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趋肤效应下传输线高频交流电阻的分析


第2卷 第6   6 期
20 0 8年 1   2月

江  

西  

科 

学  

Vo - 6 No.   l2   6 De . 0   e 2 o8

JANGXI S I NC   I   CE E

文章编号

:0 1 69 2 0 )6— 8 3— 3 10 —37 (0 8 0 0 7 0 

趋肤效应下传输线 高频交 流 电阻的分析 
张小林 , 徐精 华 
( 昌航空 大学 电子信 息工程学院 , 南 江西 南 昌 30 6 ) 3 0 3 

摘要: 信号传输线 的趋肤效应直接 影响传输性 能。通 常引用半 无限大导体对入射 电磁 波的衰减规律 来定性说  明传输 线上的趋肤 效应 。本文则根据 麦克斯 韦方程组对导线 内的 电流分布进行分析 , 出了导线 内电流存在  得

趋肤 效应 的结论 , 并推导 了孤 立圆导线单位 长度 的电阻计 算公 式。  
关键词 : 趋肤 效应 ; 信号传输线 ; 麦克斯韦方程 ; 交流电阻  中图分类号 : 4 2 1 0 2 .  文献标识码 :  A

Dic si n o  h   k n Efe ti   a s s i n Li e f r S g a s s u so   ft e S i   f c  n Tr n miso   n  o   i n l 
Z HANG Xiol XU Jn . u     a —i n.  i gh a

( col f lc oi adIfr a o n ief g N n hn  nkn  nvr t,i gi acag30 6   R   Sho o Eet n  n   om t nE g e n , acagHago gU i s yJ n x N nhn 3 0 3P C)    r c n i n i ei a  
Absr t: e s i   f c  ie t   fe t  h  r ns s in p o e te   fwie,h   t n ai n p t r   tac Th   k n ef td r cl af cs t e ta miso   r p ris o   r t e at u t   at n e y e o e

o  l cr ma n t   v   n h l u l td c n u tr i  s al  s d t  e c i e t e s i  f c  n fee t o g ei wa e i   af n i e   o d co  s u u l u e   o d s rb     kn e e t i   c   mi y h w r , e q a i t e d s rp in d rc l . h s p p r a a y e   e d s iu i n o   l cr   u rn   n i t   u l a i   e c i t   i t T i a e   n ls s t   i r t   f ee ti c re ti   eh t v o e y   h tb o c w r  y s l i g t e e u t n o   x l, n   e c e     o cu in ta   e e i s i  f c  n w r , i b   ov n  h   q a i   fMa we a d ra h s a c n l so  h tt r   s k n ef ti  i   e o l h   e e
a d de u e tl o mul o c lult  e AC  e itn e o  s lt d wie  n   d c  } f r e a t  ac ae t   h r ssa c   fio ae   r . Ke   r s: k n e e t Tr n miso   n  o   in l , u t n o   x we , y wo d S i   f c , a s s in Li e f rsg a s Eq ai   fMa o l AC  e itn e r ssa c  

0 前言   
时变电磁场 中的趋肤效应 , 是计算导体电阻  的基础 , 是高频 电磁工程 问题分析 的重要依据 。  
但 电磁 场 理论 文 献 对 这 部 分 内容 的讨 论 比较 简 

1 圆截面导线 内的电流分布   
根据对称性 , 圆截面导线中高频 电流及磁场  强度具有轴对称性 , 圆柱坐标 系( 1 , 采用 图 ) 则电 
流密度 和磁 场强 度与 坐标  无关 。  

略, 都是根据平面波垂直人射到导体后 , 通过计算 
导体 内 电场及 相应 电流密度 的衰 减规 律来 描述趋  肤效应 , 引入趋肤 深度的概念 , 并 在论述传输线 

时, 直接 引用该结 果- 。而实 际传输线周 围的  l   电磁波传播方 向往往是和传输线平行的, 因此 , 直  接引用垂直入射情况时的结果来说明传输线上的  趋肤效应 , 给理解上带来很大 困惑。本文通过直  接求解传输线中的电流分布来分析传输线的趋肤 
效应 。  
收稿 日期 : 0 2 8—0 0 9—1 ; 5 修订 日期 :08—1 ~1  20 1 5

作者简 介 : 张小林 (99一) 男 , 16 , 硕士 , 教授 , 副 主要从事光通信技术研 究及 电磁理论 教学 工作 。  

?

84? 7  



西



学 

20 0 8年第 2 6卷 

设 导 线 截 面半 径 为 o、 线 内 电 流 衙 度 为 t 、 导 『    

磁 场强度 为  , 并忽 略位移 电流 , 则有 

因此 , 电流密度 表达式 ( ) 8 可写 成 

V×    :一J    (: ) J 。 V ×( H)=      J;
根据  ×(:   V ×( , 一  E)=  . )=  
Ⅱr ’  

() 1   () 2 
, 人式  代
或 

-, : . ,)    (
bt(   eo0√

_ )  
)+bi( , ̄c) je 0 / r 0 o  
(0   1)

( )并令6 ^ 9 "   1, = /2    o 可得 0 , 1
‘ 

… 

d J
=   =

H  

() 3 

根据式 (0 查 特殊 函数 表并采 用 插值 法 , 画 出 1) 可  

由 V ×( Ⅳ)=( H+d ) 代 人式 ( ) 得      H    2可


模 I l 向的化线 图  值 随 r 曲, 2   径 变 见。

 ̄/+ : 4   
/  - nr  

() 4 

利用式 ( ) 可将 式 ( ) 3, 4 改写为 
1 J  d
一  

0  

() 5 

为 便,  : 血 一 则 5可 换   简 令 一j 鲁,式( 变 为  = )


÷    +

( 6 )  
图 2 电流密度 . r 的相对 分布 示意 图 , ) (  

电流密度方程( ) 6 为零阶贝塞尔方程 , 其解为  J= J(r 8- ’T) a oT)+ 1' (r  1 o   () 7 
其 中 ,o T) J( r为零 阶第 1类 贝塞 尔 函数 、 o T) i' r  - ( i 为第 1 汉克 尔 函数 。 类   下 面确定 系数 A、   B。 电流密度 J r ) 为有 限值 , ( =0 应 而  ”( ) 0 趋  向无穷 大 , 故必 须 B= 。系数 A 由边界条 件来 确  0 定 。设 导线表 面 电流 密度 . r n   , , = )= 则  (
A=

由图 2可见 : 低频 时 , 流在 导线 内为均 匀 分布 ; 电  

随着信号频率的提高 , 电流逐渐向导线表面集中,  
与此 对应 , 导线 内的电流逐 渐减小 , 面的电流密  表 度最 大 , 心处最小 。在高 频时 , 轴 电流绝大 部分集 

志 
( )    () 8 
为复数 , 令 

中在表面附近, 趋肤效应显著存在。   导体 内的磁场强 度 由式 ( ) 3 可得 :  
I t  
一  

1 d    J

J  o( ) sJ    

所以, 电流密度 方程 的解为 

jm 一 一T丽 _ "r 一 c d q  
导线 的总 电流为 
=  

 

.r 了 ,)   ( 

因为 T=,-ot一  / j o= ."  ̄
:,   J( o  ]e ( ) bi H   。 :   , 则 

辛 
- ,   J( ) o   
一 

电场可 由式 ( ) : 8得  
B 一 

): (     u

)=6r( )+ e “   0 () 9 

2 导线电流的趋肤深度   
根据 贝塞尔 函数表 可查得 ] :   .(  一 )=J  )/‘ , M 0   l l  ( eO O  (2  1)

其 中, 实 
一 .  

一  

+  

一  

(    。 61   )

高频时 ,值很小 , 6 相应 的 Ⅱ 值就很大 , 则贝塞尔 
=   一   +   一   函数 有如 下渐近公 式 :  



 

() ^似 s 74    、 c ( r ) / o 一 /    

(3 1)  

第 6期 

张小林 等 : 趋肤 效 应下传 输 线高频 交 流电阻 的分 析 

?7   85?

对应 的 帆 ( 和 O ( )  ) o u 为 

一 d : 【 ̄ ]   er= '
一  

[ 一 )+一)一   0   ( (  ] z  。 e
(0  2)

M  √r +Z o Z  壶H ( 7 √    U

可 /  的项 则  () 高频 (如微 波 )时 , 忽略含 (1 ) , 1 4  

u +一 ) ) 老壶   一号

将式 (4 、 (5 代人 式 (2 , 利 用式 (2 和  1 )式 1) 1)再 1)

(  可见 , 的 高频 电流等 效为 以 电流密 度  均  1 5 ) 导线上
匀 分 布在周长 为 2r 、 7 厚度 d= n 6的 薄 圆筒 导体 中  的均匀 电流。 实 际 导 线 只 要 厚 度 d≥5 , 按 上  6若 述 方式 处理 时 间 , 误差 小 于 1 5。 因此 , 立 圆  %[ ] 孤 导 线单 位长度 的电阻为 
Eox l    R=   :  
=  

, 2 'E 口? 1 2 0?, ? =, 0 — n r o —= 仃 .   s

式( ) 可得到电流密度 . r在高频时的表达式。 8, ,) (   由此 可在 理论 上 比较 高频 时严 格推 导得 到 的圆截  面导线上电流趋肤效应规律与无限大平面导体的  电流趋 肤效 应规 律 。工程 上通 常采用无 限大平 面 
导体 的 电流趋 肤效应 规律 来近 似描 述导 线上 电流  趋肤 效应 ]  。 而对于  > 0半 无 限大导 体 , 当平 面波 沿  正 



( 1  2)

式(1 表明: c 由式 (1 还可: 2) R。 抗 2) 直接得平行 

向传播 、 入射波 电场 为E= :: 时 , 弓 ( E  ) 解波动方  程 , 利用边 界条 件 E (+∞ ) 限 、 :0 再 有 E ( )=E , 。 
可得到 导体 内 电场 的解 口  】
E( : )= o 一 =E e e 肚  E e  o一 一

双导线的分布电阻为÷

。例如, 半径为 2m    m

的铜 导线 , 料 的 电导率  = . 材 5 8×1 / 信 号  0S m,

频率为 1 H ,   z其单位长度的电阻  可计算如下 : M  
趋 肤 深 度  =—== =6 . 9×1 1= 60 0~m =6 . 9 6 0  /rw"  ̄t   f


利 用J= E r o 可得 电流 密度表 达式 :  
L( )= E e e肚 = o ~ e肛  x o o — 一 Je r 一 ( 6  1)

I 所 以单 位 长 度 的 电 阻 R =二 x m,  

对 于 良导 体 ( tO  >10) 即  0 ,

 = 则 √1 ,≈ l m。直 流 时 该 导 线 单 位 长 度 的 电 阻 为 R   有 一    ' V  ) V (
a  ’ 7r  


仃 ao O ' 

=0 008 . 2  

(8  0e ̄,       、 8-4 1 ) /  j 所以 e  =/   / o ) r o
如  ( _ )  ̄Tg -1   (7  1一  ≈ /r o( + ) 1 ) 『 ~ f

0 o 】3   .o 7

m, 因此  =1 , 由此 可见  5 /t x  

趋 肤效应 对传 输 的影 响 。  

4 结 束 语   
即 :   枷 。可见 , c 良导体 的参数     一  o   为 1’/ 0S m数 量 级 、 = =4rx1 ~H m, 以      1  0 / 所   对于高频信号 , 衰减常数 O值 比较大 , t 电流集 中   于导体的表层。其“ 趋肤深度”定义为 :  
=  

麦克斯 韦方程是 电磁 场 的普 遍规律 , 利用导线  内电场 和磁场满足的旋度方 程分析导线 内电流密度 

分布, 据此说明导线上存在的趋肤效应 , 并具体讨论  导线交流 电阻的计算 。这种直接分 析方法虽然过程  相对复杂, 但对深人 了解实际传输线趋肤效应及传  输性能实属必要 , 有助于工程 中有关措施 的分析 。  

1√    

因此 , 1 ) 式(8 也是计算 导线上高频 电流趋肤深度 
公式。  

参 考文献 :.  
[ ] 谢处方 , 克谨 . 1 饶 电磁场与 电磁 波( 4版 ) M] 北  第 [ . 京: 高等教育出版社 ,0 0 20 .   [ ] G r   , irguH R, 2 uuB S H zol    周克定 , ( ) 电磁 场与  i 等 译 . 电磁波 [ . M] 北京 : 机械工业出版社 ,0 0  20 . [ ] 奚定平. 3 贝塞尔 函数 [ . M] 北京 : 高等 教育 出版社 ,  
19   9 8.

3 导线交流 电阻计算   
高频 电流的趋肤效应 , 使导线的实 际导 电面 
积减 小 , 因而实 际 电阻 比直 流时大 。  

对于圆截面导线 , 电流沿导线轴心方 向( 方  z
向) 则有  , . r Je 。 ’ , )= s一‘一  (   (9  1)

[ ] Kas JD Ee r ants i   plaos M] 4  r s   . l t m gee wt A pctn [ . u  eo i  h i i  
NwYr e   o k:Mc r w —Hi , 0 4. ga l20   l

d= e ? =E\ [ ] FwwzTUlb.udmetl f pldEeto a- S  ’ d o ̄ 5 a a   ayF na naso  pi  lerm g  。 Sr     o A e n ts F ut E io ) M] N w Y r: e o d c. ee ( or   dtn [ . e   okP r nE u a i h i s   e 一 ’d d =2 r.   rr O 7oE o  =r0 ‘[ e - ,  ̄ 2-一吉   ̄e o E
to 2 0   in。 0 4.

I  =


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