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【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第59讲 抛物线 Word版含解析]


第59讲 抛物线

1.抛物线 y=4x2 的准线方程为( D ) A.x=-1 B.y=-1 1 1 C.x=- D.y=- 16 16 2.(2012· 山东省莱芜市上期末)正三角形一个顶点是抛物线 x2=2py(p>0)的焦点,另两 个顶点在抛物线上,则满足此条件的正三角形共有( C ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 解析:由抛物线的对称性可知,另两个顶点一组在焦点的下方,一组在焦点的上方,共 有两组,故选 C.

3.(2012· 郑州市第一次质量预测)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛 物线于点 A、B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线方程为( C ) A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2= 3x

解析:分别过 A,B 作准线的垂线,垂足分别为 E,D,如图. 因为|BC|=2|BF|,由抛物线的定义可知|BF|=|BD|,∠BCD=30° . 又|AE|=|AF|=3,所以|AC|=6, 1 3 即 F 为 AC 的中点,所以 p= |EA|= , 2 2 2 故抛物线的方程为 y =3x,故选 C. 4.(2012· 山东省临沂市 3 月一模)若抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物 线的方程为 y2=8x . p 解析:由条件知- =-2,所以 p=4, 2 故抛物线的方程为 y2=8x. 1 5.(2012· 皖南八校第二次联考)抛物线 x2=ay 过点 A(1, ),则点 A 到此抛物线的焦点 4 5 的距离为 . 4 1 解析:由已知可得 1= a,所以 a=4,所以 x2=4y. 4 由抛物线的定义可知点 A 到焦点的距离等于 A 到准线的距离: p 1 5 yA+ = +1= . 2 4 4 6.(2013· 衡水调研卷)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F, 且和 y 轴交 2 于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线的方程为 y =± 8x .

a 解析:由题可知抛物线的焦点坐标为( ,0),于是过焦点且斜率为 2 的直线 l 的方程为 4 a a 1 |a| |a| y=2(x- ),令 x=0,可得 A 点坐标为(0,- ),所以 S△OAF= · · =4,所以 a=± 8,故 4 2 2 4 2 2 抛物线的方程为 y =± 8x. 7.(2012· 山西大学附中第二学期 3 月考)已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线与 x 轴的 3 π 交点为 M,N 为抛物线上的一点,且满足|NF|= |MN|,则∠NMF= . 2 6

解析:过 N 作 NQ⊥准线于 Q,则|NQ|=|NF|. 3 因为|NF|= |MN|, 2 3 所以|NQ|= |MN|, 2 |QN| 3 π 所以 cos∠QNM= = ,所以∠QNM= , |MN| 2 6 π 所以∠NMF=∠QNM= . 6

8.(2012· 重庆市七区第一次联考)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的顶点在原点, 经过点 A(2,2),其焦点 F 在 x 轴上. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程. 解析:(1)由题意,可设抛物线 C 的标准方程为 y2=2px, 因为点 A(2,2)在抛物线 C 上,所以 p=1, 所以抛物线 C 的标准方程为 y2=2x. 1 (2)由(1)可得焦点 F 的坐标为( ,0), 2 又直线 OA 的斜率为 1, 所以与直线 OA 垂直的直线的斜率为-1. 1 1 所以过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程为 y-0=-1(x- ),即 x+y- =0. 2 2

9.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y2=2px(p>0)上横坐标为 4 的点到该 抛物线的焦点的距离为 5. (1)求抛物线的标准方程; (2)设点 C 是抛物线上的动点, 若以 C 为圆心的圆在 y 轴上截得的弦 AB 的长为 4, 求证: 圆 C 过定点.

p 解析:(1)由抛物线的定义得 +4=5,则 p=2, 2 所以抛物线的标准方程为 y2=4x. y2 0 (2)证明:设圆心 C 的坐标为( ,y0),半径为 r. 4 因为圆 C 在 y 轴上截得的弦长为 4, y2 0 所以 r2=4+( )2, 4 2 y0 y2 0 故圆 C 的方程为(x- )2+(y-y0)2=4+( )2, 4 4 x 整理得(1- )y2 -2yy0+(x2+y2-4)=0,① 2 0 对于任意的 y0∈R,方程①均成立. x 1- =0 2 ? ?x=2 故有 -2y=0 ,解得? . ?y=0 ?

? ? ? ? ?x +y =4
2 2

所以圆 C 过定点(2,0).


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