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高三数学第二学期数学综合练习2


上大附中高三第二学期数学综合练习 2
班级 学号 姓名 成绩

(本试卷共有 21 题,满分 120 分,时间 90 分钟) 一、填空题(本大题共 12 小题,每题 4 分,满分 48 分)
1.已知 f(x)为奇函数,且当 x>0 时 f(x)=x(x–1),则 f(–3)= 2.关于 x 的不等式: .

x 1 x x

<2 的解是

.

3.设

Sn ?an ?是公比 q ? 0 的等比数列, S n 是它的前 n 项和,若 lim n ??
.

? 9 ,则此数列的首项 a1

的取值范围是

4.从三名男同学和 n 名女同学中任选三人参加一场辩论赛,已知三人中至少有一人是女生的概率是 则n= .

34 35

5. 关于 x、 y 的二元线性方程组 ?

?2 x ? m y ? 5 ?nx ? 3 y ? 2

的增广矩阵经过变换, 最后得到的矩阵为 ?

?1 0 3 ? ?0 1 1? ?, ? ?

则?

? m? ?n? ?? ? ?
6

.

6.在 (ax ? 1) 的二项展开式中,若中间项的系数是 160 ,则实数 a ?

. . . .

2) ,则直线 bx ? 3ay ? 5 ? 0 的倾斜角为 7.若直线 ax ? by ? 1 的法向量为 (1,
8.已知

| a | ? 2 , | b | ? 3 , ( 2a ? b ) ? b ? 3 ,则向量 a 与 b 的夹角为

9. 经过点 A(2, -3) ,B (-2, -5) , 且圆心在直线 x ? 2 y ? 3 ?

0 的圆的标准方程是

10.在平行四边形 ABCD 中,AB=1,AC=

3 ,AD=2;线段

PA⊥平行四边形 ABCD 所在的平面, (用反三角函数表示).

且 PA =2,则异面直线 PC 与 BD 所成的角等于

mx 2 ? nx ? t n, t 均为实数, [u ] 表示不超过实数 u 的最大整数,若 11.已知 m , ? 0 对任意实 ? x ? [ x] ? 2
数 x 恒成立,且 m(1 ? P) ? n(1 ? P) ? t

?0(n ? m ? 0 ) ,则实数 P 的最大值为



12.对于集合 N={1,2,3,?,n}及其它的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下:按照递减的次

序重新排列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数 .例如集合{1,2,4,6,9}的交替和 是 9–6+4–2+1=6,集合{5}的交替和为 5.当集合 N 中的 n=2 时,集合 N={1, 2}的所有非空 子集为{1},{2},{1,2},则它的“交替和”的总和 S 2 =1+2+(2–1)=4,请你尝试对 n=3、n=4 的情况,计算它的“交替和”的总和 S 3 、 S 4 ,并根据其结果猜测集合 N={1,2,3,?,n}的每一 个非空子集的“交替和”的总和 S n = .(不必给出证明)

二、选择题(每题 4 分,共 16 分)
13.下列所给的四个命题中,不是真命题的为 (A)两个共轭复数的模相等 (C) ( (B) )

| z1 |?| z 2 |? z1 ? ? z 2

z?R ? z ? z
(B)必要而不充分
2

(D) |

z |2 ? z ? z
)条件 (D)既不充分也不必要

14.在 ?ABC 中,“

A ? B ”是“ cos2 A ? cos2 B ”的(
(C)充要条件

(A)充分而不必要 15. 已知不等式 xy ? ax 取值范围是 (A) ?1 ? 16.已知 若函数 ( )

则实数 a 的 ? 2 y 2 ,若对任意 x ? [1 , 2] 及 y ?[2 ,3] 该不等式恒成立,

a??

35 9

(B) a

? ?3

(C) a

? ?1

(D) ?3 ?

a ? ?1

f ( x) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 x101 x 2 x3 x 4 x101 ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? , g ( x) ? 1 ? x ? , 2 3 4 101 2 3 4 101
( )

f ( x) 有唯一零点 x1 ,函数 g ( x) 有唯一零点 x 2 ,则有
(B) x1 ? (?1,0), x2 ? (1,2) (D) x1 ? (?1,0), x2 ? (0,1)

(A) x1 ? (0,1), x2 ? (1, 2) (C ) x1 ? (0,1), x2 ? (0,1) 三、解答题(共 56 分)

17. (8 分)已知复数 2 ? i 是实系数一元二次方程 x (1)求 b, c 值; (2)若向量 m ?

2

? bx ? c ? 0 的一个根,

? ? ? ?n . ?b, c? 、 n ? ?8, t ? ,求实数 ? 和 t 使得 m

18. (10 分)已知向量 a ? ( 设

3 sin 3x ,? y) , b ? (m , cos3x ? m) ( m ? R) ,且 a ? b ? 0 .

? 2? y ? f ( x) . (1)求 f ( x) 的表达式,并求函数 f ( x) 在 [ , ] 上图像最低点 M 的坐标. 18 9

(2)若对任意 x ?[0 ,

?
9

] , f ( x) ? t ? 9 x ? 1 恒成立,求实数 t 的范围.

19. (12 分)如图,用半径为 10

2 cm,面积为 100 2?

cm 的扇形铁皮 ,制作一个无盖的圆
3

2

锥形容器(衔接部分忽略不计) , 该容器最多盛水多少?(结果精确到 0.1 cm )

20. (12 分)已知椭圆 E : 且F 1P ? F 2 P ? ?6 .

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 P (3, 1) ,其左、右焦点分别为 F1 , F2 , a2 b2

???? ???? ?

(1)求椭圆 E 的方程;

(2) 若 M , N 是直线 x ? 5 上的两个动点, 且F 则以 MN 为直径的圆 C 是否过定点? 1M ? F2 N , 请说明理由.

21. (14 分)函数是这样定义的:对于任意整数 m ,当实数

x 满足不等式 | x ? m |?

1 时,有 2

f ( x) ? m . (1)求函数的定义域 D ,并画出它在 x ? D ? [0,4] 上的图像;
(2)若数列 an

2 ? 2 ? 10 ? ( )n , 记 Sn ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (an ) ,求 Sn ; 5

( 3 ) 若 等 比 数 列

{bn }

的 首 项 是

b1 ? 1

, 公 比 为

q(q ? 0)

, 又

f( 1 b) ?
y 4 3 2 1 O 1

f (2 b?)

f 3( b ? 求公比 ) 4q ,的取值范围.

2

3

4

x


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