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4.3《数学归纳法及其应用举例》课件(新人教选修4-5)


新课标人教版课件系列

《高中数学》
选修4-5

4.3《数学归纳法 及其应用举例》

教学目标
1.初步理解数学归纳法原理:只有两个步骤正确,才 能下结论:对一切n∈N*,命题正确(强调缺一不可). 2.会用数学归纳法证明一些简单的命题. 3.理解为证n=k+1成立,必须用n=k成立的假设. 4.会用数学归纳法证明整数(整式)整除问题. 5.会用数学归纳法证明一些简单的几何问题. 6.了解数学归纳法应用的广泛性,进一步掌握数学 归纳法的证明步骤. 7.掌握为证n=k+1成立的常见变形技巧:提公因式、 添项、拆项、合并项、配方等

数学归纳法及其应用举 例 第一课时



①观察:6=3+3,8=5+3,10=3+7, 12=5+7,14=3+11,16=5+ 11,……78=67+11,……我们能得出什 么结论 ?
②教师根据成绩单,逐一核实后下结论:“全 班及格”.



米诺骨牌.swf



对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有 关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们 的正确性:先证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时 命题成立,然后假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成 立证明当n=k+1时命题也成立,这种证明方法叫做 数学归纳法.
数学归纳法的两个步骤: (Ⅰ)证明当n=n0(n=1)(如n=1或2等)时,结



论正确; (Ⅱ)假设n=k(k∈N*且k≥n0)时结论正确,证明 n=k+1时结论也正确. 注意:运用数学归纳法证题,以上两步缺一不可

数学归纳法的基本思想: 在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用 “有限”的手段来解决“无限”的问题 数学归纳法的核心: 在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具 有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理 代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一 种合理、切实可行的科学证题方法,实现了有 限到无限的飞跃。

初 步 应 用

例1 用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n-1)=n2

例2 用数学归纳法证明:

1 1 +2 +3 +?+n = n(n+1)(2n+1) . 6
2 2 2 2

例3 用数学归纳法证明

1 1 1 1? ? ??? ? 2 n (n ? N *) 2 3 n

初 步 应 用
的过程. 你认为他 的证法正 确吗?为什 例4.下面是 某同学用 数学归纳 法证明命 题
1 1 ? 1? 2 2
1 1 1 k ? ??? ? 1? 2 2?3 k ? (k ? 1 ) k ?1
? ( 1? ? 1?

1 1 1 n ? ??? ? 1? 2 2?3 n ? (n ? 1 ) n ?1
1 1 ? 1?1 2

1 1 1 1 1 ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 2 2 3 k ?1 k ? 2 1 k ? k ? 2 (k ? 1 ) ?1

习 1.用数学归纳法证明:如果{a }是一个等差数 , 列,那么 : a 巩 =a +(n-1)d 对一切n∈N 都成立. 证明: (1)当n=1时,左=a , 固 右=a +(1-1)d=a 提 ,所以等式成立 (2) 假设当n=k(k∈N)时等式成立,即a =a +(k-1)d 高
n n 1 * 1 1 1 k 1

那么 ak+1= ak+d= a1+(k-1)d+d =a1+[(k+1)-1]d ∴当n=k+1时,等式成立 由(1)(2)知对任何n∈N*等式成立

习 2、1+2+3+…, +n=n(n+1)/2 (n∈N); 证明:(1)当n=1巩 时,左边=1,右边=1,等式是成立的。 (2)假设当 n=k时等式成立,就是 固 提 1+2+3+… +k=k(k+1)/2 高 那么, 1+2+3+ …+k+(k+1)= k(k+1)/2+ (k+1)
=(k+1)[(k+1)+1]/2 这就是说,当n=k+1时,等式也成立。

因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N都
成立。

习 n-1=2n-1 (n∈N*) 3、1+2+22+ … +2 , 巩时,左边=1,右边=1,等式是 证明:(1)当n=1 成立的。 固 (2)假设当n=k时等式成立,就是 1+2+22提 +…+2k-1=2k-1 那么, 1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+ 2k 高 =2×2k-1
=2k+1-1 这就是说,当n=k+1时,等式也成立。 因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任 何n∈N*都成立。


①归纳法:由特殊到一般,是数学发现的重要方 法; ②数学归纳法的科学性:基础正确;可传递; ③数学归纳法证题程序化步骤:两个步骤,一 个结论; ④数学归纳法优点:克服了完全归纳法的繁杂、 不可行的缺点,又克服了不完全归纳法结论不可 靠的不足,是一种科学方法,使我们认识到事情 由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷.

小 结

数学归纳法及其应用举例
第二课时

课 , ①数学归纳法证明有哪些步骤? 提 ②数学归纳法通常解决什么问题? 出 (与正整数有关命题) 任 务


例1 用数学归纳法证明: 34n+2+52n+1能被14整除.

证明:(i)当n=1时,34×1+2+52×1+1=754=14×16, ∴当n=1时,34n+2+52n+1能被14整除. (ii)设n=k(k≥1,k∈N*)时,34k+2+52k+1能被14整 除.



讲 那么当n=k+1时

34(k+1)+2+52(k+1)+1=34k+2· 34+52k+1· 52 =81· 34k+2+25· 52k+1 =(25+56)· 34k+2+25· 52k+1

=25· (34k+2+52k+1)+56· 34k+2.


∴ 34n+2+52n+1能被14整除.即n=k+1时, 命题成立. 选 根据(i)、(ii)可知, 34n+2+52n+1能被14整除. 例2:用数学归纳法证明: 讲 x2n-y2n能被x+y整除.

∵ (34k+2+52k+1)能被14整除,56能被14整除,

例3 平面内有 n(n≥2)条直线,其中 任何
f ( n) ? 1 n( n ? 1) 2


n
1 2 3

图形

f(n)
f(1)=0 f(2)=1=f(1)+1

选 讲


f(3)=3=f(2)+2 f(4)=6=f(3)+3 … f(k) f(k+1)=f(k)+k

4
… k K+1


例4 已知f(x) ? 试比较f( 选 2 )与g(n)的大小, 并说明理由. x 2 n ?1 2 分析 f ( x) ? 2 n ? 1 ? 2 2 , f ( 2 ) ? 1 ? , n n
xn ? x? n x n ? x ?n

, g(n) ?

n 2 ?1 n 2 ?1

(n ? N )
*

比较f ( 2 )与g (n)的大小既比较2 n 与n 2的大小。
? 1 1 1 a ? 1 ? ? ? ? ? ( n ? N ), 例5 设 n 2 3 n



x ?1

x ?1

2 ?1

是否存在

n 的整式 g (n) , 使得等式
n 都成立?

a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n?1 ? g (n) ? (a n ? 1)

对大于1的一切自然数 并证明你的结论.


当 n =2 时,由 a1 ? g (2)[ a2 ? 1] ? g (2) ? 2 当 n =3 时,由 a1 ? a2 ? g (3)[ a3 ? 1] ? g (3) ? 3 猜想:g( n )= n ( n ? 2),



讲 用数学归纳法证明(略)

研究题: 究 1.平面内有n条直线,任意两条不平行, 任意三条不共点,求它们彼此分成的线段 2,证明略) 数H(n).(H(n) = n 题3 2.对n∈N*,n +5n+6能被6整除吗?为 什么? (能.用数学归纳法证明略)


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