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2014届高考人教B版数学一轮复习方案课时作业 第32讲 数列的综合应用 Word版含答案]


课时作业(三十二) [第 32 讲 数列的综合应用] (时间:45 分钟 分值:100 分) 基础热身

[中教网]

1.[教材改编试题] 已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 等 于( ) A.-4 B.-6 C.-8 D.-10 2.某放射性物质的质量每天衰减 3%,若此物质衰减到其质量的一半以

下,则至少需要 的天数是(参考数据 lg0.97=-0.013 2,lg0.5=-0.301 0)( A.22 B.23 C.24 D.25 3.在数列{an}中,a1=2,当 n 为正奇数时,an+1=an+2,当 n 为正偶数时,an+1=2an, 则 a6=( ) D.23 )

A.11 B.17 C.22

1 4.[2012·长春调研] 各项都是正数的等比数列{an}中,3a1, a3,2a2 成等差数列,则 2

a10+a12 =( a8+a10

)

A.1 B.3 C.6 D.9

能力提升 5.已知数列{an}中,a1=-1,an+1·an=an+1-an,则数列通项 an=( A. 1 )

n

2 B.

n n

1 2 C.- D.-

n

6.[2012·红河州检测] 若一等差数列{an}的首项 a1=-5,其前 11 项的平均值为 5, 又若从中抽取一项,余下的 10 项的平均值为 4,则抽去的是( A.a8 B.a9 C.a10 D.a11
[中*国教*育 出*版 网]

)

3 1 7.已知数列{an}中,a1= ,an=1- (n≥2),则 a2 012=( 5 an-1 1 2 A.- B.- 2 3 C. 3 5 D. 5 2

)

8.[2012·开封模拟] 已知数列{an}满足 a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N ),它的前 n 项和为 Sn,则满足 Sn>1 025 的最小 n 值是( A.9 B.10 C.11 D.12 )

*

1 5 3 9. [2012·郑州检测] 已知函数 f(x)= x +x +4x(x∈R), 数列{an}是等差数列, a3>0, 5 则 f(a1)+f(a3)+f(a5)的值( A.恒为正数 B.恒为负数 )

C.恒为 0 D.可正可负 10.某厂在 2011 年底制订生产计划,要使 2021 年底的总产量在原有基础上翻两番,则 年平均增长率为________. 11.已知数列{an}中,a201=2,an+an+1=0(n∈N+),则 a2 012=________. 12.[2012·日照一中月考] 已知实数 a,b,c,d 成等比数列,对于函数 y=lnx-x, 当 x=b 时取到极大值 c,则 ad 等于________. 13.[2012·济南模拟] 观察下列等式: 1=1, 2+3+4=9, 3+4+5+6+7=25, 4+5+6+7+8+9+10=49, …… 照 此 规 律 , 第

n









________________________________________________________________________. 14.(10 分)[2012·红河州检测] 已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,

a9 成等比数列.
(1)求数列{an}的通项;
[zzstep.com]

(2)求数列{2an+n}的前 n 项和 Sn.

15.(13 分)[2013·惠州一中二调] 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,对任意的 n∈N+,都 有 Sn=(m+1)-man(m 为正常数). (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)数列{bn}满足 b1=2a1,bn= (n≥2,n∈N+),求数列{bn}的通项公式; 1+bn-1

bn-1

?2 (3)在满足(2)的条件下,求数列? ?

n+1

bn

? ?的前 n 项和 Tn. ?

难点突破 16. (12 分)[2012·江西八校联考] 已知等差数列{an}的首项为正整数, 公差为正偶数, 且 a5≥10,S15<255. (1)求通项 an; (2)若数列 a1,a3,ab1,ab2,ab3,…,abn,…,成等比数列,试找出所有的 n∈N ,使
*
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bn-1 cn= 为正整数,说明你的理由.
4

课时作业(三十二) 【基础热身】 1.B [解析] ∵a1a4=a3,∴(a2-2)(a2+4)=(a2+2) .∴2a2=-12.∴a2=-6. lg0.5 n 2.B [解析] 依题意有(1-3%) <0.5,所以 n> ≈22.8.故选 B. lg0.97 3.C [解析] 逐项计算得该数列的前 6 项依次为:2,4,8,10,20,22,故选 C. 4.D [解析] 由已知 a3=3a1+2a2,于是 q =3+2q,由数列各项都是正数,解得 q=3, 所以
2 2 2

a10+a12 2 =q =9.故选 D. a8+a10
【能力提升】 5.C [解析] 已知变形为 1

an+1 an

1 1 - =-1,设 bn= ,则{bn}是等差数列,b1=-1,bn

an

1 =-1+(n-1)×(-1)=-n,所以 an=- .故选 C.

n

11×10 6.D [解析] S11=11a1+ d=11×5,可得 d=2.由 S11-an=40,得 an=15,即 2

an=a1+(n-1)d=15.∴n=11.故选 D.
2 5 3 2 7.B [解析] 由递推公式得 a2=- ,a3= ,a4= ,a5=- ,…,所以数列{an}是周 3 2 5 3 2 期数列,周期为 3,于是 a2 012=a2 010+2=a2=- .故选 B. 3 8.C [解析] ∵log2an+1=log2an+1,∴log2
n

an+1 an+1 =1,∴ =2,所以,数列{an}是以 an an

1-2 n n 10 11 1 为首项,公比为 2 的等比数列,所以 Sn= =2 -1>1 025,∴2 >1 026.又 2 <1 026<2 , 1-2 ∴n>10,∴nmin=11.故选 C. 9.A 1 5 3 [解析] 因为函数 f(x)= x +x +4x 是奇函数且在(-∞,+∞)上是增函数,所 5

以 f(a3)>f(0)=0, 又数列{an}是等差数列, 所以 a1+a5=2a3>0,∴a1>-a5, 所以 f(a1)>f(-

a5),即 f(a1)+f(a5)>0,所以 f(a1)+f(a3)+f(a5)>0.故选 A.
10. 10 10 4-1 4-1. [解析] 由已知得 an+1=-an,所以 a202=-2,a203=2,a204=-2,…,可以 [解析] 令 2011 年底的产量为 1, 则 2021 年底的产量为 4, 则(1+x) =4,
10

所以 x=

11.-2

看出,奇数项为 2,偶数项为-2,所以 a2 012=-2. 1 1-x 12. -1 [解析] 对函数求导得 y′= -1= (x∈(0, +∞)), 当 0<x<1 时, y′>0,

x

x

当 x>1 时,y′<0,所以当 x=1 时,函数有极大值为 y=ln1-1=-1,所以 b=1,c=-1. 因为实数 a,b,c,d 成等比数列,所以 ad=bc=-1. 13.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)
2

[解析] 依题意,等式的第一项依

次为 1,2,3,…,由此知等式的第 n 项为 n;最后一项为 1,4,7,10,…,由此知最后 一项为 3n-2.于是,第 n 个等式为 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1) . 故填 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1) . 14.解:(1)由题设知公差 d≠0,
[中教网]

2

2

1+2d 1+8d 由 a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列得 = , 1 1+2d 解得 d=1 或 d=0(舍去),故 an=1+(n-1)=n. (2)由(1)知 2an=2 ,所以数列{2an+n}的前 n 项和
n

n(n+1) Sn=(2+22+23+…+2n)+(1+2+3+4+…+n)=2n+1+ -2.
2 15.解:(1)证明:当 n=1 时,a1=S1=(m+1)-ma1, 解得 a1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=man-1-man, 即(1+m)an=man-1. 又 m 为常数,且 m>0,∴

an m = (n≥2). an-1 1+m m

∴数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数列. 1+m (2)b1=2a1=2.

bn-1 1 1 ∵bn= ,∴ = +1, 1+bn-1 bn bn-1
1 1 即 - =1(n≥2).

bn bn-1

?1? 1 ∴? ?是首项为 ,公差为 1 的等差数列. 2 ?bn?

1 1 2n-1 ∴ = +(n-1)·1= , bn 2 2 即 bn= 2 * (n∈N ). 2n-1
n+1

2 2 n (3)由(2)知 bn= ,则 =2 (2n-1). 2n-1 bn 2 2 2 2 2 所以 Tn= + + +…+ +
2 3 4

n

n+1

b1 b2 b3
2

bn-1

bn


n-1

即 Tn=2 ×1+2 ×3+2 ×5+…+2

1

3

×(2n-3)+2 ×(2n-1),①

n

则 2Tn=2 ×1+2 ×3+2 ×5+…+2 ×(2n-3)+2 ②-①得 Tn=2 故 Tn=2 =2
n+1 n+1 n+1

2

3

4

n

n+1

×(2n-1),②

[中国教育出版网 zz step.c om]

×(2n-1)-2-2 -2 -…-2
3

3

4

n+1



2 (1-2 ) ×(2n-1)-2- 1-2

n-1

×(2n-3)+6.

【难点突破】 16.解:(1)因为 S15=15a8,设{an}的公差为 d,则有? 由①得-a1-4d≤-10,③ 7 ②+③有 3d<7?d< ,所以 d=2. 3 将 d=2 代入①、②有 a1≥2 且 a1<3,所以 a1=2. 故 an=2+(n-1)×2,即 an=2n(n∈N ). (2)由(1)可知 a1=2,a3=6,∴公比 q= =3,
*

? ?a1+4d≥10,① ?a1+7d<17,② ?

a3 a1

abn=2·3(n+2)-1=2·3n+1.
又 abn=a1+(bn-1)×2=2bn, ∴2·3
n+1

=2bn,即 bn=3

n+1

3 ,故 cn=

n+1

-1 . 4

此时当 n=1,3,5 时符合要求;当 n=2,4 时不符合要求. 由此可猜想:当且仅当 n=2k-1,k∈N 时,cn 为正整数. 证明如下: 1 1-3 1 2 n 逆用等比数列的前 n 项和公式有:cn= × = (1+3+3 +…+3 ). 2 1-3 2 当 n=2k,k∈N 时,上式括号内为奇数个奇数之和,为奇数,此时 cn?N ; 当 n=2k-1,k∈N 时,上式括号内为偶数个奇数之和,为偶数,此时 cn∈N . 故满足要求的所有 n 为 n=2k-1,k∈N .
*
[中国教育出版网 zzstep .com]

*

n+1

*

*

*

*


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