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1 南通市教研室2012年高考全真模拟试卷一(数学)


南 通 市 教 研 室 2012 年 数 学 全 真 模 拟 试 卷 一 试题Ⅰ 试题Ⅰ
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ...... 置上. .. 1. 已知集合 U = {1,,, } , A = {1,,9} , B = {1, } ,则 ? ( A U B ) = . 3 5 9 3 9 U ▲

r />.

2. 若 z ? z = 9 (其中 z 表示复数 z 的共轭复数) ,则复数 z 的模为 ▲ . 3. 已知函数 f ( x) = a 在 x = 1 处的导数为 ?2 ,则实数 a 的值是 ▲ . x 4. 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》 (GB19522—2004) 中 规 定 车 辆 驾 驶 人 员 血 液 酒 精 含 量 : “ 饮 酒 驾 车 ” 的 临 界 值 为 20mg/100ml; “醉酒驾车”的临界值为 80mg/100ml.某地区交通执法部门统计了 5 月份的执法记录数
据: 血液酒精含量(单位:mg/100ml) 人数

0~20 180

20~40 11

40~60 5

60~80 2

80~100 2

根据此数据,可估计该地区 5 月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 ▲ .

5. 要得到函数 y = sin 2 x 的函数图象,可将函数 y = sin 2 x + π 的图象向右至少平移 .. 3
个单位.

(

)



6.在平面直角坐标系 xOy 中,“直线 y = x + b ,b ∈ R 与曲线 x = 1 ? y 2 相切”的充要条件
是 “

▲ ”.
开始

7. 如图, N i 表示第 i 个学生的学号, Gi 表示第 i 个学生的成绩,已知学
号在 1~10 的学生的成绩依次为 401、392、385、359、 372、327、

i ←1
Gi ≥360 N

354、361、345、337,则打印出的第 5 组数据是 ▲ 8. 在△ABC 中,若 tan A : tan B : tan C = 1: 2 : 3 ,则 A =



▲ .

Y
打印Ni, i G i ← i +1 N i > 50

9. 已知 y = f ( x) 是 R 上的奇函数,且 x > 0 时, f ( x) = 1 ,则不等
式 f ( x 2 ? x) < f (0) 的解集为 ▲ .

1

Y 结束
(第 7 题)

10.设正四棱锥的侧棱长为 1,则其体积的最大值为 .

▲ .

11.已知平面向量 a , b , c 满足 a = 1 , b = 2 , a , b 的夹角等 . 于 π ,且 (a ? c ) ? (b ? c ) = 0 ,则 c 的取值范围是 ▲ . 3 12.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A1 ( x1, 、 A2 ( x2, 分别作 x . 0) 0) 轴的垂线与抛物线 x 2 = 2 y 分别交于点 A1′、A2′ ,直线 A1′ A2′ 与 x 轴交于点 A3 ( x3, ,这 0)
样就称

x1、x2 确定了 x3 .同样,可由 x2、x3 确定 x4 ,…,若 x1 = 2 , x2 = 3 ,则 x5 =

▲ .

13.定义: min {x,y}为实数 x,y 中较小的数.已知 h = min a, 2 b 2 ,其中 a,b 均为 a + 4b
正实数,则 h 的最大值是

{

}

▲ .

2 14.在平面直角坐标系 xOy 中,直角三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆 x 2 + y 2 = 1 (a > 1) 上, a

其中

A 0,) ( 1 为直角顶点.若该三角形的面积的最大值为 27 ,则实数 a 的值为 8

▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证 明过程或演算步骤. 15. (本题满分14分)
已知函数 f ( x) = sin 2 x + 2 3 sin x cos x + sin x + π sin x ? π , ∈ R . x 4 4 (1)求 f ( x) 的最小正周期和值域; (2)若 x = x0 0≤x0 ≤ π 为 f ( x) 的一个零点,求 sin 2x0 的值. 2

(

) (

)

(

)

16. (本题满分 14 分)
如图,在边长为1的菱形ABCD中,将正三角形BCD沿BD向上折起,折起后的点C记为 C ′ , .... 且
CC ′ = a ( 0 < a < 3 ) .
2

D

C′

A

C

(1)若 a = 3 ,求二面角C—BD— C ′ 的大小; 2 (2)当 a 变化时,线段 CC ′ 上是否总存在一点 E,使得A C ′ //平面BED?请说明理由.

17. . (本题满分 15 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,设A、B是双曲线 x 2 ?
中点, 线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点. (1)求直线AB与CD的方程; (2)判断 A、B、C、D 四点是否共圆?若共圆,请求出圆的方程;若不共圆,请说明 理由.
y2 = 1 上的两点, M (1,2) 是线段AB的 2

18. (本题满分 15 分)
某省高考数学阅卷点共有 400 名阅卷老师, 为了高效地完成文、 理科数学卷的阅卷任务, 需将 400 名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作, 一组完成 269 捆文科卷, 另一组完成

475 捆理科卷.根据历年阅卷经验,文科每捆卷需要一位阅卷老师工作 3 天完成,理科
每捆卷需要一位阅卷老师工作 4 天完成. (假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同, 每捆卷的份数也相同) (1)如何安排文、理科阅卷老师的人数,使得全省数学阅卷时间最省? (2)由于今年理科阅卷任务较重,理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作 4.5 天完成, 在按(1)分配的人数阅卷 4 天后,阅卷领导小组决定从文科组抽调 20 名阅卷老 师去阅理科卷,试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天?(天数精确到小数 点后第 3 位) (参考数据: 807 ≈ 6.782 , 95 ≈ 6.786 , 331 ≈ 3.343 , 1013.5 ≈ 3.367 ) 119 99 301 14

3

19. . (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) 的导函数 f ′( x) 是二次函数,且 f ′( x) = 0 的两根为 ±1 .若 f ( x) 的极大值 与极小值 之和为 0, f (?2) = 2 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若函数在开区间 (m ? 9, 9 ? m) 上存在最大值与最小值,求实数 m 的取值范围.
( 3) 设函数 f ( x) = x ? g ( x) , 正实数 a,, 满足 ag (b) = bg (c) = cg (a) > 0 , b c 证明: = b = c . a

20. (本题满分 16 分)
设首项为 1 的正项数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,数列 an 2 的前 n 项和为 Tn ,且

{ }

Tn =

4 ? ( Sn ? p)2 , 3
其中 p 为常数. (1)求 p 的值; (2)求证:数列 {an } 为等比数列; (3)证明:“数列 an , 2 x an +1 , 2 y an + 2 成等差数列,其中 x、y 均为整数”的充要条件

是“ x = 1 , 且 y = 2 ”.

试题Ⅱ(附加题)
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 .................. 答.若 . 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
(几何证明选讲) A.
4

D

A

· O

E

B

C

如图,AB 是半圆的直径,C 是 AB 延长线上一点,CD 切 半圆于点 D,CD=2,DE⊥AB,垂足为 E,且 E 是 OB 的 中点,求 BC 的长.

B. (矩阵与变换)
?1 2 ? ?1? 已知矩阵 ? ? 的属于特征值 b 的一个特征向量为 ?1? ,求实数 a 、 b 的值. ?2 a ? ??

C. (极坐标与参数方程) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,? 2) 在曲线 ? ? 求p的 值.
? x = 2 pt 2, ? y = 2 pt ?

( t 为参数, p 为正常数) ,

D. (不等式选讲) 设 a1, 2, 3 均为正数,且 a1 + a2 + a3 = 1 ,求证: 1 + 1 + 1 ≥9. a a a1 a2 a3

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时 ....... 应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 22.已知函数 f ( x) = 2(1 + x) ln(1 + x) ? x 2 ? 2 x , x ∈ [ 0, ∞ ) ,求 f ( x) 的最大值. +

? 23. 1)已知 k、n ∈ N * ,且 k≤n ,求证: kCk = nC k ?1 ; ( n n 1

(2)设数列 a0 , a1 , a2 ,…满足 a0 ≠ a1 , ai ?1 + ai +1 = 2ai (i = 1,2,3,…) . 证 明 : 对 任 意 的 正 整 数

n



n p( x) = a0 C0 (1 ? x) n + a1C1 x(1 ? x) n ?1 + a2 C2 x 2 (1 ? x ) n ? 2 + ? ? ? + an Cn x n 是 n n n

关于 x 的一次式.

5

南 通 市 教 研 室 2012 年 数 学 全 真 模 拟 试 卷 一 参考答案
1.

{5} ;

2. 3; ;

3. 2; ;

4. 0.09; ;

5. π ; 6

6. b = ? 2 ;

7. 8,361 ;

8. π ; 4 9. (0, ; 1) 3.
答案解析 答案解析

10. 4 3 ; 27

? ? 11. ? 7 ? 3 , 7 + 3 ? ; 2 2 ? ?

12.

1; 2

13. 1 ; 2

14.

1.易得 A U B = A = {1,,9} ,则 ? ( A U B) = {5} ; 3 U 2.
z = z?z =3;

3. 易得 f ′( x) = ? a2 ,则 f ′(1) = ? a = ?2 ,即 a = 2 ; x 4. “饮酒驾车” 发生的频率等于 11 + 5 + 2 = 0.09 ; 200 5. 将 y = sin 2 x + π = sin 2 x + π 向右至少平移 π 个单位得 y = sin 2 x ; 6 3 6 6. 易得
b 2 = 1 ,且 b < 0 ,即 b = ? 2 ;

(

)

(

)

7. 打印出的第 5 组数据是学号为 8 号,且成绩为 361,故结果是 8,361 ; 8.

tan A = k

, 则

tan B = 2k



tan C = 3k

, 且

k >0

, 利 用

tan C = ? tan( A + B ) = ? tan A + tan B 可 1 ? tan A tan B

求得 k = 1 ,所以 A = π ; 4

9. 易得 f (0) = 0 , x 2 ? x < 0 ,故所求解集为 (0, ; 1) 10. 法 1
2 设 正 四 棱 锥 的 底 面 边 长 为 x , 则 体 积 V = 1 x2 1 ? x = 2 x4 2 ? x2 , 记 3 2 6

(

)

y = t2 (2 ? t ) , t > 0 ,利用导数可求得当 t = 4 时, ymax = 32 ,此时 Vmax = 4 3 ; 3 27 27



2

设 正 四 棱 锥 的 侧 棱 与 底 面 所 成 角 为 θ

, 则

6

V = 1 × 2 cos 2 θ × sin θ = 2 1 ? sin 2 θ × sin θ , 3 3

(

)

0<θ < π ,记 y = 1 ? t 2 t, < t < 1 ,利用导数可求得当 t = 3 时, ymax = 2 3 ,此时 0 3 9 2 B Vmax = 4 3 ; 27 uuu r uur uuu r uuu r b c 11. 如图,设 a = OA, = OB, = OC,△ABC 中,由余弦定理得 AB = 3 , M
由 (a ? c ) ? (b ? c ) = 0 知,点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆 M ,

(

)

C2

uuur uuuu r ? ? 7 且 OM = ,故 c ∈ ? OC1 ,OC2 ? = ? 7 ? 3 , 7 + 3 ? ; ? ? ? 2 2 2 ?

O

A (第 11 题图)

C1

12.

设 An xn,1 xn 2 2

(

)

、 An +1 xn+1,1 xn +12 2

(

)

, 则 割 线 An

An +1 的 方 程 为 :

1x 2?1x 2 1 x 2 = 2 n +1 2 n ( x ? x ) , y? n n 2 xn +1 ? xn
令 y = 0 得 xn + 2 =

xn+1 xn ,即 1 = 1 + 1 ,不难得到 1 = 5 , 1 = 7 , 1 = 2 ; xn+1 + xn xn + 2 xn +1 xn x3 6 x4 6 x5

13. 易得 h 2 ≤

ab 1 = 1 ≤ = 1 ,所以 h≤ 1 (当且仅当 a = 4b 时取等号) ; b a 2 a 2 + 4b 2 a + 4b 2 a ? 4b 4 b a b a

? y = kx + 1, 1 x + 1 ,由 ? 2 14. 设 AB 的方程为: y = kx + 1(k > 0) ,则 AC 的方程为: y = ? 得 ?x 2 k ? a2 + y = 1 ?
2 2 (1 + a 2 k 2 ) x 2 + 2a 2 kx = 0 ,解得 xB = ?2a2 k2 , 用“ ? 1 ”替换“ k ”得 xC = 2a k 2 , 2 k 1+ a k a +k
2 2 故 AB = 2a 2k 2 ? 1 + k 2 ,AC = 2a k 2 ? 1 + 12 , 2 1+ a k a +k k

所以 S?ABC

2a 4 k + 1 2a 4 k (1 + k 2 ) k 1 AB ? AC = = = , 2 (1 + a 2 k 2 )(a 2 + k 2 ) a 2 k 2 + 1 + a 4 + 1 k2

(

(

)

)

令 t = k + 1 ≥2 ,则 S?ABC = k

2 3 2a 4 ≤ 2a (当且仅当 t = a ? 1 > 2 时等号成立) , 2 2 a ( a ? 1) a ?1 2 a t+ t

3 由 2a = 27 得 (a ? 3)(8a 2 ? 3a ? 9) = 0 解得 a = 3,或 a = 3 + 297 (舍去) ,所以 a = 3 . 16 a ?1 8

15.命题立意:本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式,考查运 算求解 能力.

7

(1)易得 f ( x) = sin 2 x + 3 sin 2 x + 1 sin 2 x ? cos x 2 = 1 ? cos 2 x + 3 sin 2 x ? 1 cos 2 x 2 2 2

(

)

= 3 sin 2 x ? cos 2 x + 1 = 2sin 2 x ? π + 1 , 分) (5 6 2 2
所以 f ( x) 周期 π ,值域为 ? ? 3 ,5 ? ; 7 分) ( ? 2 2? ? ? (2)由 f ( x0 ) = 2sin 2 x0 ? π + 1 = 0 得 sin 2 x0 ? π = ? 1 < 0 , 9 分) ( 6 2 6 4
又由 0≤x0 ≤ π 得 - π ≤2 x0 - π ≤ 5π , 6 6 6 2

(

)

(

)

(

)

( ) 此时, sin 2 x = sin ?( 2 x ? π ) + π ? = sin ( 2 x ? π ) cos π + cos ( 2 x ? π ) sin π ? 6 6? 6 6 6 6 ? ?
所以 - π ≤2 x0 - π ≤0,故 cos 2 x0 ? π = 15 , 11 分) ( 6 6 6 4
0 0 0 0

= ? 1 × 3 + 15 × 1 = 15 ? 3 . 14 分) ( 8 4 2 4 2

16.命题立意:本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象、推理论 证能力. (1)连结 AC ,交 BD 于点 O ,连结 OC ′ , 解:
菱形 ABCD 中, CO ⊥ BD , 因三角形 BCD 沿 BD 折起,所以 C ′O ⊥ BD , A 故 ∠C ′OC 为二面角 C—BD— C ′ 的平面角, 5 分) ( 易得 C ′O = CO = 3 ,而 CC ′ = 3 , 2 2 所以 ∠C ′OC = π ,二面角 C—BD— C ′ 的大小为 π ; 7 分) ( 3 3 (2)当 a 变化时,线段 CC ′ 的中点E总满足A C ′ //平面BED,下证之: 9分) ( 因为 E,O 分别为线段 CC ′ ,AC 的中点, 又 AC ′ ? 平面 BED, OE ? 平面 BED, 所以 OE // AC ′ , 11 分) (

D

C′
E

O

C

B
(第 16 题图)

所以 A C ′ //平面 BED. (14 分)

17.命题立意:本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识,考查运算求解与探究能力. 解 : 1 ) 设 A ( x1,y1 ) , 则 B (2 ? x1,4 ? y1 ) , (
? 2 y12 ? x1 ? 2 = 1, ? ? 2 ?(2 ? x ) 2 ? (4 ? y1 ) = 1, 1 ? ? 2 ? x =-1, ? x1 = 3, 解得 ? 1 或? 即 A、B 的坐标为 ? 1,0) (3,4) ( 、 , ? y1 = 0 ? y1 = 4,
代 入 双 曲 线 x2 ? y2 =1 得 2

8

所以 AB : y = x + 1 , CD : y = ? x + 3 ; 分) (7 (2)A、B、C、D 四点共圆,下证之:(9 分) 证明:由 y = ? x + 3 与 x 2 ?
y2 = 1 联立方程组可得 2

C、D 的坐标为 ?3 ? 2 5,6 + 2 5 、 ?3 + 2 5,6 ? 2 5 , 11 分) (

(

) (

)

由三点 A、B、C 可先确定一个圆 ( x + 3) 2 + ( y ? 6) 2 = 40 ①, 13 分) ( 经检验 D ?3 + 2 5,6 ? 2 5 适合①式,所以 A、B、C、D 四点共圆. 15 分) (

(

)

(注:本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆) 18.命题立意:本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,考查运算求解能力. 解: 1)设文科阅卷人数为 x ,且 x ∈ N* , (
? 269 × 3 ,x≤119.246, ? x 则阅卷时间为 f ( x) = ? (5 分) ? 475 × 4 ,x > 119.246, ? 400 ? x 而 f (119) = 6.782,f (120) = 6.786, 故 f (119) < f (120) , 答:当文、理科阅卷人数分别是 119,281 时,全省阅卷时间最省; 8 分) (

269 × 3 ? 119 × 1 × 4 × 3 3 (2)文科阅卷时间为: 4 + ( = 7.343 , 11 分) 99 475 × 4.5 ? 281 × 1 × 4 × 4.5 4.5 理科阅卷时间为: 4 + ( = 7.367 , 14 分) 301
答:全省阅卷时间最短为 7.367 天. 15 分) (

19.命题立意:本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识,考查灵活运 用数形 结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力. 解: 1)设 f ′( x) = a( x + 1)( x ? 1) , (
则可设 f ( x) = a
y

(

x3 ? x + c ,其中 c 为常数. 3

)

2 ?1 ?2 ?2
O 1

因为 f ( x) 的极大值与极小值之和为 0, 所以 f (?1) + f (1) = 0 ,即 c = 0 , 由 f (?2) = 2 得 a = ?3 ,
9

2
x

(第 19 题图)

所以 f ( x) = 3x ? x3 ; 分) (5 (2)由(1)得 f ( x) = 3x ? x3 ,且 f ′( x) = ?3( x + 1)( x ? 1) 列
x y′ y

表:
(?2, ? 1)
?

?1

(?1, 1)

1

(1, 2)
?

0
极小值 ?2

+


0
极大值 2





由题意得,三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值(如图)(7 , 分) 又 f (?2) = 2 ,故 f (2) = ?2 , 解得 7≤m < 8 ; (10 分) (3)题设等价与 a (3 ? b 2 ) = b(3 ? c 2 ) = c(3 ? a 2 ) ,且 a,b,c > 0, 所以 a,b,c 均小于 3 . 假设在 a,b,c 中有两个不等,不妨设 a ≠ b,则 a > b 或 a < b. 若 a > b,则由 a (3 ? b2 ) = b(3 ? c 2 ) 得 3 ? b 2 < 3 ? c 2 即 b > c , 又由 b(3 ? c 2 ) = c(3 ? a 2 ) 得 c > a. 于是 a > b > c > a,出现矛盾. 同理,若 a < b,也必出现出矛盾. 故假设不成立,所以 a = b = c . (16 分) 20.命题立意:本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识,考 . 查灵活 运用基本量进行探索求解、推理分析能力. 解: (1)n = 1 时,由 1 =
4 ? (1 ? p) 2 得 p = 0 或 2, 分) (2 3 4 ? Sn 2 , 3 4 ? (1 + a2 )2 ,解得 a2 = 0 或 a2 = ? 1 , 3 2

所以 1 < 9 ? m≤2 ,且 ?2≤m ? 9 < ?1 ,

若 p = 0 时, Tn =

当 n = 2 时, 1 + a2 2 =

而 an > 0 ,所以 p = 0 不符合题意,故 p = 2; 分) (5 (2)当 p = 2 时, Tn = 4 ? 1 (2 ? Sn ) 2 ①,则 Tn +1 = 4 ? 1 (2 ? S n +1 ) 2 ②, 3 3 3 3 ② ? ①并化简得 3an +1 = 4 ? S n +1 ? Sn ③,则 3an + 2 = 4 ? Sn + 2 ? Sn +1 ④,

10

④ ? ③得 an + 2 = 1 an +1 ( n ∈ N? ) ,又易得 a2 = 1 a1 , 2 2
1 (10 分) 所以数列{an}是等比数列,且 an = n ?1 ; 2 1 1 (3)充分性:若 x = 1,y = 2,由 an = n ?1 知 an , 2 x an +1 , 2 y an + 2 依次为 n?1 , 2 , 2 2 2n

2

n+1

4 , 1 4 (12 分) 满足 2 × 2 = n ?1 + n +1 ,即 an,2xan+1,2yan+2 成等差数列; 2n 2 2 1 必要性: 假设 an , x an +1 , y an + 2 成等差数列, 2 2 其中 x、 均为整数, an = n ?1 , y 又 2 1 1 所以 2 ? 2 x ? 1 = n ?1 + 2 y ? n +1 , 2n 2 2

化简得 2 x ? 2 y? 2 = 1 显然 x > y ? 2 ,设 k = x ? ( y ? 2) , 因为 x、y 均为整数,所以当 k≥2 时, 2 x ? 2 y? 2 > 1 或 2 x ? 2 y? 2 < 1 ,
故当 k = 1 ,且当 x = 1 ,且 y ? 2 = 0 时上式成立,即证. (16 分)

21.A.命题立意:本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证、运算求解能力. 解:连接 OD,则 OD⊥DC,
在 Rt△OED 中, OE = 1 OB = 1 OD, 2 2 所以∠ODE = 30°, 5 分) ( 在 Rt△ODC 中,∠DCO = 30°,由 DC = 2 得 OD = DCtan30° = 2 3 , 3 所以 BC = 2 3 . 10 分) ( 3

B.命题立意:本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量,考查运算求解能力.
?1 2 ? ?1? ?1? 解:由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知 ? ( ? ?1? = b ?1? , 5 分) ?2 a ? ? ? ?? ?b = 3, 所以 ? 解得 a = 1, = 3 .(10 分) b ?b = a + 2,

C.命题立意:本题主要考查参数方程,考查运算求解能力. 解:由 ? ?
? x = 2 pt 2, ? y = 2 pt, ?

( t 为参数, p 为正常数) ,消去参数 t 得 y 2 = 2 px , 8 分) (

将点 A(1,? 2) 代入 y 2 = 2 px 得 p = 2 .(10 分)

11

D.命题立意:本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证能力. 证明:因为 a1,a2,a3 均为正数,且 a1 + a2 + a3 = 1 > 0 ,
1 所以 1 + 1 + 1 = (a1 + a2 + a3 ) 1 + 1 + 1 ≥3 ( a1a2 a3 ) 3 ? 3 1 1 1 a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3

(

)

(

)

1 3

= 9 , 8 分) (

当且仅当 a1 = a2 = a3 = 1 时等号成立, 3 所以 1 + 1 + 1 ≥9 .(10 分) a1 a2 a3

22.命题立意:本题主要考查复合函数求导等知识,考查运算求解、推理论证能力. 证明:由 f ( x) = 2(1 + x) ln(1 + x) ? x 2 ? 2 x 得 f ′( x) = 2 ln(1 + x) ? 2 x , 2 分) (
令 g ( x) = 2 ln(1 + x) ? 2 x ,则 g ′( x) = 2 ? 2 = ?2 x , 1+ x 1+ x 当 ?1 < x < 0 时, g ′( x) > 0 , g ( x) 在 (?1, 上为增函数; 0) 当 x>0 时, g ′( x) < 0 , g ( x) 在 (0, ∞) 上为减函数, + 所以 g ( x) 在 x=0 处取得极大值,且 g (0) = 0 , 6 分) ( 故 f ′( x)≤0 (当且仅当 x = 0 时取等号) , 所以函数 f ( x) 为 [ 0, ∞ ) 上的减函数, 8 分) + (

则 f ( x)≤f (0) = 0 ,即 f ( x) 的最大值为 0. 10 分) (

23.命题立意:本题主要考查组合数的性质、二项式定理,考查推理论证能力.
(1)证明:左边 = kCk = k ? n 右边 = n ?
n! n! , = k !(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )!

(n ? 1)! n! , = ( k ? 1)!( n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )!

? 所以 kCk = nC k ?1 ; 3 分) n n 1 (

(2)证明:由题意得数列 a0 , a1 , a2 ,…为等差数列,且公差为 a1 ? a0 ≠ 0 .(5 分)
2 则 p( x) = a0 C0 (1 ? x) n + a1C1 x(1 ? x) n ?1 + a2 Cn x 2 (1 ? x) n ? 2 + ? ? ? + an Cn x n n n n

= a0 C0 (1 ? x) n + [ a0 + ( a1 ? a0 ) ] C1 x (1 ? x ) n ?1 + ? ? ? + [ a0 + n( a1 ? a0 ) ] Cn x n n n n

2 = a0 ?C0 (1 ? x) n + C1 x(1 ? x) n ?1 + ? ? ? + Cn x n ? + (a1 ? a0 ) ?C1 x(1 ? x) n ?1 + 2Cn x 2 (1 ? x) n ? 2 + ? ? ? + nC n x n ? n n n ? n ? ? n ?

12

= a0 [ (1 ? x) + x ] + (a1 ? a0 )nx ?C0 ?1 (1 ? x) n ?1 + C1 ?1 x(1 ? x) n ? 2 + ? ? ? + Cn ?1 x n ?1 ? n n ?1 ? n ?
n

= a0 + (a1 ? a0 ) nx [ x + (1 ? x) ]
= a0 + (a1 ? a0 )nx ,

n ?1

所以对任意的正整数 n, p( x) 是关于 x 的一次式. (10 分)

13


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