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2014郑州地区高一数学竞赛答案


2014 年郑州市高一数学竞赛讲评教案

解析:化简以后, A = x 1 ≤ x ≤ 5 ,B = y y > 2 ,因此A ∩ B = x 2 < ≤ 5 .所以选择答案 D。

解析:本题考查周期性。由上表可以看出:x1 = f x0 = f 6 = 4, x2 = f x1 = f 4 = 2, x3 = f x2 = f 2 = 1 , x4 = f x3 = f 1 = 5 , x5 = f x4 = f 5 = 6 , x6 = f x5 = f 6 = 4 … 所 以 函 数 周 期 为 5. 因 此 x2014 = x4 = 2

解析:由数量积知识可知cos θ= ?

3 1 ,而 ? ? ?0, ? ?,所以 sin ? ? 。代入定义运算,选择答案 C 2 2

解析:易知 f ( x) 在定义域内单调递增。所以 f (a ) ?
a a a a

a b 且 f (b) ? 。 2 2
a a

? log2 (2 + t) = 2
a
a

a

,所以 2 2 ? 2 ? t , 2 2 ? 2 ? t 。所以 t ? ?2 ? 2 2

2 令 2 2 ? x ,则 t ? ? x ? x , x ? (0,??) 。由二次函数的单调性可知 t ? (0, ) 。

1 4

答案为:A

解析:

f ( 2m x) ? 2m f ( x) ? 0 1 2m ? 2m x ? ? 2m x ? ?0 2m x x 1 1 2m( 2 x ? ) ? x 2m x ?x ?1 ? 2m( 2 x 2 ? x ) ? 1 2m 当m ? 0时,不等式可以化为 4m 2 ? 1
2

2x ? 1 1 1 4m 2 ? ( 2 ) min , ? 而当x ? 1时, ( 2 ) min 不存在 2x ? 1 2x ? 1 ? m ? 0不符合题意 当m ? 0时,不等式可以化为 1 4m 2 ? 2 2x ? 1 1 1 4m 2 ? ( 2 ) max , ? 而当x ? 1时, ( 2 ) max ? 1 2x ? 1 2x ? 1 ? 4m 2 ? 1 1 1 或者m ? ? 2 2 又m ? 0 m? 所以0 ? m ? 1 2

解析: y ? f x =

x + 1 , < 1 ? x + 1 , ≥ 1

如图可知:画出两个函数图象,利用数形结合。观察两个函数的交点



解析:1.积子集中含有一个奇数或者 3 个奇数,偶数可以任意取。含有 1 个奇数的集合的取法共有
1 3 c4 2 种,含有 3 个奇数的集合的取法有 c 43 2 3

种。因此答案为 64

2. PA, PB, PC 三条线段可以构造正四面体 P ?

ABC ,此正四面体可以看做由一个正方

体的六条面对角线所构成,球即为此时的正方体的内切球,同时也是正四面体的棱切球。由题意可知正 方体的棱长为棱长为 2,体对角线为 2

3 ,所以 PO= 3

整数解为(1,17) , (2,3)

解析:设动点为 P,则 d ( P, M )

? x ?1 ? y

,d ( P, N )

? x ?1 ? y

。所以折线距离之和为

x ? 1 ? y ? x ? 1 ? y ? 4 以下分六种情况进行讨论:
1. 当 x

? ?1, y ? 0 时上式可以化为:
- 2x ? 2 y ? 4 ? 0 即x ? y ? 2 ? 0

2. 当 x

? ?1, y ? 0 时上式可以化为:
- 2x ? 2 y ? 4 ? 0 即x ? y ? 2 ? 0

3. 当 ? 1 ?

x ? 1, y ? 0 时上式可以化为:

2 ? 2y ? 4 ? 0 即y ? 1

4.当 ? 1 ?

x ? 1, y ? 0 时上式可以化为:

2 ? 2y ? 4 ? 0 即y ? ?1
5.当 x

? ?1, y ? 0 时上式可以化为:
2x ? 2 y ? 4 ? 0 即x ? y ? 2 ? 0

6.当 x

? 1, y ? 0 时上式可以化为:
2x ? 2 y ? 4 ? 0 即x ? y ? 2 ? 0
画出函数图象,如下图:很容易求出面积为 6

解析:本题考查取整函数。分以下四种情况进行讨论 ① 当0 ?

1 ? ? x ? 1? ?x ?0 x ? 1时 y ? ? ? 0 ? ? ? ? ? 2 2 2 ? ? ? ? 1 ? ? x ? 1? ?x ?1 x ? 2时 y ? ? ? 0 ? ? ? ? 2? ? 2 ? ?2 ?

② 当1 ?

③当 2 ?

1 ? ? x ? 1? ?x ?0 x ? 3时 y ? ? ?1 ? ? ? ? 2? ? 2 ? ?2 ? 1 ? ? x ? 1? ?x ?1 x ? ? 时 y ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 2 2 ? ? ? ?
? x ? x? 1? y ? ? ? ? ? ? ? 的以上四段图象以及 y ? sin ?x 的图像,观察它们的交点,得到答案 ?2 ?2? 2?

④ 当3 ?

画出函数

x ? 0, x ? 2

解析: “可构造三角形函数”是近年来一个热门问题。答案

?1 ? ,2? ? 2 ? ?


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