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高中数学必修3(北师版)第三章3.1 随机事件的概率(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修3(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 概率 3.1 随机事件的概率

一、知识清单
随机事件的概念 频率与概率

二、知识讲解
1.随机事件的概念 描述: 必然事件 一般地,我们把在条件 S 下,一定会发生的事件,叫做相对于条件 S 的必然事件(certain event),简称必然事件.
不可能事件 在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件 S 的不可能事件(impossible event),简称不可能事件.

确定事件 必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件,简称确定事件. 随机事件 在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件 S 的随机事件(random event),简称随机事件. 基本事件与基本事件空间 通常用大写英文字母 A 、B 、C 、? 来表示随机事件,随机事件可以简称为事件.在一次试验中,所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描述, 这样的事件称为基本事件 (elementary event) ,所有基本事件构成的集合称为基本事件空间,基本事件空间常用大写希腊字母 Ω 表示. 例题: 下列事件中哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件? ①如果 x,y 均为实数,那么 x ? y = y ? x ; ②三张奖券只有一张中奖,任取一张奖券能中奖; ③掷骰子出现 7 点; ④某高速公路收费站 3 分钟内至少经过 8 辆车; ⑤声音在真空中传播; ⑥地球绕太阳旋转. 解:①⑥是必然事件,③⑤是不可能事件,②④是随机事件. 由实数的运算性质知①恒成立,是必然事件;⑥是自然常识,是必然事件,所以①⑥为必然事件;掷骰子不可能出现 7 点,声音不能在真空中传播,所以③⑤为不可能事件;三张奖券只有一张中奖,任 取一张可能中奖也可能不中奖,收费站 3 分钟内经过的车辆还可能少于8 辆,因此②④为随机事件. 从 a ,b ,c ,d 中任取两个字母,求该试验的基本事件空间. 解:含 a 的有 ab 、ac 、ad;不含 a ,含 b 的有 bc,bd ;不含 a 、b ,含 c 的有 cd . 所以该试验的基本事件空间 Ω = {ab, ac, ad, bc, bd, cd}. 从 A 、B 、C 、D 、E、F 这 6 名学生中选出 4 人参加数学竞赛. (1)写出这个试验的基本事件空间; (2)求这个试验的基本事件总数; (3)写出事件 “A 没被选中”所包含的基本事件. 解:(1)这个试验的基本事件空间是

Ω = {(A, B, C , D), (A, B, C , E), (A, B, C , F ), (A, B, D, E), (A, B, D, F ), (A, B, E, F ), (A, C , D, E), (A, C , D, F ), (A, C , E, F ), (A, D, E, F ), (B, C , D, E), (B, C , D, F ), (B, C , E, F ), (B, D, E, F ), (C , D, E, F )} (2)从 6 名学生中选出 4 人参加数学竞赛,共有 15 种可能情况. (3)“A 没被选中”包含下列 5 个基本事件:(B, C , D, E) 、(B, C , D, F )、(B, C , E, F ) 、(B, D, E, F )、(C , D, E, F ) .

2.频率与概率 描述: 频率 在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次事件中 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数(frequency),称事件 A 出现的比例

f n (A ) =

的频率(relative frequency) 概率 对于给定的随机事件 A ,由于事件 A 发生的频率 f n (A) 随着试验次数的增加稳定于某个常数,把这个常数记作 P (A) ,称为事件 A 的概率,简称为 A 的概率. 频率与概率的区别与联系 ①频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近于概率,在实际问题中,通常事件发生的概率未知,常用频率作为它的估计值; ②频率本身是随机的,是一个变量,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同. ③概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关. ④二者都介于 0 ? 1 之间. 例题: 某人将一枚质地均匀的骰子连抛了 10 次,其中 2 点朝上出现了 6 次,若用 A 表示“ 2 点朝上”这一事件,则事件 A 的(

nA 为事件 A 出现 n

3 5 C.频率为 6
A.概率为

B.频率为

D.概率接近于频率 解:B C 选项明显错误,应该是频数为 6 .选项 D 错误,应该是“频率接近于概率”.试验的次数确定是 10 次,因此仅凭 10 次试验不能确定事件 A 发生的概率大小,由频率的定义知事件 A 发生的频率 为

3 5



3 . 5

某地气象局预报说,明天本市降雨的概率是 80% ,则下列解释: ①明天本地有 80% 的区域降雨,20% 的区域不降雨; ②明天本地有 80% 的时间降雨,20% 的时间不降雨; ③明天本地降雨的机率是 80% . 其中正确的是______.(填序号) 解:③ ①②不正确,因为 80% 的概率是说降雨的概率,而不是说 80% 的区域降雨或 80% 的时间降雨.

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