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等比数列求和试题 2


§3.3 等比数列及其求和
一、典型例题: 1.(1) 若 x, 2 x ? 2,3x ? 3 成等比数列,则 x 的值为__________ .

?4
n ?1

(2) 在 2 与 6 之间插入 n 个数,使它们组成等比数列,则这个数列的公比为________ . 2. 如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此

数列( B ) (A)为常数数列 (B)为非零的常数数列 (C)存在且唯一 3. 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,前 n 项的倒数之和为 Tn ,则

3

(D)不存在 A ).

Sn 的值为( Tn

(A) a1an

(B)

a1 an

(C) (a1an )n

(D) (

a1 n ) an

4. 在等比数列 {an } 中, a7 ? a11 ? 6, a4 ? a14 ? 5, 则

a20 ?( a10
C.

C

).

A.

2 3

B.

3 2

3 2 或 2 3

D.-

2 3 或- 3 2

5. 等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? ?1 ,前 n 项和为 Sn,若

S10 31 2 1 ? , Sn ? _________ . ? (1 ? (? ) n ) 3 2 S 5 32

6. 已知数列 ?an ? 是公比 q ? 1 的等比数列,给出下列六个数列: (1) ?kan ? (k ? 0) ; (2) (3)

?a2n?1? ;
B )

?an?1 ? an ? ;(4) ?an?1an ? ;(5) ?nan? ;(6) ?an3 ? .
(B)5

其中仍是等比数列的个数为( (D)3 .

(A)4

(C)6

7. 若 2, a, b, c, d ,18 3 六个数成等比数列,则 log

9

a 2 ? b2 = c2 ? d 2

?1
1

8. 设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和,若{Sn}是等差数列,则 q= _____. 9. 在正项数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? ? ? an ?
2 2 2

4n ? 1 n ,则 a1 ? a2 ? ? ? an ? ___________ . 2 ? 1 3
n

10. 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3 ? 2 ? 2n ?1,求数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .
n

Sn ?

3n?1 7 ? 2n?1 ? n2 ? 2 2

11. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) ? 0 和数列 ?an ? 满足: a1 ? 3, a2 ? 5, an ? f (an?1 )(n ? 2,3, 4,?) , 且 f (an ) ? f (an?1 ) ? 2(an ? an?1 )(n ? 2,3, 4,?) (1)令 bn ? an?1 ? an (n ? N ? ) ,证明数列 {bn } 是等比数列;
解(1)? b1

(2)求数列 {an } 的通项公式 .

? a2 ? a1 ? 2 ? 0, 得b2 ? a3 ? a2 ? f (a2 ) ? f (a1 ) ? 2(a2 ? a1 ) ? 4 ? 0 ? an?1 ? an ? 0, (n ? N ? ) …2 分

由此推知: bn

当n

? 2时,

bn a ? an f (an ) ? f (an?1 ) 2(an ? an?1 ) ? n?1 ? ? ? 2 …4 分 bn?1 an ? an?1 an ? an?1 an ? an?1

?{bn } 是一个首项为 2 公比为 2 的等比数列………………………6 分
(2)由(1)知: bn

? b1 2n?1 ? (a2 ? a1 )2n?1 ? 2n (n ? N ? ) ………7 分
2(1 ? 2 n?1 ) ? 2 n ? 2 …9 分 1? 2

当 n ? N ?,且n

? 2 时, b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ?

而 b1

? b2 ? ? ? bn?1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? an ? an?1
2(1 ? 2 n ?1 ) ? 2 n ? 2 ? an ? 2n ? 1……11 分 1? 2

? an ? a1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ?
对 n=1 时 a1

? 3 也成立,? an ? 2n ? 1………………12 分

12. 设数列 ?an ? 的首项 a1=1, n 项和 Sn 满足关系式:3tSn ? (2t ? 3)Sn?1 ? 3t (n ? 2) , 前 其中 t ? 0 为 已知常数. (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)设 ?an ? 的公比为 f (t ) ,作数列 ?bn ? ,使 b1 ? 1 , bn ? f ( (3)求和:b1b2-b2b3+b3b4-b4b5…+b2n-1b2n-b2nb2n+1.
12. 解: (1)由 a1=S1=1,S2=1+a2,得 a2=

1 )(n ? 2) ,求 ?bn ? 的通项 bn ; bn?1

3 ? 2t a2 3 ? 2t , ? 3t a1 3t

又 3tSn-(2t+3)Sn-1=3t ①

3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t



① -② 3tan-(2t+3)an-1=0 得



an 2t ? 3 , ? an ?1 3t

所以{an}是一个首项为 1,公比为

2t ? 3 的等比数列. 3t

(2)由 f(t)=

2t ? 3 2 1 1 2 ? ? ,得 bn=f ( ) ? +bn bn ?1 3 3t 3 t
-1

-1

.

∴ n=1+ b

2 2n ? 1 (n-1)= 3 3

(3)由 bn=

2n ? 1 ,可知{b2n 3

}和{b2n}是首项分别为 1 和

5 4 ,公差均为 的等差数列于是 3 3

b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1 =b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+b6(b5-b7)+…+b2n(b2n-1+b2n+1)

=-

4 1 5 4n ? 1 4 4 (b2+b4+…+b2n)=- n( ? ) =- (2n2+3n) 3 9 32 3 3

二、练习题: 1. 已知正项数列 ?an ? 为等比数列,且 a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 25 ,则 a3 ? a5 ? _______ . 2. 等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a5 , a17 成等比数列,则 5

a1 ? a5 ? a17 = a2 ? a6 ? a18

.

26 29
3

3. 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9,则数列的公比 q ? _________.
3.解:若 q=1,则有 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1. 由 S3+S6=2S9,得

?

4 2

因 a1≠0,得 S3+S6≠2S9,显然 q=1 与题设矛盾,故 q≠1.

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) 2a1 (1 ? q 9 ) ,整理得 q3(2q6-q3-1)=0,由 q≠0,得 ? ? 1? q 1? q 1? q
3 1 4 ,所以 q=- 2 2

2q6-q3-1=0,从而(2q3+1) 3-1)=0,因 q3≠1,故 q3=- (q

.

4. 等比数列的前 n 项的乘积记为 M n ,若 M10 ? 20, M 20 ? 10 ,则 M 30 ? _______ . 5. 设 An 为数列 ?an ? 的前 n 项和,An=

1 8

3 (an-1) (n ? 1) ,且 bn ? 4n ? 3 (n ? 1) . 2

(Ⅰ )求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )若 d∈ 1,a2,a3,…,an,…}∩{b1,b2,b3,…,bn,…} {a ,则称 d 为数列{an}与{bn} 的公共项,将数列{an} n}的公共项,按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列 {b {dn} ,求证:数列 ?dn ? 的通项公式为: dn ? 3
2n?1

.

5.解: )由已知 An= (Ⅰ

3 3 (an-1) (n∈ ,当 n=1 时,a1= (a1-1) N) , 2 2

解得 a1=3,

当 n≥2 时,an=An-An-1=

3 (an-an 2

-1

) ,由此解得 an=3an-1,即

an =3(n≥2). an ?1

故 an=3n(n∈ *) N ;

(Ⅱ )证明:由计算可知 a1,a2 不是数列{bn}中的项, 因为 a3=27=4× 6+3,所以 d1=27 是数列{bn}中的第 6 项

设 ak=3k 是数列{bn}中的第 n 项,则 3k=4m+3(k,m∈ , N) 因为 ak+1=3k+1=3·k=3(4m+3)=4(3m+2)+1, 所以 ak+1 不是数列{bn}中的项. 3 而 ak+2=3k+2=9·k=9(4m+3)=4(9m+6)+3, 3 所以 ak+2 是数列{bn}中的项 由以上讨论可知 d1=a3,d2=a5,d3=a7,…,dn=a2n+1 所以数列{dn}的通项公式是 dn=a2n+1=32n+1(n∈ *) N

练习题答案: 1. 5

2.

26 29

3. ?

3

4 2

4.

1 8

5. an ? 3n


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