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2016高考


第2讲

古典概型

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.(2013· 江西卷)集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各任意取一个数, 则这两数之和等于 4 的概率是 2 A.3 1 B.2 1 C.3 1 D.6 ( )

1 解析 从 A,B 中任意取一个数,共有 C1

2·C3=6 种情形,两数和等于 4 的情

2 1 形只有(2,2),(3,1)两种,∴P=6=3. 答案 C 2.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各 个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 1 A.3 1 B.2 2 C.3 3 D.4 ( )

解析 甲、乙两人都有 3 种选择,共有 3×3=9 种情况,甲、乙两人参加同 3 1 一兴趣小组共有 3 种情况,∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率 P=9=3, 故选 A. 答案 A 3.(2013· 安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人, 这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为 2 A.3 2 B.5 3 C.5


( 9 D.10

)

解析 设事件“甲或乙被录用”为事件 A,则A表示甲、乙都未被录用,由古
- 1 1 1 9 典概型,P(A)=C3=10,∴P(A)=1-10=10.

5

答案 D
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4. 连掷两次骰子分别得到点数 m, n, 则向量(m, n)与向量(-1, 1)的夹角 θ>90° 的概率是 5 A.12 7 B.12 1 C.3 1 D.2 ( )

解析 ∵(m,n)· (-1,1)=-m+n<0,∴m>n. 基本事件总共有 6×6=36(个),符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1), (4,2),(4,3),(5,1),?,(5,4),(6,1),?,(6,5),共 1+2+3+4+5 =15(个). ∴P= 15 5 = ,故选 A. 36 12

答案 A 5.(2014· 九江质检)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择 其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 2 A.3 2 B.9 1 C.3 7 D.9 ( )

2 2 解析 三位同学每人选择三项中的两项有 C2 3C3C3=3×3×3=27 种选法,其 2 1 中有且仅有两人所选项目完全相同的有 C2 3C3C2=3×3×2=18(种)选法.∴所

求概率为 P= 答案 A 二、填空题

18 2 = . 27 3

6.(2014· 江苏卷)从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数 的乘积为 6 的概率是________. 解析 从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,有(1,2),(1,3),(1, 6),(2,3),(2,6),(3,6),共 6 种情况. 2 1 满足条件的有(2,3),(1,6),共 2 种情况.故 P=6=3. 1 答案 3 7.(2014· 广东卷)从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这 七个数的中位数是 6 的概率为________. 解析 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数有 C7 10种选法.要 使抽取的七个数的中位数是 6,则 6,7,8,9 必须取,再从 0,1,2,3,4,
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5 中任取 3 个,有 1 答案 6

C3 1 6 3 C6种选法,故概率为C7 =6. 10

8.(2014· 江西卷)10 件产品中有 7 件正品、3 件次品,从中任取 4 件,则恰好取 到 1 件次品的概率是________. 解析 从 10 件产品中任取 4 件共 C4 10种取法,取出的 4 件产品中恰有一件次 品,有
1 C3 7C3种取法,则所求概率 1 C3 7C3 1 P= C4 =2. 10

1 答案 2 三、解答题 9.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1,2,3,4 的四个小球,现从甲、乙两 个盒子中各取出 1 个小球,每个小球被取出的可能性相等. (1)求取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率; (2)求取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率. 解 法一 能结果: 利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球的所有可

可以看出,试验的所有可能结果数为 16 种. (1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有 1—2,2—1,2—3,3—2,3 —4,4—3,共 6 种, 6 3 故所求概率 P=16=8. (2)所取两个小球上的标号之和能被 3 整除的结果有 1—2, 2—1, 2—4, 3—3, 4—2,共 5 种. 5 故所求概率 P=16. 法二 设从甲、乙两个盒子中各取 1 个小球,其标号分别记为 x、y,用(x, y)表示抽取结果,则所有可能有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2, 2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4, 3),(4,4),共 16 种.
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(1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有(1,2),(2,1),(2,3),(3, 6 3 2),(3,4),(4,3),共 6 种.故所求概率 P=16=8. (2)所取两个小球上的标号和能被 3 整除的结果有(1,2),(2,1),(2,4),(3, 5 3),(4,2),共 5 种.故所求概率 P=16. 10.(2015· 郑州质检)某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分层抽 样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目; (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, 求抽到小学、 中学各一所的概率. 解 (1)由分层抽样定义知, 21 =3; 21+14+7 14 从中学中抽取的学校数目为 6× =2; 21+14+7 7 从大学中抽取的学校数目为 6× =1. 21+14+7 从小学中抽取的学校数目为 6× 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)记“抽到小学、中学各一所”为事件 A,
1 1 则事件 A 共有基本事件 m=C3 ·C2 =6(种)抽法,

又从 6 所学校任抽取 2 所有 n=C2 6=15 种抽法. m 6 2 因此,所求事件的概率 P= n =15=5.

能力提升题组
(建议用时:25 分钟)

11.(2015· 东北八校二模)甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记 为 a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为 b,其中 a,b∈{1,2, 3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个 游戏,则他们“心有灵犀”的概率为 1 A.9 2 B.9 7 C.18 4 D.9 ( )

解析 任意找两人玩这个游戏,共有 6×6=36 种猜数字结果,其中满足|a-
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b|≤1 的有如下情形: ①若 a=1,则 b=1,2;②若 a=2,则 b=1,2,3;③若 a=3,则 b=2,3, 4;④若 a=4,则 b=3,4,5;⑤若 a=5,则 b=4,5,6;⑥若 a=6,则 b 16 4 =5,6,总共 16 种,故他们“心有灵犀”的概率为 P=36=9. 答案 D 12.一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为 1,2,3,4,5,6, 将这颗骰子连续抛掷三次,观察向上的点数,则三次点数依次构成等差数列 的概率为 1 A.12 1 B.18 1 C.36 7 D.108 ( )

解析 连续抛掷三次,共有 63=216 种情况,记三次点数分别为 a,b,c,则 a+c=2b,所以 a+c 为偶数,则 a、c 的奇偶性相同,且 a、c 允许重复,一 18 旦 a、c 确定,b 也唯一确定,故 a,c 共有 2×32=18 种,所以所求概率为216 1 =12.

答案 A 13.(2013· 湖南卷改编)某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点 以 及 三角形的顶点 ) 处都种 了一株相同品种的作 物.则从三角形地块的内部和边界上各分别随机选 取一株作物,它们恰好“相近”的概率为________. (注:这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线 距离不超过 1 米) 解析 所种作物总株数 N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物 株数为 3,边界上的作物株数为 12,从三角形地块的内部和边界上各分别随
1 机选取一株的不同结果有 C1 3C12=36 种.选取的两株作物恰好“相近”的不

同结果有 3+3+2=8 种. 故从三角形地块的内部和边界上各分别随机选取一株作物,它们恰好 “ 相 8 2 近”的概率为36=9.
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2 答案 9 14.甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,求选出的 2 名教师性别相同的 概率; (2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名, 求选出的 2 名老师来自同一学校的概率.
1 解 (1)从甲、乙两校报名的教师中各选 1 名,共有 n=C1 3×C3=9 种选法. 1 记“2 名教师性别相同”为事件 A,则事件 A 包含基本事件总数 m=C2 ·1+

m 4 C1 2·1=4,∴P(A)= = . n 9 (2)从报名的 6 人中任选 2 名,有 n=C2 6=15 种选法. 记“选出的 2 名老师来自同一学校”为事件 B,则事件 B 包含基本事件总数 m=2C2 3=6. 6 2 ∴选出 2 名教师来自同一学校的概率 P(B)=15=5.

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