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3.2 不等式的性质


3.2不等式的基本性质
黄秀伟

1、观察下面这几个式子,完成下面的填空。

∵a

?b , ∴a ? 3 ? b ? 3 , 2 2 a ? ( x ? 2 y) ? b ? ( x ? 2 y)

.

等式的基本性质1: 等式的两边都加上(或减去) 同一个数 或

同一个整式 ,等式仍然成立。

2、继续观察下面这几个式子,完成下面的填空。

∵a ? b , ∴ 3a ? 3b

,

a b ? 4 4

.

那么不等式有没有 类似的性质呢?

等式的基本性质2:

同一个数 等式的两边都乘以(或除以) (除数不能为零),等式仍然成立。

有甲、乙两同学,甲的钱多于乙的钱, 丙的钱多于甲的钱,那么你能排一排顺 序吗?

然后再给甲、乙两人相同的钱,则甲、 乙两人的钱谁多谁少?
如果他们都捐出同样的钱,情况又 会如何?

不等式的基本性质1:

?a ? c

? a ? b, b ? c

这个性质也叫做不等式的传递性。

你发现了什么?

不等式
7>4 - 3< 4

两边都加上(或减去) 同一个数 7+5 >4+5 - 3- 7 < 4 - 7

不等号方向 是否改变了 没有改变 没有改变







不等式的性质2:

不等式的两边都加上(或减去)同一 个数或同一个整式,不等号的方向不变。

不等式的两边都加上(或减去)同一个数 或同一个整式,不等号的方向不变.

如果a<b , 那么 a+c<b+c(或a-c<b-c) 如果a>b ,

那么 a+c>b+c(或a-c>b-c)

1.已知a>b,用“>”或“<”号填空:

(1)a+2

b+2; (2)a-5

b- 5 ;

1.由-3x-4≤-5,左右两边同时+4,可化 为: -3x≤-1 ,根据______________ 不等式的性质2 ; 2.由a<b,要得到a+3<b+3,需要把不等式 两边都 加3 ,根据是 不等式的性质2 ; 3.由2x+3≥-5,根据不等式性质1,左右两边 同时 减3 ,可化为 2x≥-8 .

将不等式5>2的两边都乘以同一个不 为0的数,比较所得结果。

用“<”或“>”填空:

5×1( > )3×1, 5×2(>)3×2, 你有什么 发现? 5×3(>)3×3, 5×4(>)3×4, …

< )3×(-1), 5×(-1)( 5×(-2)( < )3×(-2), 5×(-3)( < )3×(-3), < )3×(-4), 5×(-4)( …

讨 论 :

你又有什 么发现?

不等式的性质3
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数, 不等号的方向不变; a b

如果a>b,c>0 ,那么ac>bc,

c

?

c

不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数, 不等号的方向改变;

a b ? 如果a>b,c<0 ,那么ac<bc, c c

①不等式的两边都乘以0,会出 现什么样的结果? ②不等式的性质与等式的性质 有什么相同点、不同点?

判断正误: ? 1、若a>b ,则ac2>bc2 ( ) ? 2、若ac2>bc2 ,则 a>b ( )

不等式的性质3: 不等式的两边都乘(或除以)同 一个 正数 ,不等号的方向不变; 不等式的两边都乘(或除以)同 一个 负数 ,不等号的方向改变. 若a>b,则 (1) 2a > 2b; (2) -4a < -4b;
b a < ? . (3) ? ___ 5 5

1.已知a>b,用“>”或“<”号填空: ( 1) a+ 2 b+ 2; ( 2 ) a- 5 b- 5; ( 3) 6a ( 5) 2a- 3 6b; (4)-a - b; - 4b+ 3. 2b-3; (6)-4a+3

2.说出下列不等式变形的依据: (1)由x-1 >2,得 x>3;
(2)由2x>-4,得 x>-2; (3)由-0.5x <-1,得 x >2; (4)由3x < x,得2x < 0 .

例1:将下列不等式化成“x>a”或“x<a” 的形式: (1)x-5>-1; 解: (2)-2x>3; (3)3x<-9.

(1)根据不等式的性质1, 两边都加上5,得 x>-1+5 即x>4;

例2 用“>”或“<”填空:

(1)a+3_____b < +3;(a<b);

> (2)2a_____2b ;(a>b); a b ? (a>b); (3) ? ______ < 3 3 (4)a-4_____b > -4 (a-b>0) ;

> ; (5)若a>0,b>0,则ab_____0
(6)若b<0,则a+b______a ; <
(7)当a<0时,b_____0 < 时,ab>0.

1、如果x+5>4,那么两边都 减去5 可得 x >-1

2<17 2、在-7<8 的两边都加上9可得
3、在5>-2 的两边都减去6可得-1>-8
4、在-3>-4 的两边都乘以7可得





-21 >- 28 。


5、在-8<0 的两边都除以8 可得 -1<0

6、在不等式-8<0的两边都除以-8可 得 1>0 。 7、在不等式-3 x<3的两边都除以-3可 得 。 8、在不等式-3>-4的两边都乘以-3可 得 9<12 。

9、在不等式 得

1可 a ?的两边都乘以- b


如果 a

? b ,那么: ① a ? 3 > b ? 3(不等式性质 1 ) 2 ) (不等式性质 > 2 a 2 b ②
③ ④

? 3a < ? 3b (不等式性质 2 ) a ? b > 0 (不等式性质 1 )

将不等式 ax + 3 ≥ x – 1化成“x≥m”或 “x≤n”的形式.
下面是阿华学完本节后的解答,让我们一起来批改.

解:根据不等式的性质2,两边都减去3,得:

ax + 3 -3≥ x – 1 - 3

即: ax

≥x–4

根据不等式的性质2,两边都减去x,得:

ax - x≥ x - x– 4 即:(a – 1)x ≥ 4
根据不等式的性质3,两边都除以(a-1),得:
x
4 ≥a ? 1

1.已知a>b,能否推出ac2>bc2? 2.已知ac2>bc2,能否推出a>b? 3.已知x>5,能否推出2x-3>7 4.已知x<2,能否推出3-2x>-1

【拓展延伸】
1.将不等式2 x>4x的两边都除以x,得 2>4.你认为对吗?如果不对,错在哪呢? 2.你能把不等式-1>x变形为x<-1吗? 为什么? 3.若不等式(a+1)x>a+1的解集是x<1, 则满足条件的a的范围是( ) A. a > 0 B.a<2 C.a>-1 D.a<-1

收获和体会
不等式的基本性质是什么?
和等式的基本性质相比, 有什么相同和不同之处? 本节课你还有什么收获?

【课后作业】
选择适当的不等号填空
> 2 a-1; (1)若a > b, b >2 a-1,则 a ____ (2)若a- b<0 ,则 a ____ < b; < (3)若a<b,那么 2a ____2b. (4)若- a < b,则 a ____ > -b;

有一个两位数,个位上的数字是a,十位上 的数字是b,若把这个两位数的个位与十位数 对调,得到的两位数大于原来的两位数,试 比较a与b的大小.


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