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三角函数与不等式


目录

摘要................................................................................................................................2 关键字..........................................

..................................................................................2 1 引言及预备知识.........................................................................................................3 2 提出问题.....................................................................................................................5 3 题后思考.....................................................................................................................6 3.1 思考: 将和的形式转化为积的形式...............................................................6 引申 1: 将三角形式转化为等价代数形式..................................................7 引申 2: 对定理 II 的探索............................................................................. 8 3.2 思考: 将三角函数向三角形的圆方向发展...................................................9 4 结论应用...................................................................................................................10 4.1 一个关于旁切圆半径和高线的漂亮不等式................................................10 4.2 第 29 届 IMO 预选题................................................................................... 14 5 展开想象...................................................................................................................16 5.1 Weitzenbock 不等式及引申.......................................................................... 16 5.2 Finsler-Hadwiger 不等式...............................................................................18 6 后记...........................................................................................................................19 参考文献......................................................................................................................19 致谢..............................................................................................................................20

三角函数与不等式 ——一道 IMO 试题引起的思考
叶 勇

西南大学数学与统计学院, 重庆 400715

: 摘要: 不等式和三角函数是中学阶段非常重要的数学解题工具,它们经常在 初高中竞赛试题中出现.灵活应用它们, 可使一些比较困难的问题迎刃而解. 本 文对一道 IMO 试题涉及的三角函数关系以及纵多等价关系进行解释, 而后又简 要介绍了其他三角函数关系式的应用! 通过代数与三角的转化, 等价与代换的方 法解决了一系列代数, 三角和几何问题. 关键字: 不等式; 三角函数; IMO 试题

Triangle function and inequality —— A test of thinking. IMO cause thinking.
Yong Ye

School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China

Abstract Inequality and trigonometric functions is the high school stage very important Abstract:
mathematics problem-solving tool, they often appear in the papers in junior competition. Flexible application them, can make some difficult problems solved. This article about a test involving IMO trigonometric function relation and longitudinal study how equivalence relation, and then introduces the application of triangular function equation of the other. Through the algebra and triangle of transformation, equivalent and substitution method solved a series of algebra, triangle 第 2 页 共 20 页

and geometry problems.

Keyword: Inequality; Trigonometric functions; IMO questions Keyword: 1 引言及预备知识 国际奥林匹克数学竞赛创办于 1959 年, 目的是为了发现并鼓励世界上具有 数学天份的青少年, 为各国进行科学教育交流创造条件, 增进各国师生间的友好 关系. 考试分两天进行, 每天连续进行 4.5 小时, 考 3 道题目. 同一代表队的 6 名选手被分配到 6 个不同的考场, 独立答题. 答卷由本国领队评判, 然后 与组织者指定的协调员协商, 如有分歧, 再请主试委员会仲裁. 每道题 7 分, 满分为 42 分. 1981 年, 作为 IMO 东道国的美国邀请中国参加 IMO. 直到 1985 年, 我国才派出两名选手非正式地参加了 IMO, 成绩不很理想. 于是在全国联赛 之后再安排搞一个“冬令营” , 后也称“中国数学奥林匹克” , 团体第一名获得“陈 省身杯” , 在此基础上再进行选拔, 以组建 6 个人的国家队. 1986 年起, 除了在台 湾举办的一次, 我国都派足 6 名选手正式参加 IMO. 迄今为止到了 51 届,我国近 些年几乎都 4 金以上, 总分总是前 3 名. 我个人是特别喜欢奥林匹克的, 大学时 候还考了一个教练资格证. 本文提出第 6 届 IMO 的一个试题(如下): 设 a, b, c 是 ?ABC 的三边长; 求证

a 2 ( b + c ? a ) + b 2 ( c + a ? b ) + c 2 ( a + b ? ca ) ≤ 3abc.
然后通过对此题的证明, 思考, 应用和联想, 揭示了三角函数和不等式的一 些 常 见的 , 有用 的问题 和比 较有 效的解题方法 ; 同时也比较深 刻的研究了

a 2 ( b + c ? a ) + b 2 ( c + a ? b ) + c 2 ( a + b ? ca ) ≤ 3abc 的等价形式, 为我们以后证明与
三角形相关的不等式命题提供了一些有效的思路. 在 ?ABC 中, A,B,C 表示三角, 其对应边长为 a, b, c, 而对应的高线为 ha , hb , hc , 对应旁切园半径为 ra , rb , rc , ?ABC 的外接圆半径为 R, 内切圆半径为 r, p 表示半 周长.

?ABC 中, 有以下等式成立:
第 3 页 共 20 页

(A) cosA+cosB+cosC=1 + 4sin A sin B sin C . 2 2 2 (B) sin A+ sin B+ sin C=4cos A cos B cos C 2 2 2 (C)

cot Acot B + cot B cot C + cot C cot A =1.

(D) tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A = 1. 2 2 2 2 2 2 (E) 正弦定理
a sin A

=

b sin B

=

c sin C

= 2R .

(F)

余弦定理

cos A = b
(G) 面积

2

+c2 ?a2 2 bc

.

S = 1 ab sin C = pr = abc = 2R2 sin Asin B sin C . 2 4R

S =
Helen 公式

1 2

a .ha =

1 2

ra ( b + c ? a ) = ra ( p ? a ) .

S = p ( p ? a )( p ? b )( p ? c ) .
第 4 页 共 20 页

2 提出问题 (第 6 届 IMO 试题) a, b, c 是 ?ABC 的三边长, 求证

a 2 ( b + c ? a ) + b 2 ( c + a ? b ) + c 2 ( a + b ? ca ) ≤ 3abc .
当 a = b = c 时不等式取等号.

证明

左边 = ( ab 2 + ac 2 ? a 3 ) + ( bc 2 + ba 2 ? b 3 ) + ( ca 2 + cb 2 ? c 3 ) = a ( b 2 + c 2 ? a 2 ) + b ( c 2 + a 2 ? b 2 ) + c ( a 2 + b2 ? c2 ) = 2abc

(

b2 + c2 ? a 2 2 bc

+c

2

+ a 2 ?b2 2 ca

+a

2

+b 2 ?c 2 2 ab

)

= 2abc ( cos A + cos B + cos C ) , 那么原不等式

a 2 ( b + c ? a ) + b 2 ( c + a ? b ) + c 2 ( a + b ? ca ) ≤ 3abc
? 2abc ( cos A + cos B + cos C ) ≤ 3abc ? cos A + cos B + cos C ≤ 3 , 2 下面证明 cos A + cos B + cos C ≤ 3 . 2
cos A + cos B + cos C = 2 cos A+ B cos A? B + 1 ? 2sin 2 2 2
C 2

= ?2sin 2 C + 2 sin C cos A? B + 1 2 2 2 = ?2 ( sin C ? 1 cos A? B ) + 1 + 1 cos 2 2 2 2 2 ≤ 1 + 1 cos 2 2 ≤ 3, 2 当 cos A? B = 1 时, 且 sin C = 1 时取等, 2 2 2 即 A = B = C = π 时不等式取等号. 3 于是 cosA+cosB+cosC ≤ 3 , 2
第 5 页 共 20 页
A? B 2
2

A? B 2

综上所述

a 2 ( b + c ? a ) + b 2 ( c + a ? b ) + c 2 ( a + b ? ca ) ≤ 3abc,
当 a = b = c 时不等式取等号. 3 题后思考 : 3.1 思考: 将和的形式转化为积的形式 首先我们看出了

a 2 ( b + c ? a ) + b 2 ( c + a ? b ) + c 2 ( a + b ? ca ) ≤ 3abc ? cosA+cosB+cosC ≤ 3 2
事实上是在这是平时的学习生活中常常遇到的问题, 可见竞赛是源于教材 又高于教材. 另外结合预备知识(A) cosA+cosB+cosC=1 + 4sin A sin B sin C , 2 2 2 我们又可以得到一个常用的结论. 由原来的和的形式 cosA+cosB+cosC ≤ 3 , 2 转化为积的形式 sin A sin B sin C = 2 2 2 即
1 sin A sin B sin C ≤ 8 . 2 2 2 cos A+ cos B + cos C ?1 4

≤1, 8

当 A=B=C 时不等式取等号. 综上所述
1 sin A sin B sin C ≤ 8 . 2 2 2

当 A=B=C 时不等式取等号. 定理 I 如果 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角; 那么 sin A sin B sin C ≤ 1 , 2 2 2 8 当 A=B=C 时不等式取等号.
第 6 页 共 20 页

引申 1: 将三角形式转化为等价代数形式 由(D)余弦定理

cos A = b
半角公式

2

+c2 ?a2 2 bc

,

cos A = 1 ? 2sin 2

A 2

,

可得

sin A = 2
同理

p ?b b

p?c c

,

sin B = 2


p ?c c

p?a a

,

sin C = 2
三式相乘可得
p ? a p ?b p ? c a b c

p?a a

p?b b

,

1 = sin A sin B sin C ≤ 8 , 2 2 2

于是得到

abc ≥ 8 ( p ? a )( p ? b )( p ? c ) .
当 a = b = c 时不等式取等号. 综上所述

abc ≥ 8 ( p ? a )( p ? b )( p ? c ) .
当 a = b = c 时不等式取等号. 定理 II (1983 瑞士奥林匹克) a, b, c 是 ?ABC 的三边长; 那么

abc ≥ 8 ( p ? a )( p ? b )( p ? c ) .
当 a = b = c 时不等式取等号.

第 7 页 共 20 页

引申 2: 对定理 II 的探索 定理 III (第 42 届 IMO 试题)对任意正实数 x, y , z , xyz = 1 ;那么

( x ?1+ ) ( y ?1+ ) ( z ?1+ ) ≤ 1
1 y 1 z 1 x

.

当 x=y=z=1 时不等式取等号. 证明
c 设x = a,y = b,z = b, c a

( x ?1 + ) ( y ?1 + ) ( z ?1 + ) ≤ 1
1 y 1 z 1 x

c a b c ? ( a ? 1 + b )( b ? 1 + b )( a ? 1 + a ) ≤ 1 c c

? ( a + b ? c )( b + c ? a )( c + a ? b ) ≤ abc, 设 a, b, c 中, a 最大, (a) a ≥ b + c 时, 那么

( a + b ? c )( b + c ? a )( c + a ? b ) ≤ 0 ≤ abc.
(b) a < b + c 时, a, b, c 是某三角形的三边长, 那么

( a + b ? c )( b + c ? a )( c + a ? b ) ≤ abc ? abc ≥ 8 ( p ? a )( p ? b )( p ? c ) ,
这与“定理 II: (1983 瑞士奥林匹克) a, b, c 是 ?ABC 的三边长; 那么

abc ≥ 8 ( p ? a )( p ? b )( p ? c ) .
当 a = b = c 时不等式取等号.”是一致的. 综合(a)和 (b)有

( a + b ? c )( b + c ? a )( c + a ? b ) ≤ abc,
成立. 综上所述

( x ?1+ ) ( y ?1+ ) ( z ?1+ ) ≤ 1
1 y 1 z 1 x

.

当 x=y=z=1 时不等式取等号.

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: 3.2 思考: 将三角函数向三角形的圆方向发展 由预备知识(A) cosA+cosB+cosC=1 + 4sin A sin B sin C , 2 2 2 3.1 结合“3.1 思考”证明中的
p ? a p ?b p ? c a b c

= sin A sin B sin C , 2 2 2

结合面积公式(E)

S = pr = abc , 4R
Helen 公式

S = p ( p ? a )( p ? b )( p ? c ) ,

可得

R=


abc 4 p ( p ? a )( p ?b )( p ? c ) ,

r=
那么

( p ? a )( p ? b )( p ? c ) ,
p

r R
综上所诉有

=

4( p ? a )( p ?b )( p ? c ) abc

,

r cosA+cosB+cosC=1 + R .

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定理 IV 个内角; 那么

?ABC 的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r, A, B, C 是 ?ABC 的三

r cosA+cosB+cosC=1 + R .

: 推论: (欧拉不等式) ?ABC 的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r ; 那么

R ≥ 2r .
当 a = b = c 时不等式取等号. 证明 结合 cosA+cosB+cosC ≤ 3 , 2 及
r cosA+cosB+cosC=1 + R .

易得

R ≥ 2r
当 a = b = c 时不等式取等号. 综上所述

R ≥ 2r
当 a = b = c 时不等式取等号. 4 结论应用 4.1 一个关于旁切圆半径和高线的漂亮不等式 例 在 ?ABC 中, A,B,C 表示三角,边长 a, b, c 对应的高线为 ha , hb , hc , 对应旁切园

半径为 ra , rb , rc ;求证
ra ha

+ hbb + hcc ≥ 3.

r

r

当 a = b = c 时不等式取等号.

第 10 页 共 20 页

证明

由面积公式(G)

S =
由此可得

1 2

a .ha =

1 2

ra ( b + c ? a ) = ra ( p ? a ) ,

ra ha

=

s

( p?a) 2s a

=

a 2( p ? a )

,

同理可得
rb hb

=

s

( p ?b) 2s b

=

b 2( p ? b )

,


rc hc

=

s

( p?c) 2s c

=

c 2( p ? c )

,

于是又有
ra ha r r + hbb + hcc =
1 2

(

a p?a

+

b p ?b

+

c p? c

),

根据前文中

sin A = 2 sin B = 2 sin C = 2

p ?b b
p?c c

p ?c c
p?a a

, , , ,

p?a a

p?b b

sin A sin B sin C = 2 2 2

p ? a p ?b p ? c a b c

可得
p?a a

=

sin B sin C 2 2 sin A 2

,

也可写成
a p?a

=

sin

sin 2 A 2 A sin B sin C 2 2 2

=

1? cos A A 2sin 2 sin B sin C 2 2

,

同理
b p ?b

=

sin 2 B 2 sin A sin B sin C 2 2 2

=

1? cos B 2sin A sin B sin C 2 2 2

,

第 11 页 共 20 页


c p?c

=

sin

sin 2 C 2 A sin B sin C 2 2 2

=

1? cos C 2sin A sin B sin C 2 2 2

,

三式相加可得
a p?a

+

b p ?b

+

c p?c

=

3?( cos A+ cos B + cos C ) 2sin
A sin B sin C 2 2 2

=

3? 1+ 4sin A sin B sin C 2 2 2 2sin A sin B sin C 2 2 2

(

)

= sin A sin1 B sin C ? 2 ,
2 2 2

结合前文
1 sin A sin B sin C ≤ 8 , 2 2 2

得到
a p?a

+

b p ?b

+

c p ?c

≥6.

综上所述
ra ha r r + hbb + hcc ≥ 3.

当 a = b = c 时不等式取等号. : 引申: 在 ?ABC 中, A,B,C 表示三角,边长 a, b, c 对应的高线为 ha , hb , hc , 对应 旁切园半径为 ra , rb , rc , ?ABC 的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r;那么
ra ha r r + hbb + hcc ≥
3R 2r

.

当 a = b = c 时不等式取等号. 证明 前文得出
ra ha r r + hbb + hcc =
1 2

(

a p?a

+

b p ?b

+

c p? c

),


a p?a

+

b p ?b

+

c p? c

=

1 sin A sin B sin C 2 2 2

? 2,

事实上
3R r

=

3 abc 4 S S p

=

3 abcp 4S2

,

另外, 由正弦定理
a sin A

=

b sin B

c = sin C = 2 R,

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面积公式

S = 2R2 sin Asin B sin C
以及

p = R ( sin A + sin B + sin C )
可得
abcp S2
+sin B = 2 ? sin AAsin B +sin C sin sin C

结合(B)和半角定理 sin A+ sin B+ sin C=4cos A cos B cos C , 2 2 2 sin A = 2 sin A cos A , 2 2 sin B = 2 sin B cos B , 2 2 sin C = 2sin C cos C , 2 2 可得
sin A+sin B +sin C sin A sin B sin C

=

1 2sin A sin B sin C 2 2 2

于是
3R r

abcp 3 +sin B 3 1 = 3abc p4 S = 34 S 2 = 4 ? 2 ? sin AAsin B+sin C = 4 ? sin A sin B sin C S sin sin C
2 2 2


a p?a

+

b p ?b

+

c p?c



3R r

?

1 sin A sin B sin C 2 2 2

1 ? 2 ≥ 3 ? sin A sin B sin C , 4
2 2 2

? sin sin sin ≥ , 综上所述
ra ha r r + hbb + hcc ≥
3R 2r

A 2

B 2

C 2

1 8

.

当 a = b = c 时不等式取等号.

第 13 页 共 20 页

4.2 第 29 届 IMO 预选题 例 (第 29 届 IMO 预选题) ?ABC 的角平分线分别交该三角形的外接圆于

A' , B' , C ' 三点. 求证: ?ABC 的面积 S?ABC 不大于 ?A ' B ' C ' 的面积 S?A' B 'C ' .
证明

由圆的性质可以得到
∠ A' C ' C = A , 2

同理
∠B 'C 'C = B , 2

于是得到
∠A'C ' B ' =
A+ B 2

,

同样可得
∠C ' B ' A' =
C+A 2

,


∠B ' A'C ' =
B +C 2

,

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在 ?A ' B ' C ' 根据正弦定理有
A' B ' sin ∠A'C ' B ' BC C = sin ∠B' A'C ' = sin ∠CA' B ' A' = 2 R ,
' ' ' '

于是得到

A' B ' = 2 R sin
同理可得

A+ B 2

= 2 R cos C , 2

B 'C ' = 2 R sin B +C = 2 R cos A , 2 2


C ' A' = 2 R sin C + A = 2 R cos B , 2 2
由面积公式(G)

S = 1 ab sin C = pr = abc = 2R2 sin Asin B sin C 2 4R
可以得到

S ?ABC = 2 R 2 sin A sin B sin C = 16 R 2 sin A sin B sin C cos A cos B cos C , 2 2 2 2 2 2
而同理有

S ?A ' B ' C ' = 2 R 2 cos A cos B cos C , 2 2 2

两个面积相除得
S ?ABC S ?A' B 'C '

= 8sin A sin B sin C , 2 2 2

根据
1 sin A sin B sin C ≤ 8 , 2 2 2

可得

S?ABC ≤ S?A ' B 'C ' .
当 A=B=C 时不等式取等号. 综上所述: ?ABC 的面积 S?ABC 不大于 ?A ' B ' C ' 的面积 S?A' B 'C ' .
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5 展开想象 5.1 Weitzenbock 不等式及引申 由余弦定理

cos A = b


2

+c2 ?a2 2 bc

,

b 2 + c 2 ? a 2 = 2bc cos A = 4 ? bc sin A ? cot A = 4 S cot A , 2
同理得到

c 2 + a 2 ? b 2 = 2ca cos B = 4 ? ca sin B ? cot B = 4S cot B , 2


a 2 + b 2 ? c 2 = 2ab cos C = 4 ? ab sin C ? cot C = 4 S cot C , 2
三式相加可得

a 2 + b 2 + c 2 = 4 S ( cot A + cot B + cot C ) > 0 ,
而又有

( cot A + cot B + cot C )
另外

2

= cot 2 A + cot 2 B + cot 2 C + 2 ( cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A )

cot 2 A + cot 2 B + cot 2 C ≥ cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A ? ( cot A ? cot B ) + ( cot B ? cot C ) + ( cot C ? cot A) ≥ 0
故有
2 2 2

( cot A + cot B + cot C )
综上所述可得

2

≥ 3 ( cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A ) = 3 ,

a 2 + b2 + c 2 ≥ 4 3S .
当 a = b = c 时不等式取等号. 此乃是, Weitzenbock 不等式.
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定理 V 积. 那么

(第 3 届 IMO 试题)设 a, b, c 是某三角形的三边长, S 是三角形的面

a 2 + b2 + c 2 ≥ 4 3S .
当 a = b = c 时不等式取等号. : 引申: 设 a, b, c 是某三角形的三边长;求证
3Σbc ≤ ( Σa ) < 4Σbc .
2

当 a = b = c 时不等式取等号. 证明 余弦定理

b 2 + c 2 ? a 2 = 2bc cos A ,
同理

c 2 + a 2 ? b 2 = 2ca cos B


a 2 + b 2 ? c 2 = 2ab cos C
三式相加得

a 2 + b 2 + c 2 = 2 ( bc cos A + ca cos B + ab cos C ) ,
利用三角函数的有界性 cos A, cos B, cos C 都是小于 1 的, 于是有

a 2 + b 2 + c 2 = 2 ( bc cos A + ca cos B + ab cos C ) < 2 ( bc + ca + ab )
? ( a + b + c ) < 4 ( bc + ca + ab ) 另外
2

,

a 2 + b 2 + c 2 ≥ bc + ca + ab
? (b ? c ) + ( c ? a ) + ( a ? b ) ≥ 0 结合上面的结论有
2 2 2

,

3 ( bc + ca + ab ) ≤ ( a + b + c ) < 4 ( bc + ca + ab ) .

2

当 a = b = c 时不等式取等号.
第 17 页 共 20 页

5.2 Finsler-Hadwiger 不等式 预备定理 (C) tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A = 1, 2 2 2 2 2 2 另外

( tan A + tan B + tan C ) 2 2 2


2

A A ≥ tan2 A + tan2 B + tan2 C + 2( tan 2 tan B + tan B tan C + tan C tan 2 ) , 2 2 2 2 2 2 2

tan 2 A + tan 2 B + tan 2 2 2
2

C 2

≥ tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A 2 2 2 2 2 2
2

? ( tan A ? tan B ) + ( tan B ? tan C ) + ( tan C ? tan 2 2 2 2 2

A 2 2

)

≥ 0,

于是有

tan A + tan B + tan C ≥ 3 , 2 2 2
由半角公式又可以得到

tan A = 1?cos A = 2 sin A
同理可得

a 2 ?( b ?c ) 2 bc sin A

2

=

a 2 ?( b ?c ) 4S

2

,

tan B = 1?cos B = 2 sin B


b 2 ?( c ? a ) 2 ca sin B

2

=

b 2 ?( c ?a ) 4S

2

,

tan C = 1?cos C = 2 sin C
三式相加可以得到
a 2 ?( b ? c ) 4S
2

c 2 ?( a ?b ) 2 ab sin C

2

=

c 2 ?( a ?b ) 4S

2

,

+

b 2 ?( c ? a ) 4S

2

+

c 2 ?( a ? b ) 4S

2

= tan A + tan B + tan C ≥ 3 , 2 2 2

两边乘以 4S 得

a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 3S + ( b ? c ) + ( c ? a ) + ( a ? b ) ≥ 4 3S
当 a = b = c 时不等式取等号. 这是 Weitzenbock 不等式 a 2 + b2 + c 2 ≥ 4 3S 的加强.

2

2

2

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定理 VI 那么

(Finsler-Hadwiger 不等式)设 a, b, c 是某三角形的三边长;

a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 3S + ( b ? c ) + ( c ? a ) + ( a ? b )
当 a = b = c 时不等式取等号

2

2

2

像这样对公式的联想多不胜数就不在一一举例, 但是对其深入的研究还将 继续. 6 后记 本文从 a 2 ( b + c ? a ) + b 2 ( c + a ? b ) + c 2 ( a + b ? ca ) ≤ 3abc 开始谈起, 首先对其 证明而得出它的三角函数背景乃是 cos A + cos B + cos C ≤ 3 ; 然后从不同的角度思 2 考将其化为乘积形式和代数形式等各种等价命题;最后简单的说了点应用和联想 就草草结尾. 文章虽然已经结束,但是对它的研究不会截止. 不等式和三角函数是中学阶 段非常重要的数学解题工具,它们经常在初高中竞赛试题中出现.灵活应用它们, 可使一些比较困难的问题迎刃而解. 本文对一道 IMO 试题涉及的三角函数关系 以及纵多等价关系进行解释, 而后又简要介绍了其他三角函数关系式的应用! 通 过代数与三角的转化, 等价与代换的方法解决了一系列代数, 三角和几何问题. 参考文献 [1] 不等式研究网站: http://old.irgoc.org/ [2] 贺功保, 叶美雄. 《三角形的五心》[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版 社.2009. [3] 杨学枝. 《中学代数研究》[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社.2009. [4] 沈文选. 《平面几何证明方法全书》[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版 社.2005. [5] 1——44 届 IMO 试题合集. 百度文库: http://wenku.baidu.com/search [6] 陈传理, 张同君. 《竞赛数学教程》[M]. 北京: 高等教育出版社.2004 年.
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致谢 四年前, 我们怀着对大学生活的憧憬走进大学校园; 而四年后我们又要离开, 满是不舍和依恋却注定要走. 全力以赴地完成毕业论文, 既有一种收获感, 又有一种失落感. 它代表着我 四年学习历程, 也代表着我大学生活的终结. 在此, 我不禁想起了很多人、很多 事, 尤其是辛勤培养我的老师们, 谢谢你们! 感谢我的论文导师?***老师, 感谢您在我的论文完成过程中给予的指导与 宽容帮助, 让我得以顺利完成论文; 感谢我的支教实习领队李老师, 他是我们组 的良师益友, 他使我学会了面对困境和凡事全力以赴的态度; 还有, 感谢传授我 知识的每一位老师, 即将走出校门, 走上工作岗位, 我将以你们为榜样, 真诚地 给我的学生传授知识, 以及做人的道理. 在此, 再次向每一位我所接触过的老师, 表示真挚的谢意!

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