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高考总复习曲线运动、运动的合成与分解


考纲要求 运动的合成与分解

考纲解读

运动的合成与分解是研究曲线运动的基 Ⅱ 本方法,为抛体运动、类平抛运动的研究提 供了理论基础,同时也是高考命题的重点.
平抛运动的规律及其研究方法是重点内 容,是进一步学习运动电荷在电场中运动的 Ⅱ 基础,也是高考的热点内容.常与静电场、 能量、直线运动、圆周运动等知识相结合.

抛体运动

匀速圆周运动、角速度 、线速度、向心加速度 Ⅰ 匀速圆周运动的向心力 Ⅱ 离心现象 Ⅰ

高考对本部分内容要求较高,考题多与 机械能、电场、磁场等知识综合,考查的形 式多样化,各种题型都有涉及,复习时应注 重曲线运动特别是圆周运动与生产、生活、 高科技的联系.

考纲要求 万有引力定律及其应用 Ⅱ 环绕速度 Ⅱ 第二宇宙速度和第三宇 宙速度 Ⅰ 经典时空观和相对论时 空观 Ⅰ

考纲解读 天体运动的学习是圆周运动和牛顿运动 定律的应用和延伸,万有引力定律与牛顿运 动定律结合分析天体、人造卫星、宇宙飞船 、航天飞机的运动问题,估算天体的质量和 密度问题,反映了物理学与现代科技发展的 密切联系,是每年高考的命题热点.

说明:斜抛运动只作定性要求

(对应学生用书P58) 一、运动的合成与分解(Ⅱ) 1.曲线运动 (1)曲线运动的特点 在曲线运动中,运动质点在某一点的瞬时速度的方向就是通过曲

线的这一点的切线方向,因此,质点在曲线运动中速度的方向时刻在变
直线运动中速度大小变化时也是变速运动.

化. 所以曲线运动一定是变速运动,但是,变速运动不一定是曲线运动,

(2)做曲线运动的条件 ①从运动学角度,物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线 上时,物体就做曲线运动. ②从动力学角度,如果物体所受合外力的方向跟物体的速度方向 不在同一条直线上时,物体就做曲线运动. (3)曲线运动的分类

问题探究1 动吗? [ 提示 ]

曲线运动一定是变速运动吗?变速运动一定是曲线运

曲线运动一定是变速运动,至少速度的方向在时刻改变,

而变速运动不一定是曲线运动,如匀变速直线运动.

2.运动的合成与分解 (1)基本概念

(2)分解原则 根据运动的实际效果分解,也可采用正交分解. (3)遵循的规律 位移、速度、加速度都是矢量,故它们的合成与分解都遵循平行

四边形定则.

问题探究2 [ 提示 ]

合运动的速度一定大于分运动的速度吗?

不一定,由于合运动的速度与各分速度的关系遵循平行

四边形定则,当两分速度的夹角小于等于90°时,合速度大于分速度; 当两分速度的夹角大于90°时,合速度有可能小于分速度. 问题探究3 [ 提示 ] 为什么要进行运动的合成和分解? 跟力的合成和分解一样,运动的合成和分解也是为了研

究问题的方便而采取的一种等效替代的研究方法 . 即把复杂运动用几个 简单的运动来代替,即“化曲取直”. 把简单运动的位移、速度或加速

度研究清楚了,那么运用矢量合成法则复杂运动的位移、速度、加速度
等等就明确了.

(对应学生用书P59)
要点一 对曲线运动的进一步理解 1.合力方向与轨迹的关系

物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间,速度
方向与轨迹相切,合力方向指向轨迹的“凹”侧.

2.速率变化情况判断 合力沿切线方向的分力改变速度的大小,沿径向的分力改变速度 的方向,如下图所示的两个情景.

(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时,物体运动的速率将增

大;
(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时,物体运动的速率将减 小;

(3)当合力方向与速度方向垂直时,物体运动的速率不变.

如右图所示,汽车在一段弯曲水平路面上匀速行驶,关于它受的 水平方向的作用力的示意图如下图所示,其中可能正确的是(图中F为牵 引力,Ff为它行驶时所受阻力)( )

[解析]

汽车行驶时所受阻力Ff总与该时刻它的速度方向相反,故

D错误 . 做曲线运动的物体所受合力的方向不仅与其速度方向成一角度, 而且总是指向曲线的凹侧,A、B两选项中F与Ff的合力方向都不满足这 一条件,只有 C选项中 F与 Ff的合力方向指向曲线的凹侧,且可能垂直 于速度的方向,所以C正确. [答案] C

要点二

合运动与分运动

1.合运动与分运动的关系 (1)运动的独立性 一个物体同时参与两个 ( 或多个 ) 运动,其中的任何一个运动并不 会受其他分运动的干扰,而保持其运动性质不变,这就是运动的独立性 原理.虽然各分运动互不干扰,但是它们共同决定合运动的性质和轨 迹. (2)运动的等时性

各个分运动与合运动总是同时开始,同时结束,经历时间相等(不
同时的运动不能合成). (3)运动的等效性

各分运动叠加起来与合运动有相同的效果.

(4)运动的同一性 各分运动与合运动,是指同一物体参与的分运动和实际发生的运 动,不是几个不同物体发生的不同运动.

2.合运动的性质和轨迹 两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动取决 于它们的合速度和合加速度方向是否共线(如图所示). 常见的类型有: (1)a=0:匀速直线运动或静止. (2)a恒定:性质为匀变速运动,分为: ①v、a同向,匀加速直线运动; ②v、a反向,匀减速直线运动;

③v、a互成角度,匀变速曲线运动 (轨迹在v、a之间,和速度v的
方向相切,方向逐渐向a的方向接近,但不可能达到). (3)a 变化:性质为变加速运动.如简谐运动,加速度大小、方向

都随时间变化.

(2010·江苏高考 )如右图所示,一块橡皮用细线悬挂于 O点,用铅 笔靠着线的左侧水平向右匀速移动,运动中始终保持悬线竖直,则橡皮 运动的速度( ) A.大小和方向均不变 B.大小不变,方向改变 C.大小改变,方向不变 D.大小和方向均改变

[ 解析 ]

本题考查运动的合成与分解,意在考查考生处理实际运

动问题的能力;本题橡皮参与了两个分运动,一个是沿水平方向与铅笔 速度一样的匀速直线运动,另一个是竖直方向上与铅笔移动速度大小相 故选项A正确.答案为A. [答案] A

等的匀速直线运动,这两个直线运动的合运动是斜向上的匀速直线运动,

(对应学生用书P59)

题型一

运动的合成

(1)判定曲线轨迹可从以下三个方面入手:①初始状态和受力情况,

合外力指向曲率中心,可知曲线弯曲方向与合外力的关系;②速度、加
③列轨迹方程,利用数形结合思想判断.

速度矢量分析:根据运动合成与分解的平行四边形定则,作矢量图判断;

(2)研究曲线运动的思维过程
等效 等效 (欲知)曲线运动规律 ――→ (只需研究 )两分运动规律 ――→ (得知)曲 分解 合成 线运动规律.

例1

(2011· 汕头模拟 ) 如右图所示,红蜡块能在玻璃管里的水中 )

匀速上升,若红蜡块在 A点匀速上升的同时,使玻璃管水平向右做匀加 速直线运动,则红蜡块实际运动的轨迹是图中的( A.直线P C.曲线R [尝试解答] B.曲线Q D.无法确定 解法一:受力分析 红蜡块竖直方向匀速,即G=F

浮.所以,相当于只受玻璃管侧壁向右的弹力 F,且与初速度的方向垂直,

蜡块做曲线运动; F向右,曲线的曲率中心在右方,曲线向右弯曲,故
为曲线Q.

解法二:位移分析 在运动中取相同、连续两段时间. 竖直方向分运动匀速,位移相等,y轴上间距相等;水平方向分运 动匀加速,位移逐渐变大, x轴间距变大,可以作间距相等的水平线, 与图线相交,过交点作x轴的垂线,x的间距变大的是曲线Q,如右图所 示.

解法三:速度分析

vy v0 设 v与水平方向的夹角为 θ,则 tanθ= = , vx at 实际运动加速度方向,即水平运动的加速

因为 at不断增大, θ不断变小,曲线切线斜率不断变小,只有曲线 Q. 解法四:加速度分析 度方向 ——水平向右.在不同轨迹上取两个相邻点的切线表示速度, 用矢量作图法表示速度变化 Δv, Δv的方向和加速度 a的方向相同,应 向右,即为曲线 Q.

[答案]

B

(2011·上海市闸北区调研考试 )质量为2 kg的质点在x-y平面上做 曲线运动,在x方向的速度图象和y方向的位移图象如下图所示,下列说 法正确的是( ) A.质点的初速度为5 m/s B.质点所受的合外力为3 N C.质点初速度的方向与合外力方向垂直 D.2 s末质点速度大小为6 m/s

[解析]

由 x方向的速度图象可知,在 x方向的加速度为 1.5

m/s2,

受力 Fx= 3 N,由 y方向的位移图象可知在 y方向做匀速直线运动,速度 为 vy= 4 m/s,受力 Fy= 0. 因此质点的初速度为 5 m/s, A选项正确;受 到的合外力为 3 N, B选项正确;显然,质点初速度方向与合外力方向 不垂直, C选项错误; 2 s末质点速度应该为 v= m/s, D选项错误. 62+ 42 m/s= 2 13

[答案]

AB

题型二

运动的分解

(1)“关联”速度问题 “关联 ”速度问题是运动的分解中较为难以理解的一种,如图所 示,一人在岸边通过一滑轮拉一小船,很显然,人在岸边拉绳,产生了 两个效果,相当于有两个分运动,一个是使连结船的绳子 OB变短了, 相当于有一个沿 BO方向拉绳子的运动,由于绳子不可伸长,故人拉绳 子的快慢与OB段缩短的快慢相同;

另一个效果使θ角变小了,这个效果相当于按住 O点不动,使绳头 B点绕O点做圆周运动,且这两个分运动互不影响,沿BO方向拉绳的分 符合分运动的独立性原则,因此把拉船的绳头B的速度 v(小船实际运动 速度,即合速度)分解为沿绳速度v2和垂直绳的速度v1,且v2等于人拉绳 的速度. (2)轮船渡河问题 方法一:将轮船渡河的运动看作水流的运动 ( 水冲船的运动 ) 和轮

运动不会改变 θ角的大小,而按住O点的圆周运动又不会使 BO段绳变短,

船相对水的运动(即设水不流动时船的运动)的合运动

方法二:将船对水的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分 v2sinθ为轮船垂直于河岸方向的运动速度.

解,如右图所示,则 (v1- v2cosθ) 为轮船实际上沿水流方向的运动速度,

①要使船垂直横渡,则应使 v1-v2cosθ=0,此时渡河位移最小, 为d;(此时要求v2>v1)

②要使船渡河时间最短,则应使v2sinθ最大,即当θ=90°时,渡
河时间最短,为t=d/v2. ③由上面分析可知,渡河位移最小时,时间不是最短;而时间最

短时,位移不是最小.

例2

如下图所示,用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重

物M,长杆的一端放在地面上通过铰链联结形成转轴,其端点恰好处于 左侧滑轮正下方 O点处,在杆的中点 C处拴一细绳,通过两个滑轮后挂 上重物M.C点与O点距离为l,现在杆的另一端用力,使其逆时针匀速转 动,由竖直位置以角速度ω缓缓转至水平(转过了90°角). 下列有关此过 程的说法中正确的是( ) A.重物做匀速直线运动 B.重物M做匀变速直线运动

C.重物M的最大速度是ωl
D.重物M的速度先减小后增大

[思路诱导] [尝试解答]

(1)杆上C点的线速度为vC=ωl 由题知,C点的速度大小为 vC=ωl,设vC与绳之间的

(2)与C点相连结的绳头的速度应如何分解? 夹角为 θ,把 vC沿绳和垂直绳方向分解可得,v绳= vCcosθ,在转动过程 其最大速度为ωl,C正确. [答案] C

中θ先减小到零再反向增大,故v绳先增大后减小,重物M做变加速运动,

如右图所示,沿竖直杆以速度v匀速下滑的物体A通过轻质细绳拉 光滑水平面上的物体 B ,细绳与竖直杆间的夹角为 θ ,则以下说法正确 的是( ) A.物体B向右匀速运动 B.物体B向右匀加速运动 C.细绳对A的拉力逐渐变小 D.细绳对B的拉力逐渐变大

[解析]

由于A、B两物体沿绳子方向速度大小相等,则有vcosθ=

vB ,随 θ 的减小 vB 逐渐增大,且由余弦曲线的变化规律可知, B的加速 度逐渐减小,所以细绳对 B的拉力逐渐变小,由牛顿第三定律可知细绳 对A的拉力逐渐变小,故C项正确. [答案] C

例3

(13分)(2010·海门模拟)小船匀速横渡一条河流.若船头垂直

于对岸航行,在出发后10 min到达对岸下游120 m处;若船头保持与河 岸成α角向上游航行,出发后12.5 min到达正对岸.求: (1)水流的速度; (2)船在静水中的速度; (3)河的宽度; (4)船头与河岸间的夹角α. [ 思路诱导 ] 小船渡河问题,主要说明水的流速和船在静水中的

速度是分速度,而船在河中的实际速度是合速度,也是其合运动.

[解题样板]

船头垂直于对岸航行时,如右图所示.

因为 x= v2t1(2分 ) x 120 所以水的流速 v2= = m/s= 0.2 m/s(1分 ) t1 10×60 而且有 d= ________① 船头保持与岸成 α角航行时,如右图所示. v2= v1cosα② (2分 ) d= ________③ (2分 )

由 ①③式得: 10×60 sinα= ________= = 0.8(2分 ) 12.5×60 所以 α= 53° (1分 )

v2 1 由②得:v1= = m/s(1分 ) cosα 3 d= ________=200 m. (2分)
[答案] v1t1 v1t2sinα t t2 v1t1

如何进行运动的分解,是一个难点,首先要找到合速度,合速度

就是物体的实际速度 . 进行分解的一个原则是根据运动的实际效果分解,

再一个就是正交分解,还要注意两分运动的等时性、独立性、等效性.

(对应学生用书P61) 易错点:找不准合运动、分运动,造成速度分解错误
如图所示,人在岸上拉船,已知船的质量为 m,水的阻力恒为 f, 当轻绳与水平面的夹角为 θ时,船的速度为 v,此时人的拉力大小为 F, 则此时 ( ) A.人拉绳行走的速度为 vcosθ B.人拉绳行走的速度为 v/cosθ Fcosθ- f C.船的加速度为 m F- f D.船的加速度为 m

[易错分析]

错解 1:人拉绳行走的速度即绳的速度,错误地采用

力的分解定则,将人拉绳行走的速度按图甲所示进行分解,水平分速 度为船的速度,得人拉绳行走的速度为 v/cosθ,错选B项. 错解 2:错误地认为绳作用于船的拉力的水平分力即为 F,因此有 a F- f = ,错选 D项. m

[正确解答]

船的速度产生了两个效果:一是滑轮与船间的绳缩

短,二是绳绕滑轮顺时针转动,因此将船的速度进行分解如上图乙所 示,人拉绳行走的速度 v人= vcosθ, A对 B错;绳对船的拉力等于人拉 绳的力,即绳的拉力大小为 F,与水平方向成 θ角,因此 Fcosθ- f= Fcosθ- f ma,得 a= , C对 D错.答案为 AC. m

如图所示,质量为 M的小球 A固定在一根长为 L的可绕 O轴自由转 动的轻质杆的端点,同时又通过绳跨过光滑定滑轮与质量为 m的小球 B 相连.若将小球A由杆水平状态开始释放,不计摩擦,竖直绳足够长, 则当杆转动到竖直位置时,小球B的速度是多大?

[解析]

轻杆转到竖直位置时, A球下落高度为 L,绳与竖直方向

成 45° 角, B球上升的高度为 h= 2L① 设此时 A球、 B球的速度分别为 vA、 vB,有 vA= 2vB② 在整个运动过程中,由机械能守恒有 1 1 2 MgL- mg 2L= Mv2 + mv ③ 2 A 2 B 由以上三式得出 B球的速度 vB=
[答案]

? M- 2m? 2gL . ?2M+ m?
? M- 2m? 2gL ?2M+m?

(对应学生用书P61)
1.一质点在某段时间内做曲线运动,则这段时间内( A.速度一定在不断地改变,加速度也一定不断地改变 )

B.速度一定在不断地改变,加速度可以不变
C.速度可以不变,加速度一定在不断地改变 D.速度可以不变,加速度也可以不变

[ 解析 ]
[答案]

做曲线运动的物体速度方向一定在不断地改变,但加速
B

度可以不变,如平抛运动.故选项B正确.

2.物体在光滑水平面上受三个水平恒力(不共线)作用处于平衡状 物体将( )

态,如右图所示,当把其中一个水平恒力撤去时 (其余两个力保持不变 ), A.物体一定做匀加速直线运动 B.物体可能做匀变速直线运动 C.物体可能做曲线运动 D.物体一定做曲线运动

[ 解析 ]

物体原来受三个力作用处于平衡状态,现在去掉其中一

个力,则剩下两个力的合力与去掉的力等大反向,即去掉一个力后,合 力为恒力,如果物体原来静止,则去掉力后将做匀加速直线运动,选项 B正确;如果物体原来做匀速直线运动,去掉力后,若速度与合力不共 线,则物体做曲线运动,若速度与合力共线,则物体将做匀变速直线运 动,选项A、D错,C正确. [答案] BC

3 . (2011· 珠江质检 ) 如下图某人游珠江,他以一定速度面部始终 垂直江岸向对岸游去. 江中各处水流速度相等,他游过的路程、过江所 用的时间与水速的关系是( ) A.水速大时,路程长,时间长 B.水速大时,路程长,时间短 C.水速大时,路程长,时间不变 D.路程、时间与水速无关
[解析] 游泳者相对于岸的速度为他相对于水的速度和水流速度的 合速度,水流速度越大,其合速度与岸的夹角越小,路程越长,但过 d 江时间 t= ,与水速无关,故 A、 B、 D均错误, C正确. v人 [答案] C

4. (2011· 温州五校联考 )民族运动会上有一个骑射项目,运动员骑 在奔驰的马背上,弯弓放箭射向一侧的固定目标 . 假设运动员骑马奔驰 的速度为 v1,运动员静止时射出的箭速度为 v2,跑道离固定目标的最近 距离为 d. 要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短,则 ( v1 A.运动员放箭处离目标的距离为 d v2
2 v2 1+ v2 B.运动员放箭处离目标的距离为 d v2

)

d C.箭射到靶的最短时间为 v2 d D.箭射到靶的最短时间为 2 v2- v2 1

[解析]

如图,则运动员放箭处离目标距离
2 v2 d 1+ v2 = d v2 v2 2 v2 1+ v2

d x= = sinθ

d A错误,B正确.最短时间 t= , C正确, D错误. v2

[答案]

BC


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