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初中数学应用型综合问题(二讲)


初中数学应用型 综合问题
(第二讲) 阳高二中 刘利兰

应用型综合问题
代数知识的应用
1、数与式的应用 2、方程(组)的应用 3、不等式(组)的应用 4、函数的应用

几何知识的应用
平行线分线段成比 例,相似三角形的 性质,勾股定理, 三角函数及圆

例1公路上有A、B、C三站,一辆汽车在上 午8时从离A站10千米的P地出发向C站匀 速前进,15分钟后离A站20千米。 (1)设出发x小时后,汽车离A站y千米,写 出y与x之间的函数关系式。 (2)当汽车行驶到离A站150千米的B站时, 接到通知要在中午12点前赶到离B站30千 米的C站,汽车若按原速能否按时到达? 若能是在几点几分,若不能,车速最少 应提高到多少?
A P B C

分析:根据已知可确定车速为40千米/ 时,故(1)便可解决:y=40x+10, 由已知可知从P地到C站,须在4小时 内走完,而实际这段路程需4.25小时, 所以按原速度不能按时到达;从P地 到B站,用去时间3.5小时,故剩下 的30千米,必须在0.5小时内走完。
A P B C

解: (1)y=40x+10 (2)当y=150+30=180(千米)时,

则汽车按原速不能按时到达。 当y=150(千米)时,

y ? 10 x? ? 4.25(小时) 40

设提速后车速为v,则[(12-8)-3.5]v=30 v=60(千米/时) 答:车速应至少提高到60千米/时,才能在12点 前到达C站。

150 ? 10 x? ? 3.5(小时) 40

例2某商场计划投入一笔资金采购一批 紧俏商品,经过市场调查发现,如 月初出售,可获利15%,并可用本 和利再投资其他商品,到月末又可 获利10%;如果月末出售可获利 30%,但要付出仓储费用700元,请 问根据商场的资金状况,如何购销 获利较多?为什么?

分析:设此商场的投资为x元, 月初出售 可获利两次, 分别为15x%,(15%x+x)×10% 故月初出售可获利为 15x%+(15%x+x)×10% 月末出售可获利一次,为 30%x-700

解:设商场投资x元,月初售,月末 获利为y1元,月末售,获利为y2元 故y1=15%x+(15%x+x) ×10% =0.265x y2=30%x-700=0.3x-700 y1-y2=-0.035(x-20000)

当x<20000时,y1>y2 当x=20000时,y1=y2 当x>20000时,y1<y2
答:当资金少于2万元时,月初出售获利多, 当资金等于2万元时,月初、月末出售获 利一样多,当资金多于2万元时,月末出 售获利多。

总结:此题在比较的大小时,选用的 是比差法,同学们在做这一步时也 可以借助一次函数的图像来完成。

例3一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线 由甲地到乙地,行驶过程的函数图像如图, 两地间的距离是80千米,请你根据图像解决 下面的问题:
(1)谁出发较早?早多 y 长时间?谁到达乙地 较早,早到多长时间? (2)两人在途中行驶的 速度分别是多少? (3)请你分别求出表示 自行车和摩托车行驶 过程的函数解析式。

x

(4)指出在什么时 间段内两车均行驶 在途中(不包括端 点);在这一时间 段内,请你分别按

y

x

下列条件列出关于时间x的方程或不等式 (不要化简也不要求解);①自行车行驶 在摩托车前面;②自行车与摩托车相遇; ③自行车行驶在摩托车后面。

解: (1)由图可以看出: 自行车出发较早, 早3个小时;摩托车 到达乙地较早, x 早3个小时。 (2)对自行车而言:行驶80千米耗时8小 时,故速度为(80 ÷8)=10(千米/时) 对摩托车而言:行驶80千米耗时2小时, 故速度为80÷2=40(千米/时)

(3)设:表示自行车行驶过程的函数 解析式为y=kx ∵ 当x=8时, y=80 ∴80=8k ∴ k=10 x 所以 表示自行车行驶 过程的函数的解析式为y=10x

设表示摩托车行驶过程的函数的解析式为 y=ax+b ∵ 当x=3时,y=0; x=5时,y=80 ∴ 0=3a+b 80=5a+b 解得: a=40 x b=﹣120 ∴表示摩托车行驶过程的函数解析式为: y=40x-120

(4)在3<x<5时间段内两车均行驶在途中自 行车在摩托车前面:10x>40x-120, 两车相遇:10x=40x-120 自行车在摩托车后面:10x<40x-120

例4 某瓜果基地市场部 为指导该基地某种蔬菜的 生产和销售,在对历年市 场行情的生产情况进行了 调查的基础上,对今年这 种蔬菜上市后市场售价和 生产成本进行了预测,提 供了两个方面的信息,如 图甲,乙(注:甲,乙两 图中的每个实心黑点对应 的纵坐标分别指相应月份 的售价和成本)生产成本 6月份最低。请根据图像 提供的信息说明:

(1)在3 月份出售这种蔬菜 每千克的收益是多少元? (收益=售价-成本) (2)哪个月出售这种蔬菜每 千克收益最大?说明理 由?

解:(1)3月份出售 这种蔬菜每千克收 益为1元 (2)设图甲的函数的解
析式为y甲=kx+b 设图乙的函数的解析式为y乙=a(x-h)2+k 每 千 克 收 益 为 y 元 , 由 图 可 知 点 (3,5),(6,3) 在 y=kx+b的图像上
? 5 ? 3k ? b ?? ? 3 ? 6k ? b
2 ? ?k ? ? 解得? 3 ?b ? 7 ?

2 ? y甲 ? ? x ? 7 3

抛物线 y乙 ? a ( x ? h) 2 ? k的顶点 为( 6,1), 又过点( 3,4) ? 4 ? a ( 3 ? 6) 2 ? 1 1 ?a ? 3 1 ? y乙 ? ( x ? 6) 2 ? 1 3 2 1 ? y ? y甲 ? y乙 ? ? x ? 7 ? ( x ? 6) 2 ? 1 3 3 1 7 2 ? y ? ? ( x ? 5) ? 3 3 7 ? 当x ? 5时, y有最大值, 最大值为 . 3 答 : 5月份出售这种蔬菜 每千克收益最大 , .

D

E B C A

D1

例5 雨后初晴,一个学 生在运动场上玩耍, 从他前面2米远看一 块小积水处,他看到 了旗杆顶端的倒影, 如果旗杆底端到积水 处的距离为40米,该 生的眼部高度是1.5 米,那么,旗杆的高 度是________米

解:由图可知:△EAB∽△ DCB

EA AB ? ? DC BC
而EA=1.5m AB=2m BC=40m

1.5 ? 40 ? DC ? ? 30(m) 2
那么此空填30m

例6 如下图MN表示某引水工程的一段设计 路线,从M到N的走向为南偏东300, 在M的南偏东600方向上 有一点A,以A为圆心, 500m为半径的圆形区 域为居民区,取MN上 另一点B,测得BA的方 向为南偏东750,已知 MB=400m通过计算回答, 如果不改变方向,输 水线路是否会穿过居 民区?

M
A

B

N

解:过 A 作 AC⊥MN 于 C ,设 AC 长为 x 米,由题意 知∠AMC=30°, ∠ABC=45° MC=AC· cot30°=√3x M BC=AC=x ∵MC-BC=MB=400 B A √3x-x=400 C 解得x=200(√3+1)(m) N x>500 答:不改变方向,输水线路不会穿过居民区。

例7 有一圆弧形桥拱,水面AB宽32米, 当水面上升4米后水面CD宽24米, 此时上游洪水以每小时0.25米的速度 上升,再通过几小时,洪水将会漫 过桥面?
C D B O

A

解:过圆心O作OE⊥AB于E,延长后交CD 于F,交CD于H,设OE=x,连结OB, OD,由勾股定理得 OB2=x2+162 OD2=(x+4)2+122 H ∴ x2+162=(x+4)2+122 C D ∴x=12 F E ∴OB=20 A ∴FH=4 O 4÷0.25=16(小时) 答:再过16小时,洪水将会漫过桥面。

B


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