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高二数学椭圆的第二定义


高二数学椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精讲
一. 本周教学内容: 椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系

[知识点]
1. 第二定义:平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数
c e( e 动 叫 点 个 线 ? 0 1点 做 为 焦 为 ?的 迹 定 一 直 ? ) M 的 圆 圆 ,

轨 , 的 定 椭 椭 点 a

椭圆的准线,常数 e 是椭圆的离心率。 注意: ① 2 1 b 对 点)准 准 对 ??0 于 2, 称 , ? ( a? 应 F 0 线 线 ) 右c 的 右 焦 ( 为 2
ab
2 2

xy

2

2

a a 方? 对 焦c ) 准 准 程 是, 左 ( , 线 线 x 应点 0 于F ? 的 左? 为 x? 1 c c

②e 的几何意义:椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。

2. 焦半径及焦半径公式: 椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。
xy 对 ? 2 1b , ) 圆 由 : 于? ( ? 设 椭 , 义 椭 ? 圆 a 0 P 为点定 ?) (y x ,上 第 一二 a b
c 左 径 焦 半 ? 2 a a x? 0 c r 右 a
2

2

2

r 左

c a ∴?x ? ? ? ?x r e0 a e0 左 a c

2

右 半 焦 径

?

c a

?右 ?a?e 0 r x

c

?x 0

3. 椭圆参数方程 问题:如图以原点为圆心,分别以 a、b(a>b>0)为半径作两个圆,点 B 是大圆半径 OA 与 小圆的交点,过点 A 作 AN⊥Ox,垂足为 N,过点 B 作 BN⊥AN,垂足为 M,求当半径 OA 绕 O 旋转 时点 M 的轨迹的参数方程。

解: 设 是是 ,的 为 点 (y 以 ? M x ? x 边边 ? 的 ) 坐 , 始终 取 标 ,O 为为 , ? 正 角 参数。
那x O | A s 么 ?NOo ? | ? c y N ?B ? ?M | i | On s x as o ??c ? ∴ ( 1 ) ? y bn i ??s ?

这 方 时 心 就 程 , 角 是 : ?离 椭 ? 圆 为 为 参 参 “ 数 数 称 ”

说明:<1> 对上述方程(1)消参即
?x ? cos? 2 2 ?a x y ? ? 2 ? 2 ?1 普 方 通 程 ? y a b ? ? sin? ?b ?

<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。

4. 补充
名称 直线 方程 参数几何意义

? x ? x 0 ? t cos ? ( t为 参 数 ) ? ? y ? y 0 ? t s in ? ? x ? a ? r cos ? (?为 参 数 ) ? ? y ? b ? r s in ?

P0 ( x 0 , y 0 ) 定 点 , ? 倾 斜 角 , t ? P0 P ,
P ( x, y) 动 点 A ( a, b) 圆 心 , r 半 径 , P ( x , y ) 动 点 ,? 旋转角



椭圆

? x ? a cos ? (? 为 参 数 ) ? ? y ? b s in ?

a 长半轴长,b 短半轴长

? 离 心 角 ( 不 是 O M 与 O x的 夹 角 )

一 般 地 , ?、 ? 取 [0, 2 ? ]

5. 直线与椭圆位置关系: (1)相离

x

2 2

?

y

2

a

b

2

?1

y ? k ?b x

?x y ? 2 ? 2 ?1 ① 离??a 相 b ?y ? k ?b x ?
2 2

无 解

②求椭圆上动点 P(x,y)到直线距离的最大值和最小值, (法一,参数方程法;法二,数 形结合,求平行线间距离,作 l'∥l 且 l'与椭圆相切) ③关于直线的对称椭圆。 (2)相切

?x y ? 2 ?1 ? ① 切??a2 相 有 解 一 b ?y ? k ?b x ?
2 2

② 过 椭 圆 上 一 点 P0 ( x 0 , y 0 ) 的 椭 圆 的 切 线 方 程 为
?x y ? 2 ? 2 ?1 (3 相 ??a ) 交 有 解 两 b ?y ? kx ?b ?
2 2

xx 0 a
2

?

yy 0 b
2

? 1

①弦长公式:
|A ? ( 1?2 ?y? 2 B | x x) ( 1 y)
2 2

?1 k ?

2

( 1? 2 ? x 2 x x) 41 x
2

? 1 k |x ?x | ? 1 2
2

?

1? k ?
2

? |a|

② (中点:斜率

) ? 作差法

例 1. 已 知 ) 是? 1 焦 在 动 A (, 椭 ? 23 , F 圆? 的 点上 右 M 移 点椭 , ,圆 当
1 2 6 1

xy

2

2

|MA|+2|MF|取最小值时,求点 M 的坐标。

分析: 结 椭 义 M|P 合圆可 F M 图 的 得|M A 形 第 |A |A | ' , 二 || 用 定 ?? M 2 | ? A | ? | 这里|MP|、|AP|分别表示点 A 到准线的距离和点 M 到准线的距离。 解: 设 椭 准P 垂 则 e M 直 圆线 l 线 的 ,, P l 是右M ⊥ 为 足 , ?| P , | ?
| P M | | F M | 1 e

1 1 | F 已 a b 3 c, 此 | F M 知 ? ?, e , PM | 由 得 2 ∴?由 | ,程 方4 , ? 2 得 | M ? | ? 2 e
2M | 从 得 | F, 而

| A | M| ' 即 P 线 分 M | A A 当 三是 || F? A 点 点A ??| P,A 共 内 2 M M | | ? | M 、 、 M点 且 P 时 , M小 坐 3 ,此 F 等 时 | 得 M( , 号 |A 取 点 2 ) 成 || 立? M 2 最的 值标 ,为 3

xy 例 2. 椭 ? 点2 点 的 ∠钝 圆 1 ? 的1F P 焦 为 F, 上 当为 、为 点1 2 角 其 ,F 动 F P 94

2

2

时,点 P 横坐标的取值范围是_______________。 (2000 年全国高考题) 分析:可先求∠F1PF2=90°时,P 点的横坐标。
椭 a , c 5 焦 式| 3 圆? ? ? 中 3 2 ,径| 1 半知 P ? , 解:法一 在 , b , 依 公F ? x 3 5

5 2 2 2 | F ? x 余 知 2 钝P?2 ? 2 ? P 3 | ? , 定 F 为 | F P |1 | 由 理P 弦∠ F 角1 | F F ? | | F 2 1 3

52 52 3 3 2 2 9 (? x ?? x ? 5? ,? ? 3 ) ( 3 ) ( ) 2 x ? 应 填 x ? 3 3 5 5 5

法二

设 ∠ , 为 P 则 0点 x ? () 当 时 程 x ,P y ,? F ° 方5 F 9 P 的? 轨y 迹 , 1 2
22

3 由 P 标 , 上P ; 上 此 横 可 坐 得 点 x 的? ± 在 ∠ 点 时 20P P x 轴F ,? F 点 在 y 轴 1 5 3 3 时F 角 得 标 围 , 为 此 横 值?? ∠钝 可 坐 范 F P , 点 的 是x 由 P 取 ? 1 2 5 5

小结:本题考查椭圆的方程、焦半径公式,三角函数,解不等式知识及推理、计算能力。

例 3. 过? 1 点 引 使 平 条 椭 圆? 内 , 弦 M, 一1 条 被 M 一 弦分 ( ) 2 ,点 这 求
14 6

xy

2

2

弦所在的直线方程。 分析:本例的实质是求出直线的斜率,在所给已知条件下求直线的斜率方法较多,故本例 解法较多,可作进一步的研究。 解:法一
2

设为 ,并 所 y () 入 理 求 1 2 椭, 直? 线k 方x 代 整 程 ?? 圆得 方 程
2 2

( 1k ?) ? 直 为 4 ? )(1 0 线 k ?2x ? )( k 2 1又 交 x ? k 6 设 点 4 ? , 的 与 椭 圆
2

8? ( 2 ) kk A 1 ( y 则 程 ,x ( yB 2 x ) x ) x 2方 根 ? ,2 、 , ,1x 、的 于 ? 2 是个x 2 两是 , 1 1 41 k ?
2

x2 4 ? ? ( x 2k k ) 1 1 又中 M 点 为 , ?2 A B 的 ∴ ? 之 ,线 2 得 故方 , ? 所 解 k ? 求 直 2 41 2 k ?
2

程 x? y? ? 为 2 4 0

法二

设 点( 2 ( 为 直 为2 ) 2 B 线 A B M 中 与( 1 x 椭, 圆y , A 的) 交 x 、 , y , 1 )的 点 , 1
2 2 2 2

∴ y 又 上1 4 x 42 ? y 2 B圆 ? y x 1 ? ? , 、,, ? , A 椭y x 两 x 点 ? 在4 则 2 2 6 ? 1 2 1 1 ? 两 ( ?? ? ? 1 式 xx 4 y 0 6 , 得) ( 相 减 2 y 2 ) 1 1
2 2 2 2

y? 2 y x? 2 x 1 1 1 ∴ ? ? ? ? x? 2 x 4y ? 2) (1 y 2 1

1 即? , 求 为 y 4 0 k ? 故 直 x 2?? 所 线? A B 2

法三:设所求直线与椭圆的一个交点为 A(x,y) ,由于中点为 M(2,1) ,
则 交 (? 2y 另 点 一 为x ? 个 B ,) 4

∵ A、 B两 点 在 椭 圆 上 , ∴ 有 x
① 得 ?y 4 0 ? ② x 2? ? :

2

? 4y

2

? 16 ① , (4 ? x )

2

? 4(2 ? y )

2

? 16 ②

由 直,方 4 于 线故程 ? 过 只所为0 A 、 一直 2 B 有求x ? 的条线y ?

法四

x o ? ?2?t c s? 直 方 为 线 程 ? y in ? ?1?t s ?
2 2

代 :s ? tn ? 0 入 ( t ?( s) 1 椭2 o 圆 c) 4 i 得 ? 1 ?6 ? ? ∴ ?o?t ? s? 0 4 c ?s 4s ?i ? ?s t 4 t o c ?8 ? i n tn1 4 6 ?
2 2 2 2

∴ ? ? (i ?st 8 (i ?s)? n 4? ? 4 s n c t 8 o s ? o ?0 c)
2 2 2

8n ?c ? s ?4 s i o ∵t ?, t? 0∴ ? ? 0 1 2 2 2 4n ? s? s ?c i o
∴i ? 2o? 0 8 n ? cs ? s

1 ∴i ? ?cs , ? ? 8 n ? 2o? t n ? s a 2 1 即? , 求 为 y 4 0 k ? 故 直 x 2?? 所 线? A B 2

例 4. 已8 在点 线? 知 ?椭P 直 4 椭 8 圆 使x 圆,一 x ? y 上 Pl ? 0 求到 ? ,: y
2 2

的距离最小并求出距离的最小值(或最大值)? 解:法一
设2 s s ? 参 得 P c? i ) ( 2 o, ( n由 程 数 ) 方

| 22o ?i ? 4 | s ( ? ) 4 cs s ?| 3 n ? n i ?? | ? 则 d ? ? 2 2 ? 1 2 其 n ? 2 当 ? 时m ? ? 中 t ? 2 ,? a ?? , d i n 2 2 2
22 1 此o ? s ? ? 时? ?n ? c s i , ? s ? s?c? i n o 3 3

8 1 即点 标 P? , ) P 坐 为( 3 3

法二

因故l l 圆 距 l 圆 l 至相 离 与 直 '椭l 椭 线 与与 相平 离移 , 把 使则 ' ,, 切 , l的 '

即 的 , 所' 为 最 切 求 所 小 点 点最 求 值 为 ( l? ' 大 )

x ym 0 ??? ? 设x y m , ? l: ' ?? ? 则 2 0 由 消 x 得 2 x 8 y 8 ? ? ?
9 2 m 0 ? ? ( ?0 y m?, ? ? 8 令 4 m? y ? ? 4 ?) m 9 8
2 2 2 2

解 ?3 ? 最由 ? 之 ±3 大图 ? 得 , m ( 为, m ) 得 3

8 1 2 此( , 由 线 离 i ? 时 P ? ) , 行 距 ln 平 间 得 m 3 3 2

例 5. 已圆 ? ? P ) 椭一 知 : 椭 E 1 ( , xy , 圆 是 上 点
2 6 51

x

2

y

2

() x ? 的 值 1 求 y 最 大
2 2

(2)若四边形 ABCD 内接于椭圆 E,点 A 的横坐标为 5,点 C 的纵坐标为 4,求四边形 ABCD 的最大面积。 2 2 2 分析:题(1)解题思路比较多。法一:可从椭圆方程中求出 y 代入 x +y ,转化为
x函用,y 为 的法数入三 二二方x 转 次:程 ? 数椭将, 求圆x 解的 y 。参代 、 化 角
2 2

问 令 利 共 的 题 x? 用 点 最 求 ? 则 公 r 解 y 。 法 r 三 , 有 求 : 圆 这 与 一 椭 条 圆 件
2 2 2 2

值,解题时可结合图形思考。得最大值为 25,最小值为 16。 题(2)可将四边形 ABCD 的面积分为两个三角形的面积求解,由于 AC 是定线段,故长度已 定,则当点 B、点 D 到 AC 所在直线距离最大时,两个三角形的面积最大,此时
四 AD 积 。 2 2 边 C 面大得 形 的最求 B 0
2 2 2

x y x 2 1 一 ) 1 得 11 6 , 解: ( 法由? ? y ? (? ) 2 1 5 6 2 5 x 9 x 2 2 2 则 y? ? (? ) 1 x? x 1 6 1 ? ? ?, 6 [ 1 2 6 5 ] 2 5 2 5
2 2

∴ 的 为 小6 x y 最 2 最 1 ? 大5 值 , 为 值
2 2

o ?x ?5c s? 法 : ? 二 令 , in ?y ? 4s ?

则 2 ?s? ? ? , xy 5 ? ? ?s 1 c o 6 ?9 ? 5 i n 1c 6o [ 2 s 1 ] 6
2 2 2 2 2

法 ? r则 得 2 三 令 xy , 合 6 ] ? 数 r[ 形 ? 5 结 1 ,
2 2 2 2

(2)由题意得 A(5,0) ,C(0,4) ,则直线 AC 方程为:4x+5y-20
? 设4, 线 0 B , 点C , s s 则 A离 又 ( ?n 5 c o i) ? B 到距 直 的

? | 0 s ( ?) 2 2 2n i ? ?| 0 | 0 s ? s ?2 2 o 2i ? | c ? 0n 0 2 22 0 ? 0 4 d ? ? ? 1 4 1 4 1 4 1

2 02 2 ?0 同 D 直 C 距 2? 理 到 A的 d 点 线 离 4 1

∴的积| 1 d 2 四最S C 2? 2 边大 | ( ? 形面 ? d ) 0 A

例 6. 已 知 椭 圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) , A B 是 椭 圆 上 两 点 , 线 段 A B 的 垂 直 平

分线与 x 轴相交于点 P(x0,0) 。
a? b a? b 求: 证? ? 0? x a a
2 2 2 2

(1992 年全国高考题) 分析: 本 路点 a 示 题 是的、 证 :坐b 0 明 用标 表 的 A 总 、、 x 体B 思两2 x x 来 及 , 1
利 用 ? 2a ? x1 ? x 2 ? 2a证 明

证明:法一

设B ) 题 P , A )( y ( y x ,≠0 x 、 由x( ) , 2 , 知0 意 x x且 , 11 2 12
2 2 2 2

由B 1 0 ? ( | A | (? P || 得) y xx? ① ? P xx ?? ) y 1 2 1 2
x x 2 2 2 2 1 2 又 点 上1 b ?) y b ?) A两 圆 y 、在 , B 椭 ∴ ( ? 1 2, ( ?1 2 2 a a
2 2

? 2 2a b 代整22 xx (2 x 入理x 1 0 x 1 ①得?) ? ? ) 2 , ( a
2 2

x?2 x a? b 1 ∵ x ∴ 0? x ≠ , x 有 ? 2 1 2 2 a
2

2

又 1 a a 2 a xx ? x , ?且 a ? ?x ,2 ? ? ≠ 1

∴ ? 2a ? x1 ? x 2 ? 2a
a? b a? b 由得 此? ? 0? x a a
2 2 2 2

法二

令 r则 圆 | A, 为 P | ? 以 心 P ,
2 2 2

r半 的 ( x ?? ① 为 圆 为) y r 径方 ? 的程 0 x
x y 圆 圆 2? ? 0 交 B P 与 2 椭 ? 1 ( ab )② 、 ? 于两 A 点 a b
2 2

a b2 ? 2 2 2 由 消理 2 x 2 ? ?? ? ① 去得 、 y ②整 ?0 x xx r b 0 0 a
2 2

2x a0 由 定 x x? 2 韦 理 ? 达 得 2 ? a2 (2 ?, a ) 1 2 a? b

2

a ? b a ? b ∴ ? ?x ? 0 a a
2 2 2

2

法三

设) ( y A 点 n Ay B 2 B 为 ( 1 x 、) 的 ( ) ,2 x , , 中 、 M m 1

∴2 2 y y 2 x x m ?? ? ? ,2 n 1 1
x y x y 1 1 2 2 又 两 椭 2? ? A 、 在 上 2 1 2? ? B 点圆 , 2 1 a b a b
2 2 2 2

( ?( ? x xx x ( ? ( ? ) ) y yy y ) ) 1 2 1 2 1 2 1 2 则减 两得 2 式 相 ? ? 0 2 a b
yy m ? ? x 1 2 0 将 ? ? 及? yy 2入: xx 2 1 2 n 整 ? m ,? ? 代得 理 1 2 xx ? n 1 2

x0 ?

a

2

? b a
2

2

m ?

x1 ? x 2 2

?

a

2

? b a
2

2

,下略

这种解题方法通常叫做“端点参数法”或叫做“设而不求” 。

例 7. 设中标长 ,e 椭心原轴 离 圆是点在 心 的坐,x 轴率,P ) ? 已0 知 点 ( ,
2 2

3

3

到这个椭圆上的点的最远距离是 距离等于 7的 点 的 坐 标

7, 求 这 个 椭 圆 的 方 程 , 并 求 椭 圆 上 到 点 P的

解法一:设椭圆的参数方程为
x ao? ? ? cs , ( 中 b 0 0 ? 2) 其 ? ?, a ? ?? ? y bi n ??s ?
c b2 3 2 由? 2 ? ? ) ? , ? b e 1( 得 2 a a 4 a
设 的 椭 点) 点 离 圆 ( 上 xy , P 到 距 的 d 为
2

32 2 2 则 ? x ?(y ? ) d 2
32 2 2 ?a c s ? ( sn ? ) o ?bi ? 2 12 2 2 ? 3 (i ? ?b sn ? ) ? b ? 4 3 2 b 1 1 如 果 ?1 b ? 即 2 b 2 3 2 2 2 那 i? 1 d 得 (7?? 么 ?时 当 ?, 最 s n 取 值 大) ( b ) 2 3 1 1 由 b 7 此 ? ? ?与 矛 得 b ? 盾 2 2 2 1 1 2 2 2 因 ? 时 ? , 大 ?? 此 1 必 ,i ? 时 最 ) 4 3 有此 当 s n ? d 取 ( 得 7 b 值 2 b 2 b
解 b? ,? 得 1 a 2

x 2 o? ? ? cs 所椭的数程 ? 求圆参方是 y sn ? ?i ?

1 3 由 n ?? ,o ??± s ? i cs 2 2

1 1 求 到 离的 3 )( , 得 点 等点, 3 ) 椭 P 圆 的 上 距 7 是? 于 ( ? 与 ? 2 2
x y 解法二: 设 椭 方 2?2 ? a b 0 所 圆 程 求 的 为 1 ?? ( ) a b c b2 3 b 1 2 由? 2 ? ? ) ? , e 1( 解 ? 得 a 4 a 2 a
设 的 椭 点) 点 离 圆 ( 上 xy , P 到 距 的 d 为
2 2 2

32 2 2 则 ? x ?(y ? ) d 2
?a ?
2

a

32 2 y ?(y ? ) 2 b
2
2

2

?? y ?3 ?4 ? 3 y b
2

9 4

12 2 ?? (y? ) ?4 ?3 3 b 2 1 其b y b如 中 ? ?? ,b ,y ? 果 ? 则 b 当 时 ? 2 32 2 2 d 取最值7 ?b ) 得大( ) ( ? 2
3 1 1 解 ?7 得 b ? ? 与 矛 b ? 盾 2 2 2 故必有b ? 1 2 1 2 2 2 当 y ?时 取 大 7 ? ? ? , 得值 d 最( ) 4 3 b 2
解 b? ,? 得 1 a 2
2

x 2 所 椭 方 为 ?y ? 求圆程 1 4
1 1 由可 P离 的 为 ? y ? 求 的 ? 得 距 7 的± ) 到 点 等点 ( 3 于 坐 标 , 2 2

小结:椭圆的参数方程是解决椭圆问题的一个工具,但不是所有与椭圆有关的问题必须用 参数方程来解决。

【模拟试题】 1. 已知椭圆
x
2 2

?

y

2

a

b

2

?1 a ?b ? 0 的焦点坐标是 F 1 ( ? c , 0 ) 和 F 2 ( c , 0 ) , P ( x 0 , y 0 ) 是 ( )

椭圆上的任一点,求证: | 1 ? Fx中心 率。 Pe 2 ? Fx | | ?,0 a | ?,的 Pe a 其离 e 是 椭 圆 0
x
2

2. 在椭圆

?

y

2

? 1 上求一点 P,使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。
| x 3 ?3 4 ?y 3 | 1 0

25

9
2 2

3. 椭圆 ( ? ?y 1 ? x 1 ( ? ) )
2 2

的长轴长是___________。

4. 椭 圆

y x ? ? ? 0两 F ? F c ? , 离 心 率 1 b) ( a ? 的 为 c 2 ,0 焦1 , 点 ( 0 ) , ) ( 0 ( c ) 2 2 a b

e ? 2

3

,焦点到椭圆上点的最短距离为 2 ?

3 ,求椭圆的方程。

5. 已知椭圆的一个焦点是 F(1,1) ,与它相对应的准线是 x?y?4?0,离心率为
2

2



求椭圆的方程。 6. 已知点 P 在椭圆 的取值范围。 7. 在椭圆
x
2

y

2

a

2

?

x

2

b

2

求 F | F ?1 a ?b ? 0 上, 1 、 F2 为椭圆的两个焦点, | P 1|?P 2| ( ) F

?

y t

2

,过点 A 的直线 l 的斜率为-1,且与椭圆交于 B、 ? 1 内有一点 A(2,1)

8

C 两点,线段 BC 的中点恰好是 A,试求椭圆方程。 8. 已知椭圆
x
2

?

y

2

? 1 ,在椭圆上求一点 M,使它到两焦点距离之积为 16。

25

16
2 2

9. 如图,已知曲线 4 ?y ?6 ?,0 ,以 x 9 3x 0 y ) ( ? ,点 A 在曲线上移动,点 C(6,4) AC 为对角线作矩形 ABCD,使 AB∥x 轴,AD∥y 轴,求矩形 ABCD 的面积最小时点 A 坐标。

[参考答案] 1. 证明:椭 圆
x a
2 2

?

y b

2 2

,相应的准线方程 ( , 2c 0 ? ) 、 ( ) ? ( ? ?0 的两焦点 F c 0 F , 1a b ) 1

分别是 x ? ?

a

2

和 ? x

a

2



c

c

∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率, ∴
| PF | 1 x0 ? a
2

? e,

| PF | 2 a
2

? e。

c

c

? x0

化简得 | Fa x | Fa x P | ? e ?, P | ? e。 ? 1 0 2 0 点 评 : | P 1|、P 2| 都 是 椭 圆 上 的 点 到 焦 点 的 距 离 , 习 惯 称 作 焦 半 径 , F | F 结合这两个公式, 显然到焦点距离最远 (近) | Fa x | Fa x P | ? e ?, P | ? e称作焦半径公式, ? 1 0 2 0 点为长轴端点。 2. 解:设 P 点的坐标为(x,y) 1、F2 分别为椭圆的左、右焦点。 ,F ∵椭圆的准线方程为 x ? ± ∴
| P F1 | 25 4 ? x ? | P F2 | 25 4 ? x

25 4



∵ |P1|? |P 2| F 2 F
2 P 2| | F | P 2| F 2 5 ∴ ? , x? ∴ 2 5 2 5 1 2 ?x ?x 4 4

2 5 x y 把? 代 方 x 入程 ? ? 1 1 2 2 5 9
119 4 25 12 119 4

2

2

得y ? ±

因此,P 点的坐标为 (

,±

)。

点评:解决椭圆上的点到两焦点的距离(焦半径)问题,常利用椭圆的第二定义或焦半径 公式。如果利用焦半径公式,应先利用第二定义证明焦半径公式。 3.
3 2 3

解析:椭圆的方程可写成

( x ? 1)

2

? ( y ? 1)

2

|4 x ? 3 y ? 3 3 | 5

?

1 2





c a

?

1 2



一个焦点是(-1,1) ,相对应的准线方程是 4 ? y 3 ? , x 3 ?3 0
a | 4? ? 3 ? 3 3| ∴ ? ? c ?8 ② c 5
2

由①、②得 a ?

1 6 3

, 2 ? ∴a

3 2 3



4. 解:∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短, ∴ a?c ?2? 3
c a 3 2

又e ?

?



∴? , b? a 2 故 1
2

∴椭圆的方程为

y

? x

2

? 1

4

5. 解:设 P(x,y)为椭圆上任意一点, ∵椭圆的一个焦点是 F(1,1) , 与它相对应的准线是 x?y?4?0,离心率为
2 2





( x ? 1) ? ( y ? 1)
2

2

| x ? y ? 4| 2

?

2 2

∴ 4 ? ? y1? ?? , ( 1 4? x ) ( ) ( y4 x )
2 2 2

即 3 ? y ? x ? ? 为所求。 x 3 2y 8 0
2 2

6. 解:设 P ( x0 ,y0 ) ,椭圆的准线方程为 y ? ±

a c

2

,不妨设 F1、F2 分别为下焦点、上焦点



| P 1| F y0 ? a
2

?

c a



| P 2| F a
2

?

c a

c

c

? y0

c c ∴ 1? y ?, 2? ? y |P | F a |P | a F 0 0 a a

c c ∴ 1? 2? ? y ( ? y |P| |P | ( F F a )a ) 0 0 a a
? a
2

?

c a

2 2

y0

2

∵ ? ?y ?a, a 0 ∴当 y 0 ? 0 时, | F | F 大大a P? 最最为 | P | ,值 1 2
2

当 y a|FF , ?b ? , 2小 a ? ±| | | 时P P ? 最 c 最 为 小 值 0 1
2 2 2

因此, | P 1|?P 2|的取值范围是 [b , a ] F | F
2 2

7. 解:设直线 l 的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 2 )
? y ? 1 ? ?( x ? 2) , ? 2 由? x 2 消去y y ? ?1 ? t ? 8

得 ( ?) ?8?2 8? , t 8 x 4 x 7?t 0
2

由已知,

x ? x2 1 2

?
2

2 4 t ?8
2

? 2 ,解得 t ? 4 ,

x y ∴ 圆 程 椭 方 为 ? ?1 8 4
?, , , ? ? 8. 解:设 M(x,y) ,由椭圆方程得 a 5 b 4 c 3

∴ e ?

3 5

故 1| F| F a x ? ?? ??x , 6 1 M ?( e a e ? | M ? ( ea x | ? ) ) x 2 5 2
2 2 2

9 2

2 5

∴x=±5。 代入椭圆方程,得 y ? 0 , ∴所求点 M 为(5,0)或(-5,0)
( o? 2 n ) 3 s 9. 解:设 A c s , i ? , ? ? ( 0 ,

? 2

),

则 B ( 6 , 2 s in ? ) , C ( 6 , 4 ) , D ( 3 c o s ? , 4 ) ,
|B | ( c ( s AA6 o ? ? | ?? ? ? s 4i n ∴ S ? |D 3 ) 2 ) A B C D
? 2 4 ? 1 2 ( s in ? ? c o s ? ) ? 6 s in ? c o s ? ,

? i ?s n o, ( t 1 2 i c? ? ] , o n 令 t s ?c ?则, s ?s ?

t? 1
2



2

SBD? ( ? ) ? 3 2 t 9 AC
2

? 3 当 , 72 此 ,, t 2 S? 1 , ?时 2 ? 2 时 A2 2 ? ? ( ) m i n 4 2


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