;

则a= 3 ,b= 6

则a=

7 ,b= 2



课堂练习:
1、a=5,c=4的椭圆标准方程是

y2 x2 x2 y2 ? ?1 ? ? 1或 25 9 25 9 。

x2 y2 2、已知椭圆的方程为: ? ? 1,请填空: 100 36 a= 10 ,b= 6 ,c= 8 ,
焦点坐标为 (-8,0)、(8,0) ,焦距等于 16 .

x2 y2 3、若M为椭圆 ? ? 1上一点,F1、F2分别为椭圆的左、 25 16
右焦点,并且︱MF1︱=6,则︱MF2︱= 4 .

例1.已知椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 , 25 16
16 , 20 。

(1)若CD为过左焦点F1的弦, 则?CF1F2的周长为 ?F2CD的周长为

C

D

F1

F2

例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0), 并且经过点 ( ,? ) , 求它的标准方程.

5 2

3 2

解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为

由椭圆的定义知

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0). 2 a b

5 3 2 5 3 2 2 2 2a ? ( ? 2) ? ( ? ) ? ( ? 2) ? ( ? ) ? 2 10 2 2 2 2
所以
又因为

a ? 10 .

c?2
,所以

b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6.
2 2 2

因此, 所求椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 10 6

例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点

解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为

5 3 ( ,? ) 2 2

, 求它的标准方程.

又 ?焦点的坐标分别是 (?2,0), (2,0) ? c ? 2
2 3 2 (5 ) ( ? 2 2 ) (1)确定焦点的位置; ② 又由已知 2 ? 2 ? 1 a b (2)设出椭圆的标准方程; 联立①②,

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0). 2 a b
2

?a ? b ? 4
2



求椭圆标准方程的解题步骤:

2 2 解得 a ? 10 , b ?6 (3)用待定系数法确定a、b的值,

因此, 所求椭圆的标准方程为

写出椭圆的标准方程 . ? ? 1.

x 10

2

y 6

2

课堂小结:
1、椭圆的定义:我们把平面内与两个定点 F1 , F2的距离之 和等于常数(大于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹叫做椭圆。 即

| MF1 | ? | MF2 |? 2a(a > c)

这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离 |F1F2|叫做焦距。 2、椭圆的图形与标准方程

焦点在x轴上 不 同
y M

焦点在y轴上
y F2 M x





F1

O

F2

x

O

F1



标准方程 焦点坐标

2 2 y x x y + 2 = 1 ? a > b > 0 ? 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b a b
2 2

F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0? F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

相 同 点

a、b、c 的关系

c ? a ?b
2 2

2

焦点位置的 判断

标准方程中,分母哪个大,焦点就 在哪个轴上



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