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福州三中2012-2013学年高三校模拟考试数学(理科)


福州三中 2012-2013 学年高三校模拟考试 数学(理工类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 21(1) 、 (2) 、 (3)题为选考题,请考生根据要求选答;其它题为必考题.考生作答时,将答 案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.

第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题意要求的. 1. 2. A. {x | 1 < x < 2} 则 S5 等于 A. ? 20 3. B. ? 10 C. 10 已知 i 是虚数单位, a ∈ R ,则“ a = 1 ”是“ A.充分而不必要条件 C.充要条件 4. 轴,则 a ? b 的最大值等于 A. 2 B. 1 C. 已知集合 M = {x | x > 1} ,集合 N = {x | x ? 2 x < 0} ,则 M I N 等于
2

B. {x | 0 < x < 1} C. {x | 0 < x < 2} D. {x | x > 2}
2

设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n .若 a2 , a4 是方程 x ? 4 x + 3 = 0 的两个根, D. 20

a+i 为纯虚数”的 a ?i
2 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

已知 a > 0 ,b > 0 ,直线 ax ? by + 1 = 0 是圆 ( x + 1) + ( y ? 1) = 4 的一条对称

1 2

D.

1 4

5.

?1, x > 0 ? 2 已知函数 f ( x ) = ?0, x = 0 ,设 F ( x) = x ? f ( x) ,则 ??1, x < 0 ? F ( x) 是 A.奇函数,在 ( ?∞, +∞ ) 上单调递减 B.奇函数,在 ( ?∞, +∞ ) 上单调递增 C.偶函数,在 ( ?∞,0) 上递减,在 (0,+∞) 上递增 D.偶函数,在 ( ?∞,0) 上递增,在 (0,+∞) 上递减
已知程序框图如图所示,执行相应程序,若输出 S = 15 , 则框图中①处可以填入 A. n ≥ 4 ? B. n > 8 ? C. n > 4 ? D. n ≥ 8 ? 某人发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,则等 待报时的时间不多于 10 分钟的概率等于 A.

6.

7.

1 12

B.

1 10

C.

1 6

D.

1 3

第 1 页 共 10 页

8.

已知几何体的三视图如右图所示,它们都是直角边长等于 1 的等腰直角三角形,则这个几何体的表面积等于 A. 2 C. 4

3+ 2 2 D. 2 + 1
B.

x2 y2 9. 已知椭圆 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )的右焦点为 F , O 为原点,在椭圆上存在一 a b 个点 P 使得△ OFP 为等边三角形,则椭圆的离心率为 5 ?1 5 A. 3 ? 1 B. 2 ? 3 C. D. ?1 2 2 10. 在平面直角坐标系 xOy 中,定义 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) 两点之间的“直角距离”
为 MN = x1 ? x2 + y1 ? y 2 .对于以下结论,其中正确的序号是 ① O 为坐标原点,满足条件 OP = 1 的点 P 的轨迹围成的图形的面积为 2; ②设 A(1,1) , B 为直线 2 x ? y + 3 = 0 上任意一点,则 AB 的最小值为 2 ; ③ O 为坐标原点, M 为曲线 x + y = 2 上任意一点,则 OM 恒等于 2 . A.① B.①② C.①③ D.①②③
1 2 1 2

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11. 已知向量 a = (sin θ ,2) , b = (cos θ ,1) ,且 a // b ,则 tan 2θ =_________. 12. 若 (1 ? x) = a0 + a1 x + a2 x + L + a8 x ,则 a1 + a2 + a3 + L + a8 =_________.
8 2 8

? x + y ≥ 6, ? 13. 若点 ( x, y ) 满足 ? y ≤ x, 则函数 z = 2 x ? y 的最小值等于_________. ? y ≥ 1, ?
14. 曲线 C : y = x 在 (1 , 1) 点处的切线 l 与曲线 C 及 x 轴围成的封闭图形的面积 等于________. 15. 如图给出四个函数图象,它们分别与下列的一个现实情境相匹配:
2
y
y y

y

① ② ③ ④ 情境 A:根据乘客人数,每辆公交车一趟营运的利润; 情境 B:被称为“经历春夏秋冬四季”的福州某一天每一时刻的气温; 情境 C:按时间记录的某一个减肥失败者的体重; 情境 D:按年度记录,平均增长率控制在某一范围的人口数. 其中情境 A、 B、 C、 D 分别对应的图象是_________ (按序填写正确图象的序号) .
第 2 页 共 10 页

O

x

O

x

O

x

O

x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 16. 每天的 P 值是空气质量的重要指标, 空气质量级别与 P 值范围对应关系如下表所 示.为了了解某市 2013 年的空气质量,随机抽取了该市 2013 年 10 天的 P 值数 据,绘制成茎叶图如下图所示. (Ⅰ)试估计该市 2013 年 P 值的日平均值; (Ⅱ)把频率视作概率,求该市在后续 3 天时间里至少有 1 天空气质量超标的概 率; (Ⅲ)从这 10 天的 P 值数据中任取 3 天的数据,将其中空气质量达到一级的天 数记为 ξ ,求 ξ 的分布列和数学期望.

17. 已知 a ∈ R ,函数 f ( x) = ax ? 2 ln x .
2

(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性;

F

(Ⅱ)是否存在 a 的值,使得方程 f ( x) = 3 有两个不等的 实数根?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理 E 由. C 18. 如图,某简单几何体的一个面 ABC 内接于圆 M , AB 是 B 圆 M 的直径,CF // BE ,BE ⊥ 平面 ABC , 且 AB = 2 , A M AC = 1 , BE + CF = 7 . (Ⅰ)求证: AC ⊥ EF ; (Ⅱ)当 CF 为何值时,平面 AEF 与平面 ABC 所成的锐角取得最小值? 19. 已知双曲线 C 的中心在原点且经过点 D( 2 ,0) ,m1 = ( 2 ,1) ,m 2 = ( 2 ,? 1) 分别是两条渐近线的方向向量. (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; y (Ⅱ)如图所示,椭圆 经过点 B (?

x2 + y 2 = 1 的左顶点为 A , 4

M

6 A B O ,0) 的直线 l 与椭圆交于 M , N 两点, 5 N 试判断 AM ? AN 是否为定值,并证明你的结论. 2 (Ⅲ)双曲线 C 或抛物线 y = 2 px( p > 0) 是否也有类似(Ⅱ)的结论?若是,

x

请选择一个曲线写出类似结论(不要求书写求解或证明过程) .

第 3 页 共 10 页

20. 如图,准备在扇形空地 AOB 上修建一个山水景观 OPQ ,已知 ∠AOB =

OA = 1km ,点 P 在扇形弧上, PQ // OA 交 OB 于点 Q ,记 ∠POA = x . (Ⅰ)当 Q 是 OB 中点时,求 PQ 的长; (Ⅱ)求使山水景观 OPQ 的面积 S 最大时 x 的值; B
(Ⅲ)为了方便路人休闲行走,要在扇形空地上铺 设一条从入口 A 到出口 B 的观光道路,道路由弧 ⌒ AP,线段 PQ 以及线段 QB 组成,怎样设计才能使 得观光道路最长?
Q x O

2 π, 3

P

A

(2)、 (3)三个选答题, 每题 7 分, 请考生任选 2 题作答, 满分 14 分. 如 21. 本题 有(1)、 果多作,则按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目 对应的题号涂黑, 并将选题号填入括号中. (1) (本题满分 7 分)选修 4-2 :矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 内,变换 Γ1 将每个点 ( x, y ) 沿着与 x 轴平行的方向平移

2 y 个单位变成点 P' .变换 Γ2 将点 ( x, y ) 变为 ( x' , y ' ) ,其坐标变换公式为 ? x ' = x, ? ? y ' = 2 y. (Ⅰ)写出 Γ1 的坐标变换公式及 Γ1 、 Γ2 所对应的二阶矩阵 A 、 B ; 2 2 (Ⅱ)求曲线 C : x ? 4 y = 1 依次经过 Γ1 和 Γ2 变换作用后的曲线 C ' 的方程.
(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x = 2 ? 3 t, ? 5 ( t 为参数) 直线 l 的参数方程是 ? . 以O 为 在平面直角坐标系 xOy 内, 4 ?y = t 5 ? 极点、 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ = 2sin θ . (Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ) 设直线 l 与 x 轴交于点 M , 点 N 在曲线 C 上, 求 M ,N 两点间距离 | MN | 的最小值. (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) = x ? 2 x .
2

(Ⅰ)证明:对任意 x ∈ R , f ( x) > 2 x ? 6 恒成立; (Ⅱ)解不等式 f ( x) ≤| x ? 1 | + | x ? 2 | .

第 4 页 共 10 页

福州三中 2012-2013 学年高三校模拟考试数学(理科)参考答案
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分 1 A 6 B 2 C 7 C 3 A 8 D 4 D 9 A 5 B 10 14 B 15 二、填空题:每小题 4 分,共 20 分 11 12 13

?

4 3

?1
3

1 12
④①③②

三、解答题:共 80 分 16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)估计该市 2013 年 P 值的日平均值

25 + 30 + 30 + 35 + 44 + 46 + 48 + 52 + 62 + 78 = 45 . 10 1 (Ⅱ)依题意,1 天空气质量超标的概率 p = , 10 9 所以 1 天空气质量未超标的概率 p ' = 1 ? p = . 10

X =

……3 分

……5 分

依题意,空气质量是否超标相互独立, 该市在后续 3 天时间里至少有 1 天空气质量超标的概率

P = 1 ? p'3 = 0.271 . (Ⅲ) ξ 的可能取值为 3,2,1,0.
这 10 天的 P 值数据中空气质量达到一级的天数共有 4 天. 所以 P (ξ = 3) =
3 2 1 C4 C4 C6 1 3 ( 2 ) = ; ξ = = = ; P 3 3 C10 10 C10 30

……8 分

P(ξ = 1) =

所以 ξ 的分布列如下表:

1 2 3 C4 C6 1 C6 1 ( 0 ) = ; ξ = = = . P 3 3 C10 2 C10 6

ξ
P

3

2

1

0

1 30

3 10

1 2

1 6
……11 分

第 5 页 共 10 页

ξ 的数学期望 Eξ = 3 ×
17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ) f ′( x) = 2ax ?

1 3 1 1 6 + 2 × + 1× + 0 × = . 30 10 2 6 5

……13 分

2 2ax 2 ? 2 = , x > 0. x x ①当 a ≤ 0 时, f ′( x) < 0 , f ( x) 在 (0,+∞) 上单调递减;
②当 a > 0 时,令 f ′( x) = 0 ,解得 x =

……1 分 ……3 分

当 x 变化时, f ′( x) 与 f ( x) 的变化情况如下表:

a . a

x?

(0,

a )? a
-? ↘?

a ? a
0? 极小值?

(

a ,+∞) ? a
+? ↗?

f ′( x) ?
f ( x) ?
所以函数 f ( x) 在 (0,

a a ) 内单调递减,在 ( ,+∞) 内单调递增. a a 2 (Ⅱ)存在 a ∈ (0, e ) ,使得方程 f ( x) = 3 有两个不等的实数根.

……6 分

理由如下: 由(Ⅰ)可知当 a ≤ 0 时, f ( x) 在 (0,+∞) 上单调递减,方程 f ( x) = 3 不可能有 两个相等的实数根; 当 a > 0 时,根据函数的单调性可知,使得方程 f ( x) = 3 有两个不等的实数根, 等价于函数的极小值 f ( 即 f(

a ) < 3, a

……10 分

a ) = 1 + ln a < 3 ,解得 0 < a < e 2 , a 2 所以 a 的取值范围是 (0, e ) .

……13 分

18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)因为 CF // BE ,所以 CF , BE 确定一个平面 FCBE . 又因为 BE ⊥ 平面 ABC , 所以 CF ⊥ 平面 ABC ,而 AC ? 平面 ABC , 所以 CF ⊥ AC . 在圆 M 中, AB 为直径,所以 AC ⊥ BC ,而 BC I CF = C , 所以 AC ⊥ 平面 FCBE ,又 EF ? 平面 FCBE , 所以 AC ⊥ EF .
第 6 页 共 10 页

……6 分

(Ⅱ)分别以 CA , CB , CF 所在直线为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系

C ? xyz ,如图所示.
设 CF = a ,依题意可得 A(1,0,0) , B (0, 3 ,0) ,

F (0,0, a ) , E (0, 3 ,7 ? a) ,
则 AE = ( ?1, 3 ,7 ? a ) , AF = ( ?1,0, a ) , 设平面 AEF 的一个法向量为 m = ( x, y, z ) ,

z F

? ? AE ? m = ? x + 3 y + (7 ? a) z = 0, 则? ? ? AF ? m = ? x + az = 0,

C A x

E B M y

? x = az, ? 解得 ? 2a ? 7 z. ?y = 3 ? 取 z = 3 ,得 m = ( 3a,2a ? 7, 3 ) . 又平面 ABC 的一个法向量 n = (0,0,1) ,
所以 | cos < m , n >|=
2

……9 分 ……10 分

3 m?n = = | m || n | 3a 2 + (2a ? 7) 2 + 3
2

3 7a 2 ? 28a + 52



因为 7 a ? 28a + 52 = 7( a ? 2) + 24 ≥ 24 ,当且仅当 a = 2 时等号成立, 所以 | cos < m , n >| max = 19. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)两条渐近线的方程为 y = ± 依题意 a = 2 ,所以 b = 1 , 双曲线方程为

2 , 4 24 即当且仅当 CF = 2 时,平面 AEF 与平面 ABC 所成的锐角最小. = 1 x. 2

3

……13 分

x2 ? y2 = 1. 4 (Ⅱ) AM ? AN 为定值 0 ,理由如下:
当直线 l 的斜率不存在时, l 的方程为 x = ? 求得 M (?

……4 分

6 , 5

6 4 6 4 , ) , N ( ? ,? ) , 5 5 5 5 4 4 4 4 此时 AM ? AN = ( , ) ? ( ,? ) = 0 . 5 5 5 5 6 5

……5 分

当直线 l 斜率存在时, l 的方程可设为 y = k ( x + ) .
第 7 页 共 10 页

? x2 + y 2 = 1, ? ?4 由? ? y = k ( x + 6 ), ? 5 ?
得 (100k + 25) x + 240k x + 144k ? 100 = 0 .
2 2 2 2

显然 Δ > 0 . 记 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,

240k 2 144k 2 ? 100 则 x1 + x 2 = ? , x1 x 2 = , ……7 分 100k 2 + 25 100k 2 + 25 6 6 6 36 64k 2 y1 y 2 = k 2 ( x1 + )( x 2 + ) = k 2 ( x1 x 2 + ( x1 + x 2 ) + ) = ? , 5 5 5 25 100k 2 + 25 所以 AM ? AN = ( x1 + 2, y1 ) ? ( x2 + 2, y 2 ) = ( x1 + 2)( x 2 + 2) + y1 y 2
= x1 x 2 + 2( x1 + x 2 ) + 4 + y1 y 2 = 144k 2 ? 100 240k 2 ? 64k 2 + 2 ( ? ) + 4 + = 0. 100k 2 + 25 100k 2 + 25 100k 2 + 25
……10 分
2

综上所述, AM ? AN 为定值 0 . (Ⅲ)双曲线 C :

10 x ? y 2 = 1 的左顶点为 A ,经过点 B(? ,0) 的直线 l 与双 4 3 ……13 分 曲线 C 交于 M , N 两点,则 AM ? AN 为定值 0 . 说明: (1)必须指出 B 点坐标,但可以不说具体定值. 10 (2)对双曲线而言,与右顶点相关的点为 ( ,0) . 3 2 ( 3 )抛物线也有类似结论:抛物线 y = 2 px( p > 0) 的顶点为 O ,经过点 B(2 p,0) 的直线 l 与抛物线交于 M , N 两点,则 OM ? ON 为定值 0 .
20. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)当 Q 是 OB 中点时, OQ =
2

1 1 , ∠PQO = π , OP = 1 . 2 3
2 2

在△ OPQ 中,由余弦定理得 OP = QO + PQ ? 2QO ? PQ ? cos 解得 PQ =

π
3

, ……4 分

1 + 13 . 4

(Ⅱ)在△ OPQ 中,由正弦定理得

PQ OP = , π 2π ? x) sin sin( 3 3

第 8 页 共 10 页

所以 PQ =

2π 2π 2 3 sin( ? x) , x ∈ (0, ) . 3 3 3

1 ? PQ ? PO ? sin x 2 3 2π = ? x) sin x sin( 3 3 3 3 1 = ( cos x + sin x) sin x 3 2 2 3 3 1 1 = ( sin 2 x ? cos 2 x + ) 3 4 4 4 π 3 3 = sin(2 x ? ) + . 6 6 12 π π 3 所以当 sin( 2 x ? ) = 1 , S max = ,此时 x = . 4 3 6 (Ⅲ)设观光道路长为 f ( x) , OQ OP , 在△ OPQ 中,由正弦定理得 = sin x sin π 3 π 2 3 sin x , x ∈ (0, ) . 所以 OQ = 3 3 2π 2 3 2 3 sin x) , sin( ? x) + (1 ? f ( x) = x + 3 3 3 π 3 即 f ( x) = x + cos x ? sin x + 1 , x ∈ (0, ) . 3 3 3 f ′( x) = 1 ? sin x ? cos x , 3 1 2 3 3 令 f ′( x) = 0 ,得 1 = ( sin x + cos x) , 2 2 3 π 3 1 即 sin( x + ) = ,解得 x = π , 2 6 6 S=
当 x ∈ (0, 当 x∈(

……9 分

π

π π

6

) 时, f ′( x) > 0 , f ( x) 单调递增;

, ) 时, f ′( x) < 0 , f ( x) 单调递减, 6 3
第 9 页 共 10 页

所以当 x =

π
6

时, f ( x) 取得最大值,且最大值 f ( ) =

π

π
6

故设计 ∠POA =

π
6

6

+

3 + 1. 3
……14 分

时,才能使得观光道路最长.

21. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 (Ⅰ) Γ1 的坐标变换公式为 ? 所以 A = ? ?

? x' = x + 2 y , ? y ' = y.

?1 2? ?1 0? ? ? ? , B = ? ? ?. ?0 1? ?0 2? (Ⅱ)依次经过 Γ1 和 Γ2 变换所对应的矩阵为 ?1 0? ?1 2? ?1 2? ? ? BA = ? ? ?, ?=? ? ?0 2? ??? ? ? ? 0 1? ? 0 2? ? x = x'? y ' , ? x' = x + 2 y, ? 坐标变换公式为 ? 所以 ? 1 y = y' , ? y ' = 2 y, ? 2 ? 2 2 代入曲线 C 得 x' ?2 x' y ' = 1 ,即 x ? 2 xy = 1 .
(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 (Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程为 x + y ? 2 y = 0 ,
2 2

……7 分

即 x + ( y ? 1) = 1 .
2 2

(Ⅱ)直线 l 与 x 轴交于点 M (2,0) , 曲线 C 是圆心为 C (0,1) ,半径 r = 1 的圆,

| MC |= 2 2 + 12 = 5 ,
所以 | MN | 的最小值为 | MC | ?r = 5 ? 1 . (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ) f ( x) ? ( 2 x ? 6) = x ? 4 x + 6 = ( x ? 2) + 2 > 0 成立,
2 2

……7 分

所以对任意 x ∈ R , f ( x) > 2 x ? 6 恒成立. (Ⅱ)不等式等价于 ?

? x ≤ 1,

2 ? x ? 2 x ≤ ?( x ? 1) ? ( x ? 2), ?1 < x < 2, ? x ≥ 2, 或? 2 或? 2 ? x ? 2 x ≤ ( x ? 1) ? ( x ? 2), ? x ? 2 x ≤ ( x ? 1) + ( x ? 2), 解得 ? 3 ≤ x ≤ 1 ,或 1 < x < 2 ,或 2 ≤ x ≤ 3 ,

综上不等式的解集为 {x | ? 3 ≤ x ≤ 3} .

……7 分

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