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【南方凤凰台】2017版高考数学大一轮复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第10课 指数式与指数函数 文


第 10 课

指数式与指数函数
页)

(本课时对应学生用书第

自主学习 回归教材

1.(必修1P60例1改编)计算: 【答案】4 【解析】

(π-4) 2

+π =

.

(π-4) 2


+π =|π -4|+π =4-π +π =4.

? 9 ?2 ? 27 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? 0 2.(必修1P61例2改编)计算: ? 4 ? +(-9.6) - ? 8 ? × ? 2 ? =
3 【答案】 2 3 4 9 3 【解析】原式= 2 +1- 9 × 4 = 2 .
2

1

-

2

2

.

3.(必修1P67练习1改编)若函数y=(a -3a+3)·a 是指数函数,则实数a= 【答案】2 【解析】由题意得a -3a+3=1且a>0,a≠1,所以a=2.
2

x

.

4.(必修1P52习题1改编)当x>0时,指数函数f(x)=(a-1) ,且(a-1) <1恒成立,则实数a的取值 范围是

x

x

.

【答案】(1,2) 【解析】因为x>0时,(a-1) <1恒成立, 所以0<a-1<1,所以1<a<2.
x

5.(必修1P52习题1改编)已知函数f(x)=a +b(a>0且a≠1)的图象如图所示,则a+b=

x

.

1

(第5题) 【答案】-2 【解析】由图可知,此函数过点(2,0)和(0,-3), 则有a +b=0,且1+b=-3,解得a=2,b=-4, 所以a+b=-2.
2

1.指数中的相关概念 (1)n次方根 正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,0的奇次方根是0;正数的偶次方根 是两个绝对值相等、符号相反的数,0的偶次方根是0,负数没有偶次方根. (2)方根的性质 ①当n为奇数时, a =a;
n

?a,a ? 0, ? n -a,a ? 0 . ②当n为偶数时, a =|a|= ?
(3)分数指数幂的意义
n m n ① a = a (a>0,m,n都是正整数,n>1);
m

1
②a
m n

=a

m n

1
n m = a (a>0,m,n都是正整数,n>1).

2.指数函数的定义 一般地,形如y=a (a>0且a≠1)的函数叫作指数函数.
x

2

3.指数函数的图象和性质

a>1
图象

0<a<1

定义域 值域 性质 过定点 单调性 注意:

R (0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1 在R上是增函数

R (0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1 在R上是减函数

(1)在解决指数函数有关问题时,如果底数a大小不确定,则必须分“a>1”和“0<a<1” 两种情况讨论.

? 1? ? -1, ? x (2)画指数函数y=a 的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1), ? a ? .
(3)由于指数函数y=a (a>0且a≠1)的图象均在x轴上方,故y>0,图象无限接近x轴,但不 会相交,因此,x轴是指数函数的“渐近线”.
x

【要点导学】 要点导学 各个击破

指数幂的运算 例1 求下列各式的值.
3 ? 7? 2 ? 27 ? ?2 ? ? 3 ? ) 125 ? ? (1)(0.027 + - ? 9 ? +10-2; 1
0.5

2 ? 6? 3? 2 ?1? ? 1 ?3 ? ? ?- 2 ? ? ? ? ? 0 4 6 6 ? ? ? . 32 ? ? (2) + + -(1.03) · ?

1

3

3

【思维引导】按照幂指数运算法则运算,分母含根式的进行分母有理化.

9 5 5 1 1 【解答】(1)原式= 100 + 3 - 3 + 100 = 10 .
( 3 ? 2) 2 1 3 1 - 2 2 2 3 (2)原式= 16 +( 6 ) + ( 3) -( 2)

? 6 6? 3 6 81 ? 60 6 1 ? ?- 8 ? ? ? = 16 + 6 +5+2 6 + 4 = 16 -? .

【精要点评】指数幂化简与求值的原则及要求:(1)化简原则:①化根式为分数指数幂; ②化负指数幂为正指数幂;③化小数为分数;④注意运算的先后顺序.(2)结果要求:①若题目 以根式形式给出,则结果用根式表示;②若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数 幂的形式表示;③结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既有分母又有负分数指数幂.

变式 化简下列各式(a>0,b>0).
5 ?1 1 ? 6 6 2 1 1 1 ? a b ? 3 2 2 3 3 ?; (1)( a b )(-3 a b )÷ ?

? b? 1-2 3 ? ? ? 3 2 3 2 3 a? ?× 3 a . (2) a ? 2 ab ? 4 b ÷ ?
3

a 4 -8 3 a ?b

【思维引导】按照分数指数幂的运算性质求解,含根式的化成分数指数幂后再计算或化 简.
3 【解答】(1)原式=-9 a
4 3 1 3

2 1 1 ? 2 6

b2

1 1 5 ? 3 6

=-9a.
1 1

1

a -8a b
3 3 3 (2)原式= 4b ? 2 ab ? a ÷
1 1 1 1 2 1 1

a 3 -2b 3
2

2

1 3 ×a

a3

a 3 (a-8b)
3 3 3 3 = 4b ? 2a b ? a ÷ 1 3 1 3 2

a 3 -2b 3
1 3 ×a

a3

a
1 3 1 3 1 3
1 3

= a ( a -2 b ) a -2b × a =a.
【精要点评】若式子中既有分数指数幂、又有根式,则可先把根式化成分数指数幂,再 根据幂的运算性质进行计算.在指数式运算中,注重运算顺序和灵活运用乘法公式.

1 3

4

指数函数图象的应用 例2 已知函数f(x)=|2 -1|. (1)求f(x)的单调区间; (2)比较f(x+1)与f(x)的大小. 【思维引导】(1)对于y=|2 -1|的图象,我们通过y=2 的图象翻折得到,在翻折指数函数 图象时一定要注意渐近线也要随之翻折,作出f(x)的图象,数形结合求解.(2)在同一坐标系中 分别作出f(x),f(x+1)的图象,数形结合求解.
x x x

?2x -1,x ? 0, ? x 1-2 ,x ? 0. x 【解答】(1)由f(x)=|2 -1|= ?
作出函数的图象如图(1)所示.因此函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调 递增. (2)在同一坐标系中分别作出函数f(x),f(x+1)的图象,如图(2)所示.
x0 ?1

由图象知,当| 2

2 2 -1|=| 2 -1|时,x0=log2 3 ,根据图象可知,当x<log2 3 时,
x0

2 2 f(x)>f(x+1);当x=log2 3 时,f(x)=f(x+1);当x>log2 3 时,f(x)<f(x+1).

图(1) (例2)

图(2)

【精要点评】(1)指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往 往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.(2) 一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解 .(3) 函数

y=ax,y=a|x|的关系:函数y=ax与y=|ax|是同一个函数的不同表现形式,函数 y=a|x|与y=ax不同,
前者是一个偶函数,其图象关于y轴对称,当x≥0时两函数图象相同.

5

变式 画出函数y=2 的图象,其图象有什么特征?根据图象指出其值域和单调区间.

|x|

(变式) 【解答】当x≥0时,y=2 =2 ;
|x| x

?1? ? ? |x| -x 当x<0时,y=2 =2 = ? 2 ? ,
所以函数y=2 的图象如图所示. 由图象可知,y=2 的图象关于y轴对称,且值域是[1,+∞),单调减区间是(-∞,0],单 调增区间是[0,+∞).
|x| |x|

x

指数函数的性质

?1? ? ? 例3 已知函数f(x)= ? 3 ?

ax 2 -4 x ? 3

.

(1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)有最大值3,求实数a的值; (3)若函数f(x)的值域为(0,+∞),求实数a的值.

1 g(x) g(x) 【思维引导】(1)形如y=a 的复合函数,由于底数为 3 ,所以函数y=a 的单调性和
y=g(x)的单调性相反.(2)要借助“同增异减”这一性质分析,将问题归结为内层函数 h(x)=ax2-4x+3有最小值-1,然后利用二次函数的知识加以解决.(3)由指数函数的值域知, h(x)=ax2-4x+3的值域为R.

?1? ? ? 【解答】(1)当a=-1时,f(x)= ? 3 ?
令g(x)=-x -4x+3,
2

- x 2 -4 x ? 3



?1? ? ? 由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y= ? 3 ? 在R上单调递减,

t

6

所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增, 即函数f(x)的单调增区间是(-2,+∞),单调减区间是(-∞,-2).

?1? ? ? 2 (2)令h(x)=ax -4x+3,f(x)= ? 3 ?

h (x )



由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,

?a ? 0, ? ? 3a-4 ? -1, ? 因此必有 ? a 解得a=1,
即当f(x)有最大值3时,实数a的值为1.

?1? ? ? (3)由指数函数的性质知,要使y= ? 3 ?
应使h(x)=ax -4x+3的值域为R,
2

h (x )

的值域为(0,+∞).

因此只能a=0(若a≠0,则h(x)为二次函数,其值域不可能为R),故a的值为0. 【精要点评】求解与指数函数有关的复合函数问题时,首先要熟知指数函数的定义域、 值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题 时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解 决.对于形如y=a
g(x)

的复合函数,关于单调区间有以下结论:当a>1时,函数y=a

g(x)

的单调性和

y=g(x)的单调性相同;当0<a<1时,函数y=ag(x)的单调性和y=g(x)的单调性相反.

变式 若不等式 3

ax2 -2 ax

1 > 3 对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.
ax2 -2 ax
2 1 转化为3ax -2 ax >3 >3-1,然后利用指数函数的单调性,最后

【思维引导】将不等式 3

利用一元二次不等式恒成立的知识求解. 【解答】原不等式即为 3 则有ax -2ax>-1, 即ax -2ax+1>0对一切实数恒成立. 当a=0时,满足题意;当a>0时,Δ =(-2a) -4a<0, 即a -a<0,解得0<a<1. 综上,实数a的取值范围是[0,1).
2 2 2 2

ax2 -2 ax

>3-1,

7

1 -1 【精要点评】本题将 3 转化为3 ,从而将问题转化为同底数幂的大小问题.解决指数不等
式的关键是根据指数函数的单调性进行转化,转化为代数不等式.

指数函数的综合应用

1? ? 1 ? x ? ? 3 例4 已知函数f(x)= ? a -1 2 ? ·x (a>0且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域; (2)讨论函数f(x)的奇偶性; (3)求实数a的取值范围,使f(x)>0在定义域上恒成立. 【思维引导】 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形,恒成立问题可通过求最 值解决. 【解答】(1)由a -1≠0,得a ≠1,所以x≠0, 所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}. (2)对于定义域内任意x,有
x x

1? ? 1 ? -x ? ? f(-x)= ? a -1 2 ? (-x)3

? ax 1 ? ? x? ? 1-a 2 ? 3 =? (-x)
1 1? ? ? ?1 ? x ? ? a -1 2 ? (-x)3 =?

1? ? 1 ? x ? ? 3 = ? a -1 2 ? x =f(x),
所以f(x)是偶函数. (3)当a>1时,若x>0,由指数函数的性质知a >1,
x

1 1 x 所以a -1>0, a -1 + 2 >0. 1? ? 1 ? x ? ? ? a -1 2 ? 3 3
x

又x>0时,x >0,所以x

>0,

8

即当x>0时,f(x)>0. 又由(2)知f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x), 则当x<0时,-x>0, 有f(-x)=f(x)>0成立. 综上可知,当a>1时,f(x)>0在定义域上恒成立.

(a x ? 1)x3 x 当0<a<1时,f(x)= 2(a -1) .
当x>0时,1>a >0,a +1>0,
x x

ax-1<0,x3>0,此时f(x)<0,不满足题意;
当x<0时,-x>0,f(-x)=f(x)<0,也不满足题意. 综上,实数a的取值范围是(1,+∞). 【精要点评】(1)判断此类函数的奇偶性,常常需要对所给式子变形,以达到所需要的形

f (x) 式,另外,还可利用f(-x)±f(x), f (-x) 来判断奇偶性.(2)将不等式恒成立问题转化为求函
数值域的问题,是解决恒成立问题的常用方法.

-2 x ? b x ?1 变式 已知定义域为R的函数f(x)= 2 ? a 是奇函数.
(1)求实数a,b的值; (2)若对任意的t∈R,不等式f(t -2t)+f(2t -k)<0恒成立,求实数k的取值范围. 【解答】(1)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,
2 2

-2 x ? 1 -1 ? b x ?1 即 2 ? a =0,解得b=1,从而有f(x)= 2 ? a .

1 - ?1 -2 ? 1 2 又由f(1)=-f(-1),知 4 ? a =- 1 ? a ,
解得a=2. 经检验a=2符合题意,故a=2,b=1.

-2 x ? 1 1 1 x ?1 x (2)由(1)知f(x)= 2 ? 2 =- 2 + 2 ? 1 .
由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.

9

又f(x)是奇函数,从而不等式f(t -2t)+f(2t -k)<0, 等价于f(t -2t)<-f(2t -k)=f(-2t +k). 因为f(x)是减函数, 所以t -2t>-2t +k, 即对一切t∈R有3t -2t-k>0,
2 2 2 2 2 2

2

2

1 从而Δ =4+12k<0,解得k<- 3 .
1? ? ? ?? , ? ? 3?. 因此所求k的取值范围为 ?
【精要点评】(1)解决恒成立问题时常转化为求最值来解决.(2)指数不等式的解法:对于 不等式a
f(x)

af(x)>ag(x)

?

>ag(x)(a>0且a≠1),可利用指数函数的单调性求解.当0<a<1时, f(x)<g(x);当a>1时,af(x)>ag(x)

?

f(x)>g(x).

-1 2 1.(2015· 海 门 中 学 模 考 改 编 ) 设 函 数 f1(x)= x , f2(x)=x , f3(x)=x , 则 f1(f2(f3(2

1 2

017)))=

.

1 【答案】 2017
1

【解析】f1(f2(f3(2 017)))=f1(f2(2 017 ))=f1((2 017 ) )=((2 017 )

2

2 -1

2

)2 -1

=2 017-1.

2.(2015·东北师大附中 ) 设函数 f(x)=|3 -1| , c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b) ,在关系式①3 >3 ; ②3 >3 ;③3 +3 >2;④3 +3 <2中,一定成立的是
b a c a c a

x

c

b

.(填序号)

(第2题)

10

【答案】④ 【解析】如图,作出 y=|3 -1| 的图象如图中实线部分所示,由 c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b) ,知 3 <3 <3 且|3 -1|>|3 -1|>|3 -1|,转化为1-3 >3 -1>0,3 +3 <2,故填④.
c b a c a b c a c a x

3.(2015· 山 东 卷 ) 已 知 函 数 f(x)=a +b(a>0 , a≠1) 的 定 义 域 和 值 域 都 是 [-1 , 0] , 则

x

a+b=

.

3 【答案】- 2

?a-1 ? b ? -1, ? 0 a ? b ? 0, 【解析】当a>1时, ? 无解;
?a -1 ? b ? 0, 1 ? 0 a ? b ? -1 , 当0<a<1时, ? 解得b=-2,a= 2 ,
1 3 则a+b= 2 -2=- 2 .

m-g (x) 4.已知奇函数f(x)= 1 ? g (x) 的定义域为R,其中y=g(x)为指数函数且图象过点(2,9).
(1)求函数y=f(x)的解析式; (2)若对任意的t∈[0,5],不等式f(t +2t+k)+f(-2t +2t-5)>0恒成立,求实数k的取值范围. 【解答】(1)设g(x)=a (a>0且a≠1),则a =9, 所以a=3或a=-3(舍去),
x
2 2 2

m-3x x x 所以g(x)=3 ,f(x)= 1 ? 3 .
又因为f(x)为定义在R上的奇函数,

m-1 所以f(0)=0,即 1 ? 1 =0,所以m=1,

1-3x x 所以f(x)= 1 ? 3 . 1-3x 3x ? 1-2 2 x x x (2)因为f(x)= 1 ? 3 =- 3 ? 1 =-1+ 3 ? 1 ,

11

所以f(x)为减函数. 要使对任意的t∈[0,5],

f(t2+2t+k)+f(-2t2+2t-5)>0恒成立,
即对任意的t∈[0,5],

f(t2+2t+k)>-f(-2t2+2t-5)恒成立.
因为f(x)为奇函数, 只需f(t +2t+k)>f(2t -2t+5)恒成立. 又因为y=f(x)在R上单调递减, 所以t +2t+k<2t -2t+5在t∈[0,5]时恒成立, 所以k<t -4t+5=(t-2) +1在t∈[0,5]时恒成立. 而当t∈[0,5]时,1≤(t-2) +1≤10,所以k<1, 即实数k的取值范围为(-∞,1).
2 2 2 2 2 2 2

趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第19~20页.

【检测与评估】 第10课 指数式与指数函数 一、 填空题 1.(2015·海安中学期中)化简:
3 a 3b 2 · ab 2 4 b 4 3 a· b · a (a>0,b>0)=

?

?

.

?1? ? ? 2.函数y= ? 2 ?
3.若2
3-2x

2 x -x 2

的值域是

.

<0.5

3x-4

,则x的取值范围是

.

12

4.若把y=f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度,得函数y=2 的图象,则f(x)=

x

.

5.若10 =25,则10 =

2x

-x

.

6.函数f(x)=1-e 的大致图象是

|x|

.(填序号)



② ④ (第6题)



a x 7.(2014·佛山模拟)已知不论a为何值,函数y=(a-1)2 - 2 的图象恒过定点,则这个定点的坐
标是 .

8.(2014·广州联考)已知函数f(x)=x +1(α ∈Q)的定义域为[-b,-a]∪[a,b],其中0<a<b, 且f(x)在区间[a,b]上的最大值为6,最小值为3,则f(x)在区间[-b,-a]上的最大值与最小值 的和是 .

α

二、 解答题 9.(2014·合肥联考)已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且当x∈(0,1)时,

2 x -1 x f(x)= 2 ? 1 .
(1)求f(x)在区间[-1,1]上的解析式; (2)若存在x∈(0,1),满足f(x)>m,求实数m的取值范围.

13

10.若方程2a=|a -1|(a>0,a≠1)有两个实数解,求实数a的取值范围.

x

a 2 x -x 11.(2014·洛阳一模)已知函数f(x)= a -1 (a -a )(a>0且a≠1).
(1)判断f(x)的奇偶性; (2)讨论f(x)的单调性; (3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,求实数b的取值范围.

三、 选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果) 12.已知函数f(x)=3 ,且f(a+2)=18,g(x)=3 -4 的定义域为[0,1]. (1)求g(x)的解析式; (2)求g(x)的单调区间,并判定函数的单调性; (3)求g(x)的值域.
x ax x

【检测与评估答案】 第10课 指数式与指数函数

3

1 1

a 2 b· [(ab 2 ) 3 ] 2

3 2 3

1 7 3

1

a 1. b

【解析】原式=

?b? ab 2 · ? ? ?a?

1 3

a 2 b· a 6b3
=

a b

a =b.

?1 ? , ?? ? ? ? 2. ? 2

?1? ? ? 2 2 【解析】g(x)=2x-x =-(x-1) +1≤1,所以函数y= ? 2 ?
3-2x

2 x -x 2

?1 ? , ?? ? ? ?. 的值域为 ? 2

3. (-∞,1) 【解析】原不等式等价于2

<24-3x,所以3-2x<4-3x,解得x<1.

14

4.2 +2 【解析】把y=f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度,得函数y=2 的图象,即 把y=2 的图象向右、向上分别平移2个单位长度,得函数y=f(x)的图象,即y=f(x)=2 +2.
x x-2

x-2

x

1 5. 5

1 【解析】由10 =25 ? (10 ) =25 ? 10 =5 ? 10 = 5 .
2x

x 2

x

-x

6.① 【解析】函数f(x)=1-e 是偶函数,其图象关于y轴对称,又f(0)=0,故填①.

|x|

1? ? , ? ? -12? 7. ?

? x 1? 1 1 ?2 - ? x 2 ? -2 ,令2x- 2 =0,则y+2x=0,得x=-1,y=- 2 ,所以这个定 【解析】y=a ?

1? ? , ? ? -12?. 点的坐标为 ?
8.-5或9 【解析】设h(x)=f(x)-1=x ,则由题意可知h(x)为奇函数或偶函数.当h(x)为奇函数 时,由f(x)在区间[a,b]上的最大值为6,最小值为3,得h(x)在区间[-b,-a]上的最大值与最 小值分别是-2,-5,从而f(x)在区间[-b,-a]上的最大值与最小值分别是-1,-4,其和为-5. 当h(x)为偶函数时,由f(x)在区间[a,b]上的最大值为6,最小值为3,得h(x)在区间[-b,-a] 上的最大值与最小值分别是5,2,从而f(x)在区间[-b,-a]上的最大值与最小值分别是6和3, 其和为9.
α

9.(1)当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1). 由f(x)为R上的奇函数,

2- x -1 1-2 x -x x 得f(-x)= 2 ? 1 = 2 ? 1 =-f(x), 2 x -1 x 所以f(x)= 2 ? 1 ,x∈(-1,0).
又由f(x)为奇函数, 得f(0)=0,f(-1)=-f(1), 在f(x+1)=f(x-1)中,令x=0, 则f(-1)=f(1), 所以f(-1)=f(1)=0.

15

? 2 x -1 ,, ? x ,x ? (-11) ? 2 ?1 ?0,x ? ?1. 故f(x)= ?
(2)因为x∈(0,1),

2 x -1 2 x ? 1-2 2 x x x 所以f(x)= 2 ? 1 = 2 ? 1 =1- 2 ? 1 .
又因为2 ∈(1,2),
x

2 ? 1? ? ? 0,? 所以1- 2 ? 1 ? 3 ? .
x

1 若存在x∈(0,1),满足f(x)>m,则m< 3 .
? 1? ? -? ,? 3? . 故实数m的取值范围为 ?
10.当a>1时,函数y=|a -1|的图象如图(1)所示,显然直线y=2a与该图象只有一个交点,故a>1 不合适; 当0<a<1时,函数y=|a -1|的图象如图(2)所示,
x x

1 要使直线y=2a与该图象有两个交点,则0<2a<1,即0<a< 2 .

图(1)

图(2) (第10题)

? 1? ? 0, ? 综上所述,实数a的取值范围为 ? 2 ? .

16

11.(1)函数的定义域为R,关于原点对称.

a 2 -x x 又因为f(-x)= a -1 (a -a )=-f(x),
所以f(x)为奇函数.

a 2 x -x (2)当a>1时, a -1 >0,y=a 为增函数,y=a 为减函数,
从而y=a -a 为增函数, 所以f(x)为增函数.
x -x

a 2 x -x 当0<a<1时, a -1 <0,y=a 为减函数,y=a 为增函数,
从而y=a -a 为减函数, 所以f(x)为增函数. 故当a>0且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增. (3)由(2)知f(x)在区间[-1,1]上为增函数, 所以f(-1)≤f(x)≤f(1),
x -x

a 2 -1 所以f(x)min=f(-1)= a -1 (a -a)=-1,
所以要使f(x)≥b在[-1,1]上恒成立,只需b≤-1. 故实数b的取值范围是(-∞,-1].

12.(1) 因为f(x)=3 ,f(a+2)=18, 所以3 =18,得3 =2, 所以g(x)=2 -4 ,x∈[0,1]. (2) g(x)=2 -4 =2 -(2 ) , 设t=2 , 因为x∈[0,1],所以t∈[1,2],
x x x x x 2 x x a+2 a

x

? 1? 1 ? t- ? 2 所以g(t)=t-t =- ? 2 ? + 4 ,
所以g(t)在[1,2]上单调递减. 因为t=2 为[0,1]上的增函数, 所以g(x)在[0,1]上为减函数.
x

2

17

(3) 因为g(x)在[0,1]上为减函数, 所以g(1)≤g(x)≤g(0),即g(x)∈[-2,0]. 故g(x)的值域为[-2,0].

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