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2015届高三数学(文)湘教版一轮复习多题一法专项训练3 待定系数法]


多题一法专项训练(三) 待定系数法 一、选择题 1.已知双曲线的渐近线方程为 y=± 2x,且过点(- 2,-3),则双曲线的方程为( x A. -y2=1 4 x2 C.- +y2=1 1 4
2

)

y B.x2- =1 4 x2 D.- +y2=1 4 )

2

2.在等差数列{

an}中,a1=1,a4=10,若 ak=148,则 k 等于( A.47 C.49 B.48 D.50

?2x+1,x<1, ? 3.已知函数 f(x)=? 2 若 f(f(0))=4a,则实数 a 等于( ?x +ax,x≥1, ?

)

1 A. 2 C.2

4 B. 5 D.9
? ?

? 1 ? -1<x< ?,则 ab 的值为( 4.设二次不等式 ax2+bx+1>0 的解集为?x? 3 ?

)

A.-3 C.6

B.-5 D.5 )

5.已知 m=(-5,3),n=(-1,2),当(λm+n)⊥(2n+m)时,实数 λ 的值为( 5 A. 8 3 C.- 8 3 B.- 16 3 D. 8 )

π? 2 6.已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)的图像如图所示,f? ?2?=-3,则 f(0)=(

2 A.- 3 2 C. 3 二、填空题

1 B.- 2 1 D. 2

7.设函数 f(x)=x(ex+ae x)(x∈R)是偶函数,则实数 a=________.


8.已知圆经过原点,圆心在第三象限且在直线 y=x 上,若圆在 y 轴上截得的弦长为 2, 则该圆的方程为________.

x2 y2 9.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x- 5)2+y2=4 相切,则该双曲线的离 a b 心率等于________. 10.设 a 是实数,且 三、解答题
2 2 2 11.设{an}是公差不为零的等差数列,Sn 为其前 n 项和,满足 a2 2+a3=a4+a5,S7=7.

1-i a + 是实数,则 a=________. 2 1+i

(1)求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; amam+1 (2)试求所有的正整数 m,使得 为数列{an}中的项. am+2

12.一动圆与圆 x2+y2+6x+5=0 外切,同时与圆 x2+y2-6x-91=0 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线.

13.(2013· 武汉模拟)已知椭圆 C1,抛物线 C2 的焦点均在 y 轴上,C1 的中心和 C2 的顶 点均为原点 O,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中: x y (1)求 C1,C2 的标准方程; (2)设斜率不为 0 的动直线 l 与 C1 有且只有一个公共点 P,且与 C2 的准线相交于点 Q, 试探究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 0 -2 2 -1 1 16 2 -2 4 1





1.选 C 设所求的双曲线方程为 y2-4x2=k,因为双曲线过点(- 2,-3),所以(-3)2 x2 -4(- 2)2=k,得 k=1,所以双曲线的方程为- +y2=1. 1 4

2.选 D 设等差数列的公差为 d,∵a1=1,a4=10,∴d=3. ∴148=1+3(k-1),∴k=50. 3.选 C ∵x<1,f(x)=2x+1,∴f(0)=2. 由 f(f(0))=4a,得 f(2)=4a,∵x≥1,f(x)=x2+ax, ∴4a=4+2a,解得 a=2.

4.选 C

?-1+3=-a, 由? 1 1 ?-1×3=a,

1

b

得 a=-3,b=-2.

∴ab=6. 5.选 C 由已知得|m|= 34,|n|= 5,m· n=11, ∵(λm+n)⊥(2n+m), ∴(λm+n)· (2n+m)=λm2+(2λ+1)m· n+2n2=0, 3 即 34λ+(2λ+1)×11+2×5=0,解得 λ=- . 8 6.选 C 由题意可知, 11π 7π 2π 此函数的周期 T=2( - )= , 12 12 3 故 2π 2π = ,∴ω=3,f(x)=Acos(3x+φ). ω 3

π? 2 ?3π ? f? ?2?=Acos? 2 +φ?=Asin φ=-3.又由题图可知 7π? 2 ? 7π ? f? ?12?=Acos?3×12+φ?=0,∴f(0)=Acos φ=3. 7.解析:因为 f(-x)=-x(e x+aex),f(x)是偶函数,


所以-x(e x+aex)=x(ex+ae x),
- -

ex+ae x+e x+aex=0,
- -

(1+a)ex+(1+a)e x=0,


(1+a)(ex+e x)=0,


所以 1+a=0,即 a=-1. 答案:-1 8.解析:依题意设所求圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=2a2, 令 x=0,得(y-a)2=a2,此时在 y 轴上截得的弦长为 2|a|,由已知得 2|a|=2,故 a=± 1, 由圆心在第三象限,得 a=-1,于是,所求圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=2. 答案:(x+1)2+(y+1)2=2 x2 y2 b 9.解析:双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x,即 bx± ay=0, a b a

∵渐近线与圆(x- 5)2+y2=4 相切, ∴ | 5b± 0| =2, 2 a +b2

∴b2=4a2, c2-a2=4a2,∴c2=5a2. c e= = 5. a 答案: 5 1-i a?1-i?+1-i ?a+1?-i?a+1? a 10.解析:由 + = = 是实数得,a+1=0,a=-1. 2 2 2 1+i 答案:-1 11.解:(1)由题意,设等差数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d,d≠0.
2 2 2 由 a2 2+a3=a4+a5知 2a1+5d=0.①

又因为 S7=7,所以 a1+3d=1.② 由①②可得 a1=-5,d=2. n?n-1? 所以数列{an}的通项公式 an=2n-7,Sn=na1+ d=n2-6n. 2 (2) 因为 amam+1 ?am+2-4??am+2-2? 8 8 = = am + 2 - 6 + 为数列 {an} 中的项,故 为整 am+2 am+2 am+2 am+2

数.又由(1)知 am+2 为奇数,所以 am+2=2m-3=± 1,即 m=1,2. 经检验,符合题意的正整数只有 m=2. 12.解:如图所示,设动圆半径为 R,已知圆的圆心分别为 O1,O2,将两圆方程分别 配方得(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100,

故 O1(-3,0),r1=2;O2(3,0),r2=10. 当⊙M 与⊙O1 外切时,有|O1M|=R+2,① 当⊙M 与⊙O2 内切时,有|O2M|=10-R,② 将①②两式的两边分别相加,得|O1M|+|O2M|=12, 又|O1O2|=6,所以|O1M|+|O2M|>|O1O2|, 由椭圆的定义可知,动圆圆心 M 的轨迹是一个以 O1,O2 为焦点,长轴长为 12 的椭圆. x2 y2 设其方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b

?2a=12, ?a=6, 则有? 2 解得? 2 ?b=3 3, ? a -b =3,
x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 36 27 所以动圆圆心的轨迹方程是 轴长为 12 的椭圆. y2 x2 13.解:(1)设 C1,C2 的标准方程分别为: 2+ 2=1(a>b>0),x2=2py. a b 1 将点(-1, )和(4,1)代入抛物线方程中得到的解相同, 16 ∴2p=16, ∴点(0,-2 2)和( 2,-2)在椭圆上,代入椭圆方程得 a=2 2,b=2,故 C1,C2 的 y2 x2 标准方程分别为 + =1,x2=16y. 8 4 y2 x2 (2)设直线 l 的方程为 x=my+n,将其代入 + =1 中,消去 x 并化简整理得, 8 4 (1+2m2)y2+4mny+2n2-8=0. ∵直线 l 与 C1 相切, ∴Δ=16m2n2-4(1+2m2)(2n2-8)=0,∴n2=4(1+2m2), 设切点 P(x0,y0),则 y0=- n2-8m2 4 2mn 8m ,x0=my0+n= = . 2=- n n n 1+2m x2 y2 + =1,其轨迹是一个以 O1(-3,0),O2(3,0)为焦点,长 36 27

又直线 l 与 C2 的准线 y=-4 的交点为 Q(n-4m,-4), ∴以 PQ 为直径的圆的方程为 4 8m (x- )(x-n+4m)+(y+ )(y+4)=0, n n 4 8m 化简并整理得 x2- x+(4m-n)x+ (y+2)+(y+2)2=0,故存在定点 M(0,-2)符合题 n n 意.


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