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典型信号的傅里叶变换


试将图 9.3 中所示的非正弦周期信号(称为方波信号)展成傅里叶级数。 例 9.1 根据图上所示信号的波形,可知其既对称于纵轴,又具有半波对称性质,所以它 解 是兼有奇谐波函数性质的偶函数。 依照上述定理, 此信号的傅里叶级数中必定只含有余弦的 奇次谐波项,因此只需按公式

Akm =
计算 Akm。 对图上的波形图可以写出

4 T2 f ( t ) cos kω tdt T ∫0

? ? A ? f (t ) = ? ?? A ? ?
将上式代入 Akm,便得

0≤t <

T 4 T T <t≤ 4 2

Akm =

T 2 4? T4 A cos kω tdt ? ∫ A cos kω tdt ? ? ∫0 ? T 4 ? T? T 4 T 2 4A 4A = ∫0 cos kω tdt ? T ∫T 4 cos kω tdt T 4A T 2 = sin kω T 4 ? sin kω T 4 0 Tkω

{

}

? 4A ? kπ ? =? ?? 4 A ? kπ ?
于是,信号的傅里叶级数

k = 1,5,9,? k = 3, 7,11?

f (t ) =
f (t ) A

4A ? 1 1 1 ? ? cos ω t ? cos 3ω t + cos 5ω t ? cos 7ω t + ? ? 3 5 7 π ? ?

?

T 2

0
?A

T 2

f (t ) A
t
? T 2

3T 4

0T T
?A
4 2

T

t

图 9.3 方波信号 图 9.4 三角波信号 例 9.2 试求图 9.4 所示三角波信号的傅里叶级教。 视察一下所给的波形可以知道,它既是原点对称又是半波横轴对称。因此,其傅 解 里叶级数仅由正弦奇次谐波分量组成。由于

? 4A ? T t ? f (t ) = ? ?? 4 A t + 2 A ? T ?

T 4 T T ≤t ≤ 4 2 0≤t ≤

故有

Bkm =
参照积分公式

4 T 4 4A 4 T 2? 4A ? ? ∫0 T t sinkω tdt ? T ∫T 4 ? T t ? 2 A ? sin kω tdt T ?
1
2

∫ x sin axdx = a
可算出

sin ax ?

1 x cos ax a

? 8A ? k 2π 2 ? Bkm = ? ?? 8 A ? k 2π 2 ?
于是所欲求的傅里叶级数

k = 1,5,9,? k = 3, 7,11?

f (t ) =

8A ? 1 1 1 ? sin ω t ? 2 sin 3ω t + 2 sin 5ω t ? 2 sin 7ω t + ? ? 。 2 ? π ? 3 5 7 ?
f (t )
A

例 9.3 已知一如图 9.5 所示的信号波形,试求其傅里叶级数。

0
?A

t

图 9.5 例 9.3 用图 此信号对原点对称,是奇函数,且又是半波横轴对称,所以其傅里叶级数仅是正 解 弦奇次谐波分量组成。由于

? ?A ? f (t ) = ? ?? A ? ?
故有

0<t≤

T 2

T < t ≤T 2

Bkm =

4 T2 4A ∫0 A sin kω tdt = ? Tkω cos kω t T 4A = k = 1,3, 5, 7,? kπ

{

T 2 0

}

于是,所求级数

f (t ) =

4A ? 1 1 1 ? ? sin ω t + sin 3ω t + sin 5ω t + sin 7ω t + ? ? 。 3 5 7 π ? ?


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