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【全国百强校】成都七中2018届高一数学上期入学考试试题(PDF版)


成都七中高 2018 届高一上学期入学考试数学试题
考试时间:120 分钟 满分:150 分

一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、设 a 、 b 、 c 是不为零的实数,那么 x ? A.3 种 B.4 种
a a ? b b ? c c

的值有 D.6 种



>)

C.5 种

2、已知 m 2 ? 2 m n ? 1 3, 3 m n ? 2 n 2 ? 2 1, 那么 2 m 2 ? 1 3 m n ? 6 n 2 ? 4 4 的值为 ( A.45 B.55 C.66 D.77



3、已知 a 、 b 满足等式 x ? a 2 ? b 2 ? 2 0 , y ? 4 ( 2 b ? a ) ,则 x、 y 的大小关系是( A. x ? y B. x ? y C. x ? y D. x ? y



4.如果 0 ? p ? 1 5 ,那么代数式 x ? p ? x ? 1 5 ? x ? p ? 1 5 在 p ? x ? 1 5 的最小值是( A.30 B.0 C. 15 D.一个与 p 有关的代数式



5.正整数 a 、 b 、 c 是等腰三角形的三边长,并且 a ? b c ? b ? c a ? 2 4 ,则这样的三角形有 ( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 6.分式 A.4
6 x ? 12 x ? 10 x ? 2x ? 2
2 2



可取的最小值为 B.5
a b ?

( C.6
a c ? b ? c b ? c? a



D.不存在 ,则 ? A B C 一定是 ( )

7.已知 ? A B C 的三边长分别为 a 、 b 、 c ,且 A.等边三角形 C.底边长为 a 的等腰三角形 8.若关于 x 的方程
1 2

B.腰长为 a 的等腰三角形 D.等腰直角三角形
x ? ax ? 2 ( x ? 1) ( x ? 2 )
1 2

x ?1 x? 2

?

x ?1

无解,求 a 的值为(
1 2

)

A.-5

B.-

C. -5 或-

D. -5 或-

或-2 )

2 4 4 9.已知 m 为实数, 且 s i n ? , c o s ? 是关于 x 的方程 3 x ? m x ? 1 ? 0 的两根, 则 s i n ? ? c o s ? 的值为 (

A.

2 9

B.

1 3

C.

7 9

D. 1

11.已知关于 x 的整系数二次三项式 a x ? b x ? c ,当 x 取 1,3,6,8 时,某同学算得这个二次三项式的值 ) y 分别为 1,5,25,50.经验算,只有一个是错误的,这个错误的结果是 ( A. x ? 1时 , y ? 1 B. x ? 3 时 , y ? 5 C. x ? 6 时 , y ? 2 5 D. x ? 8 时 , y ? 5 0
1

2

1 ? ? 2 ? ? 12.已知 0 ? a ? 1 , 且满足 ? a ? ? ? ? a ? ? ? 30 ? ? 30 ? ?

?

29 ? ? a ? ? 1 8( ? x ? ? ? 30 ? ?

表示不超过 x 的最大整数) ,

则 ?1 0 a ? 的值等于( A.5 B.6

) C.7 D.8

二.填空题 (每小题 4 分,共 16 分) 13.一个正三角形 A B C 的每一个角各有一只蚂蚁,每只蚂蚁开始朝另一只蚂蚁做直线运动,目标角是随机 选择,则蚂蚁不相撞的概率是 。 14. 如图,设 ? A B C 和 ? C D E 都是等边三角形,且 ? E B D ? 6 2 ,则 ? A E B 的度数为 。

(14 题图)

(15 题图)
1 x (x ? 0) 于

15.如图,点 A、 B 为直线 y ? x 上的两点,过 A、 B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线 y ?
C 、 D 两点。若 B D ? 2 A C ,则 4 O C
2

? OD

2

的值为



16.给出下列命题: (1)一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形; (2)两组对角的内角平分线分别平行的四边形是平行四边形; (3)一组对边中点间的距离等于另一组对边长和的一半的四边形是平行四边形; (4)两条对角线都平分四边形面积的四边形是平行四边形。 其中真命题是___________.(写出所有真命题的编号) 三.解答题(本大题 6 个小题,共 74 分) 17.(12 分) 设 2 7 - 1 0 2 = a ? b ,其中 a 为正整数, b 在 0 , 1 之间;求
a ?b a ?b

的值。

2

18.(12 分) 红星公司生产的某种时令商品每件成本为 20 元,经过市场调研发现,这种商品在未来 40 天内的日销售量 m (件)与时间 t (天)的关系如下表所示。 时间 t /天 日销售量 m /件 1 94 3 90 6 84 10 76 36 24 … …

未 来 40 天 内 , 前 20 天 每 天 的 价 格 y 1 ( 元 / 件 ) 与 时 间 t ( 天 ) 的 函 数 关 系 式 为
y1 ? 1 4 t ? 2 5 (1 ? t ? 2 0 , 且 t 为 整 数 ),后 20 天每天的价格 y 2 (元 / 件)与时间 t (天)的函数关系为 1 2 t ? 4 0 ( 2 1 ? t ? 4 0 , 且 t 为 整 数 )。下面我们就来研究销售这种商品的有关问题。

y2 ? -

(1) 认真分析表格中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些 数据的 m (件)与 t (天)的关系式。 (2) 试预测未来 40 天中哪一天的日销售利润最大,最大利润是多少? (3) 在实际销售的前 20 天中, 该公司决定每销售 1 件商品就捐赠 a 元利润 ( a ? 4 ) 给希望工程。 公司通 过销售记录发现,前 20 天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t (天)的增大而增大,求 a 的 取值范围。

19. (12 分)

如图,点 P 为 线,交
O

O

外一点,过点 P 作
O

O

的两条切线,切点分别为 A , B .过点 A 作 P B 的平行

于点 C .连结 P C ,交 .

于点 E ;连结 A E ,并延长 A E 交 P B 于点 K . 求证:

PE ? AC ? CE ? KB

3

20.(12 分) 如图,正方形 A B C D 被两条与边平行的线段 E F 、 G H 分割成 4 个小矩形, P 是 E F 与 G H 的交点,若矩 形 P F C H 的面积恰好是矩形 A G P E 面积的 2 倍,试确定 ? H A F 的大小,并证明你的结论。

21.(12 分) 如图(1) ,抛物线 y ? a x 2 ? b x ? 3 经过 A ( ? 3 , 0 ) , B ( ? 1, 0 ) 两点。 (1)求抛物线的解析式; 直线 y ? ? 2 x ? 9 与 y 轴交于点 C , 与直线 O M 交于点 D 。 现将抛物线平移, (2) 设抛物线的顶点为 M , 保持顶点在直线 O D 上。若平移的抛物线与射线 C D (含端点 C )只有一个公共点,求它的顶点横坐标的 值或取值范围; (3)如图(2)将抛物线平移,当顶点至原点时,过 Q ( 0 , 3 ) 作不平行于 x 轴的直线抛物线于 E 、 F 两点。 问在 y 轴的负半轴上是否存在点 P ,使 ? P E F 的内心在 y 轴上?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在, 请说明理由。

(1)

(2)

22. (14 分) 设 a 是正整数,如果二次函数 y ? 2 x 2 ? ( 2 a ? 23 ) x ? 10 ? 7 a 和反比例函数 y ? 点(横坐标和纵坐标都是整数的点) ,求 a 的值和对应的公共整点.
11 ? 3 a x

的图象有公共整

4

成都七中高 2018 届高一上学期入学考试数学试题参考答案
一.选择题 1.B 2.A 3.B 二.填空题 13. 4.C 5.C 6.A 7.B 8.D 9.C 10.C 11.D 12.B

1 4

14. 122?

15. 6

16.(2),(4)

三.解答题 17.

解.? 27 ? 10 2 ?

?5 ? 2 ?

2

? 5 ? 2 ? 3 ? (2 ? 2 )

由条件得: a ? 3, b ? 2 ? 2 ? a?b 5? 2 ? ? 6 2 ?7 a ? b 1? 2

18.

解 ( .1)m ? ?2t ? 96. (2)设日销售利润为W元,当1 ? t ? 20时, 1 1 W ? (?2t ? 96)( t ? 25 ? 20) ? ? (t ? 14)2 ? 578. 4 2 所以当t ? 14时,W有最大值578元。 1 当21 ? t ? 40时,W ?( - 2t ? 96)(? t ? 40 ? 20) ? (t ? 44)2 ? 16. 2 因当21 ? t ? 40时,W随t增大而减小,故当t ? 21时,W有最大值513 综上所述,第14天时的销售利润最大,最大578元. 1 1 (3) W ?( - 2t ? 96)( t ? 25 ? 20 ? a ) ? ? t 2 ? (14 ? 2a ) t ? 480 ? 96a , 4 2 对称轴为t ? 14 ? 2a , ? 1 ? t ? 20,且t为整数,W随t的增大而增大, ? 14 ? 2a ? 19.5 ? a ? 2.75,故2.75 ? a ? 4
19. 证明:因为 AC∥PB,所以 ?KPE ? ?ACE .又 PA 是⊙O 的切线,所以 ?KAP ? ?ACE .故

?KPE ? ?KAP ,于是△KPE∽△KAP,所以

KP KE ,即 ? KA KP

KP 2 ? KE ? KA .

由切割线定理得 KB 2 ? KE ? KA ,所以, KP=KB. 因为 AC∥PB, 所以, △KPE∽△ACE, 于是 即 PE ? AC ? CE ? KB .
20.
M
1

PE KP PE KB , 故 , ? ? CE AC CE AC

?a ? b ? x ? y(1) 解. 设 AG ? a , BG ? b , AE ? x , ED ? y , 则? , ?2ax ? by(2) 由(1)得 a ? x ? y ? b , 平方得 a 2 ? 2ax ? x 2 ? y 2 ? 2by ? b 2 , 将(2)代入得 a 2 ? 2ax ? x 2 ? y 2 ? 4ax ? b 2 . ? (a ? x )2 ? y 2 ? b 2 , 得 a ? x ?

y 2 ? b2.

? y 2 ? b 2 ? CH 2 ? CF 2 ? FH 2 ,? a ? x ? FH 即 DH ? FB ? FH . 延长 CB 至 M,使 BM ? DH , 连接 AM ,由 Rt △ABM ? Rt △ADH , 得 AM ? AH , ?MAB ? ?HAD ,? ?MAH ? ?MAB ? ?BAH ? ?BAH ? ?HAD ? 90 ?. 再证△ AMF ?△AHF , ? ?MAF ? ?HAF ,? ?HAF ? 45 ?
21.
解 .( 1)y ? x 2 ? 4 x ? 3 .' ( 2 )M ( ? 2,? 1), 直线 OD 的解析式为 y ? (i )当抛物线经过点 ? 当 1 x ,设平移的抛物线的解 2 析式为 y ? ( x ? h )2 ? 1 h. 2

G

P

H

C 时,? C ( 0 , 9),? h 2 ?

? 1 ? 145 1 h ? 9 , 解得 h ? . 2 4

? 1 - 145 ? 1 ? 145 ? h ? 时,平移的抛物线与射 线 CD 只有一个公共点。 4 4 ? 1 2 h ?y ? (x ? h ) ? ( ii )当抛物线与射线 CD 只有一个公共时,由方 程组 ? 2 , ?y ? ? 2x ? 9 ? 1 2 2 得 x ? ( ? 2 h ? 2 )x ? h ? h ? 9 ? 0. 2 1 ? ? ? ( ? 2 h ? 2 )2 ? 4( h 2 ? h ? 9 ) ? 0 , 解得 h ? 4 . 2 此时抛物线与射线 CD 的交点为( 3, 3),符合题意。 ? 1 - 145 ? 1 ? 145 ? h ? ) 4 4 (3)将抛物线平移,当顶 点至原点时,其解析式 为 y ? x 2 , 设 EF 的解析式为 y ? kx ? 3( k ? 0 ). 综上所述, h ? 4 或 假设存在满足题设条件 的点 P (0, t ), 如图,过 P 作 PH // x 轴,分别过 E 、 F 作 GH 的垂线,垂足为 H. ?△ PEF 的内心在 y 轴上, ? ? GEP ? ? EPQ ? ? QPF ? ? HFP , ?△GEP 与△ HFP 相似, ? ? ? xE

G、

xF

?

yE yF

GP ? PH ?t kx E ? 3 ? ?t kx F ? 3

GE , HF ?t ' ?t

? 2 kx E x F ? (t ? 3 )( x E ? x F ). ?y ? x 2 由? , 得 x 2 ? kx - 3 ? 0 . ? y ? kx ? 3 ? x E ? x F ? k , x E x F ? ?3. ? 2 k( ? 3 ) ? (t ? 3 )k ? k ? 0 ? t ? ? 3 ? P ( 0 ,? 3 ), 使△ PEF 的内心在 y 轴上。

2

? y ? 2 x 2 ? (2a ? 23) x ? 10 ? 7 a, ? 2 22. 解 联立方程组 ? 消去 y 得 2 x ? ( 2a ? 23) x ? 10 ? 7 a = 11 ? 3a , ?y ? x ?
11 ? 3a 3 2 ,即 2 x ? ( 2a ? 23) x ? (10 ? 7 a ) x ? 3a ? 11 ? 0 ,分解因式得 x

(2 x ? 1) x 2 ? (a ? 12) x ? 11 ? 3a ? 0

?

?

(1)

如果两个函数的图象有公共整点,则方程(1)必有整数根,从而关于 x 的一元二次方程

x 2 ? (a ? 12) x ? 11 ? 3a ? 0
必有整数根,所以一元二次方程(2)的判别式 ? 应该是一个完全平方数, 而 ? ? ( a ? 12) ? 4(11 ? 3a ) ? a ? 36a ? 100 ? ( a ? 18) ? 224 .
2 2 2

(2)

,则 所以 ( a ? 18) ? 224 应该是一个完全平方数,设 ( a ? 18) ? 224 ? k (其中 k 为非负整数)
2 2 2

(a ? 18) 2 ? k 2 ? 224 ,即 ( a ? 18 ? k )( a ? 18 ? k ) ? 224 .
显然 a ? 18 ? k 与 a ? 18 ? k 的奇偶性相同,且 a ? 18 ? k ? 18 ,而 224 ? 112 ? 2 ? 56 ? 4 ? 28 ? 8 ,所 以

?a ? 18 ? k ? 112, ?a ? 18 ? k ? 56, ?a ? 18 ? k ? 28, ?a ? 39, ?a ? 12, ?a ? 0, 或? 或? 解得 ? 或? 或? ? ?a ? 18 ? k ? 2, ?a ? 18 ? k ? 4, ?a ? 18 ? k ? 8, ?k ? 55, ?k ? 26, ?k ? 10,
而 a 是正整数,所以只可能 ?

?a ? 39, ?a ? 12, 或? ?k ? 55, ?k ? 26.

当 a ? 39 时,方程(2)即 x 2 ? 51x ? 106 ? 0 ,它的两根分别为 2 和 ? 53 ,易求得两个函数的图象 有公共整点 ( 2,?53) 和 ( ?53,2) . 当 a ? 12 时,方程(2)即 x 2 ? 24 x ? 25 ? 0 ,它的两根分别为 1 和 ? 25 ,易求得两个函数的图象有公共 整点 (1,?25) 和 ( ?25,1)

3


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