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三角函数推导及公式应用大全


三角函数推导及公式应用大全

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三角函数推导及公式应用大全

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两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosA

cosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tanA ? tanB 1 - tanAtanB tanA ? tanB tan(A-B) = 1 ? tanAtanB cotAcotB - 1 cot(A+B) = cotB ? cotA cotAcotB ? 1 cot(A-B) = cotB ? cotA

tan(A+B) =

倍角公式 tan2A =
2tanA 1 ? tan 2 A

Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana·tan( +a)·tan( -a) 半角公式 sin( )=
A 2

? 3

? 3

1 ? cos A 2

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cos( )= tan( )= cot( )= tan( )= 和差化积
A 2
A 2 A 2

A 2

1 ? cos A 2 1 ? cos A 1 ? cosA 1 ? cos A 1 ? cosA
1 ? cos A sin A = sin A 1 ? cos A

a?b a?b cos 2 2 a?b a?b sina-sinb=2cos sin 2 2 a?b a?b cosa+cosb = 2cos cos 2 2 a?b a?b cosa-cosb = -2sin sin 2 2 sin( a ? b) tana+tanb= cos a cos b

sina+sinb=2sin

积化和差 sinasinb = - [cos(a+b)-cos(a-b)]
1 [cos(a+b)+cos(a-b)] 2 1 sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)] 2 1 cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)] 2 1 2

cosacosb =

诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa
? 2 ? cos( -a) = sina 2

sin( -a) = cosa

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? 2 ? cos( +a) = -sina 2

sin( +a) = cosa

sin(π -a) = sina cos(π -a) = -cosa sin(π +a) = -sina cos(π +a) = -cosa tgA=tanA = 万能公式
a 2 sina= a 1 ? (tan ) 2 2 a 1 ? (tan ) 2 2 cosa= a 2 1 ? (tan ) 2 a 2 tan 2 tana= a 1 ? (tan ) 2 2 2 tan
sin a cos a

其它公式 a?sina+b?cosa= (a 2 ? b 2 ) ×sin(a+c) [其中 tanc= ] a?sin(a)-b?cos(a) =
a 2 a 2
(a 2 ? b 2 ) ×cos(a-c) [其中 tan(c)=

b a

a ] b

1+sin(a) =(sin +cos )2 1-sin(a) = (sin -cos )2 其他非重点三角函数
1 sin a 1 sec(a) = cos a
a 2 a 2

csc(a) =

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双曲函数 sinh(a)= cosh(a)= tg h(a)= 公式一: 设α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ +α )= sinα cos(2kπ +α )= cosα tan(2kπ +α )= tanα cot(2kπ +α )= cotα 公式二: 设α 为任意角,π +α 的三角函数值与α 的三角函数值之间的关系: sin(π +α )= -sinα cos(π +α )= -cosα tan(π +α )= tanα cot(π +α )= cotα 公式三: 任意角α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α )= -sinα cos(-α )= cosα tan(-α )= -tanα
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e a - e -a 2 e a ? e -a 2 sinh(a ) cosh(a )

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cot(-α )= -cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π -α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(π -α )= sinα cos(π -α )= -cosα tan(π -α )= -tanα cot(π -α )= -cotα 公式五: 利用公式-和公式三可以得到 2π -α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(2π -α )= -sinα cos(2π -α )= cosα tan(2π -α )= -tanα cot(2π -α )= -cotα 公式六:
3? ? ±α 及 ±α 与α 的三角函数值之间的关系: 2 2 ? sin( +α )= cosα 2 ? cos( +α )= -sinα 2 ? tan( +α )= -cotα 2 ? cot( +α )= -tanα 2 ? sin( -α )= cosα 2 ? cos( -α )= sinα 2 ? tan( -α )= cotα 2
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cot( -α )= tanα sin(
2 3? cos( 2 3? tan( 2 3? cot( 2 3? sin( 2 3? cos( 2 3? tan( 2 3? cot( 2

? 2 3?

+α )= -cosα +α )= sinα +α )= -cotα +α )= -tanα -α )= -cosα -α )= -sinα -α )= cotα -α )= tanα

(以上 k∈Z) 这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A?sin(ω t+θ )+ B?sin(ω t+φ ) = A 2 ? B 2 ? 2 AB cos( ? ? ? ) × sin
?t ? arcsin[(As in? ? Bsin? )
A2 ? B 2 ? 2 AB cos(? ? ? )

三角函数公式证明(全部) 2009-07-08 16:13 公式表达式 乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

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一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理 判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注:方程有一个实根 b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√ ((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√ ((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
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2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前 n 项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+… +n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外 接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角 正切定理: [(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]} 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'
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圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L 是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h -----------------------三角函数 化积公式 记不住就自己推,用两角和差的正余弦: cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 这两式相加或相减,可以得到 2 组积化和差: 相加:cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2 相减:sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2 积化和差 和差

sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 这两式相加或相减,可以得到 2 组积化和差: 相加:sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2 相减:sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2

这样一共 4 组积化和差,然后倒过来就是和差化积了
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不知道这样你可以记住伐, 实在记不住考试的时候也可以临时推导一 下 正加正 正在前 正减正 余在前 余加余 都是余 余减余 没有余还负

正余正加 余正正减 余余余加 正正余减还负 . 3.三角形中的一些结论:(不要求记忆) (1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC (2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) (3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1 (4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC (5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ........................... 已知 sinα =m sin(α +2β ), |m|<1,求证 tan(α + β )=(1+m)/(1-m)tanβ 解:sinα =m sin(α +2β ) sin(a+β -β )=msin(a+β +β ) sin(a+β )cosβ -cos(a+β )sinβ =msin(a+β )cosβ +mcos(a+β )sin
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β sin(a+β )cosβ (1-m)=cos(a+β )sinβ (m+1) tan(α +β )=(1+m)/(1-m)tanβ

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