当前位置:首页 >> 机械/仪表 >>

高精度三角高程测量的严密公式


2004 年 10 期 第 测 绘 通 报 15

严格来讲 , 垂线是一条空间曲线 , 地面上的两点 的垂线切线是两条空间异面直线 ( 图 1 ) .但一般文 献用图 1 中的平面三角形 P1 O P2 导出的公式 ( 1 ) , 其函数模型误差达厘米级 , 不宜用在高精度三角高 程高差测量中 .

以球近似地球 , 用图 2 中的平面三角形 P1 P2 Q . 文献 [ 1 ]导出了大地天顶计算大地高高差公式 , 即
H2 - H1 = S 1 , 2 ( 1 + Hm S 2 ,2 Z2 - Z1 1 ) + 2 ) tan ( R 2 12 R ( 2)

收稿日期 : 2004202217 基金项目 : 交通部资助项目 作者简介 : 肖根旺 (19672) ,男 ,河南宝丰人 ,高级工程师 ,研究方向为铁路工程测量 .

文章编号 :049420911 ( 2004) 1020015203

中图分类号 : TB22 文献标识码 :B

高精度三角高程测量的严密公式
肖根旺1 , 许提多2 , 周文健1 , 朱顺生1

( 1. 中铁大桥局集团 第一工程有限公司 ,河南 郑州 450053 ; 2. 西南交大 ,四川 成都 610031)

The Strict Formula of High Precise Trigonometric Level ing
XIAO Gen2wang , XU Ti2duo , ZHOU Wen2jian ,ZHU Shun2sheng

摘要 :用边长几千米的连续多跨高精度三角高程测量代替连续多跨的二等跨海水准测量 ,在像杭州湾大桥跨度几十千米的跨海工

程中将得到应用 .为此要有相应的公式与之配套 , 在对现有公式评述的基础上 , 将直接用观测天顶距导出了函数模型误差小于
0. 5 mm的严密三角高程测量计算公式 ,为高精度三角高程测量在跨海工程中的应用提供参考 .

关键词 :三角高程 ; 相对垂线偏差改正 ; 椭球项改正 ; 折光差改正

, 一 三角高程测量公式评述

图2

由三角形 P1 P2 Q 可知
( 180° Z1 ) + ( 180° Z2 ) + γ = 180° Z2 - Z1

因此 式

图1

( 3) = 90° + - Z1 2 2 将式 ( 3) 代入式 ( 2 ) 并略去二次小项可得 Jordon 公
2 Hm S ) cot Z1 + + R 12 R 2

γ

h 2 - h 1 = D 1 , 2 cos Z1′ i 1 - v 2 + +

1 - K1 2 S ( 1) 2R

H2 - H1 = S 1 , 2 ( 1 +

S 1 ,2 γ 2 R sin Z1

( 4)

将 γ = S / R , sin Z1 ≈ 1 代入式 ( 4 ) 同时略去二次项 即得

1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.

测 绘 通 报 2004 年 10 期 第 16
H2 - H1 = S 1 , 2 ( 1 +
2 Hm S ) cot Z1 + R 2R

用大地线长度计算正常高高差公式
Hm S2 ) cot Z1′ i 1 + + R 12 R 2 1 - K1 2 S (ε ε ) ( 12) v2 ρ 1- m + 2R S 〃 因为式 ( 12) 是由球近似导出的 , 它缺少椭球项的影
r r h 2 - h1 = S ( 1 +

文献 [ 2 ]用椭球近似地球 , 导出大地天顶计算大 地高高差的公式 2γ H2 - H1 = D 1 , 2 cos Z1 + 2 ( N 2 + H2 ) sin 2
ae
2

2

( B 2 - B 1 ) 2 cos2 B m

( 5)

式中 , B 2 , B 1 , B m 分别为 P2 , P1 点的纬度和平均纬 度 ,其 椭 球 项 影 响 为 :
ae
2

2

( B 2 - B 1 ) 2 cos2 B m .由

响 , 对于几千米的单向三角高程观测 , 椭球项的影响 最大可达几厘米 , 是不可忽略的 .而式 ( 11) , ( 12) 式 中垂线偏差非线性变化改正项中的 ε , 实际上很难 m 求定 , 而这项影响尤其在山区也可达几厘米 , 是不可 忽略的 , 必须用可以简单计算的方式来取代 , 为此下 文将导出相应的公式 .

图 2可知大地天顶 Z 和观测天顶距 Z′ 有以下关系 Z1 = Z1′ ε + δ + 1 1
Z2 = Z2′ ε + δ - 2 2 ( 6)

δ= KS 2R 式中 ,ε是照准方向的垂线偏差分量 ,δ 是垂直折光 差角 , R 是 P1 , P2 点的平均曲率半径 . 将式 ( 6) 代入式 ( 5) 中同时略去二次小项可得 1 - K1 2 ε 1 H2 - H1 = D 1 , 2 cos Z1 + S ρS 2R 〃
ae2

, 二 直接用观测天顶距导出的严密 三角高程测量计算公式
工程常用两种距离进行三角高程计算 , 一是光 电测距仪测得的斜距 ; 二是平均施工高程平面上的 平距 .下面分别导出这两种距离的三角高程测量严 密的计算公式 .如图 1 所示 , 过 P1 点的垂线 P1 O , 过 P2 点的垂线 P2 O′它们是两条空间异面直线 , , 总能找到一条平行与地轴的直线使其与两垂线相 交 , 或尽可能地靠近到对下文的推导其误差可以忽 略不计的程度 , 设两垂线分别交于 O , O′ . 点 1. 斜距三角高程计算公式 由图 1 中平面三角形 P1 P2 O 可得 ) D 1 , 2 cos ( Z1′ δ ) + h 1′ R 1′ ( h 2′ R 2〃cos ε + 1 + = +
h 2′ R 2〃 h 2 + R 2′ OO′ ( 90° φ ) cos ε + ≈ cos - 2

2 大地高差和正常高高差有以下关系 ζ H2 - H1 = h 2 - h 1 + Δ 1 , 2
2

( B 2 - B 1 ) 2cos2 B m

( 7)

Δ 1 ,2 = - ε s ≈ - ε S ζ d m
1



( 8)

ζ 式中 ,Δ 是高程异常差之差 ,ε 是测线沿线垂线偏 m 差分量均值 , 将式 ( 8) 代入式 ( 7) 得
h 2 - h 1 = D 1 , 2 cos Z1′ S (ε ε ) ρ 1- m + 〃 ( 9)

因此

D 1 , 2cos ( Z1′ δ ) + h 1 + R 1′ + 1 = ( R 2′ h 2 - OO′ ( 90° φ ) ) cos ε + cos - 2

1 - K1 2 ae2 ( B 2 - B 1 ) 2 cos2 B m S 2R 2
r 是 h 2 , i 1 是仪器高 , v 2 是觇标高 , 显然有 r h 1 = h1 - i 1

展开上式并略去二次小项得 δ D 1 , 2 cos Z1′ D 1 , 2 sin Z1′1 + h 1 + R 1′ =
2 ε ) - OO′ φ = sin 2 2 εε R 2′ h2 - 2 ( R 2′ h2 ) + + - OO′ φ2 sin 2 2

r 设测站点地面的正常高是 h 1 , 照准点地面的正常高

( R 2′ h 2 ) ( 1 +

( 13)

h 2 = h2 - v 1

r

( 10)

因为 δ ≈ 1

K1 S , D sin Z1′ S , 将其和式 ( 10 ) 代入 ≈ 2R

将式 ( 10) 代入式 ( 9) 得
h 2 - h 1 = D 1 , 2cos Z1′ i 1 - v 2 +
r r

上式经整理可得
S (ε ε ) ρ 1- m + 〃
r r h2 - h1 = D1 , 2cos Z1′ i 1 - v 2 + 2 ( R 2′ h2) + +

εε 2 2
( 14)

1 - K1 2 ae2 ( B 2 - B 1 ) 2cos2 B m ( 11) S 2R 2

S2 -

K1

2R

- ( R 2 - R 1 ) + OO′ 2 φ2 sin

式 ( 11) 是目前文献所能见到的最严密三角高程测量 计算公式 , 等式右边的第 4 , , 项分别是垂线偏差 5 6 改正 , 折光差改正和椭球改正项 , 对于几千米的边长 其函数模型误差小于0 . 5 mm . 同理 , 将式 ( 6) , ( 8 ) 和式 ( 10 ) 代入式 ( 4 ) 可得 式

由图 2 可知 { 180° ( Z1′ δ ) } + { 180° ( Z2′ δ ) } +ε= 180° + 1 + 2
- ε= 180 - ( Z1′ δ + Z2′ δ ) + 1 + 2

同理可得
- γ = 180 - ( Z1 + Z2 )

1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.

2004 年 10 期 第 测 绘 通 报 17

代入式 ( 6) 得 - γ = 180 - ( Z1′ δ + Z2′ δ ) + (ε - ε ) = + 1 + 2 2 1
- ε+ (ε - ε ) 2 1

r r 将式 ( 21) 代入式 ( 20) 同时顾及到 h 1 = h1 - i 1 , h2 = h 2 - v 2 , 则得平距单向三角高程公式



ε= γ + (ε - ε ) 2 1

( 15)

h 2 - h1 = S ( 1 +

r

r

hm S2 ) cot Z1′ i 1 - v 2 + + + R 12 R 2

将式 ( 15 ) 代 入 式 ( 14 ) , 略 去 二 次 小 项 .顾 及 到 γ ≈ l , 则得斜距单向观测三角高测量 2 计算正常高高差的公式
2 ( R 2′ h2 ) + 1 - K1 2 h 2 - h 1 = D 1 , 2 cos Z1′ i 1 - v 2 + + S + 2R 2 1 lε - ε ( ) sin φ2 ( 16) ρ 2 - R 2′ R 1′ + OO′ 〃
r r

1 - K1 2 Sε - ε 2 1 ( ) S + ρ 2 - R 2′ R 1′ + 2R 〃
OO′ φ sin 2 ( 22)

其反向方程为
h 2 - h1 = S ( 1 +
r r

2 hm S ) cot Z2′ i 2 - v 1 + + + R 12 R 2

1 - K2 2 Sε - ε 1 2 ( ) S + ρ 2 - R 1′ R 2′ + 2R 〃
OO′ φ sin 1 ( 23)

其反向观测公式为
h 1 - h 2 = D 2 , 1 cos Z2′ i 2 - v 1 + +
r r

1 - K2 2 S 2R

对式 ( 22) 和式 ( 23 ) 取平均值 , 于是得平距双向 三角高程公式
r r h 2 - h1 = S ( 1 +

2 1 lε - ε ( ) sin φ1 ( 17) ρ 2 + R 2′ R 1′ + OO′ 〃

取正 , 反向观测的平均值得双向观测方程
1 r r ) h 2 - h 1 = ( D 1 , 2 cos Z1′ D 2 , 1 cos Z2′ 2 K2 - K1 2 1 1 ( i - i1) ( v 2 - v 1) + S + 2 2 2 4R 2 1 lε - ε ( ) ρ 2 - R 2′ R 1′ + 〃 1 ( OO′sin φ - sin φ ) 1 2 2
( 18)

hm S 2 ) ( cot Z1′ cot Z2′ ) R 12 R 2

K2 - K1 2 1 1 ( i - i 1) ( v 2 - v 1) + S + 2 2 2 4R 2 1 Sε - ε ( ) ρ 2 - R 2′ R 1′ + 〃

1 ( OO′sin φ2 - sin φ ) 1 2

( 24)

式中 , l 为平均高程面上的平距 , 可用椭球近似来估
1 ( ) 算 OO′sin φ2 - sin φ1 ) - ( R 2′ R 1′项 ; 式中的 2 (ε - ε ) 为地面 P1 , P2 点相对垂线偏差在测线方向 2 1

设地面上测得平距为 l , 高斯平面上的距离为 式 式 d , 可将式 ( 22) , ( 23 ) , ( 24 ) 改为相应距离的三 角高程公式
l = S (1 + d = S (1 + hm ) R y 2m

( 25) )

上的分量 , 是一个可以用地面测量值计算的量.
2. 平距三角高程测量公式

2 R2

利用图 1 中三角形 P1 P2 O , 用类似公式 ( 4 ) 的 推导得出下式
h 2′ h 1 = S ( 1 + hm S 1 ,2 S2 ) cot Z1 + ε + R 12 R 2 2 R sin2 Z1 ( 19)

将 Z1 = Z1′ δ ,ε= γ + (ε - ε ) ,δ = + 1 2 1 1
2 hm S ) cot Z1′ + + R 12 R 2

K1 S 代入式 2R

式 ( 16) , ( 17) , ( 18) 和式 ( 22) , ( 23) , ( 24) 对 式 式 式 式 于几 千 米 的 三 角 高 程 测 量 其 函 数 模 型 误 差 小 于 0 . 5 mm ,满足 高 精 度 三 角 高 程 测 量 的 应 用 , 与 式 ( 11) 比较 ,其垂线偏差改正可以计算 .应用式 ( 18) , 式 ( 24) 计算的三角高程测量高差相当于水准测量高 差的结果 .当由它们组成高精度三角高程测量闭合 或附合线路时 ,与水准测量一样应考虑水准面不平 行改正 . 由对向三角高程测量公式可知 , 若不考虑后三 项改正 ,将产生系统误差 ,其中最主要的是两观测点 在观测时间内的折光差系数之差异 , 这种差别与对 向观测时间间隔的长短 , 观测时的天气情况及视线 高度有关 .显然山区折光差的影响比平原小 , 但垂 线偏差变化大 ,因此在山区进行高精度三角高程测 量还应加相对垂线偏差改正 .
( 下转第 45 页)

( 19) 展开并略去小于 0 . 01 mm 的二次项得

h2′ h 1 = S ( 1 + -

1 - K1 2 Sε - ε 2 1 S + ρ 2 2R 〃

( 20)

由图 1 可知
h 2′ R 2〃 h 2 + R 2′ OO′ φ + ≈ sin 2 h 2′ h 2 + R 2′ R 2〃 OO′ φ ≈ sin 2 R 2〃 R 1′ ≈ ( 21)

1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.

2004 年 10 期 第 测 绘 通 报 45

图 9 ( a) .以此绘制的等高线失真 ,如图 9 ( b) .

在绘等高线时 ,先根据实地绘出陡坎 , .在 斜坡 建立地面高程模型时 , 最好选择 "不考虑坎高" 的功 能 ,而用在坎上 , 坎下立镜测量的高程建模 .对于剔 除不能代表当地高程的碎部点 ,等高线绘好后 ,应用 "展测点点位" 的功能展在图上 ( 几乎看不见 ) , 以便 使用者用节点 ( Node) 捕捉该点高程 . 地形图绘出后 , 可以自动生成任意方向的断面 图 .一般情况下不能使用坐标数据文件自动生成断 面图 .若用自动生成三角网绘制等高线使地形失 真 ,用坐标数据文件自动生成断面图 , 误差肯定较

图8

大 ,甚至是错的 .准确的断面图应该用最终的等高 线图生成 .目前 ,大多测图软件没有这种功能 ,需要 手工绘制断面图 .最新版本的测图软件 , 开始增加 用等高线生成断面图的功能 .

参考文献 :
[1 ] 郝向阳 ,赵夫来 . 数字测图原理与方法 [ M ] . 北京 : 解放

军出版社 ,2002.
[2 ] 陈龙飞 . 用测算法取代测绘法 [J ] . 测绘通报 , 1991 , ( 1) .

图9

相关文章:
43 精密三角高程代替一等水准测量的研究
通过对三角高程测量的原理、误差来源及精度分析,指出...角和两点间的斜距,运用三角公式计算两点间的 高差...方法测量其高程的一部分网点作 三角高程网严密平差...
山区对向三角高程测量代替三等水准的应用研究
三角高程基本原理,并推导对向三角高程测量公式,在此基础上分析对向三角高程精度,...4.3 导线平差计算与精度分析 1.导线经严密平差及各项改正后平差计算见表2。 ...
测量
测量投影问题 提出的一种投影方法 1912 年起,德国学者克吕格 将高斯投影公式加...测量、三角高程测量 n GPS 高程测量、气压高程测量 n 水准测量——精度最高 n...
三角高程测量的原理
以及严密的数据处理和对测量的质量检查控制以及监理...二、 三角高程测量的原理、影响精度因素及相应解决...常规三角高程测量方法的公式如下: A、B 两点的高...
山区对向三角高程测量代替三等水准的应用研究
山区对向三角高程测量代替三等水准的应用研究 【摘要】本文介绍了三角高程基本原理,并推导对向三角高程测量公式, 在此基础上分析对向三角高程精度, 并用实例验证了...
三角高程代替水准测量在工程中的应用
三角高程测量不受地形条件限制,而且测量速度快,随 着高精度全站仪的出现,三角高程测量已经很普及,可以替代水准测量。 三角高程测量基本原理: 基本公式: 仪器高 i1 ...
三角高程测量
高,但是对 于地面起伏较大或不便于进行水准测量的地区, 通常采用三角高程测量来...三角高程测量的精度三角高程测量的公式可以看出,三角高程测量的精度受到以下各...
三角高程测量原理及公式
三角高程测量原理及公式。很实用的教材三角高程测量 一、三角高程测量原理 适用于...高精度三角高程测量的严... 5页 免费 三角高程测量原理 13页 1下载券 补充:...
二等光电测距三角高程测量技术(正文)
不断提高, 对铁路施工测量精度的要求也越 来越高...图 计算公式推导如下: (一) 精密测距三角高程测量...特别适合于山区测量。 b、原理简单、理论计算严密...
精密三角高程测量的精度影响因素有()等。 A.边长误差 B...
精密三角高程测量的精度影响因素有()等。 A.边长误差 B.垂直折光误差 C.水平折光误差 D.水平角误差 E.垂直角误差_答案解析_2016年_一模/二模/三模/联考_图文...
更多相关标签: