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高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解


必修 1 第一章集合与函数基础知识点整理
第1讲 § 1.1.1 集合的含义与表示

¤学习目标:通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;能选择自然语言、 图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;掌握集 合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点: 1. 把一些元素组成的

总体叫作集合(set) ,其元素具有三个特征,即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种:列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来, 基本形式为 {a1 , a2 , a3 , ???, an } ,适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法,即用集合所含元素的共 同特征来表示,基本形式为 {x ? A | P( x)},既要关注代表元素 x,也要把握其属性 P( x) ,适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母 A, B, C , ? ? ? 表示集合. 要记住一些常见数集的表示,如自然数集 N,正整数集
N * 或 N ? ,整数集 Z,有理数集 Q,实数集 R.

4. 元素与集合之间的关系是属于(belong to)与不属于(not belong to) ,分别用符号 ? 、 ? 表示, 例如 3 ? N , ?2 ? N . ¤例题精讲: 【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)由方程 x( x2 ? 2 x ? 3) ? 0 的所有实数根组成的集合; (2)大于 2 且小于 7 的整数. 解: (1)用描述法表示为: {x ? R | x( x2 ? 2x ? 3) ? 0} ; 用列举法表示为 {0, ?1,3} . (2)用描述法表示为: {x ? Z | 2 ? x ? 7} ; 用列举法表示为 {3, 4,5,6} . 【例 2】用适当的符号填空:已知 A ? {x | x ? 3k ? 2, k ? Z } , B ? {x | x ? 6m ? 1, m ? Z } ,则有: 17 A; -5 A; 17 B.

解:由 3k ? 2 ? 17 ,解得 k ? 5 ? Z ,所以 17 ? A ; 由 3k ? 2 ? ?5 ,解得 k ? ? Z ,所以 ?5 ? A ; 由 6m ? 1 ? 17 ,解得 m ? 3 ? Z ,所以 17 ? B . 【例 3】试选择适当的方法表示下列集合: (教材 P6 练习题 2, P13 A 组题 4) (1)一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点组成的集合; (2)二次函数 y ? x 2 ? 4 的函数值组成的集合;
1

7 3

(3)反比例函数 y ? 的自变量的值组成的集合.

2 x ?y ? x ? 3 解: (1) {( x, y) | ? } ? {(1, 4)} . ? y ? ?2 x ? 6 2 x

(2) {y | y ? x2 ? 4} ? {y | y ? ?4} . (3) {x | y ? } ? {x | x ? 0} . 点评:以上代表元素,分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为 {1, 4} ,也注意 对比(2)与(3)中的两个集合,自变量的范围和函数值的范围,有着本质上不同,分析时一定要细 心. *【例 4】已知集合 A ? {a | 解:化方程
x?a ? 1有唯一实数解} ,试用列举法表示集合 A. x2 ? 2

x?a ? 1 为: x2 ? x ? (a ? 2) ? 0 .应分以下三种情况: 2 x ?2 9 1 ⑴方程有等根且不是 ? 2 :由 △=0,得 a ? ? ,此时的解为 x ? ,合. 4 2

⑵方程有一解为 2 ,而另一解不是 ? 2 :将 x ? 2 代入得 a ? ? 2 ,此时另一解 x ? 1 ? 2 ,合. ⑶方程有一解为 ? 2 ,而另一解不是 2 :将 x ? ? 2 代入得 a ? 2 ,此时另一解为 x ? 2 ? 1 ,合. 综上可知, A ? {? , ? 2, 2} . 点评:运用分类讨论思想方法,研究出根的情况,从而列举法表示 . 注意分式方程易造成增根的 现象.
9 4

第2讲

§ 1.1.2 集合间的基本关系

¤学习目标:理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中,了解全集与空集的含义;能 利用 Venn 图表达集合间的关系. ¤知识要点: 1. 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素,则说两个集合有包含关系,其中 集合 A 是集合 B 的子集(subset) ,记作 A ? B (或 B ? A ) ,读作“A 含于 B”(或“B 包含 A”). 2. 如果集合 A 是集合 B 的子集( A ? B ) ,且集合 B 是集合 A 的子集( B ? A ) ,即集合 A 与集合 B 的元素是一样的, 因此集合 A 与集合 B 相等,记作 A ? B . 3. 如果集合 A ? B , 但存在元素 x ? B , 且 x? A, 则称集合 A 是集合 B 的真子集 (proper subset) , 记作 A ? B (或 B ? . ? A)

?

4. 不含任何元素的集合叫作空集(empty set) ,记作 ? ,并规定空集是任何集合的子集. 5. 性质: A ? A ;若 A ? B , B ? C ,则 A ? C ; 若 A ? B ? A ,则 A ? B ;若 A ? B ? A ,则 B ? A . ¤例题精讲: 【例 1】用适当的符号填空: (1){菱形} {平行四边形}; {等腰三角形} {等边三角形}.

2

(2) ? 解: (1 ) , (2)=,

2 {x ? R | x ? 2 ? 0; }

0

{0};

?

{0};

N

{0}.

; , .

∈,

【例 2】设集合 A ? {x | x ?

A B

n 1 , n ? Z}, B ? {x | x ? n ? , n ? Z} ,则下列图形能表示 A 与 B 关系的是( 2 2 B A B A A B
B.

).

C. D. 3 1 1 3 3 1 1 3 解:简单列举两个集合的一些元素, A ? {???, ? ? 1, ? ,0, ,1, , ???} , B ? {???, ? , ? , , , ???} , 2 2 2 2 2 2 2 2 ? 易知 B A,故答案选 A.

A.

?

另解:由 B ? {x | x ?

【例 3】若集合 M ? x | x2 ? x ? 6 ? 0 , N ? ?x | ax ? 1 ? 0? ,且 N ? M ,求实数 a 的值. 解:由 x 2 ? x ? 6 ? 0 ? x ? 2或 ? 3 ,因此, M ? ?2, ?3? . (i)若 a ? 0 时,得 N ? ? ,此时, N ? M ; (ii)若 a ? 0 时,得 N ? { } . 若 N ? M ,满足 故所求实数 a 的值为 0 或

?

2n ? 1 , n ? Z} ,易知 B ? A,故答案选 A. ? 2

?

1 1 或? . 2 3

1 a

1 1 1 1 ? 2或 ? ?3 ,解得 a ? 或a ? ? . a a 2 3

点评:在考察“ A ? B ”这一关系时,不要忘记“ ? ” ,因为 A ? ? 时存在 A ? B . 从而需要分情况讨论. 题中讨论 的主线是依据待定的元素进行. 【例 4】已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ax,ax2}. 若 A=B,求实数 x 的值. 解:若 ?

?a ? b ? ax ?a ? 2b ? ax
2

? a+ax2-2ax=0, 所以 a(x-1)2=0,即 a=0 或 x=1.

当 a=0 时,集合 B 中的元素均为 0,故舍去; 当 x=1 时,集合 B 中的元素均相同,故舍去. 若?

?a ? b ? ax 2 ?a ? 2b ? ax

? 2ax2-ax-a=0.
又 x≠1,所以只有 x ? ?

因为 a≠0,所以 2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 经检验,此时 A=B 成立. 综上所述 x ? ?

1 . 2

1 . 2

点评:抓住集合相等的定义,分情况进行讨论. 融入方程组思想,结合元素的互异性确定集合.

第3讲

§ 1.1.3 集合的基本运算(一)

¤学习目标:理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补 集的含义,会求给定子集的补集;能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. ¤知识要点: 集合的基本运算有三种,即交、并、补,学习时先理解概念,并掌握符号等,再结合解题的训练,而达到掌握的层次. 下 面以表格的形式归纳三种基本运算如下.
3

并集 由所有属于集合 A 或属于集 合 B 的元素所组成的集合, 概念 称为集合 A 与 B 的并集 (union set) 记号 符号 图形 表示

交集 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,称为 集 合 A 与 B 的 交 集 (intersection set)

补集 对于集合 A,由全集 U 中不属于 集合 A 的所有元素组成的集 合,称为集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set) ) ? U A (读作“A 的补集”

A ? B (读作“A 并 B” )

A ? B (读作“A 交 B” )

A ? B ? {x | x ? A, 或x ? B}

A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B}

? U A ? {x | x ?U , 且x ? A}

U

A

¤例题精讲: 【例 1】设集合 U ? R, A ? {x | ?1 ? x ? 5}, B ? {x | 3 ? x ? 9}, 求A ? B, ? U ( A ? B) . 解:在数轴上表示出集合 A、B,如右图所示:

A -1 3

A? B
5

B 9 x

A ? B ? {x | 3 ? x ? 5} ,

CU ( A ? B) ? {x | x ? ?1, 或x ? 9} ,
【例 2】设 A ? {x ? Z | | x |? 6} , B ? ?1,2,3? , C ? ?3,4,5,6? ,求: (1) A ? ( B ? C ) ; (2) A ? ?A ( B ? C ) .

解:? A ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3, 4,5,6? . (1)又? B ? C ? ?3? ,∴ A ? ( B ? C ) ? ?3? ; (2)又? B ? C ? ?1, 2,3, 4,5,6? , 得 CA ( B ? C) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0? . ∴ A ? CA ( B ? C ) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0? . 【例 3】已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 4} , B ? {x | x ? m} ,且 A ? B ? A ,求实数 m 的取值范围. 解:由 A ? B ? A ,可得 A ? B . 在数轴上表示集合 A 与集合 B,如右图所示: 由图形可知, m ? 4 .

B 4 m -2 x

A 4 m x

点评:研究不等式所表示的集合问题,常常由集合之间的关系,得到各端点之间的关系,特别要注意是否含端点的问 题. 【例 4】 已知全集 U ? {x | x ? 10, 且x ? N *} ,A ? {2, 4,5,8} ,B ? {1,3,5,8} , 求 CU ( A ? B) ,CU ( A ? B) ,(CU A) ? (CU B) ,

(CU A) ? (CU B) ,并比较它们的关系.
解:由 A ? B ? {1, 2,3, 4,5,8} ,则 CU ( A ? B) ? {6,7,9} . 由 A ? B ? {5,8} ,则 CU ( A ? B) ? {1, 2,3, 4,6,7,9}
4

由 CU A ? {1,3,6,7,9} , CU B ? {2, 4,6,7,9} , 则 (CU A) ? (CU B) ? {6,7,9} ,

(CU A) ? (CU B) ? {1, 2,3, 4,6,7,9} .
由计算结果可以知道, (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) ,

(CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) .
另解:作出 Venn 图,如右图所示,由图形可以直接观察出来结果. 点评:可用 Venn 图研究 (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) 与 (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) ,在理解的基础记住此结论,有助 于今后迅速解决一些集合问题.

第4讲

§ 1.1.3 集合的基本运算(二)

¤学习目标:掌握集合、交集、并集、补集的有关性质,运行性质解决一些简单的问题;掌握集合运算中的一些数学 思想方法. ¤知识要点: 1. 含两个集合的 Venn 图有四个区域,分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过 Venn 图理解和掌握各区域的集 合运算表示,解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形,我们还可以发现一些集合性质:

CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) , CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) .
2. 集合元素个数公式: n( A ? B) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) . 3. 在研究集合问题时,常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲: 【例 1】设集合 A ? ?4,2a ? 1, a2 , B ? ?9, a ? 5,1 ? a? ,若 A ? B ? ?9? ,求实数 a 的值. 解:由于 A ? ?4,2a ? 1, a2 , B ? ?9, a ? 5,1 ? a? ,且 A ? B ? ?9? ,则有: 当 2a ? 1=9时,解得 a=5 ,此时 A={-4, 9, 25},B={9, 0, -4} ,不合题意,故舍去; 当 a 2=9 时,解得 a=3或-3 .

?

?

?

?

a=3时, A={-4,5,9}, B={9,-2,-2}, 不合题意,故舍去;
a=-3,A={-4, -7, 9},B={9, -8, 4} ,合题意.
所以, a=-3 . 【例 2】设集合 A ? {x | ( x ? 3)( x ? a) ? 0, a ? R} , B ? {x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} ,求 A ? B , A ? B .(教材 P14 解: B ? {1, 4} . 当 a ? 3 时, A ? {3} ,则 A ? B ? {1,3, 4} , A ? B ? ? ; 当 a ? 1 时, A ? {1,3} ,则 A ? B ? {1,3, 4} , A ? B ? {1} ;
5

B 组题 2)

当 a ? 4 时, A ? {3, 4} ,则 A ? B ? {1,3, 4} , A ? B ? {4} ; 当 a ? 3 且 a ? 1 且 a ? 4 时, A ? {3, a} ,则 A ? B ? {1,3, 4, a} , A ? B ? ? . 点评:集合 A 含有参数 a,需要对参数 a 进行分情况讨论. 罗列参数 a 的各种情况时,需依据集合的性质和影响运算结 果的可能而进行分析,不多不少是分类的原则. 【例 3】设集合 A ={ x | x 2 ? 4 x ? 0 }, B ={ x | x2 ? 2(a ? 1) x ? a2 ? 1 ? 0 , a ? R },若 A ? B=B,求实数 a 的值. 解:先化简集合 A= {?4,0} . 由 A ? B=B,则 B ? A,可知集合 B 可为 ? ,或为{0},或{-4},或 {?4,0} . (i)若 B= ? ,则 ? ? 4(a ? 1)2 ? 4(a2 ? 1) ? 0 ,解得 a < ?1 ; (ii)若 0 ? B,代入得 a 2 ?1 =0 ? a =1 或 a = ?1 , 当 a =1 时,B=A,符合题意; 当 a = ?1 时,B={0} ? A,也符合题意. (iii)若-4 ? B,代入得 a 2 ? 8a ? 7 ? 0 ? a =7 或 a =1, 当 a =1 时,已经讨论,符合题意; 当 a =7 时,B={-12,-4},不符合题意. 综上可得, a =1 或 a ≤ ?1 . 点评:此题考查分类讨论的思想,以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换,及集合之间的关系,可 以把相关问题化归为解方程的问题,这是数学中的化归思想,是重要数学思想方法.解该题时,特别容易出现的错误是遗 漏了 A=B 和 B= ? 的情形,从而造成错误.这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.

{ x | 【 例 4 】 对 集 合 A 与 B , 若 定 义 A? B ?
B ? { x | x( ? x 2 )? ( x 5? x )( ? 6) 0 时,有 A} ?B =

x ?且 ,A

? x , } B当 集 合 A ? { x | x? 8 , x ? * N, }集 合

. (由教材 P12 补集定义“集合 A 相对于全集 U 的补集为

CU A ? { x | x?? ,且 x? A }”而拓展)
解:根据题意可知, A ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} , B ? {0, 2,5,6} 由定义 A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B} ,则

A ? B ? {1,3, 4,7,8} .
点评:运用新定义解题是学习能力的发展,也是一种创新思维的训练,关键是理解定义的实质性内涵,这里新定义的 含义是从 A 中排除 B 的元素. 如果再给定全集 U,则 A ? B 也相当于 A ? (CU B) .

第5讲

§ 1.2.1 函数的概念

¤学习目标:通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与 对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值 域.
6

¤知识要点: 1. 设 A、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确 定的数 y 和它对应,那么就称 f :A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function) ,记作 y = f ( x) , x ? A .其中,x 叫 自变量, x 的取值范围 A 叫作定义域 (domain) , 与 x 的值对应的 y 值叫函数值, 函数值的集合 { f ( x) | x ? A} 叫值域 (range) . 2. 设 a、b 是两个实数,且 a<b,则:{x|a≤x≤b}=[a,b] 叫闭区间; {x|a≤x<b}= [a, b) , {x|a<x≤b}= (a, b] ,都叫半开半闭区间. 符号: “∞”读“无穷大” ; “-∞”读“负无穷大” ; “+∞”读“正无穷大”. 则 {x|a<x<b}=(a,b) 叫开区间;

{x | x ? a} ? (a, ??) , {x | x ? a} ? [a, ??) , {x | x ? b} ? (??, b) , {x | x ? b} ? (??, b] , R ? (??, ??) .
3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时,函数才是同一函数. ¤例题精讲: 【例 1】求下列函数的定义域: (1) y ?

1 ; (2) y ? x ? 2 ?1

x?3
3

x ?1 ? 2

.

解: (1)由 x ? 2 ? 1 ? 0 ,解得 x ? ?1 且 x ? ?3 , 所以原函数定义域为 (??, ?3) ? (?3, ?1) ? (?1, ??) .

? ?x ? 3 ? 0 ,解得 x ? 3 且 x ? 9 , 3 ? ? x ?1 ? 2 ? 0 所以原函数定义域为 [3,9) ? (9, ??) .
(2)由 ?

3x ? 2 ; (2 ) y ? ? x 2 ? x ? 2 . 5 ? 4x 5 5 解: (1)要使函数有意义,则 5 ? 4 x ? 0 ,解得 x ? . 所以原函数的定义域是 {x | x ? } . 4 4 3x ? 2 1 12x ? 8 1 3(4 x ? 5) ? 23 3 23 3 3 3 y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 0 ? ? ,所以值域为 { y | y ? ? } . 4 5 ? 4x 4 5 ? 4x 4 5 ? 4x 4 5 ? 4x 4 4 1 2 9 9 2 (2) y ? ? x ? x ? 2 ? ?( x ? ) ? . 所以原函数的定义域是 R,值域是 (??, ] . 2 4 4 1? x 【例 3】已知函数 f ( (1) f (2) 的值; (2) f ( x) 的表达式 ) ? x . 求: 1? x 1? x 1 1 解: (1)由 ? 2 ,解得 x ? ? ,所以 f (2) ? ? . 1? x 3 3 1? x 1? t 1? t 1? x (2)设 ,所以 f (t ) ? ,即 f ( x) ? . ? t ,解得 x ? 1? x 1? t 1? t 1? x
【例 2】求下列函数的定义域与值域: (1) y ? 点评: 此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出, 称为抽象函数的研究, 常常需要结合换元法、 特值代入、方程思想等. 【例 4】已知函数 f ( x) ?

(1)求 f ( x) ? f ( ) 的值; (2)计算: f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) .

x2 x2 1 1 ? x2 ? ? ? ? ? 1. 1 ? x2 1 ? 1 1 ? x2 1 ? x2 1 ? x2 1 x 2 ? f ( 1)) ? ( f (4) ? f ( 1 )) ? 1 ? 3 ? 7 (2)原式 ? f (1) ? ( f (2) ? f ( )) ? ( f (3) 2 3 4 2 2
解: (1)由 f ( x) ? f ( ) ?

1 x

x2 ,x?R . 1 ? x2
1 x2

1 x

1 2

1 3

1 4

点评:对规律的发现,能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论,是解答后一问的关键.

第6讲

§ 1.2.2 函数的表示法
7

¤学习目标:在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数;通过具体实 例,了解简单的分段函数,并能简单应用;了解映射的概念. ¤知识要点: 1. 函数有三种表示方法:解析法(用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,优点:简明,给自变量可求函数值) ; 图象法(用图象表示两个变量的对应关系,优点:直观形象,反应变化趋势) ;列表法(列出表格表示两个变量之间的对应 关系,优点:不需计算就可看出函数值). 2. 分段函数的表示法与意义(一个函数,不同范围的 x,对应法则不同). 3. 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 (mapping) . 记作 “ f : A? B” . 判别一个对应是否映射的关键:A 中任意,B 中唯一;对应法则 f. ¤例题精讲: 【例 1】 如图, 有一块边长为 a 的正方形铁皮, 将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形, 然后折成一个无盖的盒子, 写出体积 V 以 x 为自变量的函数式是_____,这个函数的定义域为_______. 解:盒子的高为 x,长、宽为 a-2 x ,所以体积为 V= x(a-2 x)2 . 又由 a-2 x ? 0 ,解得 x ?

a . 2 a 2

所以,体积 V 以 x 为自变量的函数式是 V ? x(a-2 x)2 ,定义域为 {x | 0 ? x ? } . 【例 2】已知 f(x)= ?
3 ? ? x3 ? 2 x ? 2 3 ?3 ? ?x ? x

x?( ? ? , 1) ,求 f[f(0)]的值. x ? ( 1 ,? ? )

解:∵ 0 ? (??,1) , 又 ∵
3

∴ f(0)= 3 2 .

2 >1,

∴ f( 3 2 )=( 3 2 )3+( 3 2 )-3=2+

1 5 5 = ,即 f[f(0)]= . 2 2 2

【例 3】画出下列函数的图象: (1) y ?| x ? 2 | ; (教材 P26 练习题 3) (2) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | . 解: (1)由绝对值的概念,有 y ?| x ? 2 |? ? 所以,函数 y ?| x ? 2 | 的图象如右图所示.

? x ? 2, x ? 2 . ?2 ? x, x ? 2

?3x ? 3, x ? 1 ? (2) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 |? ? x ? 5, ?2 ? x ? 1 , ??3x ? 3, x ? ?2 ? 所以,函数 y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | 的图象如右图所示. 点评:含有绝对值的函数式,可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数 分段函数,然后根据定义域的分段情况,选择相应的解析式作出函数图象. 【例 4】 函数 f ( x) ? [ x] 的函数值表示不超过 x 的最大整数, 例如 [?3.5] ? ?4 , [2.1] ? 2 ,当 x ? (?2.5,3] 时,写出 f ( x) 的解析式,并作出函数的图象.

式化为

8

? ?3, ?2.5 ? x ? ?2 ? ?2, ?2 ? x ? ?1 ? ?1, ?1 ? x ? 0 ? 解: f ( x) ? ?0, 0 ? x ? 1 . 函数图象如右: ?1, 1 ? x ? 2 ? 2, 2 ? x ? 3 ? ?3, x ? 3 点评:解题关键是理解符号 ? m ? 的概念,抓住分段函数的对应函数式.

第7讲

§ 1.3.1 函数的单调性

¤学习目标:通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;学会运用函数图像理解和研究函 数的性质. 理解增区间、减区间等概念,掌握增(减)函数的证明和判别. ¤知识要点: 1. 增函数:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x) D 上是增函数(increasing function). 仿照增函数的定义可定义减函数. 2. 如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数,就说 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间 D 叫 f(x)的单 调区间. 在单调区间上,增函数的图象是从左向右是上升的(如右图 1) ,减函数的图象从左向右是下降的(如右图 2). 由 此,可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势,得到函数的单调区间及单调性. 3. 判断单调性的步骤:设 x 1 、x 2 ∈给定区间,且 x 1 <x 2 ;→计算 f(x 1 )-f(x 2 ) →判断符号→下结论. ¤例题精讲: 【例 1】试用函数单调性的定义判断函数 f ( x) ? 区间 D 在区间

2x 在区间(0,1)上的单调性. x ?1 2 x1 2 x2 2( x2 ? x1 ) ? ? 解:任取 x1 , x2 ∈(0,1),且 x1 ? x2 . 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? . x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
由于 0 ? x1 ? x2 ? 1 , x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x2 ? x1 ? 0 ,故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

2x 在(0,1)上是减函数. x ?1 【例 2】求二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的单调区间及单调性. 解:设任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 . 则
所以,函数 f ( x) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (ax12 ? bx1 ? c) ? (ax22 ? bx2 ? c) ? a( x12 ? x22 ) ? b( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )[a( x1 ? x2 ) ? b] . b b 若 a ? 0 , 当 x1 ? x2 ? ? 时 , 有 x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? ? , 即 a( x1 ? x2 ) ? b ? 0 , 从 而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 即 2a a b b f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以 f ( x) 在 (??, ? ] 上单调递增. 同理可得 f ( x) 在 [? , ??) 上单调递减. 2a 2a
【例 3】求下列函数的单调区间: (1) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | ; (2) y ? ? x2 ? 2 | x | ?3 .

?3x ? 3, x ? 1 ? 解: (1) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 |? ? x ? 5, ?2 ? x ? 1 ,其图象如右. ??3x ? 3, x ? ?2 ? 由图可知,函数在 [ ?2, ?? ) 上是增函数,在 (??, ?2] 上是减函数.
2 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0 (2) y ? ? x ? 2 | x | ?3 ? ? 2 ,其图象如右. ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0 由图可知,函数在 ( ??, ?1] 、 [0,1] 上是增函数,在 [ ?1, 0] 、 [1, ??) 上是减函数. 2

点评:函数式中含有绝对值,可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数式化为分段函数 . 第 2 小题也可以由偶函数
9

的对称性,先作 y 轴右侧的图象,并把 y 轴右侧的图象对折到左侧,得到 f (| x |) 的图象. 由图象研究单调性,关键在于正 确作出函数图象.

3x ? 1 ,指出 f ( x) 的单调区间. x?2 3( x ? 2) ? 5 ?5 解:∵ f ( x) ? , ? 3? x?2 x?2 ?5 ∴ 把 g ( x) ? 的图象沿 x 轴方向向左平移 2 个单位,再沿 y 轴向上平移 3 个单位, x
【例 4】已知 f ( x) ? 的图象,如图所示. 由图象得 f ( x) 在 (??, ?2) 单调递增,在 (?2, ??) 上单调递增. 点评:变形后结合平移知识,由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知 f ( x ? a ) ? b 平移变换规律.

得 到 f ( x)

第8讲

§ 1.3.1 函数最大(小)值

¤学习目标:通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的最大(小)值及其几何意义;学会运用函数图像理解和 研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大(小)值. ¤知识要点: 1. 定义最大值:设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的 x∈I,都有 f ( x) ≤M;存在 x0∈I, 使得 f ( x0 ) = M. 那么,称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值(Maximum Value). 仿照最大值定义,可以给出最小值(Minimum Value)的定义. 2. 配方法:研究二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的最大(小)值,先配方成 y ? a( x ? 函数取最小值为

b 2 4ac ? b2 后,当 a ? 0 时, ) ? 2a 4a

4ac ? b2 4ac ? b2 ;当 a ? 0 时,函数取最大值 . 4a 4a

3. 单调法:一些函数的单调性,比较容易观察出来,或者可以先证明出函数的单调性,再利用函数的单调性求函数的 最大值或最小值. 4. 图象法:先作出其函数图象后,然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲:

6 的最大值. x ? x ?1 6 6 1 3 3 ?8. 解:配方为 y ? ,由 ( x ? )2 ? ? ,得 0 ? 1 2 3 1 3 2 4 4 (x ? ) ? ( x ? )2 ? 2 4 2 4
【例 1】求函数 y ?
2

所以函数的最大值为 8. 【例 2】某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元售出时,每天可售出 100 件. 现在他采用提高售出价,减少 进货量的办法增加利润,已知这种商品每件提价 1 元,其销售量就要减少 10 件,问他将售出价定为多少元时,才能使每天 所赚得的利润最大?并求出最大利润. ( x ? 10) 件,所赚得的利润为 解:设他将售出价定为 x 元,则提高了 ( x ? 10) 元,减少了 10?

y ? ( x ? 8)? [100 ? 10? ( x ? 10)] .
即 y ? ?10x2 ? 280x ? 1600 ? ?10( x ? 14)2 ? 360 . 当 x ? 14 时, ymax ? 360 . 所以,他将售出价定为 14 元时,才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为 360 元. 【例 3】求函数 y ? 2 x ? x ? 1 的最小值. 解:此函数的定义域为 ?1, ?? ? ,且函数在定义域上是增函数, 所以当 x ? 1 时, ymin ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ,函数的最小值为 2. 点评:形如 y ? ax ? b ? cx ? d 的函数最大值或最小值,可以用单调性法研究, 法研究. 【另解】令 x ? 1 ? t ,则 t ? 0 , x ? t 2 ? 1 ,所以 y ? 2t 2 ? t ? 2 ? 2(t ? )2 ? 增函数,当 t ? 0 时, ymin ? 2 ,故函数的最小值为 2. 【例 4】求下列函数的最大值和最小值: (1) y ? 3 ? 2 x ? x2 , x ?[? , ] ;
10

也可以用换元 在 t?0 时是

1 4

15 , 8

5 3 2 2

(2) y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | .

b ,即 x ? ?1 . 2a 3 9 画出函数的图象,由图可知,当 x ? ?1 时, ymax ? 4 ; 当 x ? 时, ymin ? ? . 2 4 9 5 3 2 所以函数 y ? 3 ? 2 x ? x , x ?[? , ] 的最大值为 4,最小值为 ? . 4 2 2 ( x ? 2) ?3 ? (2) y ?| x ? 1| ? | x ? 2 |? ?2 x ? 1 (?1 ? x ? 2) . ? ( x ? ?1) ??3 作出函数的图象,由图可知, y ? [?3,3] . 所以函数的最大值为 3, 最小值为-3.
解: (1)二次函数 y ? 3 ? 2x ? x2 的对称轴为 x ? ? 点评:二次函数在闭区间上的最大值或最小值,常根据闭区间与对称轴的关系,结合图象进行分析. 含绝对值的函数, 常分零点讨论去绝对值,转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.

第9讲

§ 1.3.2 函数的奇偶性

¤学习目标:结合具体函数,了解奇偶性的含义;学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几 何意义,能熟练判别函数的奇偶性. ¤知识要点: 1. 定义: 一般地, 对于函数 f ( x) 定义域内的任意一个 x, 都有 f (? x) ? f ( x) , 那么函数 f ( x) 叫偶函数 (even function) . 如果对于函数定义域内的任意一个 x,都有 f (? x) ? ? f ( x) ) ,那么函数 f ( x) 叫奇函数(odd function). 2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称,奇函数的图象关于原点中心对称,偶函数图象关于 y 轴轴对称. 3. 判别方法:先考察定义域是否关于原点对称,再用比较法、计算和差、比商法等判别 f (? x) 与 f ( x) 的关系. ¤例题精讲: 【例 1】判别下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? x3 ?

1 ; (2) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ; (3) f ( x) ? x2 ? x3 . x 解: (1)原函数定义域为 {x | x ? 0} ,对于定义域的每一个 x,都有 1 1 f (? x) ? (? x)3 ? ? ?( x3 ? ) ? ? f ( x) , 所以为奇函数. ?x x

(2)原函数定义域为 R,对于定义域的每一个 x,都有 f ( ? x) ? | ? x ? 1 | ? | ? x ? 1 |? x | ? 1 |? x | ? 1 f? | x ( ) ,所以为偶函数 . (3)由于 f (? x) ? x2 ? x3 ? ? f ( x) ,所以原函数为非奇非偶函数. 【例 2】已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? g ( x) ? 解:∵ f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数, ∴ f ( ? x) ? ? f ( x) , g ( ? x ) ? g ( x ) .

1 ,求 f ( x) 、 g ( x) . x ?1

1 1 ? ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? ? ? ? x ?1 x ?1 则? ,即 ? . 1 ? f (? x) ? g (? x) ? ?? f ( x) ? g ( x) ? 1 ? ? ?x ? 1 ?x ? 1 ? ? x 1 两式相减,解得 f ( x) ? 2 ;两式相加,解得 g ( x) ? 2 . x ?1 x ?1 【例 3】已知 f ( x) 是偶函数, x ? 0 时, f ( x) ? ?2 x2 ? 4 x ,求 x ? 0 时 f ( x) 的解析式.
解:作出函数 y ? ?2x2 ? 4x ? ?2( x ? 1)2 ? 2, x ? 0 的图象,其顶点为 (1, 2) . ∵ f ( x) 是偶函数, ∴ 其图象关于 y 轴对称. 作出 x ? 0 时的图象,其顶点为 (?1, 2) ,且与右侧形状一致, ∴ x ? 0 时, f ( x) ? ?2( x ? 1)2 ? 2 ? ?2 x2 ? 4 x . 点评:此题中的函数实质就是 y ? ?2x2 ? 4 | x | . 注意两抛物线形状一致,则二次项系数 a 的绝对值相同. 此类问题,我 们也可以直接由函数奇偶性的定义来求,过程如下. 【另解】当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,又由于 f ( x) 是偶函数,则 f ( x) ? f (? x) , 所以,当 x ? 0 时, f ( x) ? f (? x) ? ?2(? x)2 ? 4(? x) ? ?2 x2 ? 4 x . 【 例 4 】 设 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 在 区 间 (??,0) 上 是 减 函 数 , 实 数 a 满 足 不 等 式

f (3a2 ? a ? 3) ? f (3a2 ? 2a) ,求实数 a 的取值范围. 解:∵ f ( x) 在区间 (??,0) 上是减函数, ∴ f ( x) 的图象在 y 轴左侧递减. 又 ∵ f ( x) 是奇函数,
11

∴ f ( x) 的图象关于原点中心对称,则在 y 轴右侧同样递减. 又 f (?0) ? ? f (0) ,解得 f (0) ? 0 , 所以 f ( x) 的图象在 R 上递减. ∵ f (3a2 ? a ? 3) ? f (3a2 ? 2a) , ∴ 3a 2 ? a ? 3 ? 3a 2 ? 2a ,解得 a ? 1 . 点评:定义在 R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到,奇函数在关于原点对称区间上单调性一致, 偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.

集合与函数基础测试
一、选择题(共 12 小题,每题 5 分,四个选项中只有一个符合要求) 1.函数 y==x2-6x+10 在区间(2,4)上是( )
A.递减函数 C.先递减再递增 x ? y ?2 2.方程组 x ? y ?0 的解构成的集合是 B.递增函数 D.选递增再递减. ( )

{

A. {(1,1)} B. {1,1} C. (1,1) 3.已知集合 A={a,b,c},下列可以作为集合 A 的子集的是 A. a B. {a,c} C. {a,e} 4.下列图形中,表示 M ? N 的是

D. {1} ( ) D.{a,b,c,d} ( )

M

N

N

M

M

N

M

N

A B C D 5.下列表述正确的是 ( ) A. ? ? {0} B. ? ? {0} C. ? ? {0} D. ? ? {0} 6、设集合 A={x|x 参加自由泳的运动员},B={x|x 参加蛙泳的运动员},对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A∩B B.A ? B C.A∪B D.A ? B 7.集合 A={x x ? 2k , k ? Z } ,B={ x x ? 2k ? 1, k ? Z } ,C={ x x ? 4k ? 1, k ? Z }又 a ? A, b ? B, 则有( A.(a+b) ? A B. (a+b) ? B C.(a+b) ? C D. (a+b) ? A、B、C 任一个 2 8.函数 f(x)=-x +2(a-1)x+2 在(-∞,4)上是增函数,则 a 的范围是( A.a≥5 B.a≥3 C.a≤3 D.a≤-5 ? ? 9.满足条件{1,2,3} M {1,2,3,4,5,6}的集合 M 的个数是 ( ) ) )

?

?

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 10.全集 U = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 }, A= {3 ,4 ,5 }, B= {1 ,3 ,6 },那么集合 { 2 ,7 ,8}是 ( ? B A. A B. A ? B C. CU A ? CU B D. CU A ? CU B 11.下列函数中为偶函数的是( )
2 3



A. y ? x B. y ? x C. y ? x D. y ? x ? 1 2 12. 如果集合 A={ x | ax + 2 x + 1=0} 中只有一个元素,则 a 的值是 A.0 B.0 或 1 C.1 D.不能确定 二、填空题(共 4 小题,每题 4 分,把答案填在题中横线上) 13.函数 f(x)=2×2-3|x|的单调减区间是___________. 14.函数 y=





1 的单调区间为___________. x+1 b 2 2003 ? b 2004 ? 15.含有三个实数的集合既可表示成 {a, ,1} ,又可表示成 {a , a ? b,0} ,则 a a 16. 已知集合 U ? {x | ?3 ? x ? 3} , M ? {x | ?1 ? x ? 1} , CU N ? {x | 0 ? x ? 2} 那么集合 N ? ,M ? N ? . M ? (CU N ) ?

. ,

三、解答题(共 4 小题,共 44 分)
12

17. 已知集合 A ? {x x 2 ? 4 ? 0} ,集合 B ? {x ax ? 2 ? 0},若 B ? A ,求实数 a 的取值集合.

18. 设 f(x)是定义在 R 上的增函数,f(xy)=f(x)+f(y) ,f(3)=1,求解不等式 f(x)+f(x-2)>1.

19. 已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x +2x —1,求 f(x)在 R 上的表达式.

3

2

2 2 20. 已知二次函数 f ( x) ? ? x ? 2(m ? 1) x ? 2m ? m 的图象关于 y 轴对称,写出函数的解析表达式,并求出函数

f ( x) 的单调递增区间.

13

必修 1 第一章
集合测试参考答案: 一、1~5 CABCB 二、13 [0, 14 6~10 ABACC 11~12

集合测试
cB

3 3 ] , (-∞,- ) 4 4
15 -1 16

(-∞,-1) , (-1,+∞)

N ? {x | ?3 ? x ? 0 或 2 ? x ? 3} ;

M ? (CU N ) ? {x | 0 ? x ? 1} ;
M ? N ? {x | ?3 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3} .
三、17 .{0.-1,1}; 18. 解:由条件可得 f(x)+f(x-2)=f[x(x-2) ] ,1=f(3) .

所以 f[x(x-2) ]>f(3) ,又 f(x)是定义在 R 上的增函数,所以有 x(x-2)>3,可解得 x>3 或 x<-1. 答案:x>3 或 x<-1. 19. .解析:本题主要是培养学生理解概念的能力.

f(x)=x3+2x2-1.因 f(x)为奇函数,∴f(0)=-1.
当 x<0 时,-x>0,f(-x)=(-x) +2(-x) -1=-x +2x -1, ∴f(x)=x -2x +1. 20. ? 二次函数 f ( x) ? ? x ? 2(m ? 1) x ? 2m ? m 的图象关于 y 轴对称,
2 2 2 ∴ m ? 1 ,则 f ( x) ? ? x ? 1 ,函数 f ( x) 的单调递增区间为 ?? ?,0? .
3 2 3 2 3 2



14


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