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教师使用第四讲 函数零点问题


第三讲 【知识梳理】

函数零点问题

在高考数学中函数零点的题型主要有以下三种:

类型一(零点分布问题):零点存在性定理(解决零点分布问题):如果函数 y
= f (x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a)·f (b)<0 那么,函 数 y = f (x)在区间[a,b]内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f (c) = 0 这个 c 也就是方 程 f (x) = 0 的根。(注:(1)函数在区间[a,b]上的图象连续不断,又它在区间[a,b] 端点的函数值异号,则函数在[a,b]上一定存在零点(2)函数值在区间[a,b]上连续且存 在零点,则它在区间[a,b]端点的函数值可能异号也可能同号(3)定理只能判定零点的存 在性,不能判断零点的个数) 类型二(函数零点的个数):解决方法有构造函数、通过图像描绘题意、图形结合 类型三(两个函数图像的交点):解决方法是转化为函数的零点 函数零点的意义:函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦 即函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f (x) 有零 点 函数 y=F(x)=f(x)-g(x)有零点 ? 方程 F(x)=f(x)-g(x)有实数根

? 方程组 ? ?

y1 ? f ( x )

? y2 ? g ( x )

有实数根

? 函数 y1=f(x)与 y2=g(x)的图象有交点
【典型剖析】 例1 1 证明 f (x) = 2x·ln(x – 2) – 3 在[3,4]之间存在唯一的零点。 1 2 (09 天津)设函数 f ( x) ? x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x) (D) 3 1 1 A 在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点。 B 在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点。 e e 1 C 在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点。 e 1 D 在区间 ( ,1) 内无法辨别有无零点,在区间 (1, e) 内有零点。 e 变式练习:1 证明 f (x) =ex–1 + 4x – 4 在[0,1]之间存在唯一的零点。 9 2 函数 f ?x ? ? lg x ? 的零点所在的大致区间是(C) x
A ?1,2 ? B

?2,5?
x

C ?5,10 ?

D ?10,?? ?

例2

(2009 山东)若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是

解析:根据函数的零点与方程的根、函数图像三者之间的关系:方程 f ( x) ? 0 的实数 根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标 ? 函数 y ? f (x) 的零点。 我们可将上述函 数的零点转换成两个函数的图像的交点个数问题。 由图象可知当 0 ? a ? 1 时,当 a ? 1 时, 即: 因为函数 y ? a (a ? 1) 的图象过点(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点(0,a)一定在点(0,1)
x

的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是 {a | a ? 1} .

变式练习:(08 湖北卷 13)方程 2? x ? x2 ? 3 的实数解的个数为
解析:由上述方法我们可将方程转化成 ( ) ? ? x ? 3 的解的个数,
x 2

1 2

?1? 2 令 f ? x ? ? ? ? , g ? x ? ? ? x ? 3 从而将原题转化成函数 y ? f ?x ?, y ? g ?x ? 的交点个 2? ?
数,如图所示: 由图可知, 原方程有 2 个解。 1 0 x y 3

x

例3

1 函数 f ( x ) ? log 2 x ? 2 x ? 1 的零点必落在区间( A. ? 1 , 1 ? ? ?
?8 4?

C ) D.(1,2)

B. ? 1 , 1 ? ? ?
?4 2?

C. ? 1 ,1? ? ?
?2 ?
1

1 2 (10 上海理)若 x0 是方程 ( ) x ? x 3 的解,则 x0 属于区间(c) 2
?2 ? ?1 2? ?1 1? A. ? ,1? . B. ? , ? . C. ? , ? ?3 ? ?2 3? ?3 2? ? 1? D. ? 0, ? ? 3?

变式练习:1(10 天津理)函数 f ?x ? ? 2 x ? 3x 的零点所在的一个区间是(B) A. ?? 2,?1? 2 B. ?? 1,0? C. ?0,1? D. ?1,2 ?

(10 浙江理)设函数 f ( x) ? 4 sin(2 x ? 1) ? x, 则在下列区间中函

数 f (x) 不存在零点的是(D)

A. ?? 4,?2?

B. ?? 2,0?

C. ?0,2?

D. ?2,4?

例4

判定函数 f ? x ? ? 2 x ? 3 在区间 ?? 1,1? 内是否有零点. (函数值同号而犯的错误)

错解: 因为 f ?? 1? ? f ?1? ? ?1 , 所以 f ?? 1? f ?1? ? 0 , 函数 f ? x ? ? 2 x ? 3 在区间 ?? 1,1? 内没有零点. 错解剖析:上述做法错误地用了函数零点判定定理,因为函数 f ? x ? 在区间 ?a, b ? 上的函 数图像是连续曲线,且 f ?a ? f ?b? ? 0 ,也可能在 ?a, b ? 内有零点.如函数 g ? x ? ? 2 x ? 1 在区间 ?? 1,1? 上有 g ?? 1?g ?1? ? 0 ,但在 ?? 1,1? 内有零点 x ? ?

1 . 2

正解:当 x ? ?? 1,1? 时, f ?x ? ? 2 x ? 3 ? ?1 ,函数 y ? f ?x ? 在 ?? 1,1? 上的图象与 x 轴 没有交点,即函数 f ? x ? ? 2 x ? 3 在区间 ?? 1,1? 内没有零点. 法二:由 2 x ? 3 ? 0 得 x ? ?

3 ? ?? 1,1? ,故函数 f ? x ? ? 2 x ? 3 在区间 ?? 1,1? 内 2

没有零点. 点拨:对有些函数,即使它的图象是连续不断的,当它通过零点时,函数值也不一定变 号.如函数 y ? ( x ? 1) 有零点1,(如上图)但函数值没变号.对函数零点的判定一
2

定要抓住两点:①函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b ? 上的图象是连续曲线,②在区间端点的函 数值符号相反,即 f ?a ? f ?b? ? 0 .

拓展:(08 四川理)已知 x ? 3 是函数 f ( x) ? a ln(1 ? x) ? x 2 ? 10 x 的一个极值点. (Ⅰ)求 a ;(Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若直线 y ? b 与函数 y ? f ( x) 的图像有 3 个交点,求 b 的取值范围. 变式练习:判断函数 g ? x ? ? 2 x ? 1 在[-1,1]之间是否有零点,若有存在几个零点。 【名校、名书、竞赛、高考在线】 一、填空题或选择题 1、 函数 4 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点一定位于区间(B).
A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) 2、已知函数 4 f ( x) ? 3mx ? 4 ,若在 4 [?2,0] 上存在 4 取值范围是 . D. (4, 5) x0 ,使 4 f ( x0 ) ? 0 ,则实数 m 的

3、若方程 4 4、已知关于

2ax2 ? 1 ? 0 在 4
2

(0,1) 内恰有一解,则实数 4

a 的取值范围是

x 的方程 x +2mx+2m+3=0 的两个不等实根都在区间(0,2)内, 35 ? ? m ? ?1 4 则实数 m 的取值范围是(4 ).
5、已知函数 f(x)=|x -2x-3|-a 有三个零点,求实数 a 的取值范围(4)
2

二、解答题
6、已知二次函数 f ?x ? ? x ? (m ? 1) x ? 2m 在 ?0,1? 上有且只有一个零点,求实数 m 的
2

取值范围. 错解:由函数的零点的性质得 f ?0? f ?1? ? 0 ,即 2m?m ? 2? ? 0 ,解得 ? 2 ? m ? 0 . 所以实数 m 的取值范围为 ?? 2,0? . 错解剖析:错解的原因是只注意到函数零点的应用,而忽略问题的其它形式:①在 ?0,1? 上有二重根;②终点的函数值可能为0. 正 解 : ⑴ 当 方 程 x ? (m ? 1) x ? 2m ? 0 在 ?0,1? 上 有 两 个 相 等 实 根 时 ,
2

? ? ?m ? 1? ? 8m ? 0 且 0 ?
2

m ?1 ? 1 ,此时无解. 2

⑵当方程 x ? (m ? 1) x ? 2m ? 0 有两个不相等的实根时,
2

① 有且只有一根在 ?0,1? 上时,有 f ?0? f ?1? ? 0 ,即 2m?m ? 2? ? 0 ,解得 ? 2 ? m ? 0 ②当 f ?0? ? 0 时, m =0, f ?x ? ? x ? x ? 0 ,解得 x1 ? 0, x2 ? ?1 ,合题意.
2

③当 f ?1? ? 0 时, m ? ?2 ,方程可化为 x ? 3x ? 4 ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? ?4 合题意.
2

综上所述,实数 m 的取值范围为 ?? 2,0? .
2? x 在 4 (0,1) 内必有一个实数根 x ?1 8、已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 有三个零点,分别是 0、1、2,如图所示,求证:b<0.
7、求证方程 4

3x ?

因为 f(0)=f(1)=f(2)=0,所以 d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0. 所以 a= ?

b 2 b b ,c= ? b.所以 f(x)= ? x(x2-3x+2)= ? x(x-1)(x-2). 3 3 3 3

当 x<0 时,f(x)<0,所以 b<0. 证法二:因为 f(0)=f(1)=f(2)=0,所以 f(x)=ax(x-1)(x-2). 当 x>2 时,f(x)>0,所以 a>0.比较同次项系数,得 b=-3a.所以 b<0.

望子成龙学校家庭作业 校区______________________ 姓名___________ 科目:___________ 第_____次课 作业等级_______ 1、函数 y=lnx+2x-6 的零点有_______个. 2、函数 f(x)=lnx-2/x 的零点所在的大致区间是() A(1,2) B(2,3) C(1,1/e) D(e,+∞) 3、f(x)=lgx-1/x 零点所在的区间是() A(0,1) B(1,10) C(10,100) D(100,+∞) 4 在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则函数 4 f ( x) ? 1 x3 ? ax ? b 在 2 区间[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为( )

A.4

1 8

B.4

1 4

C. 4

3 4

D. 4

7 8

x∈[-1,1],a,b∈(0,1], f'(x)=(3/2)x^2+a>0, ∴f(x)↑, ∴f(x)在[-1,1]上恰有一个零点, <==>f(-1)<0<f(1), <==>-1/2-a-b<0<1/2+a-b, <==>a+b>-1/2(显然成立),b-a<1/2. 画示意图知,所求概率=7/8. 5 、 已 知 函 数 f ( x) ? ?4 sin 2 x ? 4 cos x ? 1 ? a , 当 x ? [ ?
f ( x)

?
4

,

2? ]时 3

=0 恒有解,则 a 的范围是__

6、若方程 x ? ax ? 9 x ? 0 在[1,3]上有实数解,求 a 的取值范围。(方法一:
3 2

a?

x 3 ? 9x x
2

? x?

9 , x ? [1,3] x ;方法二:转化为方程 x ? ax ? 9 ? 0 在[1,3]上有实数
2

解)

7、若不等式 x 3 ? ax 2 ? 9 x ? 0 在[1,3]上恒成立,求 a 的取值范围。

8、 (09 金中)下图是函数 EMBED Equation.3 (1) (2) ②当

EMBED Equation.3 时,两函数值相等.



EMBED Equation.3

给出如下两个命题: ①当 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 时,

时,

EMBED Equation.3 .

EMBED Equation.3

判断命题①②的真假并说明理由. (2)求证: EMBED Equation.3

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