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高三第一轮复习用《第四章 曲线运动 万有引力与航天》


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第四章 第1单元 第2单元 第3单元 曲线运动 曲线运动 平抛运动 圆周运动 万有引力与航天 运动的合成与分解

第4单元

万有引力与航天

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第四章 曲线运动 万有引力与航天

第四章

曲线运动

有引力与航天

一、三年高考考点统计与分析 考点 运动的合成与 分解 试题 题型 选择 选择 选择 分值 3分 3分 3分

2011年江苏T3
2011年上海T11 2010年江苏T1

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第四章 曲线运动 万有引力与航天

考点

试题 2012年新课标全国T15

题型 选择

分值
6分 4分 6分 6分 8分 16分

2012年江苏T6
2012年浙江T18 平抛运动 2011年广东T17 2011年海南T15 2011年江苏T14

选择
选择 选择 计算 计算

2010年北京T22

计算

16分

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第四章 曲线运动 万有引力与航天

考点

试题 2012年广东T17

题型 选择 计算 选择

分值
6分 15分 6分

2012年福建T20
圆周运动 2012年天津T3 2011年安徽T17 2011年北京T22 2010年广东T35

选择
计算 计算

6分
16分 18分

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第四章 曲线运动 万有引力与航天

考点

万有引力 与航天

试题 2012年新课标全国T21 2012年福建T16 2012年浙江T15 2012年山东T15 2011年浙江T19 2011年天津T8 2011年新课标全国T19 2011年安徽T22 2010年新课标全国T20 2010年北京T16 2010年山东T18 2010年浙江T20

题型 选择 选择 选择 选择 选择 选择 选择 计算 选择 选择 选择 选择

分值 6分 6分 6分 5分 6分 6分 6分 14分 6分 6分 4分 6分
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第四章 曲线运动 万有引力与航天

(1)从近三年高考试题考点分布可以看出,高考对本章内 容的考查重点有:平抛运动、圆周运动与牛顿运动定律的综 合,万有引力定律与实际航空、航天问题的结合,如天体质 量、密度的估算、卫星的发射、运行、变轨问题等。

(2)本部分内容的考查题型较全,既有选择题,又有计算
题,对抛体运动、圆周运动、万有引力定律的应用的直接考 查,一般为选择题;平抛运动、圆周运动规律与其他知识的 综合应用,一般以计算题的形式考查。
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第四章 曲线运动 万有引力与航天

二、2014年高考考情预测
(1)运动的合成与分解、平抛运动规律、圆周运动规律、 万有引力定律在航天科技方面的应用仍将是本章命题的热点。 (2)平抛运动、圆周运动规律与牛顿运动定律、万有引力 定律、功能关系、电磁学知识相结合,与生产、生活、科技 背景相联系,将是2014年高考命题的趋势。
[备课札记]

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第四章 曲线运动 万有引力与航天

[学习目标定位]
考 纲 下 载 1.运动的合成与分解 2.抛体运动 (Ⅱ ) (Ⅱ )

3.匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度(Ⅰ)

4.匀速圆周运动的向心力
5.离心现象 6.万有引力定律及其应用

(Ⅱ )
(Ⅰ ) (Ⅱ )

7.环绕速度
8.第二宇宙速度和第三宇宙速度

(Ⅱ )
(Ⅰ )
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第四章 曲线运动 万有引力与航天

考情上线


考 地 位 考

高考对本章中知识点考查频率较高的是平抛运动、 圆周运动及万有引力定律的应用。单独命题常以选择 题的形式出现;与牛顿运动定律、功能关系、电磁学

知识相综合常以计算题的形式出现。
1.平抛运动规律及研究方法。 2.圆周运动的角速度、线速度、向心加速度,以及竖 直平面内的圆周运动,常综合考查牛顿第二定律、 机械能守恒定律或能量守恒定律。 3.万有引力定律与圆周运动相综合,结合航天技术、 人造地球卫星等现代科技的重要领域进行命题。
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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

必 备 知 识 要 打 牢
高 频 考 点 要 通 关

曲线运动

[想一想]
如图4-1-1是一位跳水运动员从高台做“反
身翻腾二周半”动作时头部的运动轨迹,最后运动 员沿竖直方向以速度v入水。整个运动过程中在哪 几个位置头部的速度方向与入水时v的方向相同?

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图 4- 1- 1

在哪几个位置与v的方向相反?把这些位置在图中标出来。
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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

必 备 知 识 要 打 牢
高 频 考 点 要 通 关

提示:头部的速度方向为头部运动轨迹在各点的切 线方向,如图所示,A、C两位置头部速度方向与v方向 相同,B、D两位置头部速度方向与v方向相反。

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

必 备 知 识 要 打 牢
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[记一记]

1.速度方向 质点在某一点的瞬时速度的方向,沿曲线上该点的 切线 方向。 2.运动性质 做曲线运动的物体,速度的 方向 时刻改变,故曲线 运动一定是 变速 运动,即必然具有加速度。

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

必 备 知 识 要 打 牢
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3.曲线运动的条件

(1)运动学角度:物体的 加速度 方向跟速度方
向不在同一条直线上。

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(2)动力学角度:物体所受 合外力 的方向跟速度
方向不在同一条直线上。

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

[试一试]
必 备 知 识 要 打 牢
高 频 考 点 要 通 关

1.物体在光滑水平面上受三个水平恒力 (不共线)作用处于平衡状态,如图4- 1-2所示,当把其中一个水平恒力撤
图 4- 1- 2

去时(其余两个力保持不变),物体将
A.一定做匀加速直线运动 B.一定做匀减速直线运动 C.可能做曲线运动 D.一定做曲线运动

(

)

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

必 备 知 识 要 打 牢
高 频 考 点 要 通 关

解析:物体原来受三个力作用处于平衡状态,现在撤掉其 中一个力,则剩下两个力的合力与撤掉的力等大反向,即 撤掉一个力后,合力为恒力,如果物体原来静止,则撤掉 一个力后将做匀加速直线运动;如果物体原来做匀速直线 运动,撤掉一个力后,若速度与合力不共线,则物体做曲

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线运动,若速度与合力共线,则物体将做匀变速直线运动,
但无法确定物体做匀加速直线运动,还是匀减速直线运动。 故选项C正确,A、B、D错误。 答案:C

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

必 备 知 识 要 打 牢
高 频 考 点 要 通 关

运动的合成与分解

[想一想]

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如图4-1-3所示,红蜡块可以在竖直
玻璃管内的水中匀速上升,速度为v。若在 图4-1-3 红蜡块从A点开始匀速上升的同时,玻璃管从AB位置 由静止开始水平向右做匀加速直线运动,加速度大小 为a。

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

必 备 知 识 要 打 牢
高 频 考 点 要 通 关

请思考:红蜡块实际参与了哪两个方向的运动?

这两个运动的合运动轨迹是直线还是曲线?与图中哪
个轨迹相对应? 提示:红蜡块沿竖直方向做匀速直线运动,沿水 平方向做匀加速直线运动,此两运动的合运动为曲线 运动,运动轨迹为图中的曲线AQC。

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

必 备 知 识 要 打 牢
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[记一记]

1.基本概念
运动的合成 分运动? ? ? ? ? ? ? ? 合运动 运动的分解

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2.分解原则

根据运动的 实际效果 分解,也可采用正交分解。

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

3.遵循的规律
必 备 知 识 要 打 牢
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位移、速度、加速度都是矢量,故它们的合成与分 解都遵循 平行四边形 定则。 (1)如果各分运动在同一直线上,需选取正方向,与 正方向同向的量取“+”号,与正方向反向的量取“-”号, 代数 从而将矢量运算简化为 运算。

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(2)两分运动不在同一直线上时,按照平行四边形
定则进行合成,如图4-1-4所示。

图 4- 1- 4

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

必 备 知 识 要 打 牢
高 频 考 点 要 通 关

(3)两个分运动垂直时的合成满足: a 合= ax2+ay2 s 合= x2+y2 v 合= vx +vy
2 2

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

必 备 知 识 要 打 牢
高 频 考 点 要 通 关

[试一试] 2.某质点的运动速度在x、y方向的分量vx、vy与时间

的关系如图4-1-5所示,已知x、y方向相互垂直,
则4 s末该质点的速度和位移大小各是多少?

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图 4- 1- 5

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

必 备 知 识 要 打 牢
高 频 考 点 要 通 关

解析:4 s末,在x方向上vx=3 m/s,sx=vxt=12 m 在y方向上 vy 1 2 2 vy=4 m/s,a= t =1 m/s ,sy= at =8 m 2
2 所以v合= vx +v2 y =5 m/s 2 s合= sx + s2 y =4 13 m。

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答案:5 m/s

4 13 m

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

必 合运动的性质与轨迹判断 备 知 1.合力方向与轨迹的关系 识 无力不拐弯,拐弯必有力。曲线运动轨迹始终夹在合力方向 要 打 与速度方向之间,而且向合力的方向弯曲,或者说合力的方向总 牢
高 频 考 点 要 通 关

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是指向曲线的“凹”侧。

解 2.合力方向与速率变化的关系 题 (1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时,物体的速率增大。训 练 (2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时,物体的速率减小。 要 高 效
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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

必 备 知 识 要 打 牢
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(3)当合力方向与速度方向垂直时,物体的速率不变。

3.合运动与分运动的关系
(1)运动的独立性: 一个物体同时参与两个(或多个)运动,其中的任何一 个运动并不会受其他分运动的干扰,而保持其运动性质不 变,这就是运动的独立性原理。虽然各分运动互不干扰, 但是它们共同决定合运动的性质和轨迹。

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

必 备 知 识 要 打 牢
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(2)运动的等时性:

各个分运动与合运动总是同时开始,同时结束,经
历时间相等(不同时的运动不能合成)。 (3)运动的等效性: 各分运动叠加起来与合运动有相同的效果。 (4)运动的同一性:

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各分运动与合运动,是指同一物体参与的分运动和
实际发生的运动,不是几个不同物体发生的不同运动。

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

4.合运动性质的判断
必 备 知 识 要 打 牢
高 频 考 点 要 通 关

若合加速度与合初速度的方向在同一直线上则为直线运动, 学 否则为曲线运动。例如: (1)两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动; (2)一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动仍 然是匀变速运动,当二者共线时为匀变速直线运动,不共线时 为匀变速曲线运动; (3)两个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动;若 合初速度与合加速度在同一直线上,则合运动为匀变速直线运 动,不共线时为匀变速曲线运动; (4)两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动仍然是初
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速度为零的匀加速直线运动。
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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

必 备 知 识 要 打 牢
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[例1]

在一光滑水平面内建立平面直角坐标系,

一物体从t=0时刻起,由坐标原点O(0,0)开始运动,其 沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图象如图4-1-6甲、 乙所示,下列说法中正确的是 ( )

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图 4 - 1- 6

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

必 备 知 识 要 打 牢
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A.前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动 B.后2 s内物体继续做匀加速直线运动,但加速度沿 y轴方向 C.4 s末物体坐标为(4 m,4 m)

D.4 s末物体坐标为(4 m,2 m)
[审题指导] (1)在2 s前和2 s后,物体在x轴和y轴方向上的运动规律

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不同。
(2)由物体在4 s末的坐标位置,可分析物体在x、y方 向上的分运动并求解。

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

必 备 知 识 要 打 牢
高 频 考 点 要 通 关

学 科 前2 s内物体在y轴方向速度为0,由题图甲知只沿x轴方向做 特 色 匀加速直线运动,A正确;后2 s内物体在x轴方向做匀速运动, 要 在y轴方向做初速度为0的匀加速运动,加速度沿y轴方向,合运 挖 掘

[尝试解题]

动是曲线运动,B错误;4 s内物体在x轴方向上的位移是x= 1 1 (2× 2× 2+2× 2) m=6 m,在y轴方向上的位移为y=2× 2× 2 m= 2 m,所以4 s末物体坐标为(6 m,2 m),故C、D均错误。
解 题 训 练 要 高 效
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[答案] A

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

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小船过河问题分析 1.小船过河问题分析思路
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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

2.三种速度:
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v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实 际速度)。 3.三种过河情景分析
(1)过河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最短, tmin d =v (d 为河宽)。 1

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(2)过河路径最短(v2<v1 时):合速度垂直于河岸时,航程最 v2 短,xmin=d。船头指向上游与河岸夹角为 α,cos α=v 。 1

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

(3)过河路径最短(v2>v1 时):合速度不可能垂直于河
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岸,无法垂直渡河。确定方法如下:如图 4-1-7 所示, 以 v2 矢量末端为圆心,以 v1 矢量的大小为半径画弧,从 v2 矢量的始端向圆弧作切线, 则合速度沿此切线方向时航 程最短。 v1 v2 d 由图可知 cos α=v ,最短航程 x 短=cos α=v d。 2 1

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图 4- 1- 7

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[例2]
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一小船渡河,河宽d=180 m,水流速度v1=

2.5 m/s。若船在静水中的速度为v2=5 m/s,求:

学 科 (1)欲使船在最短的时间内渡河,船头应朝什么方向? 特 色 用多长时间?位移是多少? 要 (2)欲使船渡河的航程最短,船头应朝什么方向?用 挖 掘 多长时间?位移是多少?

[尝试解题] (1)欲使船在最短时间内渡河,船头应朝垂直河岸方

向。
当船头垂直河岸时,如图甲所示。

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

合速度为倾斜方向,垂直分速度为 v2=5 m/s。
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d 180 t= = s=36 s v2 5 v= 5 2 2 v1+v2= 2 5 m/s

x=vt=90 5 m (2)欲使船渡河航程最短,应垂直河岸渡河,船头应朝

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上游与垂直河岸方向成某一夹角α 如图乙所示,

有v2sin α=v1,
得α=30°
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所以当船头向上游偏 30° 时航程最短。 x′=d=180 m。 d 180 t′ = = s=24 3 s v2cos 30° 5 3 2

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[答案]

(1)船头垂直于河岸

36 s

90 5 m

(2)船头向上游偏 30° 24 3 s

180 m

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解决小船过河问题应注意的问题 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,

与水流速度无关。
(2)船渡河位移最短值与v船和v水大小关系有关, v船>v水时,河宽即为最短位移,v船<v水时,应利用图 解法求极值的方法处理。

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(1)“关联速度”特点: 用绳、杆相牵连的物体,在运动过程中,其两物体的速度通 常不同,但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等。 (2)常用的解题思路和方法: 先确定合运动的方向(物体实际运动的方向),然后分析这个 合运动所产生的实际效果(一方面使绳或杆伸缩的效果;另一方面 使绳或杆转动的效果)以确定两个分速度的方向(沿绳或杆方向的分 速度和垂直绳或杆方向的分速度,而沿绳或杆方向的分速度大小 相同)。

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[典例]

如图4-1-8所示,做匀速直线运动的

小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B,设重
物和小车速度的大小分别为vB、vA,则 ( ) A.vA>vB B.vA<vB C.绳的拉力等于B的重力 D.绳的拉力小于B的重力
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图 4- 1- 8

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[解析]

小车A向左运动的过程中,

小车的速度是合速度,可分解为沿

绳方向与垂直于绳方向的速度,

图 4- 1- 9

如图4-1-9所示,由图可知vB=vAcos θ,则vB<vA, 小车向左运动的过程中θ角减小,vB增大,B做向上的 加速运动,故绳的拉力大于B的重力。故A正确。 [答案] A

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[题后悟道] (1)运动的分解是按运动的实际运动效果进行分解的。

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(2)在分析用绳或杆相连的两个物体的速度关系时,均 高 频 考 是将物体的速度沿绳或杆和垂直于绳或杆的方向进行分解。 点 要 (3)沿绳或杆方向的分速度相等,列方程求解。 通 关

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如图4-1-10所示,套在竖直细杆上
的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与 重物B相连。由于B的质量较大,故在释 放B后,A将沿杆上升,当A环上升至与定 滑轮的连线处于水平位置时,其上升速度
图4-1-10

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v1≠0,若这时B的速度为v2,则

(

)

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A.v2=v1 C.v2≠0

B.v2>v1 D.v2=0

解析:如图所示,分解A上升的速度v,v2=v cos α,
当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时,α= 90°,故v2=0,即B的速度为零。 答案:D

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[随堂巩固落实]
1. 电动自行车绕如图4-1-11所示的

400 m标准跑道运动,车上的车速
表指针一直指在36 km/h处不动。 则下列说法中正确的是 ( )
图4-1-11

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A.电动车的速度一直保持不变 B.电动车沿弯道BCD运动过程中,车一直具有加 速度
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C.电动车绕跑道一周需40 s,此40 s内电动车的平均速度
等于10 m/s D.跑完一圈过程中,由于电动车的速度没有发生改变,故 电动车所受合力为零

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解析:电动车做曲线运动,速度是变化的,A错。电动车经 解 题 BCD的运动为曲线运动,合力不等于零,车的加速度不为 零,B对,D错。电动车跑完一周的位移为零,其平均速度

为零,C错。
答案:B
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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

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2.一个静止的质点,在两个互成锐角的恒力F1、F2作用 下开始运动,经过一段时间后撤掉其中的一个力,

则质点在撤去该力前后两个阶段中的运动情况分别
是 A.匀加速直线运动,匀减速直线运动 B.匀加速直线运动,匀变速曲线运动 C.匀变速曲线运动,匀速圆周运动 ( )

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D.匀加速直线运动,匀速圆周运动

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解析:因两个恒力F1、F2的合力为恒力,故质点应先
由静止开始做匀加速直线运动,其运动方向与F1、F2 合力的方向相同,当撤去其中一个力后,质点的合力 恒定且与质点运动方向不同向,故质点做匀变速曲线 运动,故只有B正确。 答案:B

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3.(2012· 宁波模拟)人用绳子通过定滑轮拉 物体A,A穿在光滑的竖直杆上,当以

速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图4-
1-12所示位置时,绳与竖直杆的夹角 图4-1-12 为θ,则物体A实际运动的速度是
A.v0sin θ C.v0cos θ v0 B.sin θ v0 D.cos θ

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(

)

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

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解析: 由运动的合成与分解可知, 物体 A 参与两个分运动, 学 一个是沿着与它相连接的绳子的运动,另一个是垂直于绳 科 子向上的运动。 而物体 A 实际运动轨迹是沿着竖直杆向上 的,这一轨迹所对应的运动就是物体 A 的合运动,它们之 v0 间的关系如图所示。由三角函数可得 v=cos θ,所以 D 选 项是正确的。
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答案:D

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

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4.甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河,河宽为 H, 2 河水流速为 v0, 划船速度均为 v, 出发时两船相距3 3 H,甲、乙两船船头均与河岸成 60° 角,如图 4-1- 13 所示。已知乙船恰好能垂直到达对岸 A 点,则下列 判断正确的是( )

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图4-1-13
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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

A.甲、乙两船到达对岸的时间不同
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B.v=2v0 C.两船可能在未到达对岸前相遇 D.甲船在A点上游某位置靠岸 H 解析:渡河时间均为vsin 60° ,乙能垂直于河岸渡河,对
乙船,由 vcos 60° =v0,可得 v=2v0,甲船在该时间内沿 H 2 水流方向的位移为(vcos 60° +v0)vsin 60° =3 3H 刚好到 A 点。综上所述,A、C、D 错误,B 正确。

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答案:B
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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

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5.如图4-1-14所示,质量m=2.0 kg 的物体在水平外力的作用下在水平面上 运动,已知物体运动过程中的坐标与
? ?x=3.0t m 时间的关系为? 2 ? ?y=0.2t m

图4-1-14

,g=10 m/s2。根据以上条件,

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求:

(1)t=10 s时刻物体的位置坐标;

(2)t=10 s时刻物体的速度和加速度的大小与方向。

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

解 析 : (1) 由 于 物 体 运 动 过 程 中 的 坐 标 与 时 间 的 关 系 为
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? ?x=3.0t m ? 2 ? ?y=0.2t m

,代入时间 t=10 s,可得:

x=3.0t m=3.0×10 m=30 m y=0.2t2 m=0.2×102 m=20 m 即 t=10 s 时刻物体的位置坐标为(30 m,20 m)。
? ?x=3.0t m (2)由物体运动过程中的坐标与时间的关系式? 2 ? ?y=0.2t m

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, 比较

? ?x=v0t 物体在两个方向的运动学公式? 1 2 ,可求得: ? ?y=2at
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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

v0=3.0 m/s,a=0.4 m/s2
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当 t=10 s 时, vy=at=0.4×10 m/s=4.0 m/s v= v02+vy2= 3.02+4.02 m/s=5.0 m/s。 vy 4 tan α=v =3 0 即速度方向与 x 轴正方向夹角为 53° 。 物体在 x 轴方向做匀速运动,在 y 轴方 向做匀加速运动,a=0.4 m/s2,沿 y 轴正方向。 答案:(1)(30 m,20 m) (2)5.0 m/s,

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与x轴正方向夹角为53°
沿y轴正方向

0.4 m/s2,

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

(给有能力的学生加餐)

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1.如图1所示的曲线为运动员抛出的铅球运动

轨迹(铅球视为质点),A、B、C为曲线上
的三点,关于铅球在B点的速度方向,说 法正确的是 (
图1

)

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A.为AB的方向
C.为BD的方向

B.为BC的方向
D.为BE的方向

解析:由于做曲线运动的物体在某点的速度方向沿

曲线在该点的切线方向,因此,铅球在B点的速度方
向为BD方向,C正确。 答案:C
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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

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2.(2012· 广州模拟)如图2所示,船从A处 开出后沿直线AB到达对岸,若AB与 河岸成37°角,水流速度为4 m/s,则 船从A点开出的最小速度为 ( )
图2

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A.2 m/s
C.3 m/s

B.2.4 m/s
D.3.5 m/s

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

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解析:由于船沿直线AB运动,因此船的合速度v合沿AB
方向,根据平行四边形定则可知,当v船垂直于直线AB 时,船有最小速度,由图知v船=v水sin37°=2.4 m/s, 选项B正确。 答案:B

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

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3. (2012· 东莞调研)在杂技表演中,猴子沿竖

直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀
加速运动,同时人顶着直杆以速度v0水平 匀速移动,经过时间t,猴子沿杆向上移
图3

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动的高度为h,人顶杆沿水平地面移动的距离为x, 如图3所示。关于猴子的运动情况,下列说法中正确 的是 ( )

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

A.相对地面的运动轨迹为直线
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B.相对地面做变加速曲线运动 C.t 时刻猴子对地速度的大小为 v0+at D.t 时间内猴子对地的位移大小为 x2+h2 解析:猴子在水平方向上做匀速直线运动,竖直方向上做

初速度为零的匀加速直线运动,猴子的实际运动可以看做 类平抛运动,其运动轨迹为曲线;因为猴子受到的合外力 恒定(因为加速度恒定),所以相对地面猴子做的是匀变速 曲线运动;t 时刻猴子对地速度的大小 vt= v02+?at?2;t 时间内猴子对地的位移大小 s= x2+h2。

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答案:D
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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

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4.(2012· 揭阳模拟)如图4所示,平面直角 坐标系xOy与水平面平行,在光滑水 平面上,一做匀速直线运动的质点以 速度v通过坐标原点O,速度方向与x
图4

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轴正方向的夹角为α,与此同时给质

点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力 Fy,则此后 ( )

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

A.因为有Fx,质点一定做曲线运动
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B.如果Fy<Fx,质点相对原来的方向向y轴一侧做曲线 运动

C.如果Fy=Fxtan α,质点做直线运动
D.如果Fx>Fycot α,质点相对原来的方向向y轴一侧做 曲线运动 解析:显然质点受到的重力和光滑水平面的支持力是一 对平衡力,所以质点所受的合外力F就是Fx和Fy的合力。 当F与v平行,即Fy=Fxtan α时,质点做直线运动;当F 与v不平行时,质点做曲线运动,且曲线向合外力的一侧 弯曲。综上所述本题选C。 答案:C
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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

5.(2011· 江苏高考)如图5所示,甲、乙两同学从河中O
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点出发,分别沿直线游到A点和B点后,立即沿原路 线返回到O点,OA、OB分别与水流方向平行和垂直, 且OA=OB。若水流速度不变,两人在静水中游速 相等,则他们所用时间 t甲、t乙的大小关系为

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(

)

图5
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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

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A.t甲<t乙
C.t甲>t乙

B.t甲=t乙
D.无法确定

解析:设水流的速度为v水,学生在静水中的速度为v人,从题意可知v 2v人L L L + = 2 人>v水,设OA=OB=L,对甲同学t甲= 2, v人+v水 v人-v水 v 人 -v 水 对乙同学来说,要想垂直到达B点,其速度方向要指向上游,并且来 t甲 v人 2L 回时间相等,即t乙= 2 2 2 ,则t = 2 即t甲>t乙,C正确。 乙 v 人 -v 水 v 人 -v 水

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答案:C

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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

6.质量m=4 kg的质点静止在光滑水平面上的直角坐标系的 学 必 科 原点O,先用沿+x轴方向的力F1=8 N作用了2 s,然后 备
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撤去F1;再用沿+y轴方向的力F2=24 N作用了1 s,则质 点在这3 s内的轨迹为 ( )

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图6
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第1单元 曲线运动 运动的合成与分解

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解析:质点在 F1 的作用下由静止开始从坐标系的原点 O F1 沿+x 轴方向加速运动,加速度 a1= m =2 m/s2,速度为 1 2 v1=a1t1=4 m/s,对应位移 x1=2a1t1 =4 m,到 2 s 末撤去 F1 再受到沿+y 轴方向的力 F2 的作用, 质点在+x 轴方向 做匀速运动,x2=v1t2=4 m,在+y 轴方向做加速运动, F2 1 2 2 +y 轴方向的加速度 a2= m =6 m/s , 对应的位移 y=2a2t2 =3 m,物体做曲线运动,且合外力指向运动轨迹凹侧, A、B、C 项错误,D 项正确。

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答案:D
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第2单元 平抛运动

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超链接 (平抛 运动1)

平抛运动及其规律
超链接 (平抛 运动2) 超链接 (平抛 运动3) 超链接 (平抛 运动4) 超链接 (平抛 运动5)

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[想一想]

如图4-2-1所示,甲、乙、丙三小球分别位于如 图所示的竖直平面内,甲、乙在同一条竖直线上,甲、 丙在同一条水平线上,P点在丙球正下方。某时刻,甲、
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第2单元 平抛运动

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乙、丙同时开始运动,甲以水平速度v0平
抛,乙以水平速度v0沿水平面向右做匀速 直线运动,丙做自由落体运动,若甲、乙、 图4-2-1 丙三球同时到达P点,试说明甲球所做的平抛运动在水平 方向和竖直方向的分运动各是什么运动?

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提示:若甲、乙、丙三球同时到达P点,则说明甲在
水平方向的运动与乙的运动相同,为匀速直线运动,甲在 竖直方向的运动与丙的运动相同,为自由落体运动。

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第2单元 平抛运动

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[记一记]

1.特点 (1)运动特点:初速度方向 水平 。 (2)受力特点:只受 重力作用 。 2.性质

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平抛运动是加速度恒为重力加速度的 匀变速 曲
线运动,轨迹为 抛物线 。

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第2单元 平抛运动

3.研究方法
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用运动的合成与分解方法研究平抛运动。

水平方向: 匀速直线 运动
竖直方向: 自由落体 运动。 4.运动规律(如下表所示) 水平方向 竖直方向 vx=v0 x=v0t

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1 2 vy=gt,y=2gt

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第2单元 平抛运动

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大小 合速度 方向 大小 合位移 方向

v=

vx +vy2=

2

v02+g2t2

vy gt 与水平方向的夹角 tan α=v =v x 0
2 2 x + y s=

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gt y 与水平方向的夹角 tan θ=x= 2v0

轨迹方程

g 2 y=2v 2x 0

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第2单元 平抛运动

[试一试]
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1.从高度为h处以水平速度v0抛出一个物体,要使该物
体的落地速度与水平地面的夹角较大,则h与v0的取 值应为下列四组中的哪一组 ( ) A.h=30 m,v0=10 m/s B.h=30 m,v0=30 m/s C.h=50 m,v0=30 m/s D.h=50 m,v0=10 m/s
解析:要使落地速度与水平方向夹角较大,应使 tan θ vy 2gh =v = v 中 θ 较大, 应使自由下落的高度 h 较大,同 0 0 时使水平速度 v0 较小,故选项 D 正确。 答案:D
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第2单元 平抛运动 斜抛运动

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[记一记]

1.概念

以一定的初速度将物体沿与水平方向 成一定角度 斜
向抛出,物体仅在 重力作用下 所做的曲线运动。 2.性质 斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运 动,轨迹是 抛物线 。

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第2单元 平抛运动

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3.基本规律 以斜向上抛为例说明,如图4-2-2所示。

图 4 - 2- 2

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(1)水平方向:v0x= v0cos θ ,F合x=0。 (2)竖直方向:v0y= v0sin θ ,F合y=mg。

因此斜抛运动可以看做是水平方向的 匀速直线运动 和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。
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第2单元 平抛运动

[试一试]
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例题1.物体以速度v0抛出做斜抛运动,则 A.在任何相等的时间内速度的变化量是相同的

(

)

B.可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体 运动 C.射高和射程都取决于v0的大小 D.v0很大,射高一定很大

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第2单元 平抛运动

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速度改变量 因为平抛或斜抛运动的加速度为恒定的重力加速 度g,所以做平抛运动的物体在任意相等时间 间隔Δt内的速度改变量Δv=gΔt相同,方向恒为竖直向

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下,如图4-2-3所示。

图 4- 2- 3

答案:A

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第2单元 平抛运动

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[例2](2012· 新课标全国卷改编)如图4-2 -5,x轴在水平地面内,y轴沿竖直方向。 图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个

小球a、b和c的运动轨迹,其中b和c是从
同一点抛出的。不计空气阻力,则( A.a的飞行时间比b的长 B.b的飞行时间比c的长 C.a的水平速度比b的小 )
图 4- 2- 5

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D.b的初速度比c的大

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[答案] D

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第2单元 平抛运动

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超链 接

平抛运动与斜面相结合的模型,其特点是做平抛运动的 物体落在斜面上,包括两种情况: (1)物体从空中抛出落在斜面上; (2)从斜面上抛出落在斜面上。 在解答该类问题时,除要运用平抛运动的位移和速度规 律外,还要充分利用斜面倾角,找出斜面倾角同位移和速度 的关系,从而使问题得到顺利解决。
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方 法

内容

斜面

分 水平 vx = v0 竖 解 直 v =gt 合速度 y 速 v= v 2+v 2 x y 度 分 水平 x=v0t 竖 解 直 y=1gt2 合位 2 位 2 2 移 x = x + y 合 移

学 科 实 例 总结 特 求小球平抛时间 色 要 如图,vy=gt,tan θ 分解速度, 挖 掘 v0 v0 v0 构建速度 =v = gt , 故 t=gtan θ y 三角形 解 题 1 如图, x = v0t , y = 2 分解位移, 训 练 y 2 gt ,而 tan θ=x,联 构建位移 要 高 2v0tan θ 三角形 立得 t= g 效
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第2单元 平抛运动

[典例]
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滑雪比赛惊险刺激,如图
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4-2-7 所示,一名跳台滑雪运动员经 过一段加速滑行后从 O 点水平飞出,经 过 3.0 s 落到斜坡上的 A 点。已知 O 点
图4-2-7

是斜坡的起点,斜坡与水平面的夹角 θ=37 ° ,运动员的质 量 m=50 kg。不计空气阻力。(取 sin 37° =0.60,cos 37° = 0.80;g 取 10 m/s2)求:
(1)A点与O点的距离L。
(2)运动员离开O点时的速度大小。 (3)运动员从O点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间。
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第2单元 平抛运动

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[答案] (1)75 m

(2)20 m/s

(3)1.5 s

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第2单元 平抛运动

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一水平抛出的小球落到一倾角为θ的 斜面上时,其速度方向与斜面垂直,运动

轨迹如图4-2-8中虚线所示。小球在竖

图 4- 2- 8

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直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为(
A.tan θ 1 C.tan θ B.2tan θ 1 D.2tan θ

)

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答案:D
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第2单元 平抛运动

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[随堂巩固落实]

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第2单元 平抛运动

1 (2012· 武汉调研)如图 4-2-9 所示,B 为竖直圆轨道的左

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端点,它和圆心 O 的连线与竖直方向的夹角为 α。一小球 在圆轨道左侧的 A 点以速度 v0 平抛,恰好沿 B 点的切线 方 向进入圆轨道。已知重力加速度为 g,则 AB 之间的水平 距 离为 v02tan α A. g v02 C. gtan α 2v02tan α B. g 2v02 D. gtan α ( )

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图4-2-9

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第2单元 平抛运动

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解析: 由小球恰好沿 B 点的切线方向进入圆轨道可知小球 速度方向与水平方向夹角为 α。由 tan α=gt/v0,x=v0t, v02tan α 联立解得 AB 之间的水平距离为 x= g , 选项 A 正确。

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答案:A

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第2单元 平抛运动

2.(2012· 执信中学高三期中考试)如图4-
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2-10所示,在同一平台上的O点水
平抛出的三个物体,分别落到a、b、
图4-2-10

c三点,则三个物体运动的初速度va、vb、vc的关系 和三个物体运动的时间ta、tb、tc的关系是 A.va>vb>vc ta>tb>tc B.va<vb<vc ( ) ta= tb= tc

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C.va<vb<vc

ta>tb>tc

D.va>vb>vc

ta<tb<tc

1 2 x 解析: 由 h=2gt 可得 ta>tb>tc, 又由 v= t 得 va<vb<vc, 选项 C 正确。 答案:C
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第2单元 平抛运动

3.(2012· 东北三校二模)中国女排享誉世界排坛,曾经
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取得辉煌的成就。在某次比赛中,我国女排名将冯坤 将排球从底线A点的正上方以某一速度水平发出,排 球正好擦着球网落在对方底线的B点上,且AB平行于 边界CD。已知网高为h,球场的长度为x,不计空气 阻力且排球可看成质点,则排球被发出时,击球点的 高度H和水平初速度v分别为 ( )

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图4-2-11
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第2单元 平抛运动

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4 A . H = 3h x C.v=3h 3gh

3 B.H=2h x D.v=2h 6gh

解析:设排球运动到球网和 B 点所用时间分别为 t1 和 t2, 则有 t1= 2?H-h? x g ,2=vt1,t2= 2H g ,x=vt2,联立

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4 x 解得 H=3h,v=4h 6gh,A 正确,B、C、D 均错误。

答案:A

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第2单元 平抛运动

4.如图4-2-12所示,水平地面上有一个
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坑,其竖直截面为半圆,ab为沿水平方
向的直径。若在a点以初速度v0沿ab方向 图4-2-12 抛出一小球,小球会击中坑壁上的c点。已知c点与 水平地面的距离为圆半径的一半,求圆的半径。 3 解析:小球做平抛运动,水平位移 x=R+ 2 R,竖
1 直位移 y=2R,根据平抛运动特点知小球在水平方 3 向做匀速直线运动,有 x=v0t,即 R+ 2 R=v0t①
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第2单元 平抛运动

必 备 知 识 要 打 牢
高 频 考 点 要 通 关

1 2 小球在竖直方向做自由落体运动,有 y=2gt ,即 1 1 2 2R=2gt ② 4v02 联立①②得圆的半径 R= 。 ?7+4 3?g
4v02 答案: ?7+4 3?g

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第2单元 平抛运动
(给有能力的学生加餐)

必 备 知 识 要 打 牢
高 频 考 点 要 通 关

1.如图1所示,两个倾角分别为30°、45°的 光滑斜面放在同一水平面上,两斜面间 距大于小球直径,斜面高度相等。有三 图1

个完全相同的小球a、b、c,开始均静止

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于同一高度处,其中b小球在两斜面之间,a、c两小球在 斜面顶端。若同时释放,小球a、b、c到达该水平面的时

间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出,初速度方
向如图所示,到达水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′。下 列关于时间的关系错误的是 ( )

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第2单元 平抛运动

必 备 知 识 要 打 牢
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A.t1>t3>t2
C.t1′>t3′>t2′

B.t1=t1′、t2=t2′、t3=t3′
D.t1<t1′、t2<t2′、t3<t3′

解析:设三小球在高为 h 的同一高度处。由静止释放三 h 1 8h 2 2 小球时,对 a:sin30° =2gsin30° · t1 则 t1 = g 。 1 2 2h 2 对 b:h=2gt2 ,则 t2 = g 。

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第2单元 平抛运动

必 备 知 识 要 打 牢
高 频 考 点 要 通 关

h 1 4h 2 2 对 c:sin45° =2gsin45° · t3 ,则 t3 = g 。 所以 t1>t3>t2。 当平抛三小球时, :小球 b 做平抛运动,竖直方向运动 情况同第一种情况;小球 a、c 在斜面内做类平抛运动, 沿斜面向下方向的运动同第一种情况,所以 t1=t1′、t2 =t2′、t3=t3′。

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答案:D

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第2单元 平抛运动

2.如图2所示,A、B两质点以相同的水平
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高 频 考 点 要 通 关

速度v0抛出,A在竖直平面内运动,落
地点为P1,B在光滑斜面上运动,落地 点为P2,不计阻力,比较P1、P2在x轴 方向上的远近关系是 A.P1较远 B.P2较远
图2

(

)

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C.P1、P2等远
x2>x1,B项正确。 答案:B

D.大小不确定

解析:因aP1=g,aP2=gsin θ,x=v0t,而tP2>tP1,故

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第2单元 平抛运动

必 备 知 识 要 打 牢
高 频 考 点 要 通 关

3.(2012· 咸阳模拟)如图3所示,AB 为足够长 的斜面,从A点以水平速度v0抛出一个球, 此时落点到A点的水平距离为x1;从A点

以水平速度3v0抛出小球,这次落点到A

图3 ( )

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点的水平距离为x2。不计空气阻力,则x1∶x2等于 A.1∶3 C.1∶9 B.1∶6 D.1∶12

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第2单元 平抛运动

必 备 知 识 要 打 牢
高 频 考 点 要 通 关

解析:如图所示,设斜面的倾角为 α,以初速度 v0 平抛 1 2 时,落到斜面上的时间为 t,则有 x=v0t,y=2gt ,且 tan 2v0tan α 2v02tan α y α=x,解得 t= ,水平位移 x=v0t= ∝ g g v02,所以当以 3v0 平抛小球时,落点到 A 点的水平距离 变为原来的 9 倍,C 正确。

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答案:C

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第2单元 平抛运动

4.(2012· 湖北八校联考)如图4所示,在
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高 频 考 点 要 通 关

竖直平面内有一半圆形轨道,圆心 为O。一小球(可视为质点)从与圆心 等高的圆形轨道上的A点以速度v0水
图4

平向右抛出,落于圆轨道上的C点。已知OC的连线 与OA的夹角为θ,重力加速度为g,则小球从A运动 到C的时间为 2v0 θ A. g cot 2
v0 θ C. g cot 2

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(
v0 θ B. g tan 2 2v0 θ D. g tan 2

)

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第2单元 平抛运动

必 备 知 识 要 打 牢
高 频 考 点 要 通 关

π- θ 解析: 由几何关系可知, AC 与水平方向的夹角为 α= 2 , 根据抛体运动的规律,C 处速度方向与水平方向的夹角的 正切值等于位移方向与水平方向夹角的正切值的两倍, 即 vy 2v0 θ v0=2tan α,vy=gt,解得 t= g cot 2,A 对。

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答案:A

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第2单元 平抛运动

必 备 知 识 要 打 牢
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5.(2012· 昆明一中月考)如图5所示,一演
员表演飞刀绝技,由O点先后抛出完全 相同的三把飞刀,分别垂直打在竖直木 板上M、N、P三点。假设不考虑飞刀 的转动,并可将其看做质点,已知O、
图5

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M、N、P四点距离水平地面高度分别为h、4h、3h、 2h,以下说法正确的是 ( )
A.三把刀在击中板时动能相同 B.三次飞行时间之比为 1∶ 2∶ 3
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第2单元 平抛运动

C.三次初速度的竖直分量之比为3∶2∶1
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D.设三次抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、 θ2、θ3,则有θ1>θ2>θ3
解析:初速度为零的匀变速直线运动推论:(1)静止起通过连续 相等位移所用时间之比 t1∶ t2∶ t3∶??= 1 ∶( 2- 1)∶ ( 3- 2)∶??, (2)前 h、 前 2h、 前 3h??所用的时间之比为 1∶ 2∶ 3∶??,对末速度为零的匀变速直线运动,可以相应的运用 这些规律(从后往前用)。三把刀在击中木板时速度不等,动能不 相同,选项 A 错误;飞刀击中 M 点所用时间长一些,选项 B 错 误;三次初速度竖直分量之比等于 3∶ 2∶1,选项 C 错误。 只有选项 D 正确。 答案:D
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第2单元 平抛运动

必 备 知 识 要 打 牢
高 频 考 点 要 通 关

6.(2012· 黄山七校联考)如图6所示,P是水平 地面上的一点,A、B、C、D在同一条 竖直线上,且AB=BC=CD。从A、B、 C三点分别水平抛出一个物体,这三个 物体都落在水平地面上的P点。则三个 物体抛出时的速度大小之比vA∶vB∶vC为
A. 2∶ 3∶ 6 B.1∶ 2∶ 3

图6 ( )

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C.1∶2∶3 D.1∶1∶1 1 2 解析:由平抛运动的规律可知竖直方向上: h=2gt ,水平方

g 向上:x=v0t,两式联立解得 v0=x 2h,由于 hA=3h,hB =2h,hC=h,代入上式可知选项 A 正确。 答案:A
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第3单元 圆周运动

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

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[想一想]

超链 接

甲、乙两物体都做匀速圆周运动,且r甲>r乙,试比较以 下几种情况下甲、乙两物体的向心加速度大小。 ①线速度相等 ②角速度相等 ③周期相等 2 v2 4 π 提示:由 a= r =ω2r= T2 · r 可知,线速度相等时,a 甲
<a 乙,角速度和周期相等,均有 a 甲>a 乙。
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第3单元 圆周运动

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

[记一记]
描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、

转速、向心加速度、向心力等,现比较如下表:
定义、意义 公式、单位

①描述做圆周运动的物体运动 Δs 2πr 线 快慢 的物理量(v) ①v=Δt = T 速 m/s ②是矢量,方向和半径垂直,和 ②单位:____ 度 相切 圆周_____
角 ①描述物体绕圆心 转动快慢 的物 速 理量(ω) 度 ②中学不研究其方向

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Δθ 2π ①ω= Δt = T
rad/s ②单位:_____

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第3单元 圆周运动

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

定义、意义 一圈 ①周期是物体沿圆周运动_______ 周期 的时间(T) 和转 ②转速是物体在单位时间内转过 速 的______( 圈数 n),也叫频率(f)

公式、单位 ①T= 2πr ;单位:__ s v ② n 的 单 位 r/s 、

r/min
③f的单位:

Hz

1 f= T

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向心 ①描述速度 方向 变化快慢的物理 加速 量(an) 度

v2 ① a n= =ω2r r

圆心 ②方向指向_______

m/s2 ②单位:________

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第3单元 圆周运动

定义、意义
必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

公式、单位
2 v ① Fn = mω2r = m r =

向 心 力

①作用效果是产生向心加速度,只 改变线速度的 方向 ,不改变线速 度的大小 ②方向指向 圆心

4π2 m T2 r ②单位:N

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目 录

2πr 相 ①v=rω= T =2πr f 互
2 v2 4 π r ②an= r =rω2=ωv= T2 =4π2f2r 关 2 v2 4 π 2 系 ③Fn=m =mrω =m 2r=mωv=m4π2f2r r T

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第3单元 圆周运动

[试一试]
必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

1.关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是(
v2 A.由 a= r 知,a 与 r 成反比

)

B.由 a=ω2r 知,a 与 r 成正比 v C.由 ω= r 知,ω 与 r 成反比 D.由 ω=2πn 知, ω 与转速 n 成正比 v2 解析:由 a= r 知,只有在 v 一定时,a 才与 r 成反比,如果

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v 不一定,则 a 与 r 不成反比,同理,只有当 ω 一定时,a 才与 r 成正比;v 一定时,ω 与 r 成反比;因 2π 是定值,故 ω 与 n 成正比,D 正确。

答案:D
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第3单元 圆周运动

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

匀速圆周运动和非匀速圆周运动

[想一想] 在圆周运动中,向心力一定指向圆心吗?合外 力一定指向圆心吗? 提示:无论匀速圆周运动,还是非匀速圆周运 动,向心力一定指向圆心,匀速圆周运动的合外力提 供向心力,一定指向圆心,非匀速圆周运动的合外力 不一定指向圆心。

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第3单元 圆周运动

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

[记一记]

1.匀速圆周运动

(1)定义:物体沿着圆周运动,并且线速度的 大小 处
处相等,这种运动叫做匀速圆周运动。 (2)性质:向心加速度大小 不变 ,方向总是指向

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圆心 的变加速曲线运动。
(3)质点做匀速圆周运动的条件: 合力 大小 不变,方向始终与速度方向 垂直 且指向 圆心 。
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第3单元 圆周运动

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

2.非匀速圆周运动 (1)定义:线速度大小、方向均 发生变化 的圆周运 动。 (2)合力的作用: ①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度,Ft=

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mat,它只改变速度的 大小 。
②合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度,Fn= man,它只改变速度的 方向 。

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第3单元 圆周运动

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

[试一试]
2.(2012· 南京模拟)第十三届中国吴桥国 际杂技艺术节于2011年10月22日在石 家庄市(主会场)拉开了序幕。如图4-3 -1所示的杂技演员在表演“水流星” 的节目时,盛水的杯子经过最高点杯 口向下时水也不洒出来,对于杯子经 图4-3-1 )

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过最高点时水的受力情况,下列说法正确的是(

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第3单元 圆周运动

必 备 知 识 要 打 牢 解析:失重状态是物体对支持物(或绳)的弹力小于重力,但 高 频 考 点 要 通 关

A.水处于失重状态,不受重力的作用 B.水受平衡力的作用,合力为零 C.由于水做圆周运动,因此必然受到重力和向心力的作用 D.杯底对水的作用力可能为零
物体所受重力不变,A项错;水受力不平衡,有向心加速 度,B项错;向心力不是性质力,本题中向心力由重力和弹 力的合力提供,C项错;当重力恰好提供水做圆周运动的向 心力时,杯底对水的作用力为零,D项对。

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答案:D
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第3单元 圆周运动

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

[想一想]

超链 接

如图4-3-2所示,游乐场的旋转飞椅非常刺激 有趣,当转速逐渐增大时,飞椅会飘得越来越高, 请思考其中的道理。

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图 4- 3- 2
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第3单元 圆周运动

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提示:如图所示为飞椅受力图,由 Fcos θ=mg Fsin θ=mω2L · sin θ g 可得:cos θ=ω2L 可见,飞椅转速增大时,ω 增大,θ 增大,飞椅飘得 越来越高。

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第3单元 圆周运动

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

[记一记]

1.离心运动
(1)定义:做 圆周运动 的物体,在所受合外力突然 消失或不足以提供圆周运动所需 向心力 的情况下,所 做的逐渐远离圆心的运动。 (2)本质:做圆周运动的物体,由于本身的 惯性 ,

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总有沿着圆周 切线方向 飞出去的倾向。

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第3单元 圆周运动

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(3)受力特点:
①当F=mω2r时,物体做 匀速圆周 运动; ②当F=0时,物体沿 切线 方向飞出;
图 4- 3- 3

③当F<mω2r时,物体逐渐 远离 圆心,做离心运 动。 2.近心运动 当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力

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时,即F>mω2r,物体将逐渐 靠近 圆心,做近心运动。

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第3单元 圆周运动

[试一试]
必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

3.下列关于离心现象的说法正确的是

(

)

A.当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象 B.做匀速圆周运动的物体,当它所受的一切力都消 失时,它将做背离圆心的圆周运动

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C.做匀速圆周运动的物体,当它所受的一切力都突
然消失时,它将沿切线做直线运动 D.做匀速圆周运动的物体,当它所受的一切力都突 然消失时,它将做曲线运动

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第3单元 圆周运动

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

解析:物体做匀速圆周运动时,合外力必须满足物体所 需要的向心力F=mω2r。若F=0,物体由于惯性而沿切 线飞出,若F<mω2r,物体由于惯性而远离圆心,并不

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是受到离心力作用。所以A、B、D均错,C正确。
答案:C

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第3单元 圆周运动

必 备 知 识 要 打 牢

学 科 特 传动装置问题 色 要 1.同轴转动 挖 各点共轴转动时,角速度相同,因此周期也相同。由于各 掘
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高 点半径不一定相同,线速度、向心加速度大小一般不同。 频 2.皮带传动 考 点 当皮带不打滑时,两轮边缘各点线速度大小相等。由于各 要 通 点半径不同,角速度、周期、向心加速度等都不相同。 关

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第3单元 圆周运动

必 备 在分析传动装置的物理量时,要抓住不等量和相等量 知 识 的关系,表现为: 要 打 (1)同一转轴的各点角速度ω相同,而线速度v=ωr与半 牢 高 频 考 点 要 通 关

3.在传动装置中各物理量的关系

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径r成正比,向心加速度大小a=rω2与半径r成正比。

(2)当皮带不打滑时,传动皮带、用皮带连接的两轮边 缘上各点的线速度大小相等,两皮带轮上各点的角速度、 v v2 向心加速度关系可根据ω= r 、a= r 确定。
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第3单元 圆周运动

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

学 机的上端有一半径r0=1.0 cm的摩擦小轮,小轮与自行车车轮的边 科 特 沿接触。当车轮转动时,因摩擦而带动小轮转动,从而为发电机 色 要 提供动力。自行车车轮的半径R1=35 cm,小齿轮的半径R2= 挖 4.0 cm,大齿轮的半径R3=10.0 cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小 掘

[例1]

如图4-3-4所示,一种向自行车车灯供电的小发电

轮的转速n2之比。(假定摩擦小轮与自行车车轮之间无相对滑动)

图 4- 3 - 4
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第3单元 圆周运动

必 备 知 识 要 打 牢 小齿轮之间的转速关系为:n车=n小。车轮与摩擦小轮之间的

学 大、小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同, 科 两轮边沿各点的线速度大小相等,由v=2πnr可知转速n和半径 特 色 r成反比;小齿轮和车轮同轴转动,两轮上各点的转速相同。 要 大齿轮与小齿轮转速之间的关系为:n1∶n小=R2∶R3。车轮与 挖 掘
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[尝试解题]

高 关系为:n车∶n2=r0∶R1。由以上各式可解出大齿轮和摩擦小 频 考 轮之间的转速之比为:n1∶n2=2∶175。 点 [答案] 2∶175 要 通 关

解答传动装置问题时,关键是分析传动过程的不变量。

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第3单元 圆周运动 竖直平面内的圆周运动问题 必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速
曲线运动,该类运动常见两种模型——轻绳模型和轻杆模 型,分析比较如下: 轻绳模型 轻杆模型

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常见类型 均是没有支撑的小球 过最高点的

均是有支撑的小球

由小球能运动即可得 v2 由 mg=m r 得 v 临= gr 临界条件 v临 = 0

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第3单元 圆周运动

轻绳模型
必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关
(1)过最高点时, v≥ gr,FN+mg= v2 m r ,绳、轨道对球 产生弹力 FN

轻杆模型

讨论 分析

(1)当 v=0 时,FN=mg,FN 为支 持力,沿半径背离圆心 (2)当 0<v< gr时,-FN+mg= v2 m r ,FN 背向圆心,随 v 的增大而 减小 (2)不能过最高点 v< (3)当 v= gr时,FN=0 gr ,在到达最高点 v2 (4)当 v> gr时,FN+mg=m r , 前小球已经脱离了圆

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轨道

FN 指向圆心并随 v 的增大而增大

在最 高点 的FN 图线 取竖直向下为正方向

取竖直向下为正方向

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第3单元 圆周运动

[例2]长L=0.5 m质量可忽略的细杆,其
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一端可绕O点在竖直平面内无摩擦地转动, 另一端固定着一个小球A。A的质量为m=2 kg,

如图4-3-5所示,求在下列两种情况下,球
在最高点时杆对小球的作用力: (1)A 在最低点的速率为 21 m/s; (2)A在最低点的速率为6 m/s。 [审题指导]

图 4- 3- 5

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(1)小球由最低点到最高点的过程中,机械能守恒。

(2)细杆对小球作用力的方向可竖直向上,也可竖直
向下。
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第3单元 圆周运动

[尝试解题]
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设小球在最高点速度为v,对小球A由最低点到最高点过 程,取圆周的最低点为参考平面,由机械能守恒定律得, 1 mv +mg· 2L= mv02① 2
2

1 2

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在最高点,假设细杆对A的弹力F向下,则A的受力图如 图所示。 以A为研究对象,由牛顿第二定律得 v2 mg+F=m L ② v2 所以F=m( L -g)③
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第3单元 圆周运动

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(1)当v0= 21 m/s时,由①式得v=1 m/s,④ 12 F=2×( -10) N=-16 N,⑤ 0.5 负值说明F的实际方向与假设向下的方向相反,即杆给A 向上16 N的支持力。

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(2)当v0=6 m/s时,由①式得v=4 m/s;⑥ 42 F=2×( -10) N=44 N。 0.5 正值说明杆对A施加的是向下44 N的拉力。

[答案] (1)16 N

方向向上

(2)44 N

方向向下
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第3单元 圆周运动

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求解竖直平面内圆周运动问题的思路
(1)定模型:首先判断是轻绳模型还是轻杆模型。

(2)确定临界点:v 临= gr,对轻绳模型来说是能否通过最高点的 临界点,而对轻杆模型来说是 FN 表现为支持力还是拉力的临界点。

(3)研究状态:通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和 最低点的运动情况。

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(4)受力分析:对物体在最高点或最低点时进行受力分析,根据牛 顿第二定律列出方程,F 合=F 向。
(5)过程分析:应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态 联系起来列方程。

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第3单元 圆周运动

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

圆周运动中的临界问题

[例3]如图4-3-6所示,细绳一端系
着质量M=0.6 kg的物体A,静止于水平面, 另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3 kg的 物体B,A的中点与圆孔距离为0.2 m,且A 和水平面间的最大静摩擦力为2 N,现使此 平面绕中心轴线转动,问角速度ω满足什么条件时,物 体B会处于静止状态?(g=10 m/s2)
图 4 - 3- 6

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第3单元 圆周运动

[审题指导]
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第一步:抓关键点
关键点 光滑小孔 最大静摩擦力为2 N 物体B处于静止状态 第二步:找突破口 物体A刚好不向里滑和刚好不向外滑,分别对应平面 转动的角速度的最小值和最大值。
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获取信息 细绳各处张力大小相等

物体A刚要滑动时的摩擦力大小
为2 N 细绳中拉力大小为mg=3 N

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[尝试解题]
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要使B静止,A应与水平面相对静止,考虑A能与水平面相

对静止的两个极限状态:
当ω为所求范围的最小值时,A有向圆心运动的趋势,水 平面对A的静摩擦力方向背离圆心,大小等于最大静摩擦力2

N,此时对A有:FT-Ffm=Mω12r,B静止时受力平衡,FT=
mg=3 N,解得ω1≈2.9 rad/s 当ω为所求范围的最大值时,A有远离圆心运动的趋势,

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水平面对A的摩擦力方向指向圆心,且大小也为2 N,此时对A
有:FT+Ffm=Mω22r 解得ω2≈6.5 rad/s 故ω的范围为:2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s [答案] 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
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处理临界问题的解题步骤 (1)判断临界状态:有些题目中有“刚好”“恰好”“正好” 等字眼,明显表明题述的过程存在着临界点;若题目中有 “取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过 程存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界状态;若 题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的 过程存在着极值,这个极值点也往往是临界状态。

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必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

(2)确定临界条件:判断题述的过程存在临界状态之
后,要通过分析弄清临界状态出现的条件,并以数学形 式表达出来。 (3)选择物理规律:当确定了物体运动的临界状态和 临界条件后,要分别对于不同的运动过程或现象,选择

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相对应的物理规律,然后再列方程求解。

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超链 接

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分析计算圆周运动问题时,常会遇到由重力和弹力 (可以是支持力,也可以是绳子的拉力)的合力提供向心

力,而在水平面上做匀速圆周运动的一类问题——圆锥
摆运动。因此,掌握圆锥摆运动特征可以快速解决这一 类圆周运动问题。
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下面为两个常用的圆锥摆运动规律:

1.圆锥摆的向心加速度α=gtan α 设摆球质量为m,摆线长为L,摆线与竖直方向夹角 为α,由图可知,F合=mgtan α 又F合=ma向, 故a向=gtan α 可见摆球的向心加速度完全由α
图 4- 3- 7

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决定,与摆线长无关,即与运动的半径无关。

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2.圆锥摆的周期T=2π
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h g

4π2 由F合=m 2 · Lsin α和F合=mgtan α可推理得圆锥摆的 T 周期T=2π Lcos α g

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设摆球圆周运动的平面到悬点的距离为h,则h=Lcos α, 故T=2π h g

由此可见,圆锥摆的周期完全由悬点到运动平面的距 离决定,与小球的质量、摆线长度无关。
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[典例]

如图 4-3-8 所示,一个内壁光

必 备 滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面,圆锥筒固定 知 有两个质量相同的小球 A 和 B 紧贴着内 识 不动, 要 打 壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运 牢 高 频 考 点 要 通 关

图 4- 3- 8

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动,则下列说法正确的是

(

)

A.球 A 的线速度必定大于球 B 的线速度 B.球 A 的角速度必定大于球 B 的角速度 C.球 A 的运动周期必定小于球 B 的运动周期 D.球 A 对筒壁的压力必定大于球 B 对筒壁的压力
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[解析]

科 2 v 特 4π R 2 上是具有相同的向心加速度,根据a= R =Rω = T2 可知, 色 要 加速度相同时,半径越大,线速度越大,角速度越小,周期 挖 掘
2

根据上述规律可知,此题中的A、B两小球实际 学

越大,即由RA>RB,可知vA>vB,ωA<ωB,TA>TB,则选项A

解 正确,B、C错误。由于A、B质量相同,在相同的倾斜面 题 训 上,则向心力相等,进一步可知两球所受的弹力相等,故可 练 要 知选项D错误。 高 效

[答案] A

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第3单元 圆周运动

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

学 [题后悟道] 比较两个圆周运动的各物理量之间关系 科 特 时,实际上就是找出两个圆周运动之间存在的隐含的相同 色 要 因素,然后用控制变量法即可判断各物理量的关系。而上 挖 述两类特殊规律正是反映了不同圆周运动之间的相同因素, 掘

是分析圆周运动问题经常遇到的类型,希望同学们能够掌 握。若例题中两小球质量不相等,则上述运动量仍然符合 规律,只是弹力和向心力发生变化而已,这是在分析问题

时要注意的一个细节问题。

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第3单元 圆周运动

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长度不同的两根细绳悬于同一点,另一 端各系一个质量相同的小球,使它们在同一 水平面内做圆锥摆运动,如图4-3-9所示,
图 4 - 3- 9

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则有关两个圆锥摆的物理量相同的是(
A.周期 C.向心力

)

B.线速度的大小 D.绳的拉力

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必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

解析:设 O 到小球所在水平面的距离为 h,对球进行受力 4π2 分析如图所示,得 F 向=F 合=mg· tan α=m T2 · h· tan α,解 得 T= 4π2h g ,故周期与 α 角无关,则选项 A 对,B、C

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mg 错。又知 F 拉=cos α,故绳的拉力不同,选项 D 错。

答案:A

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[随堂巩固落实]
1.在世界一级方程式锦标赛中,赛车在水平路面上转弯 时,常常在弯道上冲出跑道,其原因是 盘造成的 B.是由于赛车行驶到弯道时,没有及时加速造成的 C.是由于赛车行驶到弯道时,没有及时减速造成的 D.是由于在弯道处汽车受到的摩擦力比在直道上小造 成的
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(

)

A.是由于赛车行驶到弯道时,运动员未能及时转动方向

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必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

解析:赛车在水平弯道上行驶时,摩擦力提供向心力,而 且速度越大,需要的向心力越大,如不及时减速,当摩擦 力不足以提供向心力时,赛车就会做离心运动,冲出跑 道,故C正确。

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答案:C

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第3单元 圆周运动

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2.在光滑的水平桌面上,有两个小球固

定在一根长为L的杆的两端,绕杆上
的O点做圆周运动,如图4-3-10所
图4-3-10

示。当小球1的速度为v1时,小球2的速度为v2,则 转轴O到小球2的距离是
Lv1 A. ?v1+v2? L?v1+v2? C. v1 Lv2 B. ?v1+v2? L?v1+v2? D. v
2

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(

)

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必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

解析:设杆转动的角速度为ω,转轴O到小球2的距离 为r2, 则有:v1=ω(L-r2) v2=ωr2 Lv2 解得:r2= ,故B正确。 v1+v2

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答案:B

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第3单元 圆周运动

学 3 . (2012· 上海期末 ) 如图 4 - 3 - 11 所示,倾角 30 °的斜面 必 科 备 连接水平面,在水平面上安装半径为R的半圆竖直挡板, 特
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质量为m的小球从斜面上高为R/2处静止释放,到达水平 面恰能贴着挡板内侧运动。不计小球体积,不计摩擦和

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机械能损失。则小球沿挡板运动时对挡板的力是 (

)

图4-3-11
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A.0.5mg C.1.5mg

B.mg D.2mg

解析:质量m的小球从斜面上高为R/2处静止释放,由
机械能守恒定律可得,到达水平面时速度的二次方v2 =gR,小球在挡板弹力作用下做匀速圆周运动,F= mv2/R,由牛顿第三定律,小球沿挡板运动时对挡板的 力F′=F,联立解得F′=mg,选项B正确。

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答案:B

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第3单元 圆周运动

必 4.如图4-3-12所示,靠摩擦传动做匀速转动的大、小 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

学 科 两轮接触面互不打滑,大轮半径是小轮半径的2倍,A、 特 色 B分别为大、小轮边缘上的点,C为大轮上一条半径的中 要 挖 点,则 ( ) 掘

A.两轮转动的角速度相等 B.小轮转动的角速度是大轮的2倍 C.质点加速度aA=2aB D.质点加速度aB=2aC
图4-3-12

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第3单元 圆周运动

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解析:两轮不打滑,边缘质点线速度大小相等,vA= 1 vB,而 rA=2rB,故 ωA=2ωB,A 错误,B 正确;由 a v2 aA rB 1 aA rA 2 = r 得a =r =2,C 错误;由 a=ω r,得a =r =2, B A C C aB 则a =4,D 错误。 C

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答案:B

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第3单元 圆周运动

必 5.如图4-3-13所示,半径为R的光滑圆形轨道竖 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

直固定放置,小球m在圆形轨道内侧做圆周运 动,对于半径R不同的圆形轨道,小球m通过
图4-3-13

轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互作用
力。下列说法中正确的是

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(

)

A.半径R越大,小球通过轨道最高点时的速度越大 B.半径R越大,小球通过轨道最高点时的速度越小 C.半径R越大,小球通过轨道最低点时的角速度越大 D.半径R越大,小球通过轨道最低点时对轨道的压力越大

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解析:小球通过最高点时都恰好与轨道间没有相互作用 mv02 力,则在最高点 mg= R ,即 v0= gR,选项 A 正确 而 B 错误;由动能定理得,小球在最低点的速度为 v= v 5g 5gR,则最低点时的角速度 ω=R= R ,选项 C 错 v2 误;由 FN-mg=m R 得小球通过最低点时,对轨道的压 力大小为 6mg,与 R 无关,D 错误。

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答案:A

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第3单元 圆周运动

6.(2012· 福建高考)如图4-3-14,置
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于圆形水平转台边缘的小物块随转
台加速转动,当转速达到某一数值 时,物块恰好滑离转台开始做平抛
图4-3-14

运动。现测得转台半径R=0.5 m,离水平地面的高 度H=0.8 m,物块平抛落地过程水平位移的大小x=

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0.4 m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,
取重力加速度g=10 m/s2。求: (1)物块做平抛运动的初速度大小v0; (2)物块与转台间的动摩擦因数μ。
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第3单元 圆周运动

解析:(1)物块做平抛运动,在竖直方向上有
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1 2 H=2gt ① 在水平方向上有 x=v0t② g 由①②式解得 v0=x 2H=1 m/s③ (2)物块离开转台时,最大静摩擦力提供向心力,有

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v02 Ffm=m R ④ Ffm=μFN=μmg⑤ 由③④⑤式解得 μ=0.2 v02 μ=gR

答案:(1)1 m/s

(2)0.2
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第3单元 圆周运动

(给有能力的学生加餐)

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1.如图1所示,质量为m的小球在竖直平面

内的光滑圆环轨道上做圆周运动。圆环
半径为R,小球经过圆环最高点时刚好 不脱离圆环,则其通过最高点时( A.小球对圆环的压力大小等于 mg
B.小球受到的向心力等于 0 C.小球的线速度大小等于 0 D.小球的向心加速度大小等于 g
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)

图1

第3单元 圆周运动

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解析: 小球在最高点时刚好不脱离圆环, 则圆环刚好对小 球没有作用力, 小球只受重力, 重力竖直向下提供向心力, mg 根据牛顿第二定律得小球的向心加速度大小为 a= m = v2 g,再根据圆周运动规律得 a= R =g,解得 v= gR,故 只有 D 正确。

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答案:D

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第3单元 圆周运动

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2.一般的曲线运动可以分成很多小段, 每小段都可以看成圆周运动的一部 分,即把整条曲线用一系列不同半 径的小圆弧来代替。如图2甲所示, 曲线上A点的曲率圆定义为:通过
图2

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A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆,在极限情 况下,这个圆就叫做A点的曲率圆,其半径ρ叫做A点 的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以 速度v0抛出,如图乙所示。则在其轨迹最高点P处的

曲率半径是

(

)

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v02 A. g v02cos2α C. g

v02sin 2α B. g v02cos2α D. gsin α

解析:根据运动的分解,物体在最高点的速度等于水平分 速度, 即为 v0cos α, 在最高点看成是向心力为重力的圆周 ?v0cos α?2 ?v0cos α?2 运动的一部分,则 mg=m , ρ= ,C 项 ρ g 正确。

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答案:C
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第3单元 圆周运动

必 3.如图3所示,某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺 备 丝帽研究匀速圆周运动,将螺丝帽套在塑料管 知 识 上,手握塑料管使其保持竖直并沿水平方向做半 要 打 径为r的匀速圆周运动,则只要运动角速度大小 牢 高 频 考 点 要 通 关

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合适,螺丝帽恰好不下滑。假设螺丝帽与塑料管 间的动摩擦因数为μ,认为最大静摩擦 图3

力近似等于滑动摩擦力。则在该同学手转动塑料管使螺 丝帽恰好不下滑时,下述分析正确的是 ( )

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第3单元 圆周运动

A.螺丝帽受的重力与最大静摩擦力平衡
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B.螺丝帽受到杆的弹力方向水平向外,背离圆心 C.此时手转动塑料管的角速度ω= mg μr

D.若杆的转动加快,螺丝帽有可能相对杆发生运动
解析:由于螺丝帽做圆周运动过程中恰好不下滑,则竖直方向上 重力与最大静摩擦力平衡,杆对螺丝帽的弹力提供其做匀速圆周

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解 g 题 运动的向心力,有mg=Ff=μFN=μmω2r,得ω= ,选项 A 训 μr 练 正确,B、C错误;杆的转动速度增大时,杆对螺丝帽的弹力增 要 大,最大静摩擦力也增大,螺丝帽不可能相对杆发生运动,故选 高 效 项D错误。

答案:A
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第3单元 圆周运动

4.如图4所示,在倾角为α=30°的光滑斜面上,
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有一根长为L=0.8 m的细绳,一端固定在O点,
另一端系一质量为m=0.2 kg的小球,沿斜面做 圆周运动,若要小球能通过最高点A,则小球在 图4

最低点B的最小速度是

(

)

A.2 m/s C.2 5 m/s

B.2 10 m/s D.2 2 m/s

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解析:通过A点的最小速度为:vA= gL· sin α =2 m/s,则根 1 1 据机械能守恒定律得:2mvB2=2mvA2+2mgLsin α,解得 vB=2 5 m/s,即C选项正确。

答案:C
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第3单元 圆周运动

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5.如图 5 所示,长为 r 的细杆一端固定一个 质量为 m 的小球,使之绕另一端 O 在竖 直面内做圆周运动,小球运动到最高点 时的速度 v= gr/2,物体在这点时( A.小球对细杆的拉力是 mg/2
mg B.小球对杆的压力是 2 3 C.小球对杆的拉力是2mg D.小球对杆的压力是 mg
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)

图5

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第3单元 圆周运动

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解析:设在最高点,小球受杆的支持力 FN,方向向上, v2 1 则由牛顿第二定律得:mg-FN=m r ,得出 FN=2mg, 1 故杆对小球的支持力为 2mg,由牛顿第三定律知,小球 1 对杆的压力为2mg,B 正确。 答案:B

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第3单元 圆周运动

必 6.用一根细线一端系一小球(可视为质点), 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

另一端固定在一光滑锥顶上,如图6所示, 设小球在水平面内做匀速圆周运动的 角速度为ω,细线的张力为FT,则FT随
图6

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ω2变化的图象是图7中的

(

)

图7

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第3单元 圆周运动

必 备 知 识 要 打 牢 mω2Lsin 2θ,可见随ω由0开始增加,FT 高 频 考 点 要 通 关

解析:小球角速度ω较小,未离开锥面时,如图所示。设细

学 科 线的张力为FT,线的长度为L,锥面对小球的支持力为FN, 特 则有FTcos θ+FNsin θ=mg,FTsin θ-FNcos θ=mω2Lsin θ, 色 要 挖 可得出:FT=mgcos θ+ 掘
解 题 训 角速度增大到小球飘离锥面时,FT· sin α= 练 2 2 2 mω Lsin α,得FT=mω L,可见FT随ω 的增大仍线性增大, 要 高 但图线斜率增大了,综上所述,只有C正确。 效

由mgcos θ开始随ω2的增大线性增大,当

答案:C
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第3单元 圆周运动

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7.小明站在水平地面上,手握不可 伸长的轻绳一端,绳的另一端系有质量 为m的小球,甩动手腕,使球在竖直平 面内做圆周运动。当球某次运动到最低 点时,绳突然断掉,球飞行水
图8

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平距离d后落地,如图8所示。已知握绳的手离地面高度 3 为d,手与球之间的绳长为 4 d,重力加速度为g,忽略手 的运动半径和空气阻力。

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第3单元 圆周运动

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(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2。

(2)问绳能承受的最大拉力多大?
(3)改变绳长,使球重复上述运动,若绳仍在球运动到 最低点时断掉,要使球抛出的水平距离最大,绳长应为 多少?最大水平距离为多少?
解析:(1)设绳断后球飞行时间为 t,由平抛运动规律, 1 1 2 有竖直方向4d=2gt ,水平方向 d=v1t

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第3单元 圆周运动

得 v1= 2gd
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由机械能守恒定律,有 1 1 3 2 2 2mv2 =2mv1 +mg(d-4d) 得 v2= 5 2gd

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(2)设绳能承受的最大拉力大小为 FT, 这也是球受到绳的最大拉 力大小。 3 球做圆周运动的半径为 R=4d mv12 11 由圆周运动向心力公式,有 FT-mg= R 得 FT= 3 mg。
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必 备 知 识 要 打 牢

(3)设绳长为l,绳断时球的速度大小为v3,绳承受的最大拉力不 v32 变,有FT-mg=m l 得v3= 8 3gl

绳断后球做平抛运动,竖直位移为d-l,水平位移为x,时间为t1, 1 2 有d-l=2gt1 x=v3t1 l?d-l?

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高 得x=4 3 频 考 d 2 3 点 当l=2时,x有极大值xmax= 3 d。 要 5 11 答案 : (1) 2 gd gd (2) 通 2 3 mg 关 d 2 3 (3)绳长为2时,最大水平距离为 3 d

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第4单元 万有引力与航天

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[想一想]

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(1)开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运动,

也适用于卫星绕地球运动,若一颗卫星绕地球做椭圆轨道运
动,则它在近地点和远地点的速度大小关系如何? (2)请根据万有引力定律和牛顿第二定律分析地球表面上 不同质量的物体的重力加速度大小关系。
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第4单元 万有引力与航天

必 备 知 提示:(1)由于卫星与地球的连线在单位时间内扫过的 识 要 打 面积相等,故卫星在近地点的速度大于在远地点的速度。 牢 高 频 考 点 要 通 关

学 科 特 色 要 挖 掘 解 题 训 练 要 高 效
目 录

GMm GM (2)由 R2 =mg可知,g= R2 可见,物体的重力加速度大小与物体的质量大小无关。

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第4单元 万有引力与航天

[记一记]
必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

1.开普勒行星运动定律
(1)开普勒第一定律:所有行星绕太阳运动的轨道都 是 椭圆 ,太阳处在椭圆的一个 焦点 上。

(2)开普勒第二定律: 对任意一个行星来说, 它与太阳 的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

学 科 特 色 要 挖 掘 解 题 训 练 要 高 效
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(3)开普勒第三定律: 所有行星的轨道的 半长轴 的三 次方跟它的公转周期 的二次方的比值都相等,表达式:
a3 T2=k


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第4单元 万有引力与航天

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

2.万有引力定律 学 m1m2 科 -11N· 2/kg2 G 2 6.67 × 10 m r , (1)公式: F= 其中 G=___________________, 特
叫引力常量。

(2)公式适用条件:此公式适用于 质点 间的相互作 用。当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时,物体 可视为质点。均匀的球体可视为质点,r 是 两球心 间的 距离。一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适 用,其中 r 为球心到 质点 间的距离。

色 要 挖 掘 解 题 训 练 要 高 效
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第4单元 万有引力与航天

[试一试]
必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

1.一名宇航员来到一个星球上,如果该星球的质量是
地球质量的一半,它的直径也是地球直径的一半, 那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是 它在地球上所受万有引力的 A.0.25倍 C.2.0倍 ( B.0.5倍 )

学 科 特 色 要 挖 掘 解 题 训 练 要 高 效
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D.4.0倍 1 GM0m GMm 2 2GM0m 解析:F引= 2 = = =2F地,故C项 2 r 1 2 r0 ? r0 ? 2 正确。 答案:C
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第4单元 万有引力与航天

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

它们的运行轨道也不相同,请思考以下问题:

学 科 特 超链 色 接 [想一想] 要 在地球周围飞行着许多人造地球卫星,由于用途不同, 挖 掘

题 训 同点。 练 (2)各圆形轨道卫星的飞行速度是不同的,卫星离地面 要 高 越近,其飞行速度越大还是越小,它们的最大速度是多少? 效
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(1)若各卫星的轨道均为圆形轨道,这些轨道有什么共 解

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第4单元 万有引力与航天

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

提示:(1)各圆形轨道的圆心均为地球的球心。

(2)离地面越近的卫星,飞行速度越大,卫星沿圆形轨
道运行的最大速度为7.9 km/s,也就是第一宇宙速度。

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第4单元 万有引力与航天

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

[记一记]

1.地球同步卫星的特点 (1)轨道平面一定:轨道平面和 赤道 平面重合。 (2)周期一定:与地球 自转 周期相同,即T=24h=

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86 400 s。
(3)角速度一定:与地球自转的角速度相同。

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第4单元 万有引力与航天

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

3 GMT2 Mm 4π2 (4)高度一定:据G r2 =m T2 r得r= 4π2 =4.24× 104 km,卫星离地面高度h=r-R≈6R(为恒量)。

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(5)速率一定:运动速度v=2πr/T=3.07 km/s(为恒量)。
(6)绕行方向一定:与地球自转的方向 一致 。

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必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

2.极地卫星和近地卫星

(1)极地卫星运行时每圈都经过 南北两极 ,由于
地球自转,极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆 周运动的卫星,其运行的轨道半径可近似认为等于 地球的半径 ,其运行线速度约为 7.9 km/s。

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(3)两种卫星的轨道平面一定通过 地球的球心 。

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第4单元 万有引力与航天

3.三种宇宙速度比较
必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

宇宙 数值(km/s) 速度 第一 宇宙 速度 第二 宇宙 速度 第三 宇宙 速度 7.9 ___

意义 这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射 速度,若7.9 km/s≤v<11.2 km/s,物 体 地球 绕 运行(环绕速度) 这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射 太阳 11.2 km/s≤v<16.7 km/s,物 速度,若 体绕 运行(脱离速度) 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射 宇宙空间 速度,若v≥ 16.7 km/s,物体将脱离太阳 引力束缚在 运行(逃逸速度)
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11.2 ____ 16.7 _____

第4单元 万有引力与航天

[试一试]
必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

2.由于通讯和广播等方面的需要,许多国家发射了地 球同步轨道卫星,这些卫星的 ( )

A.质量可以不同

B.轨道半径可以不同

C.轨道平面可以不同 D.速率可以不同 解析:同步卫星轨道只能在赤道平面内,高度一定, 轨道半径一定,速率一定,但质量可以不同,A项 正确。

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答案:A

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第4单元 万有引力与航天

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

1.一种模型

超链 接

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无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇

宙飞船、人造卫星)都可以看做质点,围绕中心天体(视
为静止)做匀速圆周运动。 2.两条思路
Mm (1)万有引力提供向心力即 G r2 =ma。
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第4单元 万有引力与航天

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

学 (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力,即 科 特 GMm 色 2 = mg 或 gR = GM ( R 、 g 分别是天体的半径、表面重力 2 R 要 挖 2 加速度),公式gR =GM,应用广泛,称“黄金代换”。 掘

3.三个物体 求解卫星运行问题时,一定要认清三个物体(赤道上 的物体、近地卫星、同步卫星)之间的关系。

解 题 训 练 要 高 效
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第4单元 万有引力与航天

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

赤道表面的 比较内容

物体

近地卫星

同步卫星

向心力来源 万有引力的分力 向心力方向 重力与万有 引力的关系 线速度 重力略小于 万有引力 v1 = ω 1 R
v2=

万有引力 指向地心 重力等于万有引力
GM R

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v3=ω3(R+h)= GM R+ h

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第4单元 万有引力与航天

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

比较内容 线速度

赤道表面 的物体

近地卫星

同步卫星

v1<v3<v2(v2为第一宇宙速度) ω1= ω自
ω2= GM ω3=ω 自= R3

角速度

GM ?R+h?3

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ω1=ω3<ω2
a2=ω22R GM = R2
a3=ω32(R+h) GM = ?R+h?2

向心加 速度

a1=ω12R

a1<a3<a2
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第4单元 万有引力与航天

4.四个关系
必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

“四个关系”是指人造卫星的加速度、线速度、角速 度、周期与轨道半径的关系。
GM 1 ? ? ?ma―→a= r2 ―→a∝r2 ? ? 2 ? GM 1 ? v ? m ―→ v = ―→ v ∝ ? r r GMm ? r ? ?越高越慢 r2 = ? 2 GM 1 ? mω r―→ω= 3 ―→ω∝ 3 r r ? ? ? 4π2 ? 4π2r3 3 ?m 2 r―→T= ? ―→ T ∝ r GM ? T ?

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第4单元 万有引力与航天

[例1]

(2012· 浙江高考)如图4-4-1所示,在火星与木
科 特 色 要 挖 掘 解 题 训 练 要 高 效
目 录

必 备 的引力,并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是 知 ( ) 识 要 打 图 4- 4- 1 牢 高 频 考 点 要 通 关

星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳 学

A.太阳对各小行星的引力相同 B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行 星的向心加速度值 D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球 公转的线速度值
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第4单元 万有引力与航天

[尝试解题]
必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

因各小行星到太阳中心的距离不同,皆大于地球到太 v2 Mm 2π 2 阳中心的距离,根据万有引力公式 G r2 =m r =m( T ) r =ma,知太阳对各小行星的引力不相同,各小行星绕太阳 GM 运动的周期均大于一年,则选项 A、B 错误,由 a= r2 和 GM v = r ,r 越小,a 越大,r 越大,v 越小,则选项 C 正
2

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确,D 错误。 [答案] C
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第4单元 万有引力与航天

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

学 科 特 (1)不同轨道上运行的卫星的加速度、线速度、角速度、 色 要 周期可以比较大小,但不同轨道上卫星的质量及所受的万 挖 掘

有引力大小无法比较。

(2)要熟记经常用到的常数,如地球自转一周为一天, 绕太阳公转一周为一年,月球绕地球公转一周为一月(27.3 天)等。

解 题 训 练 要 高 效
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第4单元 万有引力与航天 天体质量和密度的估算 必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 Mm gR2 由于G R2 =mg,故天体质量M= G ,天体密度

M M 3g ρ= V =4 =4πGR。 3 π R 3 解 (2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道 题
半径r。
训 练 Mm 4π2 ①由万有引力等于向心力,即G r2 =m T2 r,得出中心 要 高 效 4π2r3
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天体质量M= GT2 ;

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第4单元 万有引力与航天

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

M ②若已知天体的半径R,则天体的平均密度ρ= V = M 4 πR 3 3πr3 = 2 3; GT R 3

③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可 3π 认为其轨道半径r等于天体半径R,则天体密度ρ= , GT2 可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估 测出中心天体的密度。

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第4单元 万有引力与航天

[例2]
必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

(2012· 福建高考)一卫星绕某一行星表面附

近做匀速圆周运动,其线速度大小为v。假设宇航员 在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体

重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为N。已知引
力常量为G,则这颗行星的质量为
mv A. GN
2

(
4

)

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mv B. GN

Nv2 C. Gm

Nv4 D. Gm

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第4单元 万有引力与航天

[审题指导]
必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

(1)明确行星表面附近的绕行卫星的轨道半径与行星半 径的大小关系。

(2)弹簧测力计的示数、物体的重力与其所受万有引力
的大小关系。 [尝试解题]

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N 由题意知行星表面的重力加速度为 g=m,又在行星表面 v2 GM 有 g= R2 ,卫星在行星表面运行时有 m′g=m′ R ,联立解 mv4 得 M= GN ,故选项 B 正确。

[答案] B
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第4单元 万有引力与航天

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

估算天体质量和密度时应注意的问题

(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天 体质量时,估算的只是中心天体的质量而非环绕天体的 质量。
(2)区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r,只有在天体表 4 3 面附近的卫星,才有 r≈R;计算天体密度时, V= 3πR 中的“R”只能是中心天体的半径。

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第4单元 万有引力与航天 卫星的变轨问题 必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

1.圆轨道上的稳定运行 v2 Mm 2π 2 2 G r2 =m r =mrω =mr( T ) 2.变轨运行分析
v2 (1)当 v 增大时, 所需向心力 m r 增大, 即万有引力不

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足以提供向心力, 卫星将做离心运动, 脱离原来的圆轨道, 轨道半径变大,但卫星一旦进入新的轨道运行,由 v= GM 但重力势能、 机械能均增加。 r 知其运行速度要减小,
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第4单元 万有引力与航天

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

mv2 (2)当卫星的速度突然减小时,向心力 r 减小,即 万有引力大于卫星所需的向心力,因此卫星将做向心运 动,同样会脱离原来的圆轨道,轨道半径变小,进入新 轨道运行时由 v= 能、机械能均减少。 GM 但重力势 r 知运行速度将增大,

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第4单元 万有引力与航天

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

[例3]

2012年6月16日18时37分,执行我国首次载人交 学
科 特 色 要 挖 掘

会对接任务的“神舟九号”载人飞船发射升空,在距地面343

公里的近圆轨道上,与等待已久的“天宫一号”实现多次交
会对接、分离,于6月29日10时许成功返回地面,下列关于 “神舟九号”与“天宫一号”的说法正确的是 ( )

解 A.若知道“天宫一号”的绕行周期,再利用引力常量, 题 训 就可算出地球的质量 练 要 B.在对接前,“神舟九号”轨道应稍高于“天宫一号” 高 效

的轨道,然后让“神舟九号”减速后与“天宫一号”对接

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第4单元 万有引力与航天

必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

C.在对接前,应让“神舟九号”和“天宫一号”在同一轨 道上绕地球做圆周运动,然后让“神舟九号”加速追上“天宫 一号”并与之对接 D.“神舟九号”返回地面时应在绕行轨道上先减速

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[审题指导]
(1)航天器在圆形轨道上运行时,地球对航天器的万有 引力恰好提供向心力。 (2)航天器要实现变轨,应增大或减小其运行速率。

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[尝试解题]
必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

GMm 4π2 科 由 要计算出地球的质量, 2=m 2 (R+h)可知, T ?R+h? 特 除 G、h、T 已知外,还必须知道地球的半径 R,故 A 错 误;在对接前,“神舟九号”的轨道应稍低于“天宫一 号”的轨道,“神舟九号”加速后做离心运动,才能到 达较高轨道与“天宫一号”实现对接,不采取高轨道减 速对接,故 B、C 均错误;“神舟九号”返回地面时, 应在圆形轨道上先减速,才能做近心运动,D 正确。
色 要 挖 掘 解 题 训 练 要 高 效
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[答案] D
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必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

(1)卫星变轨时半径的变化,根据万有引力和所需 向心力的大小关系判断;稳定在新轨道上的运行速度 变化由 v= GM r 判断。

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(2)卫星绕过不同轨道上的同一点 (切点)时,其加 GMm 速度大小关系可用 F= r2 =ma 比较得出。

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第4单元 万有引力与航天

万有引力定律与其他知识的综合应用 必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

[例4]我国探月的“嫦娥”工程已启动,

在不久的将来,我国宇航员将登上月球。
假设探月宇航员站在月球表面一斜坡上的 M点,并沿水平方向以初速度v0抛出一个
图 4- 4 - 2

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小球,测得小球经时间t落到斜坡上另一点N,斜面的倾 角为θ,如图4-4-2所示。将月球视为密度均匀、半径 为r的球体,引力恒量为G,则月球的密度为( )

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第4单元 万有引力与航天

3v0tan θ A. 4πGrt
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3v0tan θ B. πGrt v0tan θ D. πGrt

3v0tan θ C. 2πGrt

[审题指导] 第一步:抓关键点

关键点
从M点平抛落到N点 宇航员在月球表面 平抛小球

获取信息
小球平抛的竖直位移 y 与水平位 y 移 x 间满足 tan θ=x

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小球运动的加速度为月球表面的 重力加速度
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必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

第二步:找突破口
y 要求月球的密度―→应用关系式 tan θ=x,求出月 球表面的重力加速度―→应用物体的重力等于月球对物 M 体的万有引力―→月球质量―→由 ρ= V 得出月球密度。

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必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

[尝试解题]
gt2 根据平抛运动规律有 MN sin θ= , MN cos θ=v0t, 2 2v0tan θ 两式相比得月球表面的重力加速度g= ,月球对表 t GMm 面物体的万有引力等于物体的重力,有 =mg,月球 r2 3v0tan θ M 的密度ρ= 3,解以上三式得ρ= ,故C正确。 4πr 2πGrt 3 [答案] C
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必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

天 体 表 面 的 重 力 加 速 度 一 方 面 与 天 体 有 关 (g = M GR2),另一方面又可以从相关运动 (平抛运动、自由落 体运动、 竖直上抛运动等)中求出, 重力加速度是运动学 和万有引力、天体运动联系的纽带。

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学 科 特 色 要 挖 掘
超链 接

[模型概述] 在天体运动中,将两颗彼此相距较近且在相互之

间万有引力作用下,绕两者连线上的某点做周期相同
的匀速圆周运动的行星称为双星。
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必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

(1)两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们 之间的万有引力提供的, 故两行星做匀速圆周运动的向心 力大小相等。

(2)两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动, 因此它们的运行周期和角速度是相等的。
(3)两颗行星做匀速圆周运动的半径 r1 和 r2 与两行星 间距 L 的大小关系:r1+r2=L。

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[ 典例 ]
必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

(2012· 重庆高考 ) 冥王星与其附近的另一星体

卡戎可视为双星系统,质量比约为 7∶1,同时绕它们连线 上某点 O 做匀速圆周运动。由此可知,冥王星绕 O 点运动 的
1 A.轨道半径约为卡戎的7 1 B.角速度大小约为卡戎的7 C.线速度大小约为卡戎的 7 倍 D.向心力大小约为卡戎的 7 倍

(

)

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[解析]
必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

两星绕连线上某点稳定转动, 则转动周期和角

速度相同,根据两星做圆周运动所需的向心力由万有引力 Gm1m2 提供,两星受到的万有引力为相互作用力,有 L2 = 4π2m1R1 Gm1m2 4π2m2R2 R1 m2 1 T2 , L2 = T2 ,解之得R2=m1=7,A 选项正

学 科 特 色 要 挖 掘

v1 R1 1 解 确,B 选项错误;线速度 v=ωR,v =R =7,C 选项错误; 题 2 2 因两星向心力均由大小相等的相互作用的万有引力提供, D 选项错误。

[答案] A

训 练 要 高 效

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必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

学 科 特 [题后悟道] 色 要 我们通常研究卫星绕地球或行星绕太阳运行问题时, 挖 掘

卫星到地球中心或行星到太阳中心间距与它们的轨道半 径大小是相等的,但在宇宙双星问题中,行星间距与轨 道半径是不同的,这点要引起重视。
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必 备 知 识 要 打 牢

银河系的恒星中大约四分之一是双星,某双星由质量不 等的星体S1和S2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕

学 科 特 色 要 挖 掘

两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其 解 高
频 考 点 要 通 关

运动周期为T,S1到C点的距离为r1,S1和S2的距离为r,已
知引力常量为G。由此可求出S2的质量为 ( )

题 训 练 要 高 效

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必 备 知 识 要 打 牢 高 频 考 点 要 通 关

4π r ?r-r1? A. GT2 4π2r2 C. GT2

2 2

4πr1 B. GT2

2

4π2r2r1 D. GT2

解析:取 S1 为研究对象,S1 做匀速圆周运动,由牛顿第 m1m2 2π 2 4π2r2r1 二定律得:G r2 =m1( T ) r1,得:m2= GT2 ,所以选 项 D 正确。

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答案:D

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[随堂巩固落实]
1.(2012· 山东高考)2011年11月3日,“神舟八号”飞船与 “天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。任 务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道,等待与 “神舟九号”交会对接。变轨前和变轨完成后“天宫一 号”的运行轨道均可视为圆轨道,对应的轨道半径分别 v1 为R1、R2,线速度大小分别为v1、v2。则v 等于( 2 )

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第4单元 万有引力与航天

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A. R22 C.R 2 1

R13 R23

B. R2 D.R 1

R2 R1

解析: “天宫一号”做匀速圆周运动, 万有引力提供向心 v2 Mm 力, 由 G R2 =m R 可得 v= 选项 B 正确。 v1 GM 则变轨前后v = R , 2

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R2 解 , R1 题
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答案:B

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2.(2012· 广东高考改编)如图4-4-3所示, 飞船从轨道1变轨至轨道2。若飞船在两 轨道上都做匀速圆周运动,不考虑质 量变化,相对于在轨道1上,飞船在轨
图 4- 4- 3

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道2上的
A.动能大 C.运行周期长

(
B.向心加速度大 D.角速度大

)

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2 v2 Mm 4π 解析:因为 G r2 =m r =ma=mrω2=mr T2 ,解得 v=

GM M r ,a=G r2 ,T=2 π

r3 GM,ω=

GM r3 ,因为 r

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增大,所以动能减小,加速度减小,运行周期变长,角 速度减小,即只有 C 正确。

答案:C

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3.一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得,其运
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行周期为 T,速度为 v。引力常量为 G,则下列说 法错误的是
v3T A.恒星的质量为2πG 4π2v3 B.行星的质量为 GT2 vT C.行星运动的轨道半径为 2π 2πv D.行星运动的加速度为 T
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(

)

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vT 2πr 解析:因 v= T ,所以 r= 2π ,C 正确;结合万有引力 v2 v3T GMm 定律公式 r2 =m r , 可解得恒星的质量 M=2πG, A正 确;因不知行星和恒星之间的万有引力的大小,所以行
2 4π 星的质量无法计算,B 错误;行星的加速度 a=ω2r= T2

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vT 2πv × 2π = T ,D 正确。

答案:B

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4.(2013· 唐山模拟)宇宙中,两颗靠得
比较近的恒星,只受到彼此之间的
图 4- 4- 4

万有引力作用互相绕转,称之为双星系统。在浩瀚 的银河系中,多数恒星都是双星系统。设某双星系 统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动,如图4-

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4-4所示。若AO>OB,则
A.星球A的质量一定大于B的质量 B.星球A的线速度一定大于B的线速度

(

)

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C.双星间距离一定,双星的质量越大,其转动周期越 大 D.双星的质量一定,双星之间的距离越大,其转动周期越小
解析:设双星质量分别为 mA、mB,轨道半径为 RA、RB,两者

间距为 L,周期为 T,角速度为 ω,由万有引力定律可知: GmAmB GmAmB 2 2 = m ①, = m ②, RA + RB = L 2 2 A ω RA B ω RB L L 解 mA RB 题 ③,由①②式可得m =R ,而 AO>OB,故 A 错误。vA=ωRA, 训 B A vB=ωRB,B 正确。联立①②③得 G(mA+mB)=ω2L3,又因为 2π T= ω ,可知 D 错误。
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答案:B
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5.(2012· 深圳调研)在地球的圆形同步轨道上有某一卫星正
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在运行,则下列说法正确的是 A.卫星的重力小于在地球表面时受到的重力

(

)

B.卫星处于完全失重状态,所受重力为零
C.卫星在某时刻处于北京市的正上方 D.卫星相对地面静止,处于平衡状态

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解析:选A

在地球的圆形同步轨道上正在运行的卫星,卫星 解 题 的重力小于在地球表面时受到的重力,卫星处于完全失重状
态,所受重力不为零,选项A正确B错误;同步卫星的轨道只

能在赤道正上方,不可能处于北京市正上方,故选项C错误;
卫星相对地面静止,处于匀速圆周运动状态,选项D错误。 答案:A
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6.航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的
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维修任务后,在A点从圆形轨道Ⅰ进 入椭圆轨道Ⅱ,B为轨道Ⅱ上的一点, 如图4-4-5所示。关于航天飞机的 运动,下列说法中错误的有 ( )
图 4- 4- 5

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A.在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B.在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能 C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期

D.在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的
加速度

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解析:航天飞机在轨道Ⅱ上从远地点 A 向近地点 B 运动的 过程中万有引力做正功,所以在 A 点的速度小于在 B 点的 速度,选项 A 正确;航天飞机在 A 点减速后才能做向心运 动,从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ,所以轨道Ⅱ上经过 A 点的动能小于在轨道Ⅰ上经过 A 点的动能,选项 B 正确; a3 根据开普勒第三定律T2=k,因为轨道Ⅱ的长半轴小于轨道 Ⅰ的半径,所以航天飞机在轨道Ⅱ的运动周期小于在轨道

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Ⅰ的运动周期,选项 C 正确;根据牛顿第二定律 F=ma, 因航天飞机在轨道Ⅱ和轨道Ⅰ上 A 点的万有引力相等,所 以在轨道Ⅱ上经过 A 点的加速度等于在轨道Ⅰ上经过 A 点 的加速度,选项 D 错误。
答案:D

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(给有能力的学生加餐)

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1.对于同步卫星,下列说法中正确的是 ( ) A.它们的运行速度大小相等,且都小于7.9 km/s B.它们运行周期可能不同 C.它们离地心的距离可能不同 D.它们的向心加速度与静止在赤道上的物体的向心加速度 大小相等 解析:同步卫星的运行周期、角速度与地球自转周期、角速 度相同,因此同步卫星高度固定,线速度固定且小于第一宇 宙速度7.9 km/s,因此选项A正确,选项B、C错误;同步卫星 与赤道上物体比较,周期、角速度相同,半径不同,因此向 心加速度不同,选项D错误。 答案:A
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2.(2011· 辽宁抚顺)据报道,我国自主研制 的“嫦娥二号”卫星在奔月的旅途中,先 后完成了一系列高难度的技术动作,在 其环月飞行的高度距离月球表面100 km 图1 时开始全面工作。国际上还没有分辨率优于10米的 全月球立体图像,而“嫦娥二号”立体相机具有的这 种高精度拍摄能力,有助于人们对月球表面了解得 更清楚,所探测到的有关月球的数据比环月飞行高 度约为200 km的“嫦娥一号”更加翔实。若两颗卫星 环月运行均可视为匀速圆周运动,运行轨道如图1所 示,则 ( )
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A.“嫦娥二号”环月运行的周期比“嫦娥一号”更长
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B.“嫦娥二号”环月运行的速度比“嫦娥一号”更大 C.“嫦娥二号”环月运行时向心加速度比“嫦娥一号”更小

D.“嫦娥二号”环月运行时角速度比“嫦娥一号”更小

解析:设“嫦娥二号”和“嫦娥一号”的运动半径分别 v2 Mm 为 r1 和 r2, 万有引力提供向心力, 由 G r2 =ma=m r = v1 4π2 T1 r13 mr T2 可得周期之比T = r 3, A 项错; 线速度之比v = 2 2 2 r2 a1 r22 r1,B 项正确;向心加速度之比a2=r12,C 项错误; ω 1 T2 角速度之比ω =T ,D 项错。 2 1 答案:B
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3.宇宙中有这样一种三星系统,系统由两个质量为m的小星体和 一个质量为M的大星体组成,两个小星体围绕大星体在同一圆 形轨道上运行,轨道半径为r。关于该三星系统的说法中正确 的是 ( )

学 科 特 色 要 A.在稳定运行情况下,大星体提供两个小星体做圆周运动的向 挖 掘 心力

B.在稳定运行情况下,大星体应在小星体轨道中心,两小星体 解 在大星体相对的两侧 4πr C.小星体运行的周期为T= G?4M+m? D.大星体运行的周期为T= 4πr G?4M+m?
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3 2 3 2

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解析:三星系统稳定运行时,两个小星体应在大星体的两 侧,且在同一直径上,小星体的向心力是由大星体的万有 引力和另一小星体的万有引力共同提供的,A 错误,B 正
3 2

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GMm Gmm 4π2 4πr 确;由 r2 + =m T2 · r,可得出:T= , 解 ?2r?2 G?4M+m? 题 故 C 正确;大星体为中心天体,D 错误。
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答案:B

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4.木星是太阳系中最大的行星,它有众多卫星。观察
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测出:木星绕太阳做圆周运动的半径为r1、周期为T1; 木星的某一卫星绕木星做圆周运动的半径为r2、周期 为T2。已知引力常量为G,则根据题中给定条件
A.能求出木星的质量 B.能求出木星与卫星间的万有引力 C.能求出木星表面的重力加速度 r13 r23 D.可以断定T 2=T 2 1 2
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(

)

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解析:木星绕太阳做匀速圆周运动所需向心力由万有引力 M太阳m木 4π2 提供:G r 2 =m 木 T 2 r1;卫星绕木星做匀速圆周运动所 1 1 m木m 4π2 需向心力由万有引力提供: G r 2 = m T 2 r2 , 由此式可求得 2 2 GM木m 木星的质量,所以 A 正确。由 2 =mg 木可知,因不知 R木 木星的半径,无法求出木星表面的重力加速度,C 错误。 由于不知道卫星的质量,不能求得木星与卫星间的万有引 r13 GM太阳 r23 Gm木 力,故 B 不正确。又T 2= 4π2 ≠T 2= 4π2 , 1 2 故 D 不正确。

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答案:A
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