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【创新方案】2015届高考数学一轮复习 第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算突破热点题型 文


第一节

平面向量的概念及其线性运算

考点一

向量的概念

[例 1] 给出下列四个命题: ①若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b; ②若 AB = DC ,则四边形 ABCD 为平行四边形; ③若 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b; ④λ ,μ 为实数,若 λ a

=μ b,则 a 与 b 共线. 其中假命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [自主解答] ①不正确.|a|=|b|但 a,b 的方向不确定,故 a,b 不一定相等; ②不正确.因为 AB = DC ,A,B,C,D 可能在同一直线上,所以 ABCD 不一定是四边 形; ③不正确.两向量不能比较大小; ④不正确.当 λ =μ =0 时,a 与 b 可以为任意向量,满足 λ a=μ b,但 a 与 b 不一定 共线. [答案] D 【方法规律】 解决向量的概念问题应关注五点 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具 有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即平行向量,它们均与起点无关. ( 4)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象 移动混为一谈. (5)非零向量 a 与 的关系: 是 a 方向上的单位向量. |a| |a| 下列说法中错误的是( ) A.有向线段可以表示向量但不是向量,且向量也不是有向线段 B.若向量 a 和 b 不共线,则 a 和 b 都是非零向量 C.长度相等但方向相反的两个向量不一定共线 D.方向相反的两个非零向量必不相等 解析:选 C 选项 A 中向量与有向线段是两个完全不同的概念,故正确;选项 B 中零向 量与任意向量共线,故 a,b 都是非零向量,故正确;选项 C 中是共线向量,故错误;选项 D 中既然方向相反就一定不相等,故正确. 高频考点 考点二 平面向量的线性运算

a

a

1.平面向量的线性运算是每年高考的重点,题型多为选择题和填空题,难度较小,属 中低档题. 2.高考对平面向量的线性运算的考查主 要有以下几 个命题角度: (1)考查向量加法或减法的几何意义;
1

(2)求已知向量的和; (3)与三角形联系,求参数的值; (4)与平行四边形联系,研究向量的关系. [例 2] (1)(2012·辽宁高考)已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结 论正确的是( ) A.a∥b B.a⊥b C.|a|=|b| D.a+b=a-b (2)(2011·四川高考)如图,正六边形 ABCDEF 中, BA + CD + EF =( A.0 B. BE C. AD D. CF )

第(2)题图 =λ AO ,则 λ = ________.

第(3)题图

AB + AD (3)(2013·四川高考)如图在平行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 交于点 O,
1 2 (4)(2013·江苏高考)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC.若 2 3

AB +λ 2 AC (λ 1,λ 2 为实数),则 λ 1+λ 2 的值为________. 1 2 2 2 2 [自主解答] (1)法一:(代数法)将原式平方得|a+b| =|a-b| ,∴a +2a·b+b = 2 2 a -2a·b+b ,∴a·b=0,∴a⊥b. DE =λ

法二:(几何法)如图所示: 在?ABCD 中,设 AB =a, AD =b,∴ AC =a+b, DB =a-b,∵|a+b|=|a-b|, ∴平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形 ABCD 为矩形,∴a⊥b. (2)因六边形 ABCDEF 是正六边形, 故 BA + CD + EF = DE + CD + EF = CE + EF = CF . (3)由平行四边形法则,有 AB + AD = AC = AO , 已知 AB + AD =λ AO ,所以 λ =2. 1 2 1 2 1 2 (4) DE = DB + BE = AB + BC = AB + ( AC - AB )=- AB + AC , 2 3 2 3 6 3 ∵ DE =λ 1 AB +λ 2 AC , 1 2 1 ∴λ 1=- ,λ 2= , 故 λ 1+λ 2= . 6 3 2 1 [答案] (1)B (2)D (3)2 (4) 2 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合平行四边形法则. (2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则;求差用三角形法则; 求首尾相连向量的和用三角形法则. (3)与三角形联系,求参数的值.求出向量的和或与已知条件中的和式比较,然后求参
2

数. (4)与平行四边形联系,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量, 将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. 1.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与

CD 交于点 F,若 AC =a, BD =b,则 AF 等于(
1 1 A. a+ b 4 2 2 1 B. a+ b 3 3 1 1 C. a+ b 2 4

) 1 2 D. a+ b 3 3

解析:选 B 如图, AF = AD + DF ,由题意知,DE∶BE=1∶3=DF∶AB,故 DF = 1 AB , 3 1 1 1? 1 1 ? 2 1 则 AF = a+ b+ ? a- b?= a+ b. 2 2 3?2 2 ? 3 3 2. 若 O 是△ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点, 且 2 OA + OB + OC =0, 那么( A. AO = OD C. AO =3 OD B. AO =2 OD D.2 AO = OD )

解析: 选 A 因为 D 是 BC 边的中点, 所以有 OB + OC =2 OD , 所以 2 OA + OB + OC =2 OA +2 OD =2( OA + OD )=0? OA + OD =0? AO = OD . 3.(2014·青岛模拟)在△ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且 BC =3 CD ,点 O 在线段 CD 上(与点 C,D 不重合),若 AO =x AB +(1-x) AC ,则 x 的取值范围是( ? 1? ? 1? A.?0, ? B.?0, ? ? 2? ? 3? ? 1 ? ? 1 ? C.?- ,0? D.?- ,0? ? 2 ? ? 3 ? )

解析: 选 D 设 CO =y BC , ∵ AO = AC + CO = AC +y BC = AC +y( AC - AB ) ? 1? =-y AB +(1+y) AC , ∵ BC =3 CD , 点 O 在线段 CD 上(与点 C, D 不重合), ∴y∈?0, ?, ? 3? 1 ? ? ∵ AO =x AB +(1-x) AC ,∴x∈?- ,0?. ? 3 ? 考点三 [例 3] 设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. (1)如果 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1-2e2,求证:A,C,D 三点共线; (2)如果 AB =e1+e2, BC =2e1-3e2, AF =3e1-ke2,且 A,C,F 三点共线,求 k 的 值. [自主解答] (1)证明: AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, ∴ AC = AB + BC =4e1+e2,又 CD =-8e1-2e2, ∴ CD =-2 AC ,∴ AC 与 CD 共线. 又∵ AC 与 CD 有公共点 C,∴A,C,D 三点共线. (2)∵ AB =e1+e2, BC =2e1-3e2,
3

共线向量定理的应用

∴ AC = AB + BC =3e1-2e2. ∵A,C,F 三点共线 , ∴ AC ∥ AF ,从而存在实数 λ ,使得 AC =λ AF . ∴3e1-2e2=3λ e1-λ ke 2, 又 e1,e2 是不共线的非零向量, ? ?3=3λ , ∴? 因此 k=2.∴实数 k 的值为 2. ?-2=-λ k, ? 【互动探究】 在本例条件下,试确定实数 k,使 ke1+e2 与 e1+ke2 共线. 解:∵ke1+e2 与 e1+ke2 共线, ∴存在实数 λ ,使 ke1+e2=λ (e1+ke2), 即 ke1+e2=λ e1+λ ke2, ? ?k=λ , ∴? 解得 k=±1. ?1=λ k, ? 【方法规律】 1.共线向量定理的应用 (1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的值. (2)若 a,b 不共线,则 λ a+μ b=0 的充要条件是 λ =μ =0,这一结论结合待定系数 法应用非常广泛. 2.证明三点共线的方法 若 AB =λ AC ,则 A、B、C 三点共线. 1 若 a,b 是两个不共线的非零向量,a 与 b 起点相同,则当 t 为何值时,a,tb, (a+ 3 b)三向量的终点在同一条直线上? 1 解:∵a,tb, (a+b)三向量的终点在同一条直线上,且 a 与 b 起点相同. 3 1 ∴a-tb 与 a- (a+b)共线, 3 2 1 即 a-tb 与 a- b 共线, 3 3

?2 1 ? ∴存在实数 λ ,使 a-tb=λ ? a- b?, ?3 3 ?
2 ? ?1=3λ , ∴? 1 ?t=3λ , ? 3 1 解得 λ = ,t= , 2 2

1 1 即 t= 时,a,tb, (a+b)三向量的终点在同一条直线上. 2 3 ——————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 个规律——向量加法规律 一般地, 首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点 的向量,即 A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 +?+ An?1 An = A1 An .特别地,一个封闭图形首尾连接而 成的向量和为零向量. 个结论——向量的中线公式及三角形的重心
4

(1)向量的中线公式 1 若 P 为线段 AB 的中点,O 为平面内一点,则 OP = ( OA + OB ). 2 (2)三角形的重心 1 已知平面内不共线的三点 A、B、C,PG = ( PA + PB + PC )?G 是△ABC 的重心.特 3 别地, PA + PB + PC =0?P 为△ABC 的重心. 个等价转化——与三点共线有关的等价转化

A,P,B 三点共线? AP =λ AB (λ ≠0)? OP =(1-t) OA +t OB (O 为平面
内异于 A,P,B 的任一点,t∈R)? OP =x OA +y OB (O 为平面内异于 A,P,B 的任一 点,x∈R,y∈R,x+y=1). 个注意点——向量线性运算应注意的问题 (1)作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点; (2)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则 λ 可能不存在,也可能有无数个; (3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与 联系,当两向量共线 且有公共点时,才能得出三点共线; (4)利用向量平行证明直线平行,必须说明这两条直线不重合.

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