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2011学年广州市铁一中学高二上学期期中考试数学 文科


2011 学年广州市铁一中学高二上学期期中考试数学(文科)
命题: 王彪 审题: 苏明、 范选文 2011.11

第一部分 选择题(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设集合 A ? ? x ? 2 ? x ? 1? ,集合 B ? ? x ? 1 ? x ? 3? ,则 A ? B 等于( A. ? x ? 2 ? x ? 1? B. ? x ? 2 ? x ? ? 1? C. ? x ? 1 ? x ? 1? )

D. ? x ? 2 ? x ? 3?

2.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与左视图都是边长 为 2 的正三角形,则这个几何体的体积为( )
正(主)视图 左(侧)视图

A.

3? 3

B. 3? D. 3?

C. 2 ?

俯视图

3.设( x1 , y1 )( x 2 , y 2 ) , ,…, x n , y n )是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这些样本点通过 ( 最小二乘法得到的线性回归直线(如图) ,以下结论中正确的是 A. x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 B. x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 C.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 D.直线 l 过点 ( x , y ) 4. 1 , 2 , 3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 A.
l1 ? l 2 l l l



l 2 ? l 3 ? l1 / / l 3

B.

l1 ? l 2 l l



l 2 / / l 3 ? l1 ? l 3 l l1

l l l C. l 1 // l 2 // l 3 ? 1 , 2 , 3 共面

D. 1 , 2 , 3 共点 ?

, 2 , 3 共面

l

l

?2x ? y ? 0 ? ?x ? y ? 2 ? 0 5.若 x , y 满足约束条件 ? 则 z ? x ? 2 y 的最大值是( x ? 4 ? ? x, y ? N * ?



A.16
? ?

B.3

C.

10 3

D.20
? ? ? ?

6.定义 a * b 是向量 a 和 b 的“向量积” ,它的长度 | a * b |? | a | ? | b | ? sin ? , 其 中 ? 为向量 a 和 b 的夹角,若
? ? u ? (2, 0), v ? (1, ? ? ? 3 ), 则 | u * ( u ? v ) | 等于(


3 2
第 1 页(共 10 页)

A.6

B. 2 3

C.2

D.

7.已知正实数 x , y 满足 x ? y ? 1 ,则 A. 5 B. 2 2
?
3

1 x

?

2 y

的最小值等于( C. 2 ? 3 2

) D. 3 ? 2 2

8.为了得到函数 y ? 3 sin( 2 x ? 点( )
?
6

) ( x ? R )的图像,只需把函数 y ? 3 sin 2 x ( x ? R )的图像上所有的

A.向左平行移动 C.向左平行移动

个单位长度 个单位长度

B.向右平行移动 D.向右平行移动

?
6

个单位长度 个单位长度

?
3

?
3

9.已知定义域为 ( ? 1,1) 的奇函数 y ? f ( x ) 又是增函数,且 f ( a ? 2) ? f (4 ? a 2 ) ? 0 ,则 a 的取值范围是 A. ( 2 , 3) B. ( 3 , 2 ) C. ( 3 , 5 ) D. ( ? 1, 3)

10.已知函数

? 1 , ( x ? 0) ?1? f (x) ? ? x ? lg ( ? x ) , ( x ? 0 ) ?

,则关于 x 的方程 f ( x ) ? x ? 0 的解的个数是(



A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

第二部分 非选择题(共 100 分)
二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.函数 y ?
x ?1 ? 1 lg (3 ? x )

的定义域是



12.直线 x ? 1 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 截得的弦 A B 的长 A B = 13.统计四所学校 1000 名学生的数学联考成绩, 得到样本频率分布直方图如右图示,规定不低于 60 分 为及格,不低于 80 分为优秀,则及格人数是 ; 优秀率为 。 14.已知数列 ? a n ? 满足 a1 ? 6 , a n ?1 ? a n ? 2 n ,记 c n ?
an n


0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01

频率

0.04 组距

,且存在 ▲

0005 40 50 60 70 80 90 100

分数

正整数 M ,使得对一切 n ? N * , c n ? M 恒成立,则 M 的最大值为
第 2 页(共 10 页)

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ( x ? R). (1) 求 f ? x ? 的最小正周期和最大值;(2)若 ? 为锐角,且 f ? ? ?
? ?

? ?

? ? 8 ?

2 3

,求 tan 2? 的值..

16.(本小题满分 12 分) 先后投两次骰子,第一次投的点数记为 a ,第二次投的点数记为 b ,用 ( a , b ) 表示两次投掷的结果。 (1) 记“ a ? b ”为事件 A,求事件 A 的概率; (2) 记“关于 x 的方程 ax ? b ? 0 有整数解”为事件 B,求事件 B 的概率。 ...

17.(本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 O—ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,? ABC ? M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点。 (1)证明:直线 MN//平面 OCD; (2)求点 N 到平面 OCD 的距 离
?
3

, OA⊥底面 ABCD, OA=2, 且

第 3 页(共 10 页)

18. 已知圆 C 经过 A(1, ? 1 ) ,B(5,3) ,并且被直线 m : 3 x ? y ? 0 平分圆的面积. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 D(0, ? 1 ) ,且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 有两个不同的公共点,求实数 k 的取值范围.

19.(本小题满分 14 分) 已知 a 是实数,函数 f ? x ? ? 2 ax 2 ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ? x ? 在区间 ?? 1,1? 上有零点,求 a 的取值 范围.

20. (本小题满分 14 分)
?1 ? 数列{ a n } 中 a 1 = ,前 n 项和 S n 满足 S n ?1 - S n = ? ? 2 ?2?
1
n ?1

(n ? N * ) .

( I ) 求数列{ a n }的通项公式 a n 以及前 n 项和 S n ; (Ⅱ)记
bn ? n ?1 2an

(n ? N * )求数列 { b n } 的前 n 项和 T n ;
5n 4n ? 2

(Ⅲ)当 x ? 2 时, f ( x ) ? 2 x ? 2 x ? 1 单调递增,试确定 T n 与

(n ? N * )的大小并证明.

2011 学年广州市铁一中学高二上学期期中考试数学(文科)参考答案
第 4 页(共 10 页)

一、选择题(5’×10=50) 1 D 2 A 3 D 4 B 5 D 6 B 7 D 8 B 9 B 10 C

二、填空题(5’×4=20) 11、 { x | 1 ? x ? 2 或 2 ? x ? 3} 12、 2 3

13、由率分布直方图知,及格率= 10 ? (0.025 ? 0.035 ? 2 ? 0.01) ? 0.8 =80%,及格人数=80%×1000= 800,优秀率= 10 ? 0.02 ? 0.2 ? 20 %. 14、 4 三、解答题 15、 (本题满分 12 分) (1) 解: f ? x ? ? 2 sin x cos x ? cos 2 x
? sin 2 x ? cos 2 x
? ? 2 ? 2 2? s in 2 x ? cos 2 x ? ? 2 ? 2 ? ?

?? 2 分 ?? 3 分

?

? ? ? 2 s in ? 2 x ? ?. 4 ? ?
2? 2 ? ? , 最大值为

?? 4 分

∴ f ? x ? 的最小正周期为 (2) 解:∵ f ? ? ?
? ?

2 .

?? 6 分
2 3

? ?

? ? 8 ?
1 3

2 3

,

∴ 2 s in ? 2 ? ?
?

?

? ?

? ? 2 ?

.

?? 7 分

∴ c o s 2? ?

.
?
2

?? 8 分 ,
2 3

∵ ? 为锐角,即 0 ? ? ?

∴ 0 ? 2? ? ? .
2

∴ s in 2 ? ? ∴ ta n 2 ? ?

1 ? c o s 2? ?
2

.

?? 10 分

s in 2 ? c o s 2?

? 2

2 .

?? 12 分

16、 (本题满分 12) 解: (1)所有的基本事件有:
(1,1); (1, 2 ); (1,3 ); (1, 4 ); (1,5 ); (1, 6 ) ; ( 2 ,1); ( 2 , 2 ); ( 2 ,3 ); ( 2 , 4 ); ( 2 ,5 ); ( 2 , 6 ) ( 3 ,1); ( 3 , 2 ); ( 3 ,3 ); ( 3 , 4 ); ( 3 ,5 ); ( 3 , 6 ) ; ( 4 ,1); ( 4 , 2 ); ( 4 ,3 ); ( 4 , 4 ); ( 4 ,5 ); ( 4 , 6 )

第 5 页(共 10 页)

( 5 ,1); ( 5 , 2 ); ( 5 ,3 ); ( 5 , 4 ); ( 5 ,5 ); ( 5 , 6 ) ; ( 6 ,1); ( 6 , 2 ); ( 6 ,3 ); ( 6 , 4 ); ( 6 ,5 ); ( 6 , 6 ) ………… 3 分

共 36 个 记“ a ? b ”为事件 A,事件 A 中包括的基本事件有 15 个 ∴ P ( A) ?
15 36 b a

…………
? Z

6分

(2)∵关于 x 的方程 ax ? b ? 0 有整数解,∴ ? ∴事件 B 中包括的基本事件有:

………… 7 分

(1,1); (1, 2 ); (1,3 ); (1, 4 ); (1,5 ); (1, 6 ); ( 2 , 2 ); ( 2 , 4 ); ( 2 , 6 ); ( 3 ,3 ); ( 3 , 6 ); ( 4 , 4 ); ( 5 ,5 ); ( 6 , 6 ) ………… 9 分

共 14 个,∴

P(B) ?

7 18

…………

12 分

17、 (本题满分 14) (1)取 OD 中点 E ,连接 ME , CE , 则 ME //
1 2 AD ,又 NC // 1 2 AD

? ME // NC ? 四边形 MNCE 为平行四边形 ? MN // EC

······ 2 分 ······

······· 4 分 ······

又? EC ? 面 OCD MN ? 面 OCD ? MN // 面 OCD (2)连接 AC

······· 5 分 ······ ······· 6 分 ······

? OA ? 面 ABCD , AC ? 面 ABCD , AD ? 面 ABCD , ? OA ? AC , OA ? AD ? ? OAC 为 Rt ?

在 Rt ? OAC 中, OA ? 2 , AC ? 1 ,
? OC ?

5 5

同理在 Rt ? OAD 中, OD ? 在 ? OCD 中, OC ? OD ?
9 10 1 2

····· 7 分 ····

5 , CD ? 1 ,
19 10 19 10 19 4

则 cos ? COD ?

,? sin ? COD ?

···· 9 分 ····

? S ? OCD ?

× 5× 5×

=

···· 10 分 ····

设点 O 到平面 OCD 的距离为 d ,
第 6 页(共 10 页)

则 V N ? OCD ?

1 3

S ? OCD ? d

? OA ? 面 ABCD ? OA 是三棱锥 O ? NCD 的高 ? V O ? NCD ?
1 3

······· 11 分 ·······

S ? NCD ? OA
1 2

在 ? NCD 中, NC ? 又? OA ? 2
? S ? NCD ?
1 2 1 3

, CD ? 2 , ? NCD ?

2? 3



×

1 2

×2× sin

2? 3

=

3 4

······ 12 分 ·····

? V O ? NCD ?

×

3 4

×2 =

3 6

······ 13 分 ·····

? V N ? OCD ? V O ? NCD
1 3

?

×

19 4 2 95 19

×d =

3 6

? d ?

········ 14 分 ·······

18、 (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)解法一:线段 AB 的中点 E(3,1) k A B ,
? 3 ?)? (1 5 ?1 ?1

···· 1 分 ··· ??2 分

故线段 AB 中垂线的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 3) ,即 x ? y ? 4 ? 0 由圆 C 经过 A、B 两点,故圆心在线段 AB 的中垂线上 又直线 3 x ? y ? 0 平分圆的面积,所以直线 m 经过圆心 由?
?x ? y ? 4 ? 0 ? 3x ? y ? 0

解得 ?

?x ?1 ?y ? 3

即圆心的坐标为 C(1,3),

??5 分

而圆的半径 r ? |AC|= (1 ? 1) 2 ? [3 ? ( ? 1)] 2 ? 4 故圆 C 的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 16

···· 6 分 ···· ??7 分

解法二:设圆的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 (或 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 )
? D ? E ? F ? ?2 ? ? 则有 ? 5 D ? 3 E ? F ? ? 34 ,解得 D ? ? 2 , E ? ? 6 , F ? ? 6 (请酌情给分) 3 E ? ? D ? ? 0 ? 2 2 ?
第 7 页(共 10 页)

(Ⅱ)解法一:由直线 l 的斜率为 k ,故可设其方程为 y ? kx ? 1 由?
? y ? kx ? 1
2 2

??8 分 ····· 10 分 ····

? ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1 6

消去 y 得 (1 ? k 2 ) x 2 ? (8 k ? 2) x ? 1 ? 0

由已知直线 l 与圆 C 有两个不同的公共点 故 ? ? (8 k ? 2) 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? 0 ,即 15 k 2 ? 8 k ? 0 解得: k
? ? 8 15

····· 12 分 ···· ??14 分

或k ? 0

解法二:设直线 kx ? y ? 1 ? 0 ,则圆心到直线的距离 d 为
d ? k 4
2

?1

因为直线与圆有两个不同交点,所以有
d ? k 4
2

? 2 ?1
8 15

解得 k ? ? 19、 (本题满分 14)

或k ? 0

(请酌情给分)

解:若 a ? 0 ,则 f ( x ) ? 2 x ? 3 ,令 f ( x ) ? 0 ? x ?

3 2

? [ ? 1,1] ,不符题意, 故 a ? 0 ???2分

? ? ? 4 ? 8 a (3 ? a ) ? 0 ? 当 f ( x ) 在 [-1,1]上有一个零点时,此时 ? 或 f ( ? 1) ? f (1) ? 0 ???6分 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ?

解得 a ?

?3 ? 2

7

或 1 ? a ? 5 ?????????????????????????8分

? ? ? 4 ? 8 a (3 ? a ) ? 0 ? 1 ? 当 f ( x ) 在[-1,1]上有两个零点时,则 ? ? 1 ? ? ????????????11分 ?1 2a ? ? f ( ? 1) ? f (1) ? 0 ?
? ?3 ? 7 ?3 ? 或a ? ?a ? 2 2 ? 解得 ? a ? ? 1 或 a ? 1 ? 2 2 ? ? a ? 1或 a ? 5 ? ? 7

即a ?

?3 ? 2

7



1 2

? a ? 1或 a ? 5 ??????13分

综上,实数 a 的取值范围为 ( ? ? ,

?3 ? 2

7

]?[

1 2

, ?? ) .

??????????????14分
3 ? 2x 2x ?1
2

(别解: 2 ax 2 ? 2 x ? 3 ? a ? 0 ? (2 x 2 ? 1) a ? 3 ? 2 x ,题意转化为知 x ? [ ? 1,1] 求 a ?

的值域,

第 8 页(共 10 页)

令 t ? 3 ? 2 x ? [1, 5] 得 a ?
t?

2 7 t ?6

转化为勾函数问题.)

20、 (本题满分 14 分) 解:( I ) s n ? 1 ? s n ? ( )
2
n

1

n ?1

得 a n ?1 ? ( )
2

1

n ?1

(n ? N * )??????1 分

又 a1 =

1 2

,故 a n ? ( ) (n ? N * )??????2 分
2

1

1 ? 1 n? 1? ( ) ? 1 n 2 ? 2 ? ? 从而 s n ? ? 1 ? ( ) ??????4 分 1 2 1? 2 n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 (Ⅱ)由( I ) b n ? n 2an 2?2 2
Tn ?
1 2

2 2
2

?

3 2
3

?
2

4 2
4

?? ?
3 ? 4 2
5

n ?1 2
n ?1

,??????5 分
n 2
n ?1

Tn ?

2

3

?

2

4

?? ?

?

n ?1 2
n?2

??????6 分

两式相减,得
1 2 Tn ? 2 2
2

?

1 2
3

?

1 2
4

?

1 2
5

?? ? 2

1
n ?1

?

n ?1 2
n?2

??????7 分

1 ? 1 2
3 4 1 2

? 2

3

? (1 ? 2 1? 1 2

1
n ?1

) ?

n ?1 2
n?2

?

?

n ?1

?
?

n ?1 2
n?2

??????8 分
n ?1 2
n ?1

所以 T n ?

3 2

1 2
n

?

?

3 2

?

n?3 2
n ?1

??????9 分,
? ( n ? 3 )( 2 ? 2 n ? 1)
n

(Ⅲ) T n ?

5n 4n ? 2

?

3 2

?

n?3 2
n ?1

?

5n 4n ? 2

2

n ?1

( 2 n ? 1)

于是确定确定 T n 与

5n 4n ? 2

的大小关系等价于比较 2 n 与 2 n ? 1 的大小?????10 分

n ? 1 时 2 ? 2 ? 1 , n ? 2 时 2 ? 2 ? 2 ? 1 , n ? 3 时 2 ? 2 ? 3 ? 1 ??????11 分
2
3

令 g ( x ) ? 2 x ? 2 x ? 1 , g / ( x ) ? 2 x ln 2 ? 2 , x ? 2 时 g ( x ) 为增函数,??????12 分 所以 n ? 3 时 g ( n ) ? g (3) ? 1 ? 0 , 2 n ? 2 n ? 1 ,??????13 分 综上所述 n ? 1 ,2 时 T n ?
n ? 3 时Tn ?
5n 4n ? 2

5n 4n ? 2

??????14 分

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