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第一章 第2课时 匀变速直线运动的规律及应用


第2课时 匀变速直线运动的规 律及应用 考点自清
一、匀变速直线运动 1.定义:在变速直线运动中,如果在相等的时间内 速度的改变相等,这种运动就叫做匀变速直线 运动 2.分类: 匀加速直线运动:a与v 同向

匀减速直线运动:a与v 反向

二、匀变速直线运动的规律 1.三个基本公式 v=v 速度公式: 0+at 位移速度关系式

: 2-v02=2as v 2.两个推论 (1)做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平 均 速 度 等 于 这 段 时 间 初 末时 刻 速 度矢 量 和 的 一半,还等于 中间时刻 的瞬时速度. s=v 位移公式: 0t+ 2 at2
1

v0 ? vt v 平均速度公式:= = t v 2 2

(2)连续相等的相邻时间间隔T内的位移差等于 恒量 ,即s2-s1=s3-s2=?=sn-s(n-1)= aT2 .

3.初速度为零的匀加速直线运动的特殊规律 (1)在1T末,2T末,3T末,??nT末的瞬时速度之 比为v1∶v2∶v3∶?∶vn= 1∶2∶3∶?∶n . (2)在1T内,2T内,3T内,??,nT内的位移之比为 s1∶s2∶s3∶?∶sn= 个T内的位移之比为
sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶?∶sn= 1∶3∶5∶?∶(2n-1) .

12∶22∶32∶?∶n2 .

(3)在第1个T内,第2个T内,第3个T内,??,第n

(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之 比为t1∶t2∶t3∶?∶tn= 1∶( 2-1)∶( 3 - 2)∶?∶( -n ) n ?1 .

特别提醒 这几个推论光靠死记是不行的,要能够从基本公 式推导出来,否则,就不能灵活地加以应用.

三、自由落体运动和竖直上抛运动 1.自由落体运动

(1)特点:初速度v0=0,加速度为重力加速度g的
1 gt 2 (2)基本规律:速度公式v= gt,位移公式h= 2

匀加速直线 运动.

2.竖直上抛运动
(1)特点:加速度为g,上升阶段做 匀减速直线 运 动,下降阶段做 匀加速直线 运动. (2)基本规律 速度公式:v= v0-gt
1 v0t ? gt 2 位移公式:h= 2
v0 2 2g

上升的最大高度:H=

热点聚焦
热点一 匀变速直线运动规律的基本应用 1.基本公式中的v0、v、a、s都是矢量,在直线运动 中,若规定正方向,它们都可用带正、负号的代

数值表示,把矢量运算转化为代数运算.通常情
况下取初速度方向为正方向,凡是与初速度同向 的物理量取正值,凡是与初速度v0 反向的物理量 取负值. 2.对物体做末速度为零的匀减速直线运动,常逆向 思维将其视为初速度为零、加速度大小相同的 匀加速直线运动,解题时方便实用.

3.注意联系实际,切忌硬套公式,例如刹车问题应 首先判断车是否已经停下来. 4.解题的基本思路:审题→画出过程草图→判断

运动性质→选取正方向(或选取坐标轴)→选
用公式列出方程→求解方程,必要时对结果进行 讨论.

热点二

竖直上抛运动的理解

1.处理方法
(1)全程法 将竖直上抛运动视为竖直向上的加速度为g的匀 减速直线运动. (2)分阶段法

将全程分为两个阶段,即上升过程的匀减速阶段
和下落过程的自由落体阶段.

2.竖直上抛运动的重要特性 (1)对称性

如图1所示,物体以初速度v0竖直上抛,
A、B为途中的任意两点,C为最高点, 则 ①时间对称性 物体上升过程中从A→C所用时间tAC和 下降过程中从C→A所用时间tCA相等, 同理tAB=tBA. ②速度对称性 物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A 点的速度大小相等.
图1

③能量对称性 物体从A→B和从B→A重力势能变化量的大小相 等,均等于mghAB.

(2)多解性
当物体经过抛出点上方某个位置时,可能处于上 升阶段,也可能处于下降阶段,造成双解.

题型探究
题型1 匀变速运动公式的灵活选用 【例1】一个做匀加速直线运动的物体,在连续相 等的两个时间间隔内,通过的位移分别是24 m和

64 m,每一个时间间隔为4 s,求物体运动的初速
度和加速度. 思路点拨

解析

解法一

因题目中只涉及位移与时间,故
2

选用位移公式,有s1=v0t+ 1 at2 s2=v0·2t+ 1 a(2t)2-(v0t+ 1 at2)
2 2

将s1=24 m、s2=64 m、t=4 s代入解得 a=2.5 m/s2,v0=1 m/s. 解法二 用平均速度公式求解

连续两段时间t内的平均速度分别为
s1 v1 ? ? 6 m/s 4 s2 v2 ? ? 16 m/s 4

设B、D分别是连续两段的中间时刻,则有 vB= v1、 vD ? v2 由vD=vB+at解得a=2.5 m/s2 再由s1=v0t+ at2解得v0=1 m/s.
1 2

解法三

利用公式Δs=a· 2求解 ΔT

由s2-s1=aT2得
s2 ? s1 64 ? 24 m/s2=2.5 m/s2 ? T2 42 再由s1=v0t+ 1 at2解得v0=1 m/s. 2

a=

答案

1 m/s

2.5 m/s2

方法提炼 如何合理地选取运动学公式解题? (1)注意公式中涉及的物理量及题目中的已知量 之间的对应关系,根据题目的已知条件中缺少的 量去找不涉及该量的公式. (2)若题目中涉及不同的运动过程,则应重点寻 找各段运动的速度、位移、时间等方面的关系. (3)利用匀变速直线运动的四个推论往往能使解 题过程简化. (4)运动学公式众多,同一题目可以选用不同公 式解题,在学习中应加强一题多解训练,加强解 题规律的理解,提高自己运用所学知识解决实际 问题的能力,促进发散思维的发展.

题型2

竖直上抛运动问题

【例2】某校一课外活动小组自制一枚火箭,设火 箭发射后,始终在垂直于地面的方向上运动.火 箭点火后可认为做匀加速直线运动,经过4 s到 达离地面40 m高处时燃料恰好用完,若不计空气 阻力,取g=10 m/s2,求:

(1)燃料恰好用完时火箭的速度.
(2)火箭上升离地面的最大高度. (3)火箭从发射到残骸落向地面过程的总时间.

思路点拨 (1)燃料用完后火箭做什么运动? (2)竖直上抛运动的求解选用哪种方法?

解析

设燃料用完时火箭的速度为v1,加速度为

a,所用时间为t1.火箭的运动分为两个过程,第一 个过程为做匀加速上升运动,第二个过程为做竖 直上抛运动至到达最高点.
v1 t 1 ,代入数据解得v 1 = 2

(1)对第一个过程有h 1 =
20 m/s.

v12 (2)对第二个过程有h 2 = ,代入数据解得h 2 = 2g

20 m 所以火箭上升离地面的最大高度h=h 1 +h 2 =40 m +20 m=60 m.

(3)解法一 gt2得 t2=

分段分析法

从 燃 料用 完 到 运动 至 最 高点 的 过 程中 , 由 v 1 =
v1 20 ? s=2 g 10

s
2

从最高点落回地面的过程中由h= 1 gt 3 2 ,而h=
60 m,代入得t3=2 3 s,故总时间t总=t1+t2+t3=(6+ 2 3)s. 解法二 整体分析法 考虑火箭从燃料用完到落回地面的全过程,以竖

直向上为正方向,全过程为初速度v 1 =20 m/s,

加速度g=-10 m/s 2 ,位移h=-40 m的匀变速直线 运动,即有h=v 1 t- 1 gt 2 ,代入数据解得t=(2+
2

2 3 )s或t=(2-2 3 )s(舍去),故t 总 =t 1 +t=(6+ 2 3 )s.

答案 (1)20 m/s
(3)(6+2 3 )s

(2)60 m

方法提炼 1.竖直上抛运动常常是题目中的隐含条件,注 意在解题时挖掘,如上升气球中掉出的物体 等均做竖直上抛运动. 2.运用整体法和分段法解题时,要特别注意物

理量正负号的不同.

题型3

利用匀变速运动模型解题

【例3】“10米折返跑”的成绩反应了人体的灵敏 素质.如图2所示,测定时,在平直跑道上,受试者 以站立式起跑姿势站在起点终点线前,当听到

“跑”的口令后,全力跑向正前方10米处的折返
线,测试员同时开始计时.受试者到达折返线处 时,用手触摸折返线处的物体(如木箱),再转身

跑向起点终点线,当胸部到达起点终点线时,测
试员停表,所用时间即为“10米折返跑”的成绩. 设受试者起跑的加速度为4 m/s2,运动过程中的 最大速度为4 m/s,快到达折返线处时需减速到

零,减速的加速度为8 m/s2,返回时达到最大速 度后不需减速,保持最大速度冲线.求该受试者 “10米折返跑”的成绩为多少秒?

解题示范 解析 过程中
vm 加速阶段:t1= =1 s a1 1

图2

对受试者,由起点终点线向折返线运动的 ① ②

s1=

vm 1 ? 0.5 s; s3 ? vmt3 ? 1 m ③ 减速阶段:t3= a2 2
2

vmt1=2 m

匀速阶段:t2=

由折返线向起点终点线运动的过程中 v 1 加速阶段:t4= m ? 1 s; s4 ? vmt4 ? 2 m ⑤ a1 2 l ? s4 匀速阶段:t5= =2 s ⑥ vm 受试者“10米折返跑”的成绩为: t=t1+t2+?+t5=6.25 s 答案 6.25 s ⑦

l ? ( s1 ? s3 ) =1.75 s vm



【评分标准】 本题共18分,①②④⑥⑦式各2分,③⑤式各4分. 【名师导析】 结合实际生活中的常见现象创设物理情景、提

出问题,考查学生应用知识解决实际问题的能
力,这与新课改的要求接轨,结合新高考的特点. 可以预测,对这部分内容知识的考查,仍将是以 后高考的重点,要注意命题更具有开放性和探 究性.

自我批阅 (14分)因测试需要,一辆汽车在某雷达测速区 沿平直路面从静止开始匀加速一段时间后,又接 着做匀减速运动直到最后停止.下表中给出了雷 达测出的各个时刻对应的汽车速度数值.求:
时刻 /s 速度/ m·s-1 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 0

0 3.0 6.0 9.0 12.0 10.0 8.0 6.0 4.0 2.0

(1)汽车匀加速和匀减速两阶段的加速度a1、a2 分别是多少? (2)汽车在该区域行驶的总位移s是多少?

解析

(1)由表中数据可得 (3分)

?v1 6 ? 3 ? a1 = m/s2=3 m/s2 ?t1 2 ? 1 ?v a2= 2 ? 2 ? 4 m/s2=-2 m/s2 ?t2 9 ? 8

负号表示与车前进方向相反 v=12 m/s 匀加速的位移s1= 匀减速的位移s2=
v2 - 0 =24 2a1
0 ? v2 2a2

(3分)

(2)由表中数据可知汽车匀加速的最大速度是

m

(3分) (3分) (2分)

=36 m

总位移s=s1+s2=60 m 答案 (1)3 m/s2 -2 m/s2

(2)60 m

素能提升
1.汽车进行刹车试验,若速度从8 m/s匀减速到零 所用的时间为1 s,按规定速率为8 m/s的汽车刹 车后位移不得超过5.9 m,那么上述刹车试验是

否符合规定
A.位移为8 m,符合规定 B.位移为8 m,不符合规定 C.位移为4 m,符合规定 D.位移为4 m,不符合规定 解析

( C )

vt ? v0 1 s内的位移为s= t=4 m<5.9 m,符合要求. 2

汽车初速度为v0=8 m/s,末速度为vt=0,故

2.物体从静止开始做匀加速直线运动,第3 s内通 过的位移是3 m,则 ( AB ) A.第3 s内的平均速度是3 m/s B.物体的加速度是1.2 m/s2 C.前3 s内的位移是6 m D.3 s末的速度是4 m/s 解析 由平均速度公式知,第3 s内的平均速度 s 3 v3 ? ? m/s=3 m/s,A正确;设加速度为a,则 t 1 物体第2 s末、第3 s末的速度v2=2a,v3=3a,由公 式v2-v02=2as,即(3a)2-(2a)2=2a×3,a=1.2 m/s2, 1 1 B正确;前3 s位移,s3= at2= ×1.2×32 m=5.4 m, 2 2 C错误;3 s末的速度v3=3a=3×1.2 m/s=3.6 m/s, D错误.

3.某质点在某个力的作用下由静止开始做单向的 直线运动.从出发时开始计时,得出质点的位置 坐标方程为s=6+t 3 .关于该质点的运动以下说法 正确的是 A.质点从坐标原点出发 B.质点运动的速度不变 C.质点运动的速度均匀增加 ( D )

D.质点运动的加速度均匀增加
解析 t=0时,s=6≠0,故A错;s的一阶导数为速度, 即v=s′=3t2;v的一阶导数为加速度,即a=v′=6t; 由上式可知:质点加速度随时间均匀增加.

4.一个氢气球以4 m/s 2 的加速度由静止从地面竖 直上升,10 s末从气球中掉下一重物,此重物最 高可上升到距地面多高处?此重物从氢气球中 掉下后,经多长时间落回到地面?(忽略空气阻 力,g取10 m/s2) 解析
2

向上加速阶段
1 2

H1= 1 a1t12= ×4×102 m=200 m
v1=a1t1=4×10 m/s=40 m/s 竖直上抛上升阶段:H2=
v12 2g

=80 m

t2=

v1 =4 s g

自由下落阶段:H1+H2= 得:t3=

2 ( H1 ? H 2 ) ? 56 s =7.48 s. g

1 2 gt3 2

所以,此重物距地面最大高度 Hmax=H1+H2=280 m 重物从掉下到落地的总时间t=t2+t3=11.48 s.

答案

11.48 s

5.跳水是一项优美的水上运动, 图3甲是2008年北京奥运会 跳水比赛中小将陈若琳和王 鑫在跳台上腾空而起的英姿.
图3 如果陈若琳质量为m,身高为L,她站在离水面H

高的跳台上,重心离跳台面的高度为h 1 ,竖直向 上跃起后重心又升高了h2达到最高点,入水时身 体竖直,当手触及水面时伸直双臂做一个翻掌压 水花的动作,如图乙所示,这时陈若琳的重心离 水面约为h 3 .整个过程中空气阻力可忽略不计,

重力加速度为g,求陈若琳从离开跳台到手触及 水面的过程中可用于完成一系列动作的时间. 解析 陈若琳跃起后可看作竖直向上的匀减速 运动,重心上升的高度h 2 ,设起跳速度为v 0 ,则 v02=2gh2
0 上升过程的时间t1=?

解得t1=

2h2 g

v g

陈若琳从最高处自由下落到手触及水面的过程
中重心下落的高度 s=H+h1+h2-h3
1 2 设下落过程的时间为t2,则s= gt2 2

解得t2=

2s 2( H ? h1 ? h2 ? h3 ) ? g g

陈若琳要完成一系列动作可利用的时间 t=t1+t2= 答案
2( H ? h1 ? h2 ? h3 ) 2h2 ? g g

2( H ? h1 ? h2 ? h3 ) 2h2 ? g g

6.跳伞运动员做低空跳伞表演,当直升飞机悬停在 离地面224 m高时,运动员离开飞机做自由落体 运动.运动一段时间后,打开降落伞,展伞后运动 员以12.5 m/s 2 的加速度匀减速下降.为了保证 运动员的安全,要求运动员落地速度最大不得超 过5 m/s,取g=10 m/s2.试求: (1)运动员展伞时,离地面的高度至少为多少? (2)上述过程运动员在空中运动的时间为多少?

解析

(1)设展伞时,运动员离地的高度为h,速

度为v0,落地速度vt=5 m/s,竖直向下为正方向,h0 =224 m,a=-12.5 m/s 2 ,由竖直上抛运动公式有 vt 2 -v0 2 =2ah,又v0 = 2g (h0 ? h) ,代入数据解得h=

99 m.
(2)由h0-h=
1 gt12,得自由落体时间t1=5 s,展伞 2

后运动员做匀减速运动,由vt=v0+at2得展伞后运 动的时间t2=3.6 s,因此运动员在空中运动的时 间为t=t1+t2=8.6 s.

答案

(1)99 m

(2)8.6 s

反思总结

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