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山东省2014届理科数学一轮复习试题选编:函数的单调性与最值(值域)(教师版)


山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编 3:函数的单调性与最值(值域)
一、选择题 1 . 对 于 任 意 两 个 实 数

?a a 、 b , 定 义 运 算 “*” 如 下 : a * b ? ? ?b

a?b a?b

, 则 函 数

f ( x) ? x 2 * [(6

? x) * (2 x ? 15)] 的最大值为
A.25
【答案】

( D.4



B.16 答案:C

C.9

2 .(2012 年高考(广东理))(函数)下列函数中,在区间 ? 0, ?? ? 上为增函数的是





A. y ? ln ? x ? 2 ?
【答案】解析:

B. y ? ? x ? 1

?1? C. y ? ? ? ?2?

x

D. y ? x ?

1 x

[]





A. y ? ln ? x ? 2 ? 在 ? ?2, ?? ? 上是增函数.

1 ? x 2012 3 .(浙江省温州中学 2011 学年第一学期期末考试高三数学试卷(文科)2012.1)函数 f (x) = 的值 1 ? x 2012
域是 A.[-1,1]
【答案】

( B.(-1,1] B. C.[-1,1) D.(-1,1)
3



4 .(山东省济钢高中 2012 届高三 5 月高考冲刺数学(理)试题)设 f (x) ? x ? x, x ? R ,当 0 ? ?

?


?
2

时, f (m sin? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 A.(0,1)
【答案】D

( D. (??,1)

B. (??,0)

C. (??, )

1 2

【分析】函数 f ( x) 是奇函数且是单调递增的函数,根据这个函数的性质把不等式转化成一个具体的不 等式.根据这个不等式恒成立, 【 解 析 】 根 据 函 数 的 性 质 , 不 等 式 f (m sin? ) ? f (1 ? m) ? 0 , 即 f (m sin ? ) ? f (m ? 1) , 即

m ?1 m ?1 ? ?? 恒成立,只要 0 ? 即可,解得 m sin ? ? m ?1 在 ?0, ? 上恒成立.当 m ? 0 时,即 sin ? ? m m ? 2?

0 ? m ? 1 ;当 m ? 0 时,不等式恒成立;当 m ? 0 时,只要 sin? ?

这个不等式恒成立,此时 m ? 0 .综上可知: m ? 1 . 【考点】基本初等函数Ⅰ. 【点评】本题考查函数性质和不等式的综合运用,这里函数性质是隐含在函数解析式中的,其目的是考

m ?1 m ?1 ,只要 1 ? ,只要 0 ? ?1 , m m

查考生是否有灵活使用函数性质简捷地解决问题的思想意识.在不等式的恒成立问题中要善于使用分 类参数的方法解决问题,本题的解析是分类了函数,把参数放到一个表达式中,也可以直接使用分离参 数 的 方 法 求 解 , 即 m sin ? ? m ? 1 可 以 化 为 (1? s i? m ? ,1 ? ? 当 n ) 时, m ?

?
2

时 , m?R ; 当 ? ?

?
2

1 ? f (? ) ,只要 m ? f (? )min 即可,即只要 m ? 1 即可.综合两种情况得到 m ? 1 . 1 ? sin ?
?1, x ? M (M 是 ?0, x ? M
的值

5 . (2012 年广东省佛山二模试题)已知函数 f M ? x ? 的定义域为实数集 R ,满足 f M ? x ? ? ?

R 的非空真子集),在 R 上有两个非空真子集 A, B ,且 A ? B ? ? ,则 F ? x ? ?
域为 A. ? 0, ? 3
【答案】

f A ? x? ? fB ? x? ?1


f A? B ? x ? ? 1



? ?

2? ?

B. ?1? B.

C. ? , ,1?

?1 2 ? ?2 3 ?

D. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

6 . (2012 年广西北海市高中毕业班第一次质量检测数学(理)试题及答案)函数 y ?| x | 的定义域为 A ,值域

为 B ,若 A ? {?1,0,1} ,则 A ? B 为 A. {0}
【答案】 7 . (2012

( C. {0,1} D. {?1,0,1}



B. {1} C. 年 重 庆 一 中 高

2012



高 三 下 期

2

月 月 考

( 文 )) 函 数 ( )

? g ( x) ? x ? 3, h( x) ? g ( x) h( x) ? x, g ( x) ? x 2 ? 2, ( x ? R) , f ( x) ? ? ,则 f (x) 的值域为 2 ? h( x ) ? x , h( x ) ? g ( x )
A. ?? 2, ? ? ? ,?? ? 4 4

? ?

1? ?

?3 ?

? ? ? ? 1? ?

B. ? ,?? ?

?3 ?4

? ?

C



?? 2,?? ?

D. ?? 2, ? ? ?1,?? ? 4
【答案】 8 .函数

D. ( D. [?1,1] )

y ? f ( x) 的值域是 [?2, 2] ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的值域为 ? 3 B. [], 、 1
C. [?2, 2]

A. [?1,3]
【答案】C

9 .(2013 辽宁高考数学(文))已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ? 2 ? x ? a , g ? x ? ? ? x ? 2 ? a ? 2 ? x ? a ? 8. 设
2 2 2 2

H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ?? , H 2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ?? , ? max ? p, q?? 表示 p, q 中的较大
值, min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值,记 H1 ? x ? 得最小值为 A, H 2 ? x ? 得最小值为 B ,则

A? B ?
A. a ? 2a ? 16
2

( B. a ? 2a ? 16
2



C. ?16

D. 16

【答案】. [答案]C

[解析] f ( x) 顶点坐标为 (a ? 2, ?4a ? 4) , g ( x) 顶点坐标 (a ? 2, ?4a ? 12) ,并且 f ( x) 与 g ( x) 的顶

点都在对方的图象上, 图象如图, A.B 分别为两个二次函数顶点的纵坐标,所以 A-B= (?4a ? 4) ? (?4a ? 12) ? ?16 [方法技巧](1)本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口.(2)并不是 A,B 在同一个自变量取得.
10. (山东省菏泽市 2013 届高三 5 月份模拟考试数学(理)试题)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足





f ( x ? 2e) ? ? f ( x) (其中 e=2.7182),且在区间[e,2e]上是减函数,令 a ?

1n2 1n3 1n5 ,则 ,b ? ,c ? 2 3 5
( )

A. f (a) ? f (b) ? f (c) C. f (c) ? f (a) ? f (b)
【答案】C

B. f (b) ? f (c) ? f (a) D. f (c) ? f (b) ? f (a)

11. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试数学试题(理科))已知函数

f M ? x ? 的定义域为实数集 R ,满

足 fM ? x ? ? ?

?1, x ? M ( M 是 R 的非空真子集),在 R 上有两个非空真子集 A, B ,且 A ? B ? ? ,则 ?0, x ? M
f A? B ? x ? ? 1
的值域为 ( )

F ? x? ?
? ?

f A ? x? ? fB ? x? ?1
2? ?

A. ? 0, ? 3

B. ?1?

C. ? , ,1?

?1 2 ? ?2 3 ?

D. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

【答案】B【解析】若

x ? A , 则 f A ( x) ? 1, f B ( x) ? 0, f A? B ( x) ? 1 , F ( x) ? 1 ; 若 x ? B , 则

f A ( x) ? 0, f B ( x) ? 1, f A? B ( x) ? 1, F ( x) ? 1 ;若 x ? A,x ? B ,则 f A ( x) ? 0 , f B ( x) ? 0 ,
f A? B ( x) ? 0, F ( x) ? 1. 故选
12 . ( 江 西 省 上 高 二 中

B. 2012 届 高 三 第 五 次 月 考 ( 数 学 理 )) 若 函 数 ( )

f ( x) ? 1 ?
A.0
【答案】

2 x ?1 ? sin x在区间[?k , k ](k ? 0)上的值域为[n, m],则m ? n 等于 2x ? 1
B.1 D. C.2 D.4

1 ? 1 1 ? x ? , x ? A, 13.(2012 年东城区高三一模数学文科)设集合 A ? [0, ) , B ? [ ,1] ,函数 f ( x) ? ? 若 2 2 2 ?2(1 ? x), x ? B. ?
x0 ? A ,且 f [ f ( x0 )] ? A , 则 x0 的取值范围是
A. (0, ]
【答案】





1 4

B. [0, ] C.

3 8

C. ( , )

1 1 4 2

D. ( , ]

1 1 4 2

?1, x ? 0 ? ?1, ( x为有理数) ? ? 14 . (2012 年 高 考 ( 福 建 文 )) 设 f ( x ) ? ?0, ( x ? 0) , g ( x) ? ? , 则 f ( g (? )) 的 值 为 ? ?0, ( x为无理数) ? ? ?1, ( x ? 0) ?
( A.1 B.0 【答案】 【答案】B 【解析】因为 g (? ) ? 0 C. ?1 所以 f ( g (? )) ? f (0) ? 0 . D. ? )

B.正确

?| 2 x ? 1|, x ? 2 ? 15 . (2012 年 河 北 省 普 通 高 考 模 拟 考 试 ( 文 )) 已 知 函 数 f ( x ) ? ? 3 , 则 f ( x) 的 值 域 是 , x?2 ? ? x ?1
( A. [0, ??)
【答案】



B. [1,3] D.

C. [1, ??)

D. [0,3]

16.(湖北省黄冈市 2012 年高考模拟试题)已知函数 f ( x ) ? ?

?1 ? 2 ? x ( x ? 0) , 则该函数是 x ? 2 ? 1( x ? 0)





A.偶函数,且单调递增 C.奇函数,且单调递增

B.偶函数,且单调递减 D.奇函数,且单调递减

【答案】C 17. (山东省寿光市 2013 届高三 10 月阶段性检测数学(理)试题)已知定义域为(-1,1)函数 f ( x ) ? ? x ? x ,
3

且 f (a ? 3) ? f (9 ? a ) ? 0 .则 a 的取值范围是
2

( D.(-2,3)



A.(3, 10 )
【答案】A 二、填空题

B.(2 2 ,3)

C.(2 2 ,4)

18.函数 y ? x ? 4 x ? 6 当 x ? [1,4] 时,函数的值域为______________.
2

【答案】 2,6

? ?
x

19. (山东省莱芜市莱芜二中 2013 届高三 4 月模拟考试数学(理)试题)指数函数 y ? b ? a 在

?b,2?上的最大

值与最小值的和为 6,则 a ? _________. 【答案】2

?1? 20.函数 y ? ? ? ?2?
【答案】 ?

x 2 ? 6 x ?17

在 x ? ?? 3,1? 上的值域为_____.

? 1 1 ? , 12 ? 44 ?2 2 ?

21.函数 y ?

x2 ( x ? R) 的值域为________________. x2 ? 1

【答案】答案

? 0,1?

22.(2012 年高考(安徽文))若函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递增区间是 [3, ??) ,则 a ? _____ 【答案】 【解析】 ?6

由对称性: ?

a ? 3 ? a ? ?6 2
| x ? a|

23.(2012 年高考(上海理))已知函数 f ( x) ? e

(a 为常数).若 f (x) 在区间[1,+?)上是增函数,则 a 的

取值范围是_________ .
【答案】

[解析]令 g ( x) ?| x ? a | ,则 f ( x) ? e

g ( x)

,由于底数 e ? 1 ,故 f (x) ↑? g (x) ↑,

由 g (x) 的图像知 f (x) 在区间[1,+?)上是增函数时,a≤1.
24. (山东省凤城高中 2013 届高三 4 月模拟检测数学理试题 ) 函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在闭区间

[a, b] ? D ,使得函数 f ( x) 满足:① f ( x) 在 [a, b] 内是单调函数;② f ( x) 在 [a, b] 上的值域为 [2a, 2b] ,
则称区间 [a, b] 为 y ? f ( x) 的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有________ ① f ( x) ? x ( x ? 0) ;
2

② f ( x) ? e ( x ? R ) ;
x

③ f ( x) ?

4x ( x ? 0) ; x ?1
2

④ f ( x) ? log a (a x ? )( a ? 0, a ? 1)
2013 届 高 三 3 月 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 函 数

1 8

【答案】①③④ 25 . ( 山 东 省 枣 庄 市

f ( x) ?| x ? 2011 | ? | x ? 2012 | ? | x ? 2013 | (x ? R )的最小值为______.
【答案】2

当 x ? 2011 时 , f ( x) ? ?( x ? 2011) ? ( x ? 2012) ? ( x ? 2013) ? ?3 x ? 6036 ; 当 2011 ? x ? 2012 时 ,

f ( x) ? ( x ? 2011) ? ( x ? 2012) ? ( x ? 2013) ? ? x ? 2014

;



2012 ? x ? 2013

时, f ( x) ? ( x ? 2011) ? ( x ? 2012) ? ( x ? 2013) ? x ? 2010 ; 当 x ? 2013 时 , f ( x) ? ( x ? 2011) ? ( x ? 2012) ? ( x ? 2013) ? 3 x ? 6036 . 所 以 当 x ? 2011 时 , f ( x) ? ?3 x ? 6036 ? 3 ; 当 2011 ? x ? 2012 时 , 2 ? ? x ? 2014 ? 3 . 当 2012 ? x ? 2013 时 ,

2 ? x ? 2010 ? 3

;



x ? 2013



,

3x ? 6036 ? 3

.









f ( x) ?| x ? 2011 | ? | x ? 2012 | ? | x ? 2013 | ( x ? R) 的最小值为 2.
26.(2012 年高考(上海春))函数 y ? log 2 x ? 【答案】 5 27. (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题) 函数

4 ( x ? [2, 4]) 的最大值是______. log 2 x

f ( x) ? 2| x ?1| 的递增区间为

_______________________.
【答案】 [1, ??)
t 【解析】令 t ? x ? 1 ,则 y ? 2 在定义域上单调递增,而 t ? x ? 1 ? ?

? x ? 1, x ? 1 ,在 x ? 1 上单调递增, ?1 ? x, x ? 1

所以函数 f ( x) ? 2
三、解答题 28.已知函数 f ( x) ?

| x ?1|

的递增区间为 [1, ??) .

1 ? ax 2 ?a ? 0? 是奇函数,并且函数 f (x) 的图像经过点(1,3). x?b

(1)求实数 a, b 的值;(2)求函数 f (x) 的值
【答案】解: (1)? 函数 f ( x) ?

1 ? ax 2 是奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) x?b

1 ? a?? x ? 1 ? ax 2 ? ?? ,? a ? 0,? ? x ? b ? ? x ? b,? b ? 0 ? x?b x?b
2

又函数 f (x) 的图像经过点(1,3),? f (1) ? 3,? ∴a=2 (2)由(1)知 f ( x) ?

1? a ? 3,? b ? 0, 1? b

1 ? 2x 2 1 ? 2 x ? ?x ? 0? x x

当 x ? 0 时, 2 x ?

1 1 1 ? 2 2 x ? ? 2 2 , 当且仅当 2 x ? , x x x

即x ?

2 时取等号 2
1 1 1 ? 2 ?? 2 x ? ? ? 2 2 ,? 2 x ? ? ?2 2 ?x ?x x

当 x ? 0 时, ?? 2 x ? ?

当且仅当 (?2 x) ?

2 1 时取等号 ,即x ? ? 2 ?x

综上可知函数 f (x) 的值域为 ? ?,?2 2 ? 2 2 ,??

?

? ?

?


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