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14.不等式选讲


深圳市 2016 年高考数学复习参考题
14.不等式选讲
编辑:深圳实验学校 俞国雄
1. 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? a | , g ( x) ? x ? 3 , (Ⅰ) 当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (Ⅱ) 设 a ? ?1 ,且当 x ? [ ?
<

br />a 1 , ] 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2

【试题解析】(Ⅰ) 当 a ? ?2 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 化为 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 ? 0 .

? ??5 x , ? ? 设函数 y ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 ,则 y ? ?? x ? 2 , ? ?3 x ? 6 , ? ?
其图象如图所示,

x?

1 2

1 ? x ?1 2 x ?1

从图象可知,当且仅当 x ? (0,2) 时, y ? 0 . 所以原不等式的解集是 {x | 0 ? x ? 2} . (Ⅱ) 当 x ? [ ?

a 1 , ] 时, f ( x) ? 1 ? a . 2 2

不等式 f ( x) ? g ( x) 化为 1 ? a ? x ? 3 .

4 a 1 a , ] 都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ? . 3 2 2 2 4 从而 a 的取值范围为 ( ?1, ] . 3
所以 x ? a ? 2 对 x ? [ ? 【选题意图】 利用绝对值的意义去掉绝对值号, 转化为整式不等式问题, 是常用的化归方法.
1

①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.

2.已知 a 和 b 是任意非零实数. (Ⅰ) 求

| 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值; |a|

(Ⅱ) 若不等式 | 2a ? b | ? | 2a ? b |?| a | (| 2 ? x | ? | 2 ? x |) 恒成立,求实数 x 的取值范围. 【试题解析】 (Ⅰ) | 2a ? b | ? | 2a ? b |?| 2a ? b ? 2a ? b |? 4 | a | 对于任意非零实数 a 和 b 成立, 当且仅当 | (2a ? b)(2a ? b) ? 0 时取等号,

?

| 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值等于 4 ; |a| | 2a ? b | ? | 2 a ? b | 恒成立, |a| | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值 |a|

(Ⅱ) | 2 ? x | ? | 2 ? x |?

故 | 2 ? x | ? | 2 ? x | 不大于?

由(I)可知?

| 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值等于 4 , |a|

实数 x 的取值范围即为不等式 | 2 ? x | ? | 2 ? x |? 4 的解. 解不等式得 ? 2 ? x ? 2. 【选题意图】本题主要考查绝对值不等式.解题时一定要注意不等式与方程的区别,否则很 容易出现错误.零点分段法解绝对值不等式的步骤:①求零点;②划区间,去绝对值号;③ 分别解去掉绝对值的不等式;④取每段结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.

3. 设 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? (Ⅰ) a ? b ? 2 ; 【试题解析】 (Ⅰ) 由 a ? b ?

1 1 ? .试证明: a b

(Ⅱ) a 2 ? a ? 2 与 b 2 ? b ? 2 不可能同时成立.

1 1 a?b , a ? 0 , b ? 0 ,得 ab ? 1 , ? ? a b ab
2

由基本不等式及 ab ? 1 ,有 a ? b ? 2 ab ? 2 ,即 a ? b ? 2 ; (Ⅱ) 假设 a 2 ? a ? 2 与 b 2 ? b ? 2 同时成立, 则由 a 2 ? a ? 2 及 a ? 0 得 0 ? a ? 1 , 同理 0 ? b ? 1 ,从而 ab ? 1 ,这与 ab ? 1 矛盾, 故 a 2 ? a ? 2 与 b 2 ? b ? 2 不可能成立. 【选题意图】 本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点, 第一小问需将条件中的式子 作等价变形,再利用基本不等式即可求解,第二小问从问题不可能同时成立,可以考虑采用 反证法证明,否定结论,从而推出矛盾,反证法作为一个相对冷门的数学方法,在后续复习 时亦应予以关注。

4. 求证: (a1 ? a2 ? L ? an )( 【试题解析】

1 1 1 ? ? L ? ) ? n2 , (n ? N ? , 且a1 , a2 ,L , an均为正数). a1 a2 an

证明:①当 n ? 1 时,左边 ? a1 ?

②假设当 n ? k (k ? 1) 时不等式成立,即:

1 ? 1 ? 12 ? 右边,不等式成立; a1

1 1 1 ? ? L ? ) ? k 2 , 则当 n ? k ? 1 时, a1 a2 ak 1 1 1 1 左边 ? (a1 ? a2 ? L ? ak ? ak ?1 )( ? ? L ? ? ) a1 a2 ak ak ?1 (a1 ? a2 ? L ? ak )(

? (a1 ? a2 ? L ? ak )( ? ak ?1 ? (

1 1 1 1 ? ? L ? ) ? (a1 ? a2 ? L ? ak ) ? a1 a2 ak ak ?1

1 1 1 1 ? ? L ? ) ? ak ?1 ? a1 a2 ak ak ?1

? a ? a a ? ? a a ? a ? ? k 2 ? ? 1 ? k ?1 ? ? ? 2 ? k ?1 ? ? L ? ? k ? k ?1 ? ? 1 ? ak ?1 a1 ? ? ak ?1 a2 ? ? ak ?1 ak ? ? k 2 ? 2 ? 2 ?L ? 2 ?1 ? k 2 ? 2k ? 1 ? (k ? 1) 2 ? 右边,

? 当 n ? k ? 1 时,不等式也成立;
综合①②可知,原不等式对 ?n ? N 成立. 【选题意图】本题考察对基本不等式、数学归纳法证明不等式。本题若使用柯西不等式证明 也极为方便, 但用柯西不等式证明需要注意: ①所给不等式的形式是否与柯西不等式的兴致 一致,若不一致,需要将所给式子变形;②等号成立的条件.对数学归纳法的步骤要求同样
?

3

需要重点关注。

5. 设 a,b,c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,试证明下列不等式: (Ⅰ) ab ? bc ? ca ?

1 ; 3

(Ⅱ)

a 2 b2 c2 ? ? ?1 b c a

【试题解析】(Ⅰ) 由 a2 ? b2 ? 2ab, b2 ? c2 ? 2bc, c2 ? a 2 ? 2ca 得

a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca.
2 2 2 由题设得 ? a ? b ? c ? ? 1, 即 a ? b ? c ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? 1
2

所以 3? ab ? bc ? ca ? ? 1,即 ab ? bc ? ca ? (Ⅱ) 因为

1 . 当且仅当“ a ? b ? c ”时等号成立。 3

a2 b2 c2 +b ? 2a, ? c ? 2b, ? a ? 2c, b c a
2 2 2

当且仅当“ a ? b ? c ”时等号成立.

a 2 b2 c 2 a 2 b2 c 2 ? ? ? ? a ? b ? c ? ? 2 ? a ? b ? c ? ,即 ? + ? a ? b ? c. 故 b c a b c a
所以

a 2 b2 c2 ? ? ? 1. b c a

【选题意图】 本题考察的主要知识点为基本不等式以及证明不等式的常用方法, 同时考察学 生的推理论证能力。

6. 已知函数 f ( x) ? x ? a , 其中a ? 1. (Ⅰ) 当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ? 4 ? x ? 4 的解集; (Ⅱ) 已知关于 x 的不等式 f (2x ? a) ? 2 f ( x) ? 2 的解集为 x 1 ? x ? 2 ,求 a 的值。 【试题解析】

?

?

x ? 2, ??2 x ? 6, ? ? 2 ? x ? 4, (Ⅰ) 当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? 4 ? ?2, ?2 x ? 6, x ? 4. ?
当 x ? 2 时,由 f ( x) ? 4 ? x ? 4 ? ?2 ? 6 ? 4 ? x ? 1 ;

4

当 2 ? x ? 4 时,由 f ( x) ? 4 ? x ? 4 ? 2 ? 4 ,不成立; 当 x ? 4 时,由 f ( x) ? 4 ? x ? 4 ? 2x ? 6 ? 4 ? x ? 5 ; 综上, x ? 1, 或x ? 5 所以,当 a ? 2 时,不等式 f ( x) ? 4 ? x ? 4 的解集为 x x ? 1, 或x ? 5 . (Ⅱ) 记 h( x) ? f (2x ? a) ? 2 f ( x) ? 2x ? 2 x ? a ,

?

?

? ?2 a , ? 则 h( x ) ? ? 4 x ? 2a, ? 2a, ?

x ? 0, 0 ? x ? a, x ? a.

由 f (2x ? a) ? 2 f ( x) ? 2 得: h( x) ? 2 , 即 4 x ? 2a ? 2 ? ?2 ? 4 x ? 2a ? 2 ?

a ?1 a ?1 ?x? , 2 2

由已知不等式 f (2x ? a) ? 2 f ( x) ? 2 的解集为 x 1 ? x ? 2 , 亦即 h( x) ? 2 的解集为 x 1 ? x ? 2 ,

?

?

?

?

? a ?1 ?1 ? ? 2 所以 ? 解得 a ? 3. ? a ?1 ? 2 ? ? 2
【选题意图】利用绝对值的意义,去掉绝对值号,转化为整式不等式问题,是常用的化归方 法。考察学生的运算能力,推理论证能力,以及综合分析问题的思维能力。

7. 设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d ,证明: (Ⅰ) 若 ab ? cd ,则 a ? b ? (Ⅱ)

c? d;

a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.

【试题解析】 (Ⅰ) 因为 ( a ? b ) 2 ? a ? b ? 2 ab ,

( c ? d ) 2 ? c ? d ? 2 cd ,
由题设 a ? b ? c ? d , ab ? cd ,得 ( a ? b ) 2 ? ( c ? d ) 2 .

5

因此 a ? b ?

c? d.

2 2 (Ⅱ) 若 a ? b ? c ? d ,则 (a ? b) ? (c ? d ) .

即 (a ? b) ? 4ab ? (c ? d ) ? 4cd .
2 2

因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd , 由(Ⅰ) 得 a ? b ? 若 a? b?

c? d.

c ? d ,则 ( a ? b ) 2 ? ( c ? d ) 2 ,即

a ? b ? 2 ab ? c ? d ? 2 cd .
因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd ,于是

(a ? b) 2 ? (a ? b) 2 ? 4ab ? (c ? d ) 2 ? 4cd ? (c ? d ) 2 .
因此 a ? b ? c ? d , 综上, a ? b ?

c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件. c ? d ,只需证明

【选题意图】本题主要考察不等式的证明方法.要证明 a ? b ?

( a ? b ) 2 ? ( c ? d ) 2 ,展开结合已知条件易证;充要条件的证明需要分为两步,即充
分条件的证明和必要条件的证明.证明的关键是寻找条件和结论以及它们和已知之间的联 系. 8. 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ?2 | x ? a |, a ? 0 . (Ⅰ) 当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 1 的解集; (Ⅱ) 若 f ( x) 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6 ,求 a 的取值范围. 【试题解析】 (Ⅰ) 当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ? 1 化为 | x ? 1| ?2 | x ? 1|? 1 , 等价于 ?

? x ? ?1 ??1 ? x ? 1 ?x ? 1 2 或? 或? ,解得 ? x ? 2 , 3 ?? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1

2 ? x ? 2} . 3 ? x ? 1 ? 2a, x ? ?1 ? (Ⅱ) 由题设可得, f ( x) ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a , ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a ?
所以不等式 f(x)>1 的解集为 {x |
6

所以函数 f ( x) 的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A(

2a ? 1 , 0) , B(2a ? 1, 0) , 3

2 C (a, a +1) ,所以△ABC 的面积为 (a ? 1) 2 . 3
由题设得

2 (a ? 1) 2 ? 6 ,解得 a ? 2 . 3

所以 a 的取值范围为 (2, ??) . 【选题意图】 本题考察知识点包括: 含绝对值不等式解法; 分段函数; 一元二次不等式解法。 对含有两个绝对值的不等式问题,常用“零点分析法”去掉绝对值化为若干个不等式组问题, 原不等式的解集是这些不等式组解集的并集; 对函数多个绝对值的函数问题, 常利用分类整 合思想化为分段函数问题, 若绝对值中未知数的系数相同, 常用绝对值不等式的性质求最值, 可减少计算。

9. 已知 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? b | ?c 的最小值为 4. (Ⅰ) 求 a + b + c 的值; (Ⅱ) 求

1 2 1 2 2 a + b + c 的最小值. 4 9

【试题解析】(Ⅰ)因为 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? b | ? c ?| ( x ? a ) ? ( x ? b) | ? c ?| a ? b | ? c ,当且 仅当 ? a ? x ? b 时,等号成立,又 a > 0, b > 0 ,所以 | a ? b |? a ? b ,所以 f ( x) 的最小值为

a ? b ? c ,所以 a ? b ? c ? 4 .
(Ⅱ)由(1)知 a ? b ? c ? 4 ,由柯西不等式得

b 2 ?1 2 1 2 2? ?a ? ? a ? b ? c ? ? 4 ? 9 ? 1? ? ? ? 2+ ? 3+c ?1? ? ? a ? b ? c ? ? 16 9 3 ?4 ? ?2 ?
1 2 1 2 2 8 a ? b ?c ? . 4 9 7 1 1 b a c 8 18 2 当且仅当 2 = 3 = ,即 a = , b = , c = 时,等号成立 2 3 1 7 7 7 1 1 8 所以 a 2 + b 2 + c 2 的最小值为 . 4 9 7
即 【选题意图】本题考察知识点包括:绝对值三角不等式;2、柯西不等式.当 x 的系数相等 或相反时,可以利用绝对值不等式求解析式形如 f ( x) ? x ? a ? x ? b 的函数的最小值,以 及解析式形如 f ( x) ? x ? a ? x ? b 的函数的最小值和最大值,否则去绝对号,利用分段函

2

7

数的图象求最值.利用柯西不等式求最值时,要注意其公式的特征,以出现定值为目标. 10.已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 . (Ⅰ) 当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (Ⅱ) 若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含区间 [1, 2] ,求实数 a 的取值范围. 【试题解析】(Ⅰ) a ? ?3, f ( x) ? x ? 3 ? x ? 2 当 x ? 3时, 由f ( x) ? x ? 3 ? x ? 2 ? 2 x ? 5 ? 3 解得: x ? 4; 当 2 ? x ? 3时, 由f ( x) ? 3 ? x ? x ? 2 ? 1 ? 3 得:不等式无解; 当 x ? 2时, 由f ( x) ? 3 ? x ? 2 ? x ? 5 ? 2 x ? 3 解得: x ? 1 ; 综上不等式的解集为: {x | x ? 1或x ? 4}. (Ⅱ) 由题意: f ( x) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,即

f ( x) ? x ? 4 , ?x ?[1, 2] ,
1 ? x ? 2时, f ( x) ? x ? 4
?: | x ? a | ?2 ? x ? 4 ? x ?: | x ? a |? 2
?: ?2? x?a ? 2
?: ? x ? 2 ? a ? ?x ? 2

?a ? (? x ? 2)max ? ?3 ?? , ? 实数 a 的取值范围是 [?3, 0]. ? a ? (? x ? 2)min ? 0
【选题意图】本题考察绝对值不等式,不等式恒成立问题,分类讨论和转化与化归的数学思 想,同时要求学生掌握基本的解不等式的方法,具备一定的运算能力,推理论证能力,以及 分析问题的思维能力。

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