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福建省四地六校2014届高三上第三次月考数学试题(文)及答案


福建省四地六校 2014 届高三上学期第三次月考数学文试题
(考试时间:120分钟 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,?, x n 的标准差; 总分:150分)

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ( x n ? x) 2 ],其中x 为样本平均数; n 4 3 2 球的表面积、体积公式: S ? 4?R ,V ? ?R , 其中 R 为球的半径。 3 s?
一、选择题(本大题共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.)

1, 3, 5 ? ) 1.设全 U ? ?1, 2,3, 4,5,6 ?, 设集合P ? ? 2,3, 4 ?,集合Q ? ? 4 , ,P ?( CU Q ? (
B. ?1, 2,3, 4,5? C. ?1, 2,5? D. ?1, 2?

)

A. ?1, 2,3, 4, 6?

2.如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上, 七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图, 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 A.84,4.8 B.84,1.6 C.85,4 D.85,1.6

3.向 量 , 则 “ x=2”是 “ a // b "的 ( ). A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.设函数 f ( x) ? ? x ? 2, x ? [?5,5] .若从区间 [?5,5] 内随机选取一个实数 x0 ,则所选取的实数 x0 满足

a ? (1, x ? 1), b ? ( x ? 1,3)

f ( x0 ) ? 0 的概率为( A. 0.5 B. 0.4



C. 0.3 D. 0.2 5.如图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图 都是边长为 2 的正三角形,俯视图轮廓为正方形,则此几 何体的表面积是 A. 4 ? 4 3 B.12 C. 4 3 D.8 6.若复数 z ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ( A.-7 ) B. ?

主视图

侧视图

? ?

3? ? 5? ?

4? ?? ? ? i 是纯虚数,则 tan ? ? ? ? 的值为 5? 4? ?
D. ?7 或 ?

俯视图

7.已知 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列命题正确的是( A.若 m // ? , n // ? ,则 m // n . B.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? . C.若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? . D.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? .

1 7

C.7

1 7

)

·1·

?x ? 2 y ? 0 ? 8.设 z ? x ? y , 其中实数x, y满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大值为 12,则 z 的最小值为 ?0 ? y ? k ?
A.-3 B.-6 C.3 D.6 ) 9. 在 ?ABC 中, 是 BC 的中点, D AD=3, P 在 AD 上且满足 AD ? 3AP, 则 DA ? ( PB ? PC ) ?( 点 A.6 B. ? 6 C.-12 D. 12 10.对于定义在 R 上的奇函数 f ( x), 满足f ( x ? 3) ? f ( x), 则f (1) ? f (2) ? f (3) ? ( A.0 B.—1 C.3 D.2
x

) )

11. f ( x) 为偶函数, x0 是 y = f ( x) + e 的一个零点, 若 且 则- x0 一定是下列哪个函数的零点 (
x ?x
x x

A. y ? f (? x)e ? 1 B. y ? f ( x)e ? 1 C. y = f ( x)e - 1 D. y = f ( x)e + 1 m, n , 定 义 某 种 运 算 “※” 如 下 : 当 m, n 都 为 正 偶 数 或 正 奇 数 时 , 12. 对 于 任 意 两 个 正 整 数 m ※ n = m ? n ;当 m, n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m ※ n = mn .则在此定义下,集合

M ? {(a , b ) a ※ b ? 12, a ? N?, b ? N?} 中的元素个数是(
A.10 个 B.15 个 C.16 个

) D.18 个

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

共 90 分)


13.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 2 ,若 an ? 64 ,则 n 的值为 14.已知函数 f ( x) ? ?

则 f ( f ( 1 )) 的值是 . 4 3x ? 1 , x ? 0, ? 2 2 2 15. 在△ ABC 中,三边 a 、 b 、 c 所对的角分别为 A 、 B 、 C ,若 a ? b ? c ? 2ab ? 0 ,则角 . C 的大小为 16.点 P 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的面对角线 BC1 上运动,则下列四个命题:

?log 2 x , x ? 0,

①三棱锥 A ? D1 PC 的体积不变; ② A1 P ∥平面 ACD1 ; ③ DP ? BC1 ; ④平面 PDB1 ? 平面 ACD1 . 其中正确的命题序号是 . 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分) 17.(本小题满分 12 分)
·2·

设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn =2an ? ? (n ? 1, 2,?) . (1)证明:数列 ?an ? 是等比数列; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn =an + 2n (n=1,2, ???) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .

6

月收入不 低 于 55 百元人数 赞成 不赞成 合计

月收入低 于 55 百 元人数

频率

合计
4

组距

a?
b?

c?
d?
2

-5

15

25

35

45

55 5

65

75

(1)完成下图的月收入频率分布直方图(注意填写 纵坐标)及 2×2 列联表; -2 (2)若从收入(单位:百元)在 [15, 25) 的被调查者中随机选取两人进行追踪调查,求选中的 2 人恰好有 1 人不赞成“楼市限购令”的概率. 19. (本题满分 12 分) -4

月收 入

10

?? ? 1 ? x x x , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,设函数 f ( x) ? m ? n + 2 2 2 2 -6 3 ? (1)若 x ? [0, ] ,f(x)= ,求 cos x 的值; 3 2 (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 2b cos A ? 2c ? 3a ,求 f(B)的取值范
已知向量 m ? (cos

??

围. 20. (本小题满分 12 分) 在边长为 6cm 的正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、CD 的中点,M、N 分别为 AB、CF 的中 点,现沿 AE、AF、EF 折叠,使 B、C、D 三点重合于 B,构成一个三棱锥(如图所示). (Ⅰ)在三棱锥上标注出 M 、 N 点,并判别 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给出证明; ???? ??? ? (Ⅱ) G 是线段 AB 上一点,且 AG ? ? ? AB , 问是否存在点 G 使得 AB ? 面EGF ,若存在,求 出 ? 的值;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)求多面体 E-AFNM 的体积.

·3·

21.(本小题满分 12 分) 现在市面上有普通型汽车(以汽油为燃料)和电动型汽车两种。某品牌普通型汽车车价为 12 万元,第一年汽油的消费为 6000 元,随着汽油价格的不断上升,汽油的消费每年以 20%的速 度增长。其它费用(保险及维修费用等)第一年为 5000 元,以后每年递增 2000 元。而电动汽车 由于节能环保,越来越受到社会认可。某品牌电动车在某市上市,车价为 25 万元,购买时一次 性享受国家补贴价 6 万元和该市市政府补贴价 4 万元。电动汽车动力不靠燃油,而靠电池。电动 车使用的普通锂电池平均使用寿命大约两年(也即两年需更换电池一次) ,电池价格为 1 万元, 电动汽车的其它费用每年约为 5000 元。 (1) 求使用 n 年,普通型汽车的总耗资费 S n (万元)的表达式 (总耗资费=车价 + 汽油费 + 其它费用) (2) 比较两种汽车各使用 10 年的总耗资费用 (参考数据: 1.2 ? 2.1 22. (本小题满分 14 分)
4

1.25 ? 2.5

1.29 ? 5.2

1.210 ? 6.2 )

1 ? 2ax(a ? 0) . x (1)当 a ? 0 时,求 f ? x ? 的极值; (2)当 a ? 0 时,讨论 f ? x ? 的单调性;
已知函数 f ? x ? ? ? 2 ? a ? ln x ? (3)若对任意的 a ? ? ?3, ?2 ? , x1 , x2 ? ?1,3? , 恒有 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立,求 实数 m 的取值范围.

·4·

“华安、连城、永安、漳平一中,龙海二中,泉港一中”六校联考

2013-2014 学年上学期第三次月考 文科数学参考答案及评分标准
一.选择题: 题 1 号 答 D 案 13.7 14. 2 D 3 A 15. 135 4 C
?

5 B

6 A

7 D

8 B

9 0 C

1 1 A

1 2 D

1 B

10 9

16.①②④

17.解(1)证明:因为 Sn =2an ? ? (n ? 1, 2,?) , 则 Sn -1 =2an -1 ? ? (n ? 2,3,?) …… 1 分 所以当 n ? 2 时, an =Sn ? Sn -1 =2an ? 2an -1 , 整理得 an =2an -1 . 由 Sn =2an ? ? ,令 n ? 1,得 S1 =2a1 ? ? ,解得 a1 ? ? . 所以 ?an ? 是首项为 3,公比为 2 的等比数列. (2)解:因为 an =3 ? 2n ?1 , 由 bn =an + 2n (n=1,2, ???) ,得 bn =3 ? 2n ?1 ? ?n . 所以 Tn ? ???? ?? ? ?? ? ??? ? ?n ?? ? ? ???? ? ? ?? ??? ? n? ??6 分

1(1 ? 2n ) n(n+1) =3 +2 ? 1? 2 2 n 2 =3 ? 2 +n +n ? ? n 所以 Tn =3 ? 2 +n 2 +n ? ? . ????????12 分 18、 .解: (1)各组的频率分别是 0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1 , 所以图中各组的纵坐标分别是: 0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01 ,

月收入不低于 55 百元人数 赞成 不赞成 合计

月收入低于 55 百 元人数

合计 33 17 50 ??????3 分

a?4 b?6
10

c ? 29 d ? 11
40

????6 分
·5·

(2) 设收入 (单位: 百元) [15, 25) 的被调查者中赞成的分别是 A1 , A2 , A3 , A4 , 在 不赞成的是 B , 从中选出两人的所有结果有:

( A1 A2 ), ( A1 A3 ), ( A1 A4 ), ( A1B), ( A2 A3 ), ( A2 A4 ), ( A2 B), ( A3 A4 ), ( A3 B), ( A4 B), ????8 分
其中选中 B 的有: ( A1 B), ( A2 B), ( A3 B), ( A4 B). ??????????????10 分 所以选中的 2 人恰好有 1 人不赞成“楼市限购令”的概率是 P ? 解: (1)依题意得 f ( x) ? sin( x ? 由 x ? [0,

?
6

4 2 ? 。?12 分 10 5

) ,????????????2 分
3 ? 0, 3

?
2

] 得: ? ?

6

? x?

?
6

?

? , sin( x ? ? ) ?
3

6

从而可得 cos( x ?

?
6

)?

6 ,????????????4 分 3

则 cos x ? cos[( x ?

?

? ? ? ? ? 2 3 ??6 分 ) ? ] ? cos cos( x ? ) ? sin sin( x ? ) ? ? 6 6 6 6 6 6 2 6
3 ? ,从而 0 ? B ? ,????????10 分 2 6

(2)由 2b cos A ? 2c ? 3a 得: cos B ? 故 f(B)=sin( B ?

?
6

) ? (? , 0]

1 2

????????????12 分

20.解: (Ⅰ)因翻折后 B、C、D 重合,所以 MN 应是 ?ABF 的一条中位线,如图所示. 则 MN // 平面AEF ??????2 分 B 证明如下: MN ? 平面AEF ? ? MN / /平面AEF .?4 分 (Ⅱ)存在 G 点使得 AB ? 面EGF ,此时 ? =1

MN / / AF

? ?

AF ? 平面AEF ? ?

M

N

AB ? BE ? A ? 因为 AB ? BF ? ? AB ? 面 EBF BE ? BF ? B ? ? ???? ??? ? 又 G 是线段 AB 上一点,且 AG ? ? ? AB , E ∴ 当点 G 与点 B 重合时 AB ? 面EGF ,此时 ? =1 ??????8 分 (Ⅲ)因为 AB ? 面BEF 且 AB ? 6, BE ? BF ? 3 , 1 ∴ VA? BEF ? ? AB ? S?BEF ? 9 , ???????????????9 分 3 V S 3 又 E ? AFMN ? AFMN ? , VE ? ABF S ?ABC 4 27 ???????????12 分 ? E ? AFMN ? 4
·6·

F

21、解答: (1)依题意,普通型每年的汽油费用为一个首项为 0.6 万元,公比为 1.2 的等比数列



使用 n 年,汽油费用共计

0.6(1 ? 1.2 n ) ? 3(1.2 n ? 1) ……………………….2 分 1 ? 1.2 其它费用为一个首项为 0.5 万元,公差为 0.2 万元的等差数列,故使用 n 年其它费用共计 n(n ? 1) 0.5 ? (0.5 ? 0.2) ? ?[0.5 ? 0.2(n ? 1)] ? 0.5n ? ? 0.2 ? 0.1n 2 ? 0.4n ………4 分 2 n 2 n 2 ∴ S n ? 12 ? 3 ? 1.2 ? 3 ? 0.1n ? 0.4n ? 3 ? 1.2 ? 0.1n ? 0.4n ? 9 (万元)…….6 分 0.6(1 ? 1.2 ? 1.2 2 ? ? ? 1.2 n ?1 ) ?
(2) 由(1)知 S n ? 3 ? 1.2 ? 0.1n ? 0.4n ? 9
n 2 10

∴ S10 ? 3 ? 1.2

? 0.1 ? 10 2 ? 0.4 ? 10 ? 9 ? 3 ? 6.2 ? 10 ? 13 ? 41.6(万元) …………8 分

又设 T10 为电动型汽车使用 10 年的总耗资费用 则 T10 ? 25 ? 6 ? 4 ?

10 ………………………………………….10 分 ? 1 ? 0.5 ? 10 ? 25(万元) 2

41.6-25= .6 16
∴ 使用 10 年,普通型汽车比电动型汽车多花费 16.6 元?????????11 分 答: (1)使用 n 年,普通型汽车的总耗资费用 S n ? 3 ? 1.2 ? 0.1n ? 0.4n ? 9
n 2

(2)使用 10 年,普通型汽车比电动型汽车多花费 16.6 元?????12 分 22.解: (1)当 a ? 0 时, f ? x ? ? 2ln x ? 由 f ?? x? ?

2x ?1 1 ………………2 分 ? 0 ,解得 x ? . 2 2 x ? 1? ?1 ? ∴ f ? x ? 在 ? 0, ? 上是减函数,在 ? , ?? ? 上是增函数. ……………… 3 分 ? 2? ?2 ? ?1? ∴ f ? x ? 的极小值为 f ? ? ? 2 ? 2 ln 2 ,无极大值. ……………… 4 分 ?2? 2ax 2 ? ? 2 ? a ? x ? 1 ? ax ? 1?? 2 x ? 1? 2?a 1 (2) f ? ? x ? ? ? 2 ? 2a ? ? ( x ? 0) . 6 分 x x x2 x2 ? 1? ? 1 ? ?1 1? ①当 ?2 ? a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ? 和 ? ? , ?? ? 上是减函数,在 ? , ? ? 上是增函数;………7 ? 2? ? a ? ?2 a?
分 ②当 a ? ?2 时, f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是减函数; ③当 a ? ?2 时, f ? x ? 在 ? ………… 8 分 9分

1 2 1 2x ?1 , f ? ? x ? ? ? 2 ? 2 ( x ? 0). ……… x x x x

1分

1? ?1 ? ? ? 1 1? , ?? ? 和 ? 0, ? ? 上是减函数,在 ? ? , ? 上是增函数.…… a? ?2 ? ? ? a 2? (3)当 ?3 ? a ? ?2 时,由(2)可知 f ? x ? 在 ?1, 3? 上是减函数,

2 …………… 10 分 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 . 3 由 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 对任意的 a ? ? ?3, ?2 ? , x1 , x2 ? ?1,3? 恒成立,
∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ?1? ? f ? 3? ? ∴ ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 即 ? m ? ln 3? a ? 2ln 3 ?
max

………

11 分

2 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 对任意 ?3 ? a ? ?2 恒成立, 3
·7·

2 对任意 ?3 ? a ? ?2 恒成立, 3a 13 2 38 13 由于当 ?3 ? a ? ?2 时, ? ? ?4 ? ? ? ,∴ m ? ? . 3 3 3a 9
即 m ? ?4 ?

………

12 分

…………… 14 分

·8·


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