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1.第一章 基础理论


第一章 基础理论
第1节 多元正态分布

第2节 回归分析
第3节 相关性度量 第4节 对数正态分布 第5节 主要的时间序列

第1节 多元正态分布
多元正态分布是一元正态分布的推广。 迄今为止,多元分析的主要理论都是建立在 多元正态总体基础上的,多元正态分布是多 元分析的基础。另一方面,许多实际问题 的分布

常是多元正态分布或近似正态分布, 或虽本身不是正态分布,但它的样本均值 近似于多元正态分布。 本节将介绍多元正态分布的定义,并 简要给出它的基本性质。

第1节 多元正态分布
1.1 多元正态分布的定义 1.2 多元正态分布的性质 1.3 多元正态分布的独立性 1.4 多元正态分布的条件分布

1.1 多元正态分布的定义
定义1.1
独立标准正态变量 Y1 , Y2 , 线性函数 ?X ? ?Y ?
1 1

, Yq 的有限个

称为 p 维正态随机向量, X的分布密度 或分布函数都简称为 p元(或 p 维)正态 分布,有时简记为 X ~ N p (μ, AA?)。

? ? ? ? X ? ? ? ? A? ??μ ? X p ? p?q ?Yq ? p?1 ? ? ? ?

定义1.2
如果 p元随机向量 X ? ( X1, X 2 , 函数为 e
1 it ?? ? t ? ? t 2

, X p )?的特征

,则称 X ? ( X1, X 2 ,

元正态分布,也称X为
X ~ N p (μ,Σ)

p 元正态向量,记为:

, X p )? 服从

p

定义1.3

如果 p元随机向量 X ? ( X1, X 2 , , X p )? 的概率密度函数为:
f ( x1 , ( Σ ? 0) , xp ) ? 1 (2? ) p /2 1 / ?1 exp{ ? ( x ? μ ) Σ (x ? μ)} 1/2 2 Σ

则称 X ? ( X1, X 2 , , X p )? 遵从p 元正态 分布,记为: X ~ N p (μ,Σ)

定义1.4

设 是一个 p 维随机向量,则 x 服 从多元正态分布,当且仅当它的任何 线性函数 a?x 均服从一元正态分布。

x

1.2 多元正态分布的性质
) (1)设 X ~ N p (μ, Σ ,则
E ( X ) ? μ , D( X )?Σ 。

(2)设 x N p ? μ, Σ ? , y ? Cx ? b其中 C为

r ? p 阶常数矩阵,则
y N r ? Cμ ? b, CΣC? ?

(3)设 x N p ? μ, Σ ?, 对 x, μ, Σ ? ? 0 ? 作如下的
剖分:
? x1 ? k ? μ1 ? k ? Σ11 Σ12 ? k x?? ? , μ?? ? , Σ?? ? ? x2 ? p ? k ? μ2 ? p ? k ? Σ 21 Σ 22 ? p ? k k p?k

则边缘分布 X1 ~ Nk (μ1 , Σ11 )
X2 ~ N p ?k (μ2 , Σ22 )

(4)如果正态随机向量 X ? ( X1, X 2 ,
量是相互独立的随机变量。

, X p )'

的协方差阵 Σ 是对角阵,则 X 的各分

(5)设 x N p ? μ, Σ ? , Σ ? 0,则
? Σ?1 x ? μ x ? μ ? ? ? ?

? 2 ? p?

(6)设 x1 , x2 , , xn相互独立,且 xi
i ? 1, 2, , n ,则对任意 n 个常数,有

N p ? μ i , Σi ? ,

?k x
i ?1 i

n

i

n ? n ? 2 N p ? ? k i μ i , ? ki Σ i ? i ?1 ? i ?1 ?

此性质表明,独立的多元正态变量(维数相同) 的任意线性组合仍为多元正态变量。

§1.3 多元正态分布的独立性
? x1 ? k ? μ1 ? k ? Σ11 Σ12 ? k x?? ? , μ?? ? , Σ?? ? ? x2 ? p ? k ? μ2 ? p ? k ? Σ 21 Σ 22 ? p ? k k p?k

(1)设x N p ? μ, Σ ? ,对 x, μ, Σ ? ? 0 ? 作如下的剖分:

则子向量 x1和 x 2相互独立,当且仅当 Σ12 ? 0 。

(2)随机向量 X1 , X2 ,

, Xp相互独立的

充要条件是 Σij ? 0(i ? j, i, j ? 1, , p) 。

(3)设 x

?Y ? AX + μ N p ? μ, Σ ? ,现有? ?Z ? BX + ν

则Y 与 Z相互独立的充要条件是:AΣB? = 0 。

§1.4 多元正态分布的条件分布
设 x N p ? μ, Σ ? , 对 x, μ, Σ ? ? 0 ? 作如下的 剖分:
? x1 ? k ? μ1 ? k ? Σ11 Σ12 ? k x?? ? , μ?? ? , Σ?? ? ? x2 ? p ? k ? μ2 ? p ? k ? Σ 21 Σ 22 ? p ? k k p?k

则给定x1时 x 2 的条件分布为 N k ? μ1 2 , Σ11 2 ? 其中,
?1 μ1 2 ? μ1 ? Σ12 Σ22 ? x2 ? μ 2 ?
?1 Σ11 2 ? Σ11 ? Σ12 Σ 22 Σ 21

第2节 回归分析
2.1 一元线性回归模型 2.2 多元线性回归模型 2.3 非线性回归模型

2.1 一元线性回归模型
定义:假设有两个地理要素(变量)
x 和y,x为自变量,y为因变量。则一元线 性回归模型的基本结构形式为
yt ? a ? bxt ? ? t
(1.2.1)

t ? 1,2,?, n为各 式中:a和b为待定参数; ? t 为随机变量。 组观测数据的下标;

? 分别为参数a与b的拟合值, ? 和b 记a 则一元线性回归模型为

?x ? ?a ? ?b y

(1.2.2)

( 1.2.2 )式代表 x 与 y之间相关关系的拟合 ? 是 y 的估计值,亦 直线,称为回归直线; y 称回归值。

(一)参数a、b的最小二乘估计
① 参数 a与 b的最小二乘拟合原则要求 yt ? t的误差et的平方和达到最小,即 与y
?t ) ? ? ( yt ? a ? bxt ) 2 ? min Q ? ? e ? ? ( yt ? y
t ?1 2 t 2 t ?1 t ?1 n n n

(1.2.3)

② 根据取极值的必要条件,有
? n ?? ( yt ? a ? bxt ) ? 0 ? t ?1 ? n ? ( yt ? a ? bxt ) xt ? 0 ? ? ? t ?1
(1.2.4)

③ 解上述正规方程组(1.2.4)式, 得到参数a与b的拟合值
?x ? ? y ?b a
?? b Lxy Lxx
(1.2.5)

?

? (x
t ?1 n

n

t

? x )( yt ? y )

2 ( x ? x ) ? t t ?1

(1.2.6)

n 1 n xt yt ? (? xt )(? yt ) ? n t ?1 t ?1 t ?1 ? n 1 n 2 2 x ? ( x ) ? ? t t n t ?1 t ?1

n

(二)一元线性回归模型的显著性检验
① 方法:F 检验法。 ② 总的离差平方和:在回归分析中,表示y 的n次观测值之间的差异,记为
S总 ? Lyy ?
2 ( y ? y ) ? t t ?1 n

(1.2.7)

可以证明
S总 ? Lyy ?
n
2 ( y ? y ) ? t t ?1 n

(1.2.8)

?t ) ? ? ( y ?t ? y )2 ? Q ? U ? ? ( yt ? y
2 t ?1 t ?1

n

在式(1.2.8)中,Q称为误差平方和,或剩余平方和

?t )2 Q ? ? ( yt ? y
t ?1

n



? t ? yt ) ? ? (a ? bxt ? a ? bx ) 2 U ? ?(y
2 t ?1 n t ?1

n

n

? b 2 ? ( xt ? x ) 2 ? b 2 Lxx ? bLxy
t ?1

称为回归平方和。

③ 统计量F
F ? U Q n?2
(1.2.9)

④ F越大,模型的效果越佳。统计量 F ~ F ( 1 , n -2 )。在显著水平 α 下,若 F > F α ,则认为回归方程效果在此水平下 显著。一般地,当F<F0.10(1,n-2)时,则 认为方程效果不明显。

2.2 多元线性回归模型
?

回归模型的建立
① 多元线性回归模型的结构形式为

yt ? ?0 ? ?1x1t ? ?2 x2t ? ? ? ?k xkt ? ? t

(1.2.10)

? 0 , ?1 ,?, ? k 为待定参数;? t 为随 式中: 机变量。

② 回归方程: 如果 b0 , b1 ,?, bk 分别为式(1.2.10)中
? 0 , ?1 , ? 2 ,?, ? k 的拟和值,则回归方程为

? ? b0 ? b1 x1 ? b2 x2 ? ? ? bk xk y
(1.2.11)

在(1.2.11)式中,b0为常数,b1,b2,…bk称 为偏回归系数。偏回归系数的意义是,当其他自 变量都固定时,自变量 x i每变化一个单位而使因 变量平均改变的数值。

③ 偏回归系数的推导过程:根据最小 二乘法原理, ?i (i ? 0,1,2,?, k ) 的估计值 b ( ?, k) i i ? 0,1,2,
应该使
?t ) ?? ?[ yt ? (b0 ? b1 x1t ? b2 x2t ? ? ? bk xkt )]2 ? min (1.2.12) Q ? ? ( yt ? y
2 t ?1 t ?1 n n

由求极值的必要条件得
n ? ?Q ?t ) ? 0 ? ?b ? ?2? ( yt ? y t ?1 ? 0 ? n ? Q ? ? t ) x jt ? 0 ? ?2? ( yt ? y ? t ?1 ? ?b j

(1.2.13)

( j ? 1,2,? , k )

方程组(1.2.13)式经展开整理后得

n n n n ? ?nb0 ? (? x1t )b1 ? (? x2t )b2 ? ? ? (? xkt )bk ? ? yt t ?1 t ?1 t ?1 t ?1 ? n n n n ? n 2 ?(? x1t )b0 ? (? x1t )b1 ? (? x1t x2t )b2 ? ? ? (? x1t xkt )bk ? ? x1t yt t ?1 t ?1 t ?1 t ?1 ? t ?1 n n n n ? n 2 ?(? x2t )b0 ? (? x1t x2t )b1 ? ? ( x2t )b2 ? ? ? (? x2t xkt )bk ? ? x2t yt t ?1 t ?1 t ?1 t ?1 ? t ?1 ? ???? ? n n n n n ?( x )b ? ( x x )b ? ( x x )b ? ....? ( x 2 )b ? x y ? ? ? ? kt 0 1t kt 1 2 t kt 2 kt k kt t ?? t ?1 t ?1 t ?1 t ?1 t ?1 ? ?

(1.2.14)

方程组(1.2.14)式称为正规方程组。

引入矩阵

? ? ? X?? ? ? ? ? ?1 ?x ? 11 ? x21 T A?X X?? ?? ? xk 1 ? ? ?

1 1 1 ?

x11 x12 x13 ?

x21 x22 x23 ? x2 n 1? ? ? x1n ? ? x2 n ? ? ?? ? ?? xkn ? ? ?? ? ? ?

? .? ? ?
1 1 1 ? 1 x11 x12 x13 ?

1 x1n 1 1 ? x12 x13 ? x22 x23 ? ? ? xk 2 xk 3 ?

xk1 ? xk 2 ? ? xk 3 ? ? ? ? xkn ? ?
x21 ? x22 x23 ? xk 1 ? ? xk 2 ? ? ? xk 3 ? ? ? ? ? xkn ? ?

x1n x2 n

? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?

n

?x
1t

n

?x
t ?1 n t ?1 n

n

?x
n t ?1 t ?1 n

t ?1 n

1t 2 1t

?x
t ?1 n t ?1

t ?1 n

?x
1t

n

2t

? ? ?

x2 t

? x2 t
?

? x1t x2t
?

2 x ? 2t

? xkt

?x
t ?1

kt

?x
t ?1

1t

?x
t ?1

n

2t

xkt

?

? xkt ? ? t ?1 ? n x1t xkt ? ? ? t ?1 n ? x2t xkt ? ? ? t ?1 ? ? n ? 2 xkt ? ? t ?1 ?
n

? y1 ? ?y ? 2? ? Y? ?? ? ? ? ? yn ?

?b0 ? ?b ? ? 1? b ? ?b2 ? ? ? ? ? ? ? ?bn ? ?

?1 ?x ? 11 B ? X T Y ? ? x21 ? ? ? ? ? xk 1

1 x12 x22 ? xk 2

1 x13 x23 ? xk 3

? ? ? ?

? n ? ? ? yt ? ? 1 ? ? y1 ? ? nt ?1 ? x y? ? ? ? x1n ? ? y2 ? ? ? 1t t ? t ?1 ? ? x2 n ? ? y3 ? ? n ? ? ? ? ? x 2 t yt ? ? ? ? ? ? ? t ?1 ? ? ? ? xkn ? ?? ? yn ? ? ? n ? ?? ykt yt ? ? t ?1 ?

则正规方程组(1.2.14)式可以进一步 写成矩阵形式

Ab ? B

求解得
b ? A?1B ? (XT X) ?1 XTY
(1.2.15)

引入记号
Lij ? L ji ? ? ( xit ? xi )(x jt ? x j )
t ?1 n

(i, j ? 1,2,?, k )

Liy ? ? ( xit ? xi )( yt ? y )
t ?1

n

(i ? 1,2,?, k )

正规方程组也可以写成

? L11b1 ? L12b2 ? ? ? L1k bk ? L1 y ? ? L21b1 ? L22b2 ? ? ? L2 k bk ? L2 y ? ???? ? ?L b ? L b ??? L b ? L kk k ky ? k1 1 k 2 2 ? b0 ? y ? b1 x1 ? b2 x2 ? ? ? bk xk ?

(1.2.15??)

?回归模型的显著性检验

S总 ? L yy ? U ? Q ① 回归平方和U与剩余平方和Q:

② 回归平方和
U ? ? ?(y
t ?1 n t

? y)

2

?

?b L
t ?1 i

n

iy

③ 剩余平方和为
n

? t ) 2 ? Lyy ? U Q ? ? ( yt ? y
t ?1

x1 , x 2 ,?, x k

④ F统计量为
F ? U /k Q /( n ? k ? 1)

计算出来F之后,可以查F分布表对模型进行显著性检验。

2.3 非线性回归模型
?

非线性关系线性化的几种情况

bx y ? d e ? 对于指数曲线 ,令 y ? ? ln y x ? ? x

,


可以将其转化为直线形式: y ? ? a ? bx?
a ? ln d ; 其中,

? 对于对数曲线 y ? a ? b ln x ,令 y ? ? y x ? ? ln x , 可以将其转化为直线形式: y ? ? a ? bx? ; ? 对于幂函数曲线 y ? dxb ,令 y ? ? ln y

, 可以将其转化为直线形式: y ? ? a ? bx? 其 中, a ? ln d ;
x? ? ln x

? 对于双曲线

1 b ?a? y x

,令y ? ?

1 1 , x? ? y x

,转化为

直线形式: y ? ? a ? bx?;

? 对于S型曲线

y?

1 1 ?x ? ? , 令 y ? , x ? e ,可 a ? be ? x y

转化为直线形式: y ? ? a ? bx ? ;
?k ?1 ?2 ? 对于幂乘积 y ? dx1 ? x2 ? xk ,只要令

? ? ln x1 , x2 ? ? ln x2 ,?, xk ? ? ln xk ,就可以将 y? ? ln y, x1

其转化为线性形式 ? ? ? 2 x2 ? ? ? ? ? k xk ? y? ? ? 0 ? ?1 x1

? 0 ? ln d; 其中,

? 对于对数函数和
y ? ? 0 ? ?1 ln x1 ? ? 2 ln x2 ? ? ? ? k ln xk
? ? ln x 2 , ?, x k ? ? ln x k ,就可 只要令 y ? ? y, x1? ? ln x1 , x2

以将其化为线性形式

? ? ? 2 x2 ? ? ? ? ? k xk ? y ? ? ? 0 ? ?1 x1

第3节 相关性度量
3.1 两变量间的相关性度量 3.2 变量与向量间的相关性度量 3.3 两向量间的相关性度量 3.4 多向量间的相关性度量

3.1 两变量间的相关性度量
(1) Pearson简单相关系数
? 2 xy Pearson相关系数的基本公式可定义为:r ? ? x? y 式中, r ——直线相关系数; ? x ——变量数列x的标准差;

? y ——变量数列y的标准差; 2 ? xy ——变量数列x与y的协方差。
n ,? y ?
2 ? ? y ? y ?

?x ?

2 ? ? x ? x ?

n

,?

2

xy

?x ? x ?? y ? y ? ? ?
n
2

据此,上式可写成下式: r?

? ?x ? x ?? y ? y ? ? ?x ? x ? ? ? y ? y ?
2

(2)等级相关系数
①斯皮尔曼(Spearman)相关系数
英国统计学家斯皮尔曼在皮尔逊积差法思想的 基础上,推导出计算等级相关系数的方法,称为“ 等级差数法”。用这种方法计算出的相关指标,就 命名为斯皮尔曼等级相关系数,其计算公式如下: 6? D 2 rs ? 1 ? n?n 2 ? 1? 式中,n——样本容量; D——每对观测值的等级 差。 必须注意的是,等级相关系数不能解释为线 性相关系数。

②肯德尔(Kendall)等级相关系数
统计学家肯德尔曾提出多种等级相关系数,以 下只介绍其中的交错系数,通常称之为肯德尔系数, rk 记为 rk 。 肯德尔系数的计算也是以变量x和y的等级数据 来进行,根据配对的等级顺序排列的位置是否颠倒或 者换位,得出等级换位的次数,进而计算得到肯德尔 系数。其计算公式为: 4? i rk ? 1 ? n?n ? 1? 式中,n——样本容量; ∑i——换位总次数。

(3)偏相关系数
? 将 x, μ, Σ ? ? 0 ?剖分如下:
? x1 ? k ? μ1 ? k ? Σ11 Σ12 ? k x?? ? , μ?? ? , Σ?? ? p?k x μ Σ Σ p ? k p ? k 22 ? ? 2? ? 2? ? 21 k p?k ?1 称 Σ11 2 ? Σ11 ? Σ12 Σ 22 Σ 21为偏协方差矩阵。 给定 x 2时 xi 和 x j 的偏相关系数定义为 ? ij k ?1, , p ?ij k ?1, , p ? , 1 ? i, j ? k ? ii k ?1, , p? jj k ?1, , p

其中 Σ11 2 ? ?? ij k ?1,

,p

?

? ?ij k ?1, , p 度量了剔除 xk ?1 , , x p 的(线性)影 响之后,xi 和 x j间相关关系的强弱。 ? 对于多元正态变量 x ,由于Σ11 2也是条件协 方差矩阵,故此时偏相关系数与条件相关 系数是同一个值,从而 ?ij k ?1, , p 同时也度量 了在 xk ?1 , , x p 值给定的条件下 xi 和 x j 间相 关关系的强弱。

3.2 变量与向量间的相关性度量
复相关系数
? 我们常常希望用一个数值指标来度量一个随 机变量 x1 和一组随机变量 x2 , , x p 之间的相关 性,而感兴趣的是这种相关性可以达到多高 程度。一个直观想法是,用 x2 , , x p 的一个线 性组合将其中包含的关于x1 的信息在线性关 系的意义上最大限度地提取出来,然后再计 算 x1与该线性组合的相关系数,此即为复相 关系数,以下作正式的定义。

? 将 x, μ, Σ ? ? 0 ? 剖分如下: ? x1 ? 1 ? ?1 ? 1

? ? 11 σ? 21 ? 1 x?? ? , μ?? ? , Σ?? ? p ?1 x μ σ Σ p ? 1 p ? 1 22 ? ? 2? ? 2? ? 21 1 p ?1 x1和 x 2的线性函数 l?x 2间的最大相关系数称为 x 2 和 x1间的复(或多重)相关系数,记作 ?1 2, , p , 它度量了一个变量 x1与一组变量 x2 , , x p间的

相关程度。 可推导出 ?

1 2, , p

? σ? ? 21Σ σ 21 ? max ? ? x1 , l?x 2 ? ? ? ? l ?0 ? ? 11 ?
?1 22

12

3.3 两向量间的相关性度量
(1)典型相关系数
设随机向量 x ? ( X1, X 2 ,..., X p )?, y ? (Y1, Y2 ,..., Yq )?, 他们的 协方差矩阵为: ? Σ11 Σ12 ? ?x ? cov ? ? ? Σ ? ? ? Σ Σ y ? ? ? 21 22 ? 为研究两组变量之间的关系,考虑它们的线性组合:
? ?U1 =a?x=a11 X 1 ? a12 X 2 ? ... ? a1 p X p ? ? ?V1 ? b?y ? b11Y1 ? b12Y2 ? ... ? b1qYq

在给定 x, y及 Σ 的条件下,选取a, b 使 U1与V1 之间的 相关系数? 达到最大。

cov(U1 ,V1 ) cov(a?x,b?y ) ?= ? 其中, var(U1 ) var(V1 ) var(a?x) var(b?y)
规定U1与 V1的方差为1,即 ?var(U1 ) ? var(a?x)=a?Σa ? 1 ? ?var(V1 ) ? var(b?y) ? b?Σb ? 1

? =cov(a?x, b?y) ? a? cov(x, y)b ? a?Σ12b 所以, 由拉格朗日乘数法,这一问题等价于求 a,b, 使 ? ?
G ? a?Σ12b ?

达到最大。 ? ? b?Σ21a ? (a?Σ12b)?, ? ? 即? 恰好等于 U1与V1 计算得: 之间的相关系数。

2

(a?Σa ? 1) ?

2

(b?Σb ? 1)

定义:在一切使方差为1的线性组合 a?x与 b?y 中,
其中两者相关系数最大的 U1 ? a? 1 x与 V1 =b? 1 y 称为第 一对典型相关变量,它们的相关系数 ?1 称为第一 典型相关系数。

一般,在定义了i-1对典型相关变量之后,在 一切使方差为1且与前i-1对典型相关变量都不相关 的线性组合 Ui ? a? 与 Vi =b? ix i y 中, 其两者相关系数 最大者称为第 i对典型相关变量,其相关系数称为 第i对典型相关系数。

(2)广义相关系数 已知随机向量 x ? ( X1, X 2 ,..., X p )?, y ? (Y1, Y2 ,..., Yq )?, 联合 方差协差阵为 : ? Σ11 Σ12 ? ?x ? cov ? ? ? Σ ? ? ? Σ Σ y ? ? ? 21 22 ? 定义:
-1 x, y 的线性关联阵; 我们称 M1 = Σ-1 Σ Σ xy xy yy Σyx是 Mxy 的 r ? rk (M1 ) 称为 x, y的相关秩,用符号 r 表示; ... ?r 表示,下列各个量, 全部非零特征根用?1,?2,, 每一个都称为 x, y的广义相关系数: (1) ① ?xy ? r ?1,?2, ...,?r ;

(2) ② ? xy

1 r ? (? ?i ); r i ?1

(3) ? ?i; ③ xy ? max 1?i ? r (4) ? xy ? min?i; ④ 1?i ? r

(5) ? ⑤ xy

1 r ?1 ?1 ? ( ? ?i ) ; r i ?1

?(i) xy 有如下性质: (i ) (i ) (i ) ? ? ? (Ⅰ)对称性 xy yx ;(Ⅱ) 0 ? ?xy ?1 ; () i ? (Ⅲ) xy =0 ? Σxy = ?; (i ) (Ⅳ) 设Σyy ? ?,则当y = Ax时, ?xy =1; 2 ?1 ) cov( y, x) (Ⅴ)当 p ? q ? 1时,M1 = (? x2 )?1 cov( x, y)(? y
= cov2 ( x, y)
2 2 ?x ?y

? r 2。

3.4 多向量间的相关性度量
(1)阿达玛不等式 ? 对 x 作如下的剖分: 设x N p ? μ, Σ,

? Σ11 Σ12 ? Σ= ? ?, ? Σ21 Σ22 ? Σ11 Σ12 -1 = Σ11 Σ22 -Σ 21 Σ11 Σ12 则 Σ= Σ21 Σ22

? x1 ? x = ? ?, ? x2 ?

? Σ11 Σ22
这就是著名的阿达玛不等式。

(2)多个向量的相关

p1 , p2 ,..., pk 维, 已知 k 个向量 x1 , x2 ,..., x ,分别为 k 则 cov(xi , xj ) ? Σij, 有 pi ? p j个,
? x1 ? ? Σ11 ? ? ? Σ =D ? ? ? ? ?x ? ?Σ ? k ? ? k1 Σ1k ? ? ? Σkk ? ?

定义 R =1Σ11 数。
2

Σ Σkk

表示 x1 , x2 ,..., xk 间的相关系

R的性质:

① 0 ? R2 ? 1, 当

R 2 =0时,表示相互独立,当 R 2 =1
2

时表示完全相关。

?11? 22 -?12? 21 2 =? 。 ②当 k ? 2, p1 ? p2 ? 1时, R =1?11? 22

③ k 个向量 x1 , x2 ,..., xk 之间的 R 与其次序无关。 ④ R2 =0 ? cov(xi , xj ) ? 0, ?i, j。 ⑤若 yi ? Ai xi ? bi ,(i ? 1, 2,..., k ), 其中 Ai ? 0, 则

?y1 , y2 ,..., yk ? 与 ?x1 , x2 ,..., xk ?

的 R 一样。

第4节 与正态分布有关 的一些重要分布
4.1 对数正态分布
4.2 反正态分布

4.1 对数正态分布
一元:
一个随机变量 x ,它只取正的值,于是 y ? ln x 就有意义。若 x ~ LN (?, ? 2 ) ,则称x 服从 2 y ? ln x ~ N ( ? , ? ) 。 对数正态分布,记为 2 LN ( ? , ? )的密度函数为 p ( x) ,则有 设
1 p ( x) ? x?1e ? 2?
? 1 2?
2 (ln x ? ? ) 2

,x ?0

若 x ~ LN (?,? 2 ) ,于是y ? ln x 的特征函数为
? y (t ) ? Eeiyt ? e
1 i ? t ? ? 2t 2 2

故:
E( x) ? E(eln x ) ? E(e y ) ? ? y (?i) ? e
E ( x ) ? E (e
2 2ln x 2y

?? ? 2

1 2

,
,

) ? E (e ) ? ? y (?2i ) ? e
2 2 ? ?? 2

2 ? ? 2? 2

Var( x) ? Ex ? (Ex) ? e
2

(e ?1)。

?2

多元:
如果 xi ? 0, i ? 1, 2, , p, 且yi ? ln xi , i ? 1, 2, 是联合正态分布 N ? μ, Σ ? ,则称
? x1 ? ? ? x ? ? ? ~ LN (μ, Σ) ? xp ? ? ?
,p

若 x ~ LN (μ, Σ) ,则它的密度函数为:
1 p ? ( lnx ?μ )? Σ?1 (l nx-μ ) 1 p ?1 p(x) ? ( ) Σ 2 (? xi ?1 )e 2 i ?1 2? ?ln x1 ? 其中, ? ? lnx ? ? ? ?ln x p ? ? ?

若 x ~ LN (μ, Σ) ,于是y = lnx 的特征函数为
故:
?y (t) ? Eeit?y ? e
E( x j ) ? E(e
ln x j

1 iμ?t- t?Σt 2
yj

) ? E(e ) ? e
) ? E(e
2yj

? j ? ? jj

1 2

,
,

E( x j 2 ) ? E(e

2ln x j

)?e

2 ? j ?2? jj

当 j ? j? 时,
Ex j x j? ? E (e

ln x j ?ln x j?

) ? E (e

x j ? x j?

)?e

? j ? ? j? ?(? jj ?? j?j? ? 2? j? j? )/2

,

Var (x) ? Ex j x j? ? ( Ex j )( Ex j? ) ? e
? Ex1 ? ?? ? ?

? j ? ? j? ? (? jj ?? j?j? )/2

(e

? jj? ?1

)

? ? Ex1 ? ? jj? ? ? ? [(e ) ] ? ? Ex p ? ? ?

? ? ? Ex p ? ?

4.2 反正态分布
反正态分布,也称逆正态、逆高斯分 布。它的分布密度是由两个参数决定的, 密度函数的表达式如下:

? ? 2m p ( x) ? e 2??

? ( x ? m )2
2

?

x

,x ?0

其中, ?和m 是两个参数。

定理:

设 ?x(t ) : t ? 0? 是在实轴上有漂移? 和扩 2 ? 散常数 的布朗运动,又 a ? 0 是一个固 t ? 0 是一限定 定的常数,可以视为边界, 的时间,? =inf ?t : x(t) ? a? (首达时),则? 的 分布密度为:

a f (t ) ? t e ? 2?

2 3 ? ( a ?? t ) ? 2? 2t 2

,t ? 0

第5节 重要的时间序列
5.1 白噪声过程 5.2 一阶自回归过程 5.3 趋势平稳过程 5.4 随机游走过程 5.5 单位根过程

5.1 白噪声过程
对于一个随机过程??t ?,如果其期望 值为0,方差为固定值,且不同时点之 间的协方差为0,即对于任意t 有: E(? t ) ? 0、 var(? t ) ? ? 2 ;对于任意 k ? 0 , 有 cov(?t , ?t ?k )=0 ,则称 ??t ? 为白噪声。

5.2 一阶自回归过程
若一个随机过程 X t可表示为:
X t ? ?1 X t ?1 ? ? t
(1.5.1)

2 ? ? ? E ( ? ) ? 0 、 var( ? ) ? ? 其中,t 为白噪声, t t ? , ( 1 ) 则称 X t 为一阶自回归过程,记为 AR 。

5.3 趋势平稳过程
若一个随机过程 X t 可表示为:
X t ? ? +? ? t ? ? t
(1.5.2)
2 ? ? ? E ( ? ) ? 0 、 var( ? ) ? ? 其中,t 为白噪声 t t ? ,则 称 X t 为趋势平稳过程。之所以称之为趋势 平稳,是因为模型(1.5.2)中 X t 减去趋势 项 ? +? ? t 后,是一个平稳过程。

5.4 随机游走过程
随机过程 X t 称为随机游走过 程,表示为:X t ? X t ?1 ? ?t ; t ? 1, 2,
??t ?为白噪声过程。 其中, 与AR(1)过程不同,随机游走过程非 平稳。因为不断迭代,有
X t ? X t ?1 ? ? t ? ? t ? ? t ?1 ? ? t ?2 ?



? ?E( X t ) ? 0 ? ? ? var( X t ) ? var(? t ? ? t ?1 ? ? t ? 2 ?

) ? t? ? 2

5.5 单位根过程
随机过程 X t 称为随机游走过程,表 示为: X t ? X t ?1 ? ut,t ? 1, 2,
?ut ?为一平稳过程。且 其中,
E(ut )=0、var(ut )=? 2、 cov(ut , ut ?k ) ? ?k ? ?, 这里k ? 1, 2,

与随机游走过程不同,单位根过程只要 求干扰项为一平稳过程,不要求不同时点的 协方差为0;而随机游走过程要求干扰项为一 白噪声过程,不同时点的协方差为0,即对任 cov(? t , ? t ?k )=0 。 意的 k ? 0 ,


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