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专题3平衡问题探骊


第 33 卷 第 8 期 2004 年 8 月 中学物理教学参考 Physics Teaching in M iddle Schools Vol . 33 N o. 8 Aug. 2004 竞赛辅导 专题 3 教你一手 平衡问题探骊 沈 晨 弧长 MN , 则蛋在图 3- 2 中虚线所示位置 . 该 图中 , C 为 蛋的质心 , 偏转后 的质心位 置在 Cc, O 为碗球心 , A、 B 分别是 弧 长MN 所 物体平衡的种类依稍微偏离平衡位置后是否能在 原位置保持平衡而分为 稳定平 衡与不 稳定平 衡 , 能在 随机位置保持平衡的则 称随遇 平衡 . 控制物 体的 不同 平衡态势 , 增大物体 平衡的稳 度是有 趣又有 实际 意义 的事 . 怎样甄别物体平衡的种类呢 ? 以处于重力场的物 体在重力和支持力作用 下的平 衡为例 , 一般 操作 步骤 是: 1 . 设计一个元过程 , 即设想对物体施一微扰 , 使之 稍偏离原平衡位置 ; 2 . 从能量角度考察受扰动后物体质心位置 的高度 变化 , 根据质心是升高、 降低还是不变来判断物体原本 是稳定平衡、 不稳定平衡或是随遇平衡 ; 或从受力角度 考察受扰动后重力作用 点的侧 移量 , 即重力 对扰 动后 新支点的力臂 , 从而 判断物体 原来的 平衡态 属于 哪一 种 . 这里 , 仅是问题切入的视角不同 , 但殊途同归 , 结论 是一致的 , 故可依问题的具体情况 , 择简而从 ; 3 . 为比较扰动前 后物体 的受 力与 态势 , 要做 出直 观明晰的图 示 ; 由于 对微扰 元过程 作的是/ 低 细节0 的 描述 , 故常需运用合理的近似这一数学处理手 段 . 例 1 如图 3- 1 所示 , 一个熟鸡 蛋的圆、 尖 两端 的 曲率 半径 分 别为 a、 b , 且长 轴的 长度 为 l, 蛋 圆 的一 端可以在不光滑的 水平面上稳定直 立 . 求蛋尖 的一 端 可以 在一 个 半球 形的碗 内稳 定地 直 立时 , 碗 的 半径 r 需满足的条件 . 分析与解 因蛋圆一端 在水平 图 3-1 对蛋尖圆和碗球 的 圆 心 角 , 即 MN = rB= bA, 其 他几 何关系如图所示 . 解法 一 考 察质心位置高低 变化 图 3- 2 要满足蛋尖端在 球形碗内 有稳 定平 衡 , 应 证明 图 3- 2 中的 Cc位置高于 C 位置 , 即需满足 A- B > CM , 2 在微扰的情况下 , A、 B 都是小 量 , 故有如下很 好的 CcMccos ( A- B) + NM 近似 R cos ( A- B) + rB 即 rB A- B > R, 2 A- B A- B > R[ 1- cos ( A- B) ] = 2R sin2 . 2 2 利用小角度的情况下 , sin A U A, sin B U B, 且注 意 到 rB= bA, 则有 A- B A- B 2 bR rB > 2 R( ) , 整理得 r < . 2 2 R- b 由题给条件知 R > l - a, 故有 bR b b b( l - a) r< = < = . R- b b b l- a- b 11R l- a 这就是说 , 碗的球半径尺寸不能太大 , 应满足 条件 b ( l - a) . l- a- b 解法二 考察质心位置侧 移量 欲满足蛋保持稳 定平衡 的条件 , 重力 对支 持点 N 的力矩应可使蛋返回原处 , 故应有 为 r< 即 Cc Mcsin ( A- B) < MN

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