当前位置:首页 >> 数学 >>


第3 2 卷第 5 期 2 0 1 2年5月

C UR R I C U L UM,T E A CH I NG  MAT E R I A L AN D  ME THO D  

V o l . 3 2,N o . 5 ,2 0 1 2 M a y

从“ 角” 看数学课程内容的关联性
郜舒竹 , 刘莹 , 王智


( ) 首 都 师范大学 初 等 教育学院 , 北京 1 0 0 0 4 8



摘要 : 角 概念的 特殊性使 得 这 一概念 及其 相关内 容 在数学 课程 中 显示出孤立 的 特征 。 通过历史 的考 察 , 挖掘出角 概念的主要 作用 在 于描述 方 向 的 改变 , 由此 进一 步了 解 到凡与 方 向有 关的内 容均与角 相关 联 。 从 历史 和 文化 的 视角审视角 的 度量 和 角 的 定 义 , 还可以清晰地发现其 中 蕴涵着 的 人文因素以及 认知 难点 , 对 更好地实现 数学 史 融入 数学 课程有所裨益 。 关键词 : 角 ; 数学 课程 ; 关 联性 ; 数学 史
( ) 中图分类号 : G 6 2 3 . 5  文献标志码 : A  文章编号 : 1 0 0 0 0 1 8 6 2 0 1 2 0 5 0 0 6 2 0 8 - - -

在我 国 现 行 义 务 教 育 数 学 课 程 中 , “ 角” 及 图 形 与 几何 ” 领域 其 相 关 的一 系 列 内容 分 布 在 “ 的 各 个学 段 。 主要 包括 角 的认 识 、 角 的 测 量以及 角 的 应 用三 个 方 面 的 内容 。 鉴 于 角 的 特 殊 性 , 这 一 系 列 内容 在 数学课程 中 显示 出一 种 “ 间 断” 和 “ 孤立 ” 的 特 征 。 因 此 有 必 要 更 加 广 泛 、 深 入 地 挖 掘 数学课程 中 与 角相 关 联 的 内容 , 使 其 具 有 连 续性。 人 们 对 角 的认 识 是 在 漫 长 、 广 袤 的 时 空 中 逐 步 深入 的 。 回顾 角 及其 相 关 内容 发生与发展的 历 史,可以加深对 这 一 概 念 及 其 相 关 内 容 的 理 解, 更 深入 地 挖 掘 其 育人 功 能 。 一 、 从角的历史看角的作用 在 “ 角 的认 识 ” 的 课 程 安 排 与 实 际 教 学 中 , 通 常强 调 两 点 : 第 一是 角 的 构成 要 素 , 即 顶 点和 两 条 射 线 ; 第 二 是 角 的大 小 与 射 线 长 度 无 关 。 这 两 点对于 角 的认 识 固 然 是重要的 , 但 并 没 有 让 学

生认 识到 角 的作 用 究 竟 是 什么 , 也 就 是 没 有 回 答 数学 中 为 什么 要研究 角这 样 “ 所 以 然” 的 问 题 。 ( 一 ) 角与 方 向 古希腊 人对 角 最 初 的认 识 是 以 对 直 线 的认 识 为基 础 的 。 在 研究 两 条 直 线 位 置 关 系 的 时 候 , 认 为 两 条 直 线 如 果 重 合 或 者 平 行 , 就 说 这两 条 直 线 的 方向 是一 样 的 , 也 就 是 没 有 形 成 角 。 如 果 两 条 直 线 的 方向 不 一 致 , 那 么 就会 相交 , 这时 就会 出 )和意大利 现角 。 明 代 学 者 徐 光 启 ( 1 5 6 2—1 6 3 3 ,1 传教 士 利 玛 窦 ( M a t t e o R i c c i 5 5 2—1 6 1 0) 合  
[ 1] ) 作 翻译 的 《 几何 原 本 》 ( 以下简称 《 中 译 本》

中定 义 角 为 : “ 平角者两直线于平面纵横相遇交 ”这里 的 “ 接处。 平 角” 指 的 是 平 面 上 的 角, 其 纵横 相 遇 ” 就 是 方向 不同 、 互相交 叉 的 意 中的 “ 思 。《 中译本》 中 的 另 一 句 话 是 “ 甲乙乙丙二线 。其中的 “ 平行相遇不能作 角” 平 行 相 遇” 指 的 是 两 条 直 线平 行 或 者 重 合 的 意 思 , 这 个 时 候 就 是 没有角。 在 《 几 何 原 本》 的 英 译 本 ( 以下简称

十一五 ” 规 划 2 高校 ‘ 小 学 教 育’ 特 色 专 业 培 育 研 究” ( 课 题 批 准 号: 0 0 9 年 度 教 育 部 重 点 课 题: “ * 本 文 系 全 国教育科学 “ )的成果之一。 D I A 0 9 0 1 5 0 ; 修回日期 :2 收稿日期 :2 0 1 1 0 9 2 7 0 1 2 0 3 0 9 - - - - , 男, 北 京 人, 首 都 师 范 大 学 初 等 教 育 学 院 教 授, 主 要 研 究 数 学 教 育 与 教 师 教 育; 刘 莹 作者简 介: 郜 舒 竹 ( 1 9 6 1—   ) ( ,女,北京人,首都师范大学初等教育学院副教授, 主 要 研 究 数 学 教 育 与 教 师 教 育; 王 智 秋 ( , 女, 北 京 1 9 6 1—   ) 1 9 5 7—   ) 人,首都师范大学初等教育学院教授,博士生导师,主要研究数学教育与教师教育。

·6 2·

《 ) 中用 “ ) ” 这一词汇 英译本 》 倾斜 ( i n c l i n a t i o n [ 2] 描述角 , 后来一 些 英 文 几 何 教 科 书 中 通 常 把 这 个词汇解释为 “ 方向的差别 ( d i f f e r e n c e b e t w e e n   [ 3] ) ” 。 据此可以 看 出 , 角 这 一 概 念 是 与 d i r e c t i o n s 直线及其方向密切相关的 。 直线除了 “ 有长无宽无厚” 和 “ 无限延 伸” 两个性 质 之 外 , 相 对 于 曲 线 最 重 要 的 特 征 是 “ 。 如何理解这里的 “ 直” 直 ” 呢? 《 中 译 本》 中 对直线的定义叙述 为 : “ 直线止有两端两端之间 ” 这 句 话 的 意 思 是 说,在 直 线 上 上下更无 一 点 。 “ , 就会 出 任意截取 一 条 线 段 ( 直线止 ” 的 意思 ) 现 两个端点 , 两个端点之间线 段 上 所 有点 都不会 偏离到 上方 或者 下方 。 《 英译本》 中 说 的是 “ 直 ,其中的关键 线 就 是其上 任 意 两 点 之 间 都 一 样 ” ” 。在后来一些英文文 词汇是 “ 一样 ( e u a l l q y) 献 中对这 一 词 汇 的 解 释 是 在 直 线 上 任 意 截 取 线 段 , 线 段 的方向 都 与 原 来直线的方向一 样 。 因 此 可以 说 , 直线 中 “ 直” 的 含 义 是 有 确 定 的 方 向。 因 此 , 角可以 认 为是描述方向 改变 的概念 。 这 样 的理解 基 本 符合现在日 常 生活 中 经 常 说 的 “ 一直 。 “ 走” 和 “ 拐弯 ” 一 直 走” 就 是 不 改 变 方 向 地 走, “ 拐 弯” 就 意 味 着 改 变 方 向,也 就 是 会 出 现 角 。 这一 含 义 在我国现行 中 小学数学 教科书中 并 没 有 体现 。 ( 二 ) 平移 、 旋转与角 从 角的 历史 来看 , 其 核心作 用 在 于描述方向 的 改变 。 因 此 , 凡 是与方向以及方向 改变 有关的 ,所谓 内容都 与 角 相 关 联 。 比 如 “ 平 移 与 旋 转” “ 平 移” 就 是 物 体 沿 着 直 线 运 动, 不 改 变 方 向。 这里 所说 的 不改变 方向有两个 含 义 : 第 一 指 的是 物体 上的 同 一个点 在运动过程 中一定 位 于 同 一 条 直线上 , 不改变 方向 ; 第二 是 说物体 上两个 不同 的点 分 别 沿着 两 条 直线 运动 , 这 样 的两 条 直线方 向是一 致 的 , 也就 是 平行 的 。 “ 旋转 ” 是 物 体 在 运 动 过 程 中 , 方 向 不 断 改 变 的 运动 。 所谓 方向 不断改变 的 含 义是 物体 上的 同 一个点 在任意 两个 不同时刻 , 其 运动 方向 都不 一 样 。 数学 中描述这 种 方向的 改变 通常 依赖 的是 “ 圆心 角 ” 或 切线的 斜 率 , 这 些 概 念 都 是 与 角 密 切相关的 。 由 此 进 一 步证 明 了角的 核心作 用 在 于 描述方向的 改变 。 旋转作 为方向 不断改变 的一 种 运动 , 其特 殊 性 在 于方向 改变 的 均匀 性 。 这 种 均

匀 性 表 现 为 物体 上 一 个 点 如 果 转 过 的 弧 长 相 同 , 那么 对 应 的 圆心 角 也 一定是相 同 的 。 由 此可 见 , “ 平 移 与 旋 转” 这 一 课 程 内 容, 与角的 认 识 密 不 可 分 。 在 课 程 编制 与教 学 中 应当 充 分认 识 到 这一点 , 将 方向与角的相关 联 系融入 到 教 学 中 , 使得 学生 逐 步 熟悉 角这一概念用于描 述方向的重要 作 用 。 类似 于此 , 与方向和角有关 的 内容 还 有 : 方向与 位 置 、 圆 的 认 识 、 钟表 的 认 识 、 平行 与相 交等 。 从 度量 的角 度 说 , 方向 还 可 以通 过 线 段 长 度 的 比 来 确 定 。 因 此 , 角与 比也 是 密不可分的。下面用 “ 折 线 统计图 ” 作 为 例子 说 明 这些关 联 性 。 ( 三 ) 折线统计图与角 折 线 统计图 通 常 被 认 为 是 描 述 发 展 趋 势 的 。 这种 说 法 有 一 定 道 理, 但 并 不 完 全 准 确。 因 为 “ 趋势 ” 指 的是 将 来 会 怎 样 , 是一 种 主观 的 预测 。 影响 这 种 预测 的 因 素根 据 实际问题 的 不同 差 异 是 很大 的 。 稍微严格 一点的 说 法应当 是 , 从 折 线 统 计图 看 到 的是 从过 去 到现在 的 发展状况 。 至 于 未 来的 发 展 趋 势 会 怎 么 样 , 需 要 具 体 问 题 具 体 分 析 。 比 如 , 如 果图 1 的 横轴表示 时 间 , 纵轴表示 温度 , 那么 从 早晨 到 中 午 是上 升 的 趋势 , 由 此 就 不 能 说 往 后 温度还 会 继续 上 升 。
6 4 2 O B C A E D

G

F 5
图 1  折线统计图

10

这里 主 要 想 说 明折 线 统计图 与角的 联 系 。 从 图1 上 的 折 线 看 出, 总 体 是 上 升 的。 但 上 升 的 “ 坡 度 ” 是有 变 化 的 。 比 如 , 从 O 点 到 A 点直 线 段上升的坡度 就 小 于 从 A 点 到B 点 直 线 段 的 上 升坡度;从 B 点 到C 点 就 没 有 上 升; 从 C 点 到

D 点与 开始 从 O 点 到 A 点的上 升 坡 度 是一 样 的 。 从数学 的 意 义 看 , 决 定 这 种 坡 度 的 因 素 是 什
么 呢? 图1中从 O 点 到B 点 在 A 点 处 出 现 了 “ 拐 , 也就 是出 现 了 “ ,这就是 《 弯” 角” 英译本 》 中 。 为 什 么 会 出 现 角, 原 因 就 是 从 A 说的 “ 倾斜 ” ·6 3·

到B 与 从O 到 A 相 比 , 方 向 发 生 了 改 变 。 换 一 个 说 法 , 就 是线 段 O A 和线 段 A B 各自 所在 直线 的方向 不同 了 。 这 种 方向的 不同在数学 中通常是 用 水 平 方向 ( 横轴 ) 作 为 比 较 的 标 准 。 从 图 1 不 难看 出, 线 段 O A 与 水 平 方 向 的 夹 角 ∠A O E要 小 于线 段A B 与 水 平 方向的 夹 角 ∠B A F。 所 以方 向的 改变 反映 出的是角的 大 小 的 改变 , 又 一 次 说 明 了角用于 表 达 方向的 意 义 。 另 外 从 图 1 看 到 , 在 △A O E 中, 线 段 A E 与O E 的 比 是 1∶2; 在 △A B F 中, 类 似 的 比 是 3∶2。 所 以 角 的 变 化 还 与 相 应 线 段 长 度 的 比 有 关 , 高 中 数学 中的 三 角 函 数 和直线的斜 率就 是 由 此产生 的。 上 面 的 比 值 1 和 3 分 别 叫 做 线 段 O A 2 2 和线 段 A B 所在 直线的斜 率 , 即 倾 斜 的 程 度 。 也 就 是直线与 横轴 向 右 的方向 夹 角的 正 切 。 图 1 中 , B C 线段的 方 向 与 水 平 方 向 一 致, 所 以 斜 率 为 0 2 1 意味着没 有 变 化 ;C D 的斜 率 是 = , 与 O A的 4 2 斜率相同,说明与 O A 方向一 致 。 如 果 把线 段 O A 和C D 分 别延长 , 就会 发 现 这 两 条 直 线 平 行 。 鉴 于 比 值 与角 大 小 这 样 的关 系 , 因 此 比 值 也 可以 成 为 判 定 折 线 统计图 上 升 或 下 降坡 度 的 依 据 。 微 积 分 中 利 用 导 数 判 断 函 数 增减 性的 内容 实 质上 依 据 的 就 是这个 道 理 。 折 线 统计图 往 往 是 与 实 际 问 题 紧 密 相 关 的 , 其教 学不 能 仅 限于 所谓 的 实际 意 义方 面 , 还应当 把相关的 数学内容 融入 进 去 , 使得 这一 内容 具 有 “ 。 这 样不 仅 能 够 进 一 步 加深 对角相关 知 数学味 ” 识 的理解 , 还能 提 升 学生说 理的 能 力 , 从 知 识 和 能 力 方 面 为 今 后的 学 习奠 定 基 础 。 二 、 如何度量角的大小 作 为 数学 中的 量 , 研究 角的 大 小 叫做 角的 度 量 。 这 样 的 研究 在历史 上 经历 了 漫 长的 时 间 , 其 根 本 问题 在 于如何 确 定角 大 小 的 度量 标 准 。 ( 一 )“ 直角 ” 作为比较的标准 关于角的 度量 , 起初 是以直角的 认 识 为 基 础 的,主要源于 对 两 条 直 线 相 互 “ 垂 直” 的 理 解。 古 时 的 平 行 与 垂 直 都 是 相 对 于 地 平 面 来 说 的, 《 墨经》中 对 “ 平”的 解 释 是 “ 平 者, 同 高 , 据此 就 可以把 “ 也” 平行 ” 理解为 移动 的 过程 ·6 4·
[ 4]

中与 地 面 的 高 度 保持 不变 。 而 对 垂 直的理解是 假 设 一 根 绳 子 的端点 处固 定一重 物 , 使得 重 物 自然 下 垂 , 那么 这 条 绳 子 就 与 地平 面 垂 直 。 再 比 如一 站 直” 的 状 态, 个 人立 于 地 面 的 时 候 , 通 常 说 “ 就是人的身体与地 面 垂 直。 因 此 垂 直 中 的 “ 垂” 是下 垂 的 意 思 , “ 直” 是 相 对 于 “ 倾斜 ( o b l - ) ” , “ ” , i u e 而言的 也就是 不斜 的意思 与直 g 线中的直 不 是一个 意思 。 这一点 在 《 英译本 》 中 也 有 体现 , 在 《 英译本 》 中对 垂 直的定义的 第 一 句话是 “ 当一条直线 C G 站立于 ( s t a n d u o n)   p 。这与中文中的 “ 另 一 条 直线 A 站 B 上 时 …… ” 直 ” 意 义 很 接近 。 这个 意思 引 申 出 两 条 直 线 垂 直 的 位 置 关 系 。 当 两 条 直线相 互垂 直的 时 候 有如下两个特征 。 第 一是对 称 性 , 就 是两 条 直线 所 形成 的角的 大 小都 是一 样 的 , 而且 这一 结论反 过 来 也 是 正 确 的 , 即 如 果 两 条 直线之间的 所 有 夹 角 都 是一 样 的 , 那么 这两 条 直线相 互垂 直 。 第二 是两 条 直线方向的相 对 确 定性 。 就 是 说 如 果 两 条 直线相 互垂 直 , 那么 二者所指 方向 完全 不同 。 也就 是 知 道 了一 条 直线 的方向 , 就 可以 确 定 另 一 条 直线的方向 。 如 果 不 是 垂 直 , 而 是倾斜的 状 态 , 就会 出 现 类似 于一 条 直线是 南北 方向 , 而另 一 条 直线 说不 清 方向的 现 象 。 这两个特征 使得 人们 认 为两 条 直线 互 相 垂 直 时 , 之间的 夹 角 具 有 确 定性 , 就 像 直线 具 有 确 定 几何 原 本 》 中把 它命 的方向一 样 。 欧 几里 得 在 《 ) ” ,在徐光启和利玛窦 名为 “ 好角 ( r i h t a n l e   g g 。这一名称 的 《 中译本 》 中 被 翻 译 成 了 “ 直角” ”中 有可 能 是 借 用 了 “ 直 线 ( r i h t l i n e)   g “ ”的翻译。但 要 注 意 的 是, 直 线 和 直 角 两 r i h t g 直 ” 字 不 是一个 意思 , 前 者 相对于 个词汇中的 “ “ , 后 者 相对于 “ ,其共同之处是都具有 曲” 斜” 某 种意 义下的 确 定性 。 鉴 于此 , 人们 就 把直角 作 为 粗略 比 较 角 大 小 的 标 准 。 比 直角 小 的角 就 叫做 “ 锐角 ( a c u t e a n   - ) ” , “ ( 比 直角 大 的角 就 叫 做 钝 角 o b t u s e a n l e   - g ) ” 。 这 就 表明 , 对 角 的 认 识 开 始 有 了 量 化 的 l e g 思 想 。 不 仅 关 心 有角 还 是无角的 问题 , 开始研究 如何 比 较 角的 大 小 了 。 ( 二 ) 测量的精确化 随 着 天 文 学 和 历 法 研究 的 发展 , 开始 有了对 圆 周 进行 等 分 的 需 要 。 等 分圆 周 的 想 法 对角的 量

化 认 识 产 生 了 巨 大影响 。 现在所 熟悉 的 圆 周 角 等 于3 6 0 度 , 实际 上 就 是 将 圆 周 长 平 均 分 为 3 6 0段 弧,其 中 每 一 段 弧 长 对 应 的 圆 心 角 就 是 1 度 角。 至 于为 什 么 是 3 6 0, 而 不 是 其 他 数 , 现 在 很 难 考 证出准 确 答 案, 后 人 的 猜 测 归 纳 起 来 主 要 有 三种。 第 一 种 是 说 古 巴 比 伦 人 当 时认 为一 年 的 天 数 为3 6 0 天 , 所 以用 3 6 0 等 分圆 周 。 第二种 猜 测 是 认 为与 人身 体 有关 。 如 果 圆 周 角为 3 6 0 度 , 那么 1度角的大小大约等于以人伸直的臂长为半径 时,小拇指 宽 度 对 应 的 圆 心 角 的 大 小。 同 样 1 0 度 角的 大 小 大 约 等 于 手掌 并 拢 时 的宽 度 对 应 的角
[ 5] ( ) 度。 见图 2

和 平 方 数都 是 历史 上 人们 关 心 的 数 。 圆 周 角为何 是3 6 0度或许将成为千古之谜,但后人的各种猜 测 也不 失 为一 种 具 有教 育 意 义的 人 文 因 素 。 ( 三 ) 利用 “ 线 ” 研究 “ 角” 利 用线 研究 角的 做 法 可以 追溯 到 中 世纪 之 前 ”图 印度天文学家对 “ 弓箭型 ( b o w a n d a r r o w)     [ 7] 。 “ ” 形 的 研究 所谓 弓箭型 图形指的是在一个 圆上, 圆 心 角 与 其 相 对 的 弦 和 弧 构 成 的 图 形。 ( ) 见图 3

图 3  “ 弓箭型 ” 图

图 3 中的 “ 箭 ”O C 把 圆心 角 ∠A O B 平均分 为两 个 相 等 的 角 ∠A 弦 ”A OM 和 ∠MO B, “ B 也 被 平 均 分 为 AM 和 MB 。 当 时 人们 认 为 弦 长的
图 2  角度示意图

一 半 AM 或 MB 的 长 短 就 可 以 用 来 代 替 圆 心 角 的一 半 , 这 样 关于角的 研究 就 可以 转 化 为线 段 长 度的 研 究 了。 这 样 的 “ 半 弦” 用 印 度 梵 文 写 为 “ ” 。随着 印 度 文 化 通 过 阿 拉 伯 传 到 欧 洲,欧 i v a j ”这个拉丁文词汇表 弯缺) 洲 学者 使 用 “ s i n u s( 达 这个 半弦 的 意思 , 因 为这个词汇可以 表 达 弦 可 弯曲 和 对 折 为 一 半 的 意 思。 现 在 所 说 的 “ 正弦 ( ) ”就是从拉丁文词汇 “ ”演变而来 s i n e s i n u s , “ ” 。 的 实 质上是 半弦 的 意思 与之 联 系 在 一 起 ) ” ,简写为 “ 的概念 叫 做 “ 正矢 ( v e r s i n e V e r s - ” 。 “ ” , 它 表 达 的 意思 是 由 正 弦 转 化而 来 在 图 i n 3 中 就 是线 段 MC, 这 个 概 念 现 在 已 经 废 弃 不 用 了。在 “ 正 弦 ” 概念 传 入 欧洲 后 , 人们 逐 步 发 现 “ 弓箭 图 ” 上其 他 线 段 对 角 的 研 究 也 很 有 用 。 后 。在我国清朝 来 逐 步 形成 了 所谓 “ 八 线 三 角 术” 时期出版 的 《 蒙 学 报》 上 一 篇 题 为 “ 八线三角 术 ” 的 讲 义中有这 样 一 句 话 : “ 既知八线名目当
[ 8] ” 知 量 角 得度 之 术 。 其中的 “ 八 线 名 目 ” 指 的是 图4 中 8 条 线 段 的 名 称,就 是 通 常 所 说 的 正 弦、

最有 说 服 力 的 猜 测应当 是 第 三 种 。 圆 周 角的 度 数 应当 尽 量 做 到平分 后 还 是 整 数 , 如 果 圆 周 角 定为 1 0 0 度 , 那么 平 均 分 为 6 份 , 相 当 于 现在 的 5 0 6 0度 就 变 成 1 0 0÷6= 度 , 不 是 整 数 了 。 因 3 此 , 描述 圆 周 角的 数 应当具 有 因数 个 数 尽 量 多 的
[ 6] 特征 。

在1 0 0 以 内因数 个 数 最 多 的 数 共 有 5 个 , 分 别是 6 0,7 2,8 4,9 0,9 6, 都 有 1 2 个 因 数。 其 中的 三 个 6 0,7 2和9 0都是3 6 0 的 因 数 ,6 0是 其中最 小 的 一 个 , 这 或 许 就 是 角 度 和 时 间 采 用 6 0进 制 的 原 因 之 一。 另 外 一 个 有 趣 的 现 象 是, 3 6 0是6 0 的 6 倍 ,6 0是1 0 0以内因数个数最多 的数 中 最 小 的 一 个, 而 6 是 最 小 的 “ 完美数 ( ) ” ; e r f e c t n u m b e r 3 6 0是7 2 的 5 倍 , 这里 的 5   p 与 人 一 只手 的 手 指 数 相 同 ;3 6 0是9 0 的 4 倍 ,4 是除了 1 之外的 第 一个 平 方 数 。 完 美 数 、 手 指数

美术 方向 ) 研究 生 孙博绘 制 , 特此 致 谢 。 ① 本 图 由 首 都 师范 大 学 初 等 教 育 学 院 课 程 与教 学 论 (

·6 5·

余弦、正切、 余 切、 正 割、 余 割、 正 矢、 余 矢。 ( ) 见图 4

[ 9] 种。 第一种是 质 性 的, 通 过 列 举 角 的 构 成 要 素

进行 描述 , 比 如 “ 角是 由 一个 顶 点出 发 的两 条 射 。这 里 所 说 的 是 角 由 什 么 组 成,并 没 线组成的” 有描述出是如何 组 成 的 。 第二种 是 加 入量 化 的 因 素: “ 角是从一个顶点出发的两条射线张开 ( o - ”用 “ 张 开 ” 描 述 形 状, 用 e n i n p g) 的 大 小 。 “ 大 小 ” 描述 张 开 的 程 度 。 但 什 么 是 “ 张 开 ” 呢? 很 难想象 出其 确 切的 含 义 。 第 三 种 是用 运动 的 观 点,认为 “ 角是一 条 射 线 围绕顶 点 旋转 出来的 图 , 其中 “ 形” 旋转 出 来 的 图 形 ” 的 说 法 会 让 人 想
图 4  “ 八线三角术 ” 图

,还是不能 到 两 条 射 线之间 那 个 无 限 的 “ 扇 形” 想象 出 角 的 样 子 。 诸 如 此 类 的 定 义 尽 管 相 对 于 《 几何 原 本 》 中的定 义 来 说 清 晰 了 一 些 , 但 归 根 到 底 都没 有 表 述出 什 么 地 方是角 , 角的 形 状 究 竟 是 什 么 样 子 。 角的定义如此之 难 , 究 竟 是 什 么 原 因 呢? ( 一 ) 概念原始性
[ 1 0] 首 先 , 角是一个 原 始 的 种 概 念 , 也就是说

现在 高 中 数学 课 程 中 三 角 函 数 的 意 义与 当 时 相 比 已 经 发 生 了 变 化 , 不 再 表示 “ 八 线 图 ” 中的 线 段 , 而 是 比 值 了 。 由 此看出 , 通 过 线 段 对角 进 行 研究 , 是 三 角 函 数 产 生 的 源 泉 。 但 所谓 的 “ 八 线 ” 还 不 是 现在所说 的 三 角 函 数 。 随 着 函 数 与 变 量 思 想 的 逐 步 发展 , 人们开始 习 惯 用 运动 的 眼 光 看 待 几何 形 体 , 把相对 应 的 量 视 为 连 续 变 量 。 比 如把线看 成 点 运动 的 轨迹 , 把 面 看 成 线 运动 的 轨迹 , 等等 。 这 就 使得 人们 对角 有了 新 的 认 识 , 把角看 作 是 射 线 围绕顶 点 旋转 出 来的 , 把角的 大 小 看 做 这 种运动过程 中的 连 续 变 量 。 正 是这 样 的 认 识 改变 了 原 来有角和无角的 认 识 , 两 条 射 线重 合 的 情 况 叫做夹 角为 0 度 ; 旋转 了两个直角 叫做 平 角 ; 从平 角 继续 旋转 超 过平 角 ) ;继续旋转超过周角也 叫做 优 角 ( r e f l e x a n l e   g 。 是 允 许 的 这 样 的 认 识 才 使得 一 般 意 义的 三 角 函 数真正出现了。 综 上 反映 出 人们 对角的 认 识 经历 了 从 单纯 的 质的 认 识 到 质与 量 综 合 的 认 识 ; 从 静 态 的 认 识发 展 为 动 态 的 认 识 。 可以看出 , 角概念 并 非孤 立 存 在 的 , 它 与直线 、 方向 、 平行 、 垂 直 、 圆 、 函 数 等 概念是密切相关的 。 三 、 如何给角下定义 如何 给 角下定义是个 历史 难 题 , 许多 数学 家 都 对此 进行过 研究 。 前 面 论 及的 《 中译本 》 中 所 ,直观上看 “ 说 的角是 “ 纵横 相 遇 交 接 处 ” 交接 处 ” 应当 是角的 顶 点 , 而 不 是 角 。 《 英 译 本》 中 ,而倾斜说的是 倾 斜” 把角 叫做 两 条 直线 相 互 “ 两 条 直线方向 不同 的 状 态 , 也不 是角 。 关于角的 定义后 来 还 出 现 过 很 多 , 概 括 起 来 主 要 有 三 ·6 6·

在 与角有关的概念 系统 中 , 它 是 首 次 出 现 的 。 凡 种 概念的定义 都 是 困 难 的 , 比 如几何中 “ 点” 就 是 不 定义的 , 在 《 中译本 》 中 仅 从 其 度量 意 义上 , 线 、 面 、 体也 是 类 无长 短 广狭 厚 薄 ” 描述为 :“ 似 。 在种 概念的 基 础 上通 过 描述 某 种 属 性定义其 中特 殊 的 类 , 就 可以 成 为相对于这个 种 概念的 属 概念 , 这 样 的定义相对来 说比 较 容 易 。 比 如有了 ,只需要把其中 直 角” 角的概念 , 就 可 以 定 义 “ “ 直” 的 含 义 表 述 清 楚, 再 加 上 角 的 原 有 属 性, 就 成 为直 角 的 定 义 。 可 以 把 直 角 定 义 为 “ 9 0度 , 也 可以定义 为 “ 的角 ” 两直线垂直时所形成的 。 这 种 方 法 在 逻辑 上 叫做 “ 角” 种 加 属 差” 法 。 ( 二 ) 含义多重性 如 前 所 述 , 角本质上是为了描述两 条 直线方 向之间关 系 而 产 生 的 概 念 。 但 角 不 仅 表 示 关 系 , 而且 具 有 形 与 量 的 含 义 。 一 个 概 念 直 观 上 是 图 形 , 数 量 上可以 比 较 大 小 , 同时 又 表示 两 条 直线 方向上的关 系 。 用一个 简 短 的定义 表 述出这 三 种 含 义 , 显 然 是 很 困 难 的 。 数学 中 类似 于这 样 多 重 含 义的概念通常 都 是 很 难 定 义 的 。 “ 比” 是表达 两个 量 之间关 系 的概念 , 但 同时 又 有 运 算 和 运 算 结 果 的 含 义 , 在数学 教科书中通常定义为 “ 两个 。这实际上是用除 量 相除 也 叫做 这 两 个 量 的 比 ” 法运算 定 义 比, 很 容 易 把 比 误 解 为 就 是 除 法 运

算,除法和比尽管有很多相互关联的地方,但是 二者不 是 等 价 的概念 。 运 算强调 的是 算 法 和 运 算 结 果, 不 强 调 运 算 对 象 之 间 的 关 系。
[ 1 1]

。 最 初 理解为 “ ,是分割产 就是 “ 整” 不 是 整 数” 生 的 数 。 角概念 在 角 系统 中的 原 始 性 使得 它 没 有 一个相对的概念 帮 助 理 解 , 也 就 是 没 有 “ 非 角” 的 东西存 在 。 从 这个 意 义上 说 , 历史 上 认 识 角的 , 初 级阶 段 把 两 直 线 平 行 或 重 合 视 为 “ 没 有 角” 从认 识 论 的角 度 说 是 合 理的 。 就 像 在小学数学 课 程 中把 “ 整 除” 和 “ 有 余 数 ” 看 做 相对关 系 , 所 。从数学表达统一性 以把 整 除 叫做 “ 没有 余 数” 的角 度 来看 , 实际 上 不 是 没 有 余 数 , 而 是 所 有 正 整 数 之间的除 法 都 有 余 数 , 整 除的 情 况 叫做 “ 余 ” 。 数为0 鉴 于以上理 由 , 角 定 义 之 难 是 个 客 观 现 实 。 据此 就 需 要 研究 教 学 中如何解 决 这个 问题 。 一个 基 本 观 点是 , 角 的 认 识 不 可 能 在 短 时 间 内 完 成 。 学生 需 要 在 各 个 年 龄 段 的 学 习 中 经 常 接 触 到 角 , 在 与角相关 联 的 内容 的 学 习 中 逐 步 熟悉 角 。 这 种 关 联 既包括 直 接 的 , 也 包括 间 接 的 。 比 如 制 约 两 个 图 形 是 否 相 似 的 因 素实际 上 就 是对 应 的角 。 两 个 图 形 如 果 相 似 , 那么 所 有对 应 位 置 线 段所 形成 的角 度 都 相 等 。 反 过 来 , 两个 图 形 所 有对 应 位 置 的角 度 都 相 等 , 那 么 这 两 个 图 形 相 似 。 如 前 所 说 , 角的 大 小 可以通 过 相 应 边 长的 比 来 确 定 , 所 以中 学数学 中的 “ 三 角 函 数” 与 “ 相似三角形对 应 边 成 比 例 ” 都 与此相关 。 四 、 角系列与数学课程的关联性 应当 承 认 , 在 小 学 和 初 中 的 数 学 课 程 内 容 中,与 “ 角” 有 关 的 知 识 的 关 联 性 相 对 比 较 薄 弱 。 导 致 的 结 果 是 小学 和 初 中 阶 段 的教 师 和 学生 对角及其相关 内容 的 认 识 缺 乏 连 贯 性 。 学生进 入 高 中后 , 学 习 诸 如 三 角 函 数 、 极坐 标 、 向 量 , 以 及 物 理中的角 速 度 、 变 速 运动 、 力 的 分 解 等 与角 相关的 内 容 时 , 都 会 感 觉 到 生 疏 、 困 难 。 因 此 , 在小学 和 初 中 各 个 阶 段 的 数学 课 程 中 需 要 精 心 安 排 与角相关 联 的 内容 , 使 之 成 为 互 相 联 系 的 “ 角 , 这 样 的角 系 列 大 致 可 以 分 为 五 个 方 面 的 系 列” 内容 。 。以直线方 第 一方 面 是 “ 角 的 形 成 与 作 用” 向的 确 定性 作 为 认 知 基 础 , 感受 到 角的 形成 是 由 于方向的 改变 , 反 过 来 利 用角可以描述方向的 改 变。如果这种 方 向 的 改 变 是 间 断 ( 不 连 续) 的, 直 观 上 就 形成 折 线 ; 如 果 这 种 方向的 改变 是 连 续 ·6 7·

对于

“ 比” 来 说 , 更 强 调 前 项 和 后 项 之 间 的 关 系 , 所 以这个定义 并不 恰 当 。 平行或者 垂 直 也 是 表 达 直 线之间的关 系 , 但 不 是 图 形 , 也不 是 数 量 , 含 义 相对 单 一 , 因 此 比 较 容 易 用定义 表 述 。 ( 三 ) 相对独立性 角 难 以用定义 表 述的 第 三 个 原因 是 构 成 角的 要素 ( 顶 点 , 射 线 ) 与角的 形 状 和 度量 都没 有直 接 的 联 系 。 在 点 、 线 、 面 、 体 这个 系统 中 , 可以 说积点成线 或 点 动 成 线、积 线 成 面 或 线 动 成 面、 积 面 为 体或 面 动 成 体 。 点线之间 、 线 面 之间 、 面 体 之间 都 具 有直 接 的 联 系 , 可以用点理解线 , 用 线理解 面 , 用 面 理解 体 。 而 顶 点和 射 线 作 为角的 构 成 要 素 , 与角 就不 具 备 类似 于此的 “ 包 含” 关 系 。 从 度量 的角 度 说 , 角的 度量系统 与线的长 度 的 度量系统 也 是 不 一 样 的 。 如 果 把角的概念 归 结 为 三 个 含 义 , 从意 义上 说 表示 方向的差 异 , 从 形 状 上 说 表示 两 条 射 线相 交 于一点 , 从 度量 上 说 表 , 那么 这个 系统 与点 、 线 、 面 、 程 度” 示张开的 “ 体 的 系统 就 具 有了相对的 独 立 性 。 一个 系统 中的概念用 另 外一个 系统 中的概念 来定 义 , 自 然 是 不 好 理 解 的 。 这 或 许 也 是 角 的 “ 弧度制 ” 产 生 的 原 因 。 角 的 弧 度 制 指 的 是 用 单 位圆 ( 半径 为 1 的 圆 ) 的 弧 长 作 为对 应 圆心 角的 大小。比如,如果 把 一 个 单 位 圆 平 均 分 为 4 份, π 那么 其中一 段 弧 长 就 是 2 π÷4= , 对 应 圆 心 角 2 的度数 为 3 6 0÷4=9 0 度。 在 研 究 问 题 的 时 候, 就经 常 用 弧 长 π 代 替 9 0 度 了。这 样 就 可 以 克 服 2 度量系统 不 一 致 的 困 难 了 。 ( 四 ) 相对无关性 角概念定义之 难 还 有一个 原因 , 是 缺 少 一个 相对的概念 帮助 理解 。 数学 中一些概念的定义是 依赖 于其相对概念的 。 比 如 负 数 的概念 , 首 先 理 , 而 且 与 正 数 意 义 相 反。 如 果 解为 “ 不是 正 数” 把 “ 收 入 ” 用 正 数 表 达, 那 么 “ 付 出” 就 是 负 数 。 如 果 把向 东 行走 的 路 程 用 正 数 表示 , 那么 向 西 行走 的 路 程 就 用 负 数 表 示 。 再 比 如 分 数 的 概 分 ” 是相对于 “ 没分 ” 而言 的 , 也 念 , 这里的 “

的 , 直 观 上 就 形成 了曲线 。 现行 义 务 教 育 数学 课 程 中的 平移 与 旋转 、 钟表 指 针 的 运动 方 式 、 折 线 统计图 、 圆 的 认 识等 内容都 与此相关 。 第二 方 面 是 认 识 “ 角的 构 成 要 素 及其相关 属 。 角的 构 成 要 素 包 括 顶 点 和 边 , 其 相 关 属 性 性” 是 边 的长 短 与角的 大 小 无关 。 这一点其 实 是 “ 角 的形 成 与 作 用 ” 自 然 的 推 论, 因 为 边 是 “ 直” 的 , 所 以 在 边 上的 运动就 是 不改变 方向的 , 因 此 对角的 大 小 是 没 有 影响 的 。 由 此 进 一 步说 明 了直 线中 “ 直 ” 的 含 义是 认 识 角的 基 础 。 。 第三方面 是 认 识 “ 角的 类 型 及其相关概念 ” 这方 面 的 内容 应 以 同 一 平 面 上两 条 直线的 位 置 关 系 作 为 认 知 基 础 。 两 条 直线如 果 是 平行 关 系 ( 包 , 就 表明 方向一 致 ; 如 果 是 垂 直关 系 , 就 括 重 合) 表明 这两 条 直线的方向是相 互 制 约 的 , 由 此 认 识 到 直角可 以 作 为 比 较 角 的 大 小 的 标 准 这 一 含 义 。 在 此 基 础 上 进 一 步认 识 锐 角 、 钝 角和 平 角 。 需 要 特别 指 出的是 , 平 角是对直线 “ 不改变 方向 ” 认 识 的 拓 展 。 有 了 平 角 概 念 , 就 可以理解一 条 直线 可以同时 表 达 两个 完全 相 反 的方向。 初 中 阶 段 的 “ 数轴” 其实就是两 条 射 线的 顶 点 在原 点 处 重 合 形 成一条直线,也就是构成 了 平 角, 正 半 轴 与 负 半 轴 分别表示两个相反的方向, 习 惯 上把 原 点 右 侧规 定 ,那么左侧就是与 “ 。 正” 正” 相反的 “ 负” 为 “ 。如前所 第四方面 是 认 识 “ 角 的 精 确 度 量” 述 , 角的 精 确 度量 是以 等 分圆 周 为 基 础 的 , 这 也 是把 “ 周 角 ” 叫做 “ 圆 周 角 ” 的 原因 。 其 认 知难 点在于 “ 为什么把圆周平均分为3 6 0 份 ” 这一 问 题 的理解 。 在小学 和 初 中 阶 段 可以 结 合 自然 界植 物 花卉 的特征以及 “ 因数 与 倍 数 ” 的 内容 帮助 理 ) 解 。( 见图 5

定 背 后 各 种 可 能 的 原因 。 第五方面是 逐 步 熟 悉 “ 角概念的延伸与应 。角概念延 伸 的 第 一 步 是 建 立 角 与 比 的 关 用” 系,进而应用到 “ 图形 的 全 等 与 相 似” 等 内 容 中;第二步是利用 线 段 长 度 的 比 建 立 三 角 函 数 的概念,而后应用到 “ 图 形 的 边 角 关 系” 以 及 “ 直线的 斜 率” 等 内 容 的 研 究 中; 第 三 步 是 用 运动的眼光拓展 角 的 理 解,进 而 建 立 一 般 三 角 函数的概念。在此 基 础 上 就 可 以 在 许 多 领 域 发 挥角的作用了。 课 程改 革 1 0 年 以 来,数 学 课 程 与 教 学 倡 导 数学 知 识 的教 学 应当 联 系 学生 的 生活 实际 , 这无 疑 对于 激 发 学生 的 学 习 动 机 以及更 好 地 理解 数学 知 识 是有 益 的 , 但 同时不 可 忽 视 数学 知 识 自身 逻 辑 体 系 对于 学生学 习 的重要性 。 建 构 主 义 学 习 理 论 倡 导 学生 的 学 习 应当 是 在 已 有的 知 识 和 经 验 的 基 础 上 主 动 建 构 的 过程 , 这 就意味着 “ 已有知识 和 经 验” 是 “ 主 动 建 构 ” 的 基 础 。 从 这个 意 义上 说 , 对 数学 课 程内容 关 联 性的 研究 不 仅仅 是对 数 学 知 识 自身 系统 中 逻辑 关 系 的 研究 , 同时也 是对 于 学生学 习 过程 的 研究 。 这 样 的 研究 应当 成 为 数 学 课 程 编制 与 实 施 的 基 础 。 美国 州 长 联 合 会 ( N a t i o n a l G o v e r n o r s A s     - ,NGA) 及 其 相 关 机 构 于 2 s o c i a t i o n 0 1 0年公布 了 美 国 有 史 以来 第 一 份 数学学 科和英 语 学 科 国 家 统 一的 课 程 标 准 。 其中 数学 课 程 标 准 命名 为 《 共 同核 心 州 立 数 学 标 准 ( C o mm o n  C o r e S t a t e   》( 以下 简 称 《 核心 S t a n d a r d s o r  M a t h e m a t i c s)   f [ 1 2] 》 ) 。 标准 为了 体现数学 课 程 内 容 不 同 层 次 的 关 ) ”和 联 性 ,《 核心 标 准 》 中 运 用了 “ 束 ( c l u s t e r “ ” 两 个 概 念。 其 中 “ 域 ( 束” 指 的 是 d o m a i n) 具 有直 接 联 系 的 不 同 知 识 点 , 比 如 前 面 论 及 的 “ 角” 与 “ 直角 ” 就 属 于 同 一 个 “ 束” 中。 “ 域” 指 的是更 大 范 围 内 具 有 直 接 或 间 接 联 系 的 内 容 。 “ ,这两个概念并不具有直接的联 角” 与 “ 比” 系 , 学生也不 可 能 同时学 习 这两个 内容 , 但 这两 个 知 识 点 应当 属 于 同 一个 “ 域 ” 内 。《 核心 标 准 》 中 还 特别 指 出 , 不同 束 以及 不同 域 之间 也会 存 在 着联 系 。 由 此可 见 , 重 视 数学 课 程 关 联 性的 研究 也 是 国 际 范 围 内 受 到 重 视 的 课题 。

图 5  花瓣分布图

图 5 的 三 幅花卉 图 案 中 花瓣 的 分 布 , 显 现 出 将 圆 周 三 等 分 、 四 等 分 和 五 等 分 的 现 象 。 而 3、 4、5 的最 小 公 倍 数 , 恰 好 是 1 0 0以内因数个数 最多的数 中 最 小 的 6 0。 结 合 前 面 所 说 的 内 容 或 许 可以 帮助 学生 理解 “ 圆 周 角为 3 6 0 度 ” 这一 规

中 国 科 学 院 西 双 版 纳 热带植 物 园 ” 拍摄 。 ① 图 5 中 三 幅 图 片 均 为本文 作者 于 “

·6 8·

参考文献 : / : / / [ 1] 瀚 堂 典 藏 数 据 库 系 统 [ D B O L] .h t t w w w. p /. h t u n . c n y g [ : 2]I s a a c B a r r o w. E u c l i d’ s E l e m e n t s [ M] .L o n d o n     P r i n t e d a n d S o l d b W. R e d m a n e . 1 7 1 4:1.       y  y [ 3]J M  W i l s o n . E l e m e n t a r G e o m e t r M] .L o n d o n   y  y [ :M a n d C a m b r i d e a c m i l l a n a n d C O . 1 8 6 8:4.       g [ ] 邹大海 . 从墨子 看 先 秦 时 期 的 几 何 知 识 [ ] 4 J .自 然 ) 科学史研究 , 2 0 1 0( 3 . [ ]W / : / / / / 5 i k i e d i a[ D B O L] .h t t e n . w i k i e d i a . o r w i k i p p p g A n l e . g [ ] 李忠 . 为什么要 使 用 弧 度 制 [ ] 6 J . 数 学 通 报 ,2 0 0 9 ( ) 1 1 . [ 7] R a n d S c h w a r t z a n d R h e t a R u b e n s t e i n.T h e B o w s         y   ] A r r o w s o f T r i o n o m e t r J .M a t h  H o r i z o n s, a n d       g y[

) :2 2 0 0 6.1 4( 1 6-2 7. [ / : / / / 8] 晚 清 文 献 数 据 库 [ D B O L] . h t t 2 1 8 . 1 . 1 1 6 . 1 0 0 p / ?b s h l i b _ t s d c s e a r c h R e s u l t D e t a i l s . d o a s e d a t a I d = 2 4 5 2 0 7 6 5 & n e e d F r = f a l s e & i n c F t = t r u e . [ ]S ,E ] 9 . G . T o l l e m a c h e H e a t l S Q [ J .J o u r n a l o t h e     y f  

S o c i e t o B e n a l,V o l . X I . P a r t I . J a n u a r A s i a t i c     y y f  g  
, J u n e 1 8 4 2:2 3 0. t o   [ ] 郜舒竹 . 数 学 术 语 的 隐 喻 歧 义 及 其 人 文 内 涵 [ ] 1 0 J . ) 课程 · 教材 · 教法 ,2 0 1 1( 2 . [ ]郜 舒 竹. “ 商 不 变”为 何 重 要 [ 1 1 J] .教 学 月 刊, / ) 2 0 1 1( 5 6 . [ ]C / 1 2 o mm o n C o r e S t a t e S t a n d a r d s I n i t i a t i v e[ D B O L] .         :/ / / h t t www . c o r e s t a n d a r d s . o r a b o u t t h e s t a n d - - - p g a r d s . ( 责任编辑 : 王维花 )

” V e w i n t h e C o h e r e n c e o f t h e C o n t e n t o f M a t h e m a t i c s f r o m t h e“ A n l e                 g g   ,WANG GAO S h u z h u, L I U  Y i n Z h i i u   -   -q g
( C o l l e e o P r i m a r E d u c a t i o n, C a i t a l  N o r m a l U n i v e r s i t B e i i n 0 0 0 4 8, C h i n a)     g f  y  p y, j g1

: :T A b s t r a c t h e s e c i f i c f e a t u r e o f t h e c o n c e t o f a n l e a n d r e l a t e d c o n t e n t s m a k e s t h e m i n d e e n d e n t                           p p g p ,w i n m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m.T h r o u h t h e s u r v e o f m a t h e m a t i c a l h i s t o r e f i n d t h a t t h e m a i n                     g y y   , o f a n l e i s t o d e s c r i b e t h e c h a n e o f d i r e c t i o n. A s a r e s u l t a l l c o n t e n t s r e l a t e d w i t h d i r e c t i o n f u n c t i o n                               g g a r e c o n n e c t e d w i t h a n l e .T o v i e w t h e m e a s u r e m e n t a n d d e f i n i t i o n o f a n l e f r o m t h e h i s t o r i c a l                           g g , , e r s e c t i v e w e c h o u l d f i n d t h e f a c t o r s o f h u m a n i t i e s a n d c o n i t i v e o b s t a c l e s o f a n l e w h i c h i s                         p p g g f o r t h e o f m a t h e m a t i c s h i s t o r i n t o m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m. h e l f u l e n e t r a t i n               y p p g     : ; ; ; K e w o r d sa n l e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m c o h e r e n c e m a t h e m a t i c a l h i s t o r     g y y  

·6 9·


相关文章:
《从你的全世界路过》
你的全世界路过》_随笔_生活休闲。推荐词内容简介: 《你的全世界路过》是微博上最会写故事的人张嘉佳献给你的心动故事。 最初以“睡前故事”系列的名义在...
从《黄帝内经》看职场人的养生之道答案
《黄帝内经》看职场人的养生之道答案_中医中药_医药卫生_专业资料。《黄帝内经》看职场人的养生之道 关闭 ? ? ? 1 2 3.课后测试 课后测试如果您对课程...
读从你的全世界路过有感
你的全世界路过有感_职业规划_求职/职场_实用文档。读你的全世界路过有感 张嘉佳说: “我写这本书的目的不是为了解决问题,而是为了找出问题。 ”书里的...
第四节 从旺格与取用
第四节 旺格与取用_天文/地理_自然科学_专业资料。第四节 旺格与取用 所谓旺格就是日干太旺,命局全是比劫印星,没有官杀财星,或有两三点官杀财星...
从你的全世界路过读书报告
五.你已经把曾经深深爱你的人,记事本里划掉了吧,你已经 被自己深深爱着的人,记事本里划掉了吧,你已经在很多个记事本 里, 被划掉了吧, 你已经把划掉的...
广州广从线路站点
广州广线路站点_表格类模板_表格/模板_实用文档。2013.10.9广州广 1 线化线路 广州汽车站 05:30--22:00|化汽车站 05:30--21:00 分段收费, 全程...
化工原理平时作业习题答案
2 分析:此题考察的是运用柏努力方程求算管路系统所要求的有效功率把整个 统分成两部分来处理,槽面到真空表段的吸入管和真空表到排出口段的 出管,在两段...
更多相关标签:
从零开始的异世界生活 | | 从前有座灵剑山 | 从仙侠世界归来 | 从岛主到国王 | 从零开始 | 从零 | 从姓 |