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复合函数相关知识


补充:复合函数相关知识

f ( g ( x )) 与 g ( f ( x )) 表示不同的复合函数

例1、 设函数 f ( x ) ? 2 x ? 3, g ( x ) ? 3 x ? 5 ,求 f ( g ( x )), g ( f ( x ))

第一、 预备知识:
⑴、函数符号除了用 f 表示,还以用

其他大写或小写英文字母表示: 例如: g ( x ) ? 2 x ? 4 , h ( x ) ?
2 x ?1 , A( x) ? x , u ( x) ? ?2 x ? 3x ? 1
2

⑵、函数自变量也可以用其他小写英文字母表示: 例如: g ( x ) ? 3 x ? 4 , g ( t ) ? 3 t ? 4 , f ( v ) ? ? 2 v ? 3 v ? 1, f ( w ) ?
2

练习 1、已知 h ( v ) ? 3 ?
w

v , g ( x ) ? x ? 2 ,求函数 h[ g ( x )], g [ h ( v )] 的解析式。
2

⑶、只要定义域相同,对应法则一样,两函数就是同一函数,与函数符号和自变量字母的选择无 关: 例如:
g ( x ) ? 3 x ? 4 , x ? R 和 g ( t ) ? 3 t ? 4 , t ? R 为同一函数 g (v ) ? v 和 f ( w ) ? | w | 为同一函数
2

第四、复合函数及其定义域
⑴、介绍定义域:若函数 y = f ( u )的定义域是 Df, u = g ( x )的定义域是 Dg,则复合函数

⑷:一般情况下我们都选择 x 为自变量,对于自变量不是 x 的一般都要写为 x (当然有时候也视 情况而定) 。 例如: g ( t ) ? 3t ? 4 往往改写为:
g ( x) ? 3x ? 4

y = f [ g ( x )]的定义域是 D={ x | x ∈Dg,且 g ( x )∈Df},即:综合考虑各部分的 x 的取值范围,
取他们的交集。 问:函数 f ( x ) 和函数 f ( x ? 5) 所表示的定义域是否相同?为什么?(不相同;原因:定义 域是求 x 的取值范围,这里 x 和 x ? 5 所属范围相同,导致它们定义域的范围就不同了。 ) ⑵、介绍复合函数的定义域求法 例 2、已知 f ( x ) 的定义域为 ? ? 3, 5 ? ,求函数 f (3 x ? 2) 的定义域; 解:因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中,即 ∵ f ( x ) 的定义域为 ? ? 3, 5 ?
? ?3 ? 3x ? 2 ? 5
?1 ? 3x ? 7

第二、函数概念及其定义域
函数的概念:设是 A , B 非空数集,如果按某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意 一个 x , 在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应, 那么就称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的 函数,记作: y ? f ( x ), x ? A 。其中 x 叫自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 相对应的 y 的值叫做函数值.

第三、复合函数的定义
一般地: y=f(u) u=g(x) 当 x 在 u=g(x) 设 , , 的定义域 Dg 中变化时, u=g(x) 的值在 y=f(u)的定义域 Df 内变化,因此变量 x 与 y 之间通过变量 u 形成的 一种函数关系,记为:y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数(composite function),其中 x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量 (即函数) 其中 y ? f (u ) 叫外层函数, 。
u ? g ( x ) 叫内层函数,简言之:复合函数就是:把一个函数中的自变量替换成另

??

1 3

? x?

7 3

所以函数 f (3 x ? 2) 的定义域为 ? ?
?

?

1 7? . , 3 3? ?
2

练习 2、已知 f ( x ) 的定义域为 ( 0,] ,求 f ( x ? 2 x ) 定义域。 3

一个函数所得的新函数. 例如: f ( x ) ? 3 x ? 5, g ( x ) ? x ? 1 ; 复合函数 f ( g ( x )) 即把 f ( x ) 里面的 x 换成 g ( x ) ,
2

f ( g ( x )) ? 3 g ( x ) ? 5 ? 3( x ? 1) ? 5 ? 3 x ? 8
2 2

练习 3、若函数 f ( x ) 的定义域是[0,1],求 f (1 ? 2 x ) 的定义域;

②、已知复合函数 f [ g ? x ?] 的定义域,求 f ( x ) 的定义域 方法是:若 f [ g ? x ?] 的定义域为 x ? ? a , b ? ,则由 a ? x ? b 确定 g ( x ) 的范围即为 f ( x ) 的定 义域。 ③、已知复合函数 f [ g ( x )] 的定义域,求 f [ h ( x )] 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由 f [ g ? x ?] 定义域求得

例3、 若函数 f ?3 ? 2 x ? 的定义域为 ?? 1, 2 ? ,求函数 f ? x ? 的定义域 解:由题意得
? ?2 ? x ? 3
? ?6 ? 3 x ? 9

f ? x ? 的定义域,再由 f ? x ? 的定义域求得 f [ h ? x ?] 的定义域。

④、已知 f ( x ) 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集, 即先求出各个函数的定义域,再求交集。

? ?4 ? 2 ? 3 x ? 11

所以函数 f ( x ) 的定义域为: ? ? 4,11? 练习 4、若 f ( 2 x ? 1) 的定义域是[-1,1],求函数 f ( x ) 的定义域;

第五、从复合函数理解求函数值域的方法:
⑴、初级函数: 一次函数: y ? ax ? b , 反比例函数:
二次函数: y ? ax
2

y ?

k x

, 二次函数:

y ? ax

2

? bx ? c

? bx ? c ,根号函数

( 幂函数 ): y ?

x, 要求熟悉以上函数的图像和在给

定定义域的条件下能求值域。 ⑵、 对于复合函数的值域: 对于函数 y ? 4 ? 例4、 已知 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ? 2,) ,求 f ? x ? 2 ? 的定义域。 3 解 由 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ? 2,) 得 ? 2 ? x ? 3 ,故 ? 1 ? x ? 1 ? 4 3 即得 f ? x ? 定义域为 [ ? 1,) ,从而得到 ? 1 ? x ? 2 ? 4 ,所以 1 ? x ? 6 4 故得函数 f ? x ? 2 ? 的定义域为 ?1, 6 ? 练习 5、已知 f ( x ? 3 ) 定义域是 ?? 4 ,5 ? ,求 f ( 2 x ? 3) 定义域. 义域为:[-1,4], g ( x ) 在定义域下的值域为[0, 为[4,
13 2
2 ? x ? 3 x ? 4 可以看作为函数 y ? f ( u ) ? 4 ?

u

和函数 u ? g ( x ) ? ? x ? 3 x ?
2

25 4

的复合函数 f [ g ( x )] 在求得函数定义域的前提下, 先求 g ( x ) 的

值域,然后在以 g ( x ) 的值域为 f (u ) 的定义域求 f (u ) 的值域即为 f [ g ( x )] 的值域。 解:要使 y ? 4 ?
2 2 ? x ? 3 x ? 4 有意义,则 ? x ? 3 x ? 4 ? 0 ,可求得 ? 1 ? x ? 4 即函数的定

25 4

],所以以[0,

25 4

]为定义域的函数 f (u ) 的值域

]。 (现在求函数值域的方法大多都可以利用前面的初级函数复合得到的复合函数来解

释和求解) 练习 1 参考答案: (3) :总结求复合函数定义域的方法: ①、已知 f ( x ) 的定义域,求复合函数 f [ g ? x ?] 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定 义域之中,因此可得其方法为:若 f ( x ) 的定义域为 x ? ? a , b ? ,求出 f [ g ( x )] 中 a ? g ( x ) ? b 的 解 x 的范围,即为 f [ g ( x )] 的定义域。 解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中,即
? ? x ? ? 2,或 x ? 0 ?x ? 2x ? 0 2 0 ? x ? 2x ? 3 ? ? ? ? 2 ?x ? 2x ? 3 ?? 3 ? x ? 1 ?
2

即 ? 3 ? x ? ?2 或 0 ? x ? 1 故 f ( x ? 2 x ) 的定义域为 ?? 3, ? 2 ? ? ?0 ,1?
2


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