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一次函数(经典.定义+图像性质题型)


kx +b 、b为常 一次函数的概念:函数y=_______(k 数,k______) 叫做一次函数。当b_____ ≠0 = 0 时,函数 y=____(k____) kx ≠0 叫做正比例函数。
★理解一次函数概念应注意下面两点:

⑴、解析式中自变量x的次数是___ 1 次,
K≠0 。 ⑵、比例系数_____

>当m = ____时,函数
是一次函数.

y ? ( m ? 3 ) x ? 5

2 m ? 8

一、一次函数的识别 例题1:关于x的函
数y=(m-2)x
m 2 ?3

-2 +2+m是一次函数,则m=____

要注意考查全面,既要满足自变 量x的最高次数为1;同时要满足 自变量一次项系数不能为0。

x 1 0 A . y ? B . y ? 1 ? xC . y ? D . y ?? 2 ( x 1 ) 6 x

例2.下列函数中,不是一次函数的是

(C)

y
5 y ? ? x ?5 4

6 4 2 o -2

y?

2 x?2 3

-6

-4

-2

2

4

6

x

天才= 1%的灵感

-4

+ 99%的汗水

一.复习:
1.作函数图像的步骤是什么? (1)列表 (2)描点 (3)连线

2.一次函数图像的特点是什么?
是一条直线,所以我们在作一次图像 的时候只需要确定两个点,再过这两 个点作直线就可以了。

二.尝试探索
1.在同一坐标系中作出正比例函数 y=0.5x y= –2x , y=-x的图象
y

y=x ,y=3x和

y=-2x y=-x

6 4 2 o -2 -4

y=3x y=x y=0.5x
2 4 6

-6

-4

-2

x

y

y=-2x
y=-x

6 4 2 o -2 -4

y=3x (1)上面的函数都是什么函数? y=x 正比例函数 y=0.5x
2 4 6 x

(2)正比例函数y=kx的 图象有什么特点?

-6

-4

-2

正比例函数y=kx的图象是经 过(0,0),(1,K)的一条直线

(3) y随x的增减性 ?经过的象限? k>0,y随x的增大而增大;过一,三象限 k<0,y随x增大而减小 ;过二,四象限。

(4)直线的倾斜程度 ? |k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴

一次函数y=kx+b (k≠0)的图象是一条直线,这条直 你所画出的图象是什么形状?列表 线通常又称为直线y=kx+b(k≠0)

描点 作函数图象一般步骤是什么? 正比例函数 y=kx(k≠0)是经过原点(0,0)的一条直线 . 连线 在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象
y? 1 x?2 2

1 ?1 ? y ? x 2 1 ?2? y ? x ? 2 2 ?3? y ? 3 x

1 y ? x 2

?4?

y ? 3x ? 2

y?3 x?2

y ? 3x

一次函数y=kx+b (k≠0)的图象是一条直线,这条直 线通常又称为直线y=kx+b(k≠0)
正比例函数y=kx(k≠0)是经过原点(0,0)的一条直线.

经过几点可以 确定一条直线? 画图象时,只要取两个 点即可 一般情况下,画一次函数 的图象取与x轴、y轴的交 点比较简便 画正比例的图象只要过原 x?2 点(0,0)和(1,k)最 y?3 为简便.

y?

1 x?2 2

1 y ? x 2

y ? 3x

一次函数y=kx+b(k≠0) 图象的画法 (两点) 例1 在同一平面直角坐标系中画出下列 每组函数的图象:

?1 ? y ? 2 x 与
y ? 2x ? 3

? 2 ? y ? 2 x ? 1与
1 y ? x ?1 2

对于直线y=k1x+b1与直线 y=k2x+b2 比较下列一对一次函数的图象有什么共同点, 当k1=k2 , b1≠b2 时,两直线平行 ; 有什么不同点? 当k1 ≠ k2 , b1=b2 时,两直线相交于点(0,b) ; 直线(图象)平行 K相同 b不同
y? 1 x?2 2

y?3 x?2 y ? 3x
K不同 b相同 直线(图象)相交

1 y ? x 2

1 y? x?2 2

1 y ? x 2
y?3 x?2

K相同 b不同 直线(图象)平行

y ? 3x

2 画出一次函数 y ? x ? 1 的图象 当一个点在直线上从 3
X y 0 1 3 3
左向右移动时,它的 位置怎样变化

观察分析: 小 到___ 大 自变量x由___ 小 到___ 大 函数y的值从___

2 函数y=3x-2的图象 画出一次函数 y ? x ? 1 的图象 是否也有这种现象 3
X y 0 1 3 3
2 y ? x ?1 3

观察分析: 小 到___ 大 自变量x由___ 小 到___ 大 函数y的值从___

y? 3 x? 2 结 y随x的增大而增大, 论 这时函数的图象从左到右上升;

观察分析:

2 y ?? x ?1 和 3

y? ? x? 2 的图象

2 y ? ? x ?1 3

小 到___ 大 自变量x由___ 大 到___ 小 函数y的值从___ 结 y随x的增大而减小, 论 这时函数的图象从左到右下降;

y? ? x? 2

概括
一次函数y=kx+b有下列性质:

增大 ,这时 (1) 当k>0时,y随x的增大而_____ 上升 ; 函数的图象从左到右_____ 减小,这时 (2) 当k<0时,y随x的增大而_____ 函数的图象从左到右下降 _____.

五.想一想
1)x从0开始逐渐增 大时,y=2x+6和y=5x 哪一个的值先达到20? 这说明了什么?
y 20 15 10 5 o -5

y=5x y=2x+6

-15

-10 -5

5

10

15

x

你看出来了吗?

-10

(2)直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何?
y 6

y=-x+6

y=-x

4 2 o -2 -4

-6

-4

-2

2

4

6

x

平行

(3)直线y=2x+6与y=-x+6的位置关系如何?
y=-x+6
y 6 4 2 o -2 -4

y=2x+6

-6

-4

-2

2

4

6

x

相交

六.探索发现
(1) 在同一坐标系中作出下列函数的图象

( 1)

1 y? x 3
-3 -2 -1

y 3 2 1 o -1 -2
y? 1 x ?1 3
y ? 1 x 3
1 x ?1 3

1 ( 2) y ? x ?1 3 1 ( 3) y ? x ?1 3

y?

1

2

3

x

思考:k,b的值跟图像有什么关系?

(2)在同一坐标系中作出下列函数的图象

1 ( 1) y ? ? x 3 ( 2)

y 3 2 1 o -1

y?? x? 1
1 3
-3 -2 -1

1 y? ? ? 1 3x

1

2

3

x

( 3)

y?? x?1
1 3

y??

-2

1 x 3

y??1 ? 1 3x

思考 做了这三个图像你发现了
K,b跟图像的关系吗?

(3)

结 论

通过作以上一次函数的图像我们发现y=kx+b 中,k,b的取值跟图像的关系如下:
K>o K<0 b<0 b=0 b>0 b<0

b=0

b>0

一,三

一,二,三 一,三,四

二,四

一,二,四 二,三,四

当k>0时,y的值随x的增大而增大

当k<0时,y的值随x的增大而减小

二、一次函数的图像和性质
1.下列一次函数中,y的值随x的增大 (2) (4) 。 而减小的有________

(1) y=10x-9

(2) y=-0.3x+2

x? 4 (3) y? 5
? (2 ?3 ) x (4) y

2.下列哪个图像是一次函数y=-3x+5 和y=2x-4的大致图像( B )

(A)

(B)

(C)

(D)

历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人精细。

3.如果一次函数y=kx-3k+6的图象经 K=2 过原点,那么k的值为_________ 。

4.写出m的3个值,使相应的一次函数 y = (2m-1)x+2的值都是随x的增大而减小.
可以写无数个,只要满足2m-1<0就可以了。 例如:m=0.m=-1,m=-2

变式训练
1、已知 y ? mx
m2 ? 8

-n+3则当m、n满足什么条件时:

①是一次函数。 ②是正比例函数,而且对于它的每一组非零的对应 值(x,y)有xy<0。

2、若一次函数 y=kx+1(k为常数,k ≠0 ) 的图象经过第一、二、三象限,则k的取值范围 是 .

3、在同一坐标系内,如图所示,直线 L1∶y=(k-2)x+k和L2∶y=kx的位置不可能为 ( A )

4、已知 y =(m – 1)x + m – 4 ,m为何值时 (1)它是一次函数; (2)y随x的增大而减小; (3)与y = – 2x – 3平行 ; (4)函数图象过原点; (5)函数图象不过第二象限; (4)∵函数图象过原点 解: (1)∵它是一次函数 ∴ m – 1 ≠0 即m ≠ 1 ∴ m–4=0 (2) ∵ y随x的增大而减小 即m = 4 ∴m – 1 < 0 即 m < 1 (5)∵函数图象不过第二 ∴ m – 1 > 0 且m – 4 < 0

象限 (3)∵它与y = – 2x – 3平行
∴ m– 1 = – 2 即 m = – 1

关于确定函数的解析式 用“待定系数法”确定解析式
(1)根据已知条件写出含有待定系数的解析式(定型) (2)将x,y的几对值或图象上点的坐标代入上述解析式, 得到以待定系数为未知数的方程或方程组,并解 方程(组),得到待定的系数的值 (定系数) (3)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中,得到 所求函数的解析式 (定式)

求一次函数的解析式,只要确定k和b两个常数即可; 求正比例函数或反比例函数的解析式,只要确定k 一个系数即可。

关于确定函数的解析式
确定一次函数解析式的三种条件,四种基本类型

三种条件
(1)与已知直线平行 (2)在y轴上的截距 (3)知道函数过的点 (确定k); (确定b); (把已知点坐标代入)。

四种类型
(1)过两点 (2)过一点且与已知直线平行 (3)过一点且知道截距 (4)知道截距与已知直线平行

三、待定系数法求函数解析式
1、已知一次函数y=kx+b(k≠0)在x=1时,y=5,且 它的图象与x轴交点的横坐标是6,求这个一次函 数的解析式。

∴一次函数的解析式为 y= - x+6。

点评:用待定系数法求一次函数y=kx+b的解析式, 可由已知条件给出的两对x、y的值,列出关于k、 b的二元一次方程组。由此求出k、b的值,就可以 得到所求的一次函数的解析式。

2、已知 y – 2与x成正比,当x = 3时,y = 1 求(1)y 与x 的函数关系式; (2)当x = 6时,y的值; (3)当y = 8时,x的值; (4)x为何值时,y > 0.

变式训练
①y与x-1成正比例,当x=2y=3时,求 解析式
②若直线y=ax+b过点(1,2)和(0,-1),求 解析式 ③直线y=kx+b与y=3x平行,且过(1,2), 求解析式

④某一次函数的图象过点(-1,2),且函数y 的值随x增大而减小,试写出一个符合上述条件的 函数关系式

能力提高 已知一次函数的图象如图所示:
1 (1)求出此一次函数的解析式;y= x+2 2 (2)观察图象,当x >-4 时,y> 0; 当x =-4 时,y=0;当x <-4 时,y<0;

(3)观察图象,当x=2时,y= 3
当y=1时x= -2 ;



y

3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 o 1 2 3 x

(4)解方程,求
1 (5)解不等式,求 x+2 <0的解。 2
1 2 x+2=0的解; x=-4

x<-4

中考真题演练
1.(贵阳中考)如图,已知 一次函数y=kx+b的图像, 当x<0,y的取值范围是( D ) A.y>0 B.y<0 C.-2<y<0 D. y<-2

2.(呼和浩特中考)已知一次函数y=kx+b中,y随x的增大而 减小,且kb>0,则这个函数的图像一定经过 第 二、三、四 象限.

3.已知一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6, 相应的y值范围是-11≤y≤9,则此函数解析式 为: y=5x/2-6或y=-5x/2+4 .


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