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圆锥曲线方程及性质


圆锥曲线方程及性质
适用学科 适用区域 知识点
数学 广东 1.曲线方程的第一及第二定义 3.曲线方程焦点位置的判断

适用年级 课时时长(分钟)
2.曲线方程的标准方程 4.曲线方程的简单几何性质

高三 60 分钟

教学目标 教学重点 教学难点

曲线方程标准方程的

求解与简单几何性质的运用 曲线方程标准方程的求解与简单几何性质的运用 曲线方程标准方程的求解与简单几何性质的运用

1

教学过程
一、课堂导入
前面我们学习了几种曲线方程,今天就来综合复习下这几种曲线方程及其相关知识的运用。

2

二、复习预习
1.我们高中学习过的圆锥内曲线有哪些呢? 2、这些圆锥曲线分别有什么性质呢? 3、怎么样来求这些圆锥曲线的标准方程呢

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三、知识讲解
考点 1 圆锥曲线的两个定义:

(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件: 椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离的和等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要大于 F1 F2 , 当常数等于 F1 F2 时,轨迹是线段 F 1 F 2 ,当常数小于 F1 F2 时,无轨迹; 双曲线中,与两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要小于|F 1 -F 2 |, 定义中的“绝对值”与 2a <|F 1 -F 2 |不可忽视。 若 2a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线, 若 2a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹不存在。 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 (2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,

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考点 2 .圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆:焦点在 x 轴上时
x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? x ? a cos ? ( ? 为参数) , 2 y ? b sin ? a b

?

y2 x2 焦点在 y 轴上时 2 ? 2 =1( a ? b ? 0 ) a b

(2)双曲线:焦点在 x 轴上:

x2 y2 y2 x2 ? ? =1 ,焦点在 轴上: =1( a ? 0, b ? 0 ) 。 y a2 b2 a2 b2

(3)抛物线:开口向右时 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 开口向左时 y 2 ? ?2 px( p ? 0) , 开口向上时 x2 ? 2 py( p ? 0) , 开口向下时 x2 ? ?2 py( p ? 0) 。

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考点 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : (1)椭圆:由 x 2 , y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程
3 圆,则 m 的取值范围是__(答: ( ?? ,?1) ? (1, ) ) 2

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭 m ?1 2 ? m

(2)双曲线:由 x 2 , y 2 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 【特别提醒】在椭圆中, a 最大, a 2 ? b2 ? c 2 ,在双曲线中, c 最大, c2 ? a 2 ? b2 。

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考点 4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以
x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )为例) : a2 b2

①范围: ?a ? x ? a, ?b ? y ? b ; ②焦点:两个焦点 (?c, 0) ; ③对称性: 两条对称轴 x ? 0, y ? 0 , 一个对称中心 (0,0) , 四个顶点 (? a, 0), (0, ?b) , 其中长轴长为 2 a , 短轴长为 2 b ; ④准线:两条准线 x ? ? ⑤离心率: e ?
a2 ; c

c ,椭圆 ? 0 ? e ? 1 , e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。 a x2 y 2 (2)双曲线(以 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )为例) : a b
①范围: x ? ?a 或 x ? a, y ? R ; ②焦点:两个焦点 (?c, 0) ; ③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,两个顶点 (? a, 0) ,其中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,
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特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为 x2 ? y 2 ? k , k ? 0 ; ④准线:两条准线 x ? ? ⑤两条渐近线: y ? ? ⑥离心率: e ?
a2 ; c

b x a

c , a

双曲线 ? e ? 1 ,

e 越小,开口越小, e 越大,开口越大;

(3)抛物线(以 y 2 ? 2 px( p ? 0) 为例)----- p 的几何意义是:焦点到准线的距离: ①范围: x ? 0, y ? R ;

p ②焦点:一个焦点 ( ,0) , 2
③对称性:一条对称轴 y ? 0 ,没有对称中心,只有一个顶点(0,0) ; ④准线:一条准线 x ? ? ⑤离心率: e ?
p ; 2

c ,抛物线 ? e ? 1 。 a

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四、例题精析
例 1.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是 。 7 (2)椭圆的中心为点 E (?1 , 0) ,它的一个焦点为 F (?3, 0) ,相应于焦点 F 的准线方程为 x ? ? ,则这个椭圆的方程 2 是( A. )
2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 21 3 ( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 5

B.

2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 21 3 ( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 5

C.

D.

?b 2 ? 4 ? ? 2 y2 ?a ? 2b, c ? 2 3 ? ? ?a 2 ?16 ? x ? ?1 为所求; 【规范解答】 (1)已知 ? ? 2 2 2 16 4 ? ? ?a ? b ? c ? ?F (?2 3,0)
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(2)椭圆的中心为点 E (?1, 0), 它的一个焦点为 F (?3, 0), 7 ∴ 半焦距 c ? 2 ,相应于焦点 F 的准线方程为 x ? ? . 2 2 2 a 5 ( x ? 1) ? , a2 ? 5, b2 ? 1 ,则这个椭圆的方程是 ? y 2 ? 1 ,选 D。 ∴ c 2 5 【总结与反思】 :求椭圆方程的题目属于中低档题目,掌握好基础知识就可以。

例 2.设双曲线的—个焦点为 F;虚轴的—个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐 近线垂直,那么此双曲线的离心率为

10

(A)

2

(B) 3

(C)

3 ?1 2

(D)

5 ?1 2

【答案】B

11

【规范解答】设双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则 F(c,0),B(0,b) a 2 b2
b b b x 垂直,所以 ? ? ? ?1,即 b2=ac a c a

直线 FB:bx+cy-bc=0 与渐近线 y= 所以 c2-a2=ac,即 e2-e-1=0,所以 e ?

1? 5 1? 5 或e ? (舍去) 2 2

【总结与反思】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率,考查了两条直线垂直的条件,考查了方程思想。

例 3.. (1)已知焦点 F1 (5,0), F2 (?5,0) ,双曲线上的一点 P 到 F1 , F2 的距离差的绝对值等于 6 ,求双曲线的标准方程;
12

(2)求与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 共焦点且过点 (3 2, 2) 的双曲线的方程; 25 5

9 (3)已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线上两点 P 1, P 2 坐标分别为 (3, ?4 2), ( ,5) ,求双曲线的标准方程。 4

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【规范解答】 (1)因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为 ∵ 2a ? 6, 2c ? 10 ,∴ a ? 3, c ? 5 ,∴ b2 ? 52 ? 32 ? 16 。

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) , a 2 b2

x2 y 2 ?1; 所以所求双曲线的方程为 ? 9 16 x2 y 2 x2 y 2 ? 1 的焦点为 (2 5,0),(?2 5,0) ,可以设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1 ,则 a 2 ? b2 ? 20 。 (2)椭圆 ? 25 5 a b 18 2 又∵过点 (3 2, 2) ,∴ 2 ? 2 ? 1 。 a b x2 y2 综上得, a 2 ? 20 ? 2 10, b 2 ? 2 10 ,所以 ? ? 1。 20 ? 2 10 2 10 y 2 x2 (3)因为双曲线的焦点在 y 轴上,所以设所求双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ①; a b ∵点 P 1, P 2 在双曲线上,∴点 P 1, P 2 的坐标适合方程①。
? (?4 2) 2 32 ? 2 ?1 ? 2 b 9 ? a 将 (3, ?4 2), ( ,5) 分别代入方程①中,得方程组: ? 9 2 4 ? 25 ( ) ? 2 ? 42 ? 1 b ?a 1 ?1 ? 2 ? 1 1 ? a 16 将 2 和 2 看着整体,解得 ? , 1 1 a b ? ? ? ? b2 9
14

2 ? y 2 x2 ? a ? 16 ∴? 2 即双曲线的标准方程为 ? ? 1 。 16 9 ? ?b ? 9

【总结与反思】 :本题只要解得 a 2 , b 2 即可得到双曲线的方程,没有必要求出 a , b 的值;在求解的过程中也可以用换 元思想,可能会看的更清楚

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例 4.已知双曲线 线的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y= 3x ,它的一个焦点在抛物线 y 2 ? 24 x 的准线上,则双曲 a 2 b2

x2 y 2 ?1 (A) ? 36 108

(B)
x2 y 2 ? ?1 27 9

x2 y 2 ? ?1 9 27

(C)

x2 y 2 ? ?1 108 36

(D)

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【答案】B 【规范解答】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程,属于容易题。
?b ?a ? 3 ? x2 y 2 ?1 ? a 2 ? 9, b 2 ? 27 ,所以双曲线的方程为 ? 依题意知 ?c ? 6 9 27 ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ?

【总结与反思】选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质,这部分内容也是高考的热点内容之 一。

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例 5. 已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为 (3, 0) , 且焦距与虚轴长之比为 5 : 4 ,则双曲线的标准方程是 ____________________.

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【规范解答】双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为 (3, 0) ,则焦点在 x 轴上,且 a=3,焦距与虚轴长之比为 5 : 4 ,即
c : b ? 5:4 ,解得 c ? 5, b ? 4 ,则双曲线的标准方程是

x2 y 2 ? ?1; 9 16

【总结与反思】 :本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质, 数形结合,更为直观简捷

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例 6. 已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 (? 2,0) ,( 2, 0) ,离心率是 以线段为直径作圆 P,圆心为 P。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标;

6 ,直线 y=t 椭圆 C 交与不同的两点 M,N, 3

(Ⅲ)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 t 变化时,求 y 的最大值。

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【规范解答】 : (Ⅰ)因为

x2 c 6 ,且 c ? 2 ,所以 a ? 3, b ? a 2 ? c2 ? 1 所以椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 ? 3 a 3

(Ⅱ)由题意知 p(0, t )(?1 ? t ? 1)

?y ? t ? 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?3

得 x ? ? 3(1 ? t 2 )

所以圆 P 的半径为 3(1 ? t 2 )

解得 t ? ?

3 2

所以点 P 的坐标是(0, ?

3 ) 2

(Ⅲ) 由 (Ⅱ) 知, 圆 P 的方程 x2 ? ( y ? t )2 ? 3(1 ? t 2 ) 。 因为点 Q ( x, y ) 在圆 P 上。 所以 y ? t ? 3(1 ? t 2 ) ? x 2 ? t ? 3(1 ? t 2 )

? 设 t ? cos ? ,? ? (0, ? ) ,则 t ? 3(1 ? t 2 ) ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ? ) 6 ? 1 当 ? ? ,即 t ? ,且 x ? 0 , y 取最大值 2. 3 2
【总结与反思】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等,考查了 同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。

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课程小结
1、曲线方程的第一定义及第二定义。 2、曲线方程的基本几何性质。 3、曲线方程相关知识的运用。

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