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第19届全国中学生物理竞赛复赛答案


第十九届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答

一、参考解答 实践证明,甲的设计是正确的,所以乙的结论肯定是错的。 (1)设大气压为 p 0 ,水的密度为 ? 。拧开 K 前的情况如图复解19-l的(a)图所示。由流 体静力学可知, B 、 C 中气体的压强为
p B ? p C ? p 0 ? ? g ( h1 ? h 2 )
D

>
(1)

K D A

H A h1

K

中气体的压强为
p D ? p B ? ? g h1

(2)

E B h2 F C
(a) 图复解 19-1

由(1)、(2)两式可得
p D ? p 0 ? ? g h2

B

即 p D ? p 0 ,当拧开 K 后, D 中气体压强降至 p 0 ,此时
p B ? p 0 ? ? g h1

C
(b)

(3)

即 D 管中容器 B 水面以上的那一段水柱所受合力向上,所以 D 管中水柱上 升。 (2)拧开 K 后,水柱上升,因 D 管上端已足够长,故水不会从管口喷出.设到 D 中的水面静止时 D 中 增加水量的体积为 ? V ,则 B 中减少水量的体积亦为 ? V ,其水面将略有降低,因而 B 及 C 中气体压强路有 下降, A 中的水将通过 E 管流入 C 中,当从 A 流入水量的体积等于 ? V 时, B 、 C 中气体压强恢复原值。 因为 A 、 B 、 C 的半径为 D 管半径的 60 倍,截面积比为 3600 倍,故 A 、 B 、 C 中少量水的增减( ? ? V ) 引起的 A 、 B 、 C 中水面高度的变化可忽略不计,即 h1 和 h 2 的数值保持不变。 设 D 中水面静止时与 A 中水面的高度差为 H ,(见图复解19-1(b)),则有
p 0 ? ? g ( h1 ? h 2 ) ? p 0 ? ? g ( H ? h1 )

(4) (5)

由此可得

H ? h2

(3)将图复解 19-l(a)和(b)两图相比较可知,其差别在于体积为 ? V 的水从 A 移至 C 中,另 ? V 的 水又由 B 移入 D 中,前者重力势能减少,而后者重力势能增大,前者的重力势能减少量为
? E 1 ? ? g ? V ( h1 ? h 2 )
D

(6)

中增加的水柱的重心离 A 中水面的高度为 h 2 / 2 ,故后者的重力势能增量为
? E 2 ? ? g ? V ( h1 ? 1 2 h2 )

(7)

即 ? E1 ? ? E 2 。 由此可知, 体积为 ? V 的水由 A 流入 C 中减少的势能的一部分转化为同体积的水由 B 进入 D 中所需的势 能,其余部分则转化为水柱的动能,故发生上下振动, D 中水面静止处为平衡点.由于水与管间有摩擦等原
第十九届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第 1 页

因,动能逐步消耗,最后水面停留在距 A 中水面 h 2 处。

二、参考解答 由于圆柱形区域内存在变化磁场,在圆柱形区域内外空间中将产生涡旋电场,电场线为圆,圆心在圆柱 轴线上,圆面与轴线垂直,如图中虚点线所示.在这样的电场中,沿任意半径方向移动电荷时,由于电场力 与移动方向垂直,涡旋电场力做功为零,因此沿半径方向任意一段路径上的电动势均为零. 1.任意点在磁场区域内:令 P 为任意点(见图复解19-2-1) x ?
2R

,在图中连直线 O A 与 O P 。取闭

合回路 A P O A , 可得回路电动势 E 1 ? E A P ? E P O ? E O A , 式中 E A P ,E P O ,E O A 分别为从 A 到 P 、 P 到 O 、 从 从 O 到 A 的电动势。由前面的分析可知 E P O ? 0 , E O A ? 0 ,故
E A P ? E1

(1)

令 ? A O P 的面积为 S 1 ,此面积上磁通量 ? 1 ? B S 1 ,由电磁感应定律,回路的电动势大小为
E1 ? ? ?1 ?t ? S1 ?B ?t

根据题给的条件有
E1 ? S1 k

(2)

由图复解19-2-2可知
S1 ? 1 2 x R s in ? ? xR 2 2

(3)

由(1)、(2)、(3)式可得沿 A P 线段的电动势大小为
E AP ? kR 2 2 x

(4)

A R

?

x P O

C

A

? R O

?

C

? D

?

Q

图复解 19-2-1

图复解 19-2-2

2.任意点在磁场区域外:令 Q 为任意点(见图复解19-2-2), x ? 回路 A Q O A ,设回路中电动势为 E 2 ,根据类似上面的讨论有
E AQ ? E 2

2R

。在图中连 O A 、 O Q 。取闭合

(5)

对于回路 A Q O A ,回路中磁通量等于回路所包围的磁场区的面积的磁通量,此面积为 S 2 ,通过它的磁

第十九届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第 2 页

通量 ? 2 ? B S 2 。根据电磁感应定律可知回路中电动势的大小
E2 ? S2k

(6)

在图中连 O C ,令 ? C O Q ? ? ,则 ? O Q C ? ? ? ? ,于是
S 2 ? ? A O C 的 面 积 ? 扇 形 O C D的 面 积 ?( ? 1 2 1 2 R (sin 2 ? ? ? )
2

R sin ? ) ? 2 R co s ? ?

?
2?

?R

2

当 ? ? ? / 4 时, S 2 ?
?OCQ

1 2

R (1 ? ? )
2



中有
x? 2R ? R s in [(? / 4 ) ? ? ]

s in ?

R s in ? ? ( x ? ? (x ?

2 R ) s in ( 1 2

?
4

? ?)

2R)

(c o s ? ? s in ? )

(R ?

x? 2

2R

) s in ? ?

x? 2

2R

cos ?

ta n ? ?

x? x

2R

于是得
S2 ? 1 2
2

R (1 ? a rc ta n

2

x? x x?

2R

)

(7)

由(5)、(6)、(7)式可得沿 A Q 线的电动势的大小为
E AQ ? kR 2 (1 ? a rc ta n 2R x )

(8)

三、参考解答 1 以三个质点为系统,由对称性可知,开始时其质心应位于 C 处,因为质点系所受的合外 A 力为零,由质心运动定理可知,质心总是固定不动的。质点 1、2 在静电力作用下,彼此间距 离必增大, 但不可能保持在沿起始状态时 1、 连线上运动, 2 若是那样运动, 由于杆不能伸长, C 3 质点 3 必向左运动,三者的质心势必亦向左运动,这与“质心不动”相矛盾,故不可能。由 此可知,由于杆为刚性,质点 1、2 在静电力作用下,要保持质心不动,质点 1、2 必将分别 向题图中右上方和右下方运动, 而质点 3 将向左运动. 3 运动到 C 处时, 2 将运动到 A 、 当 1、 B 2 B 处, A 、 B 、 C 三点在一直线上,1、2 的速度方向向右,3 的速度方向左(如图复解 19-3 所示)。令 v1 、 v 2 、 v 3 分别表示此时它们的速度大小,则由对称性可知此时三质点的总动能 为
EK ? 1 2 m v3 ? 2 (
2

图复解 19-3

1 2

m v1 )

2

(1)

第十九届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第 3 页

再由对称性及动量守恒可知
m v 3 ? 2 m v1

(2)

系统原来的电势能为
E P ? 3k q l
2 2 2

(3)

其中 k 为静电力常数.运动到国复解 19-3 所示的位置时的电势能为
E P? ? 2k q l ? k q

(4)

2l

根据能量守恒有
E P ? E P? ? E K

(5)

由以上各式可解得
v3 ? 2 kq
2

(6)

3 lm

四、参考解答 1.(1)调整活塞6使毛细管8中有色液柱处于适当位置,将阀门10关闭使两边气体隔绝,记下有色液柱的位 置; (2)合上开关 S ,测得电流 I ; (3)打开开关 S ; (4)测出有色液体右移的最远距离 ? x ; (5)改变电源电压,重复测量多次,记下多次的 I 和 ? x 值。 2.合上开关 S 后,线捆贮有磁场能量 W ?
1 2 LI
2

,因二极管 D 的存在, r 中无电流。打开开关 S 后,由于 L 中

有感应电动势,在线圈 L 、电阻器 a b 和二极管 D 组成的回路中有电流通过,最后变为零。在此过程中原来 线圈中储存的磁场能量将转化为 r 和 rL 上放出的热量,其中 r 上放出的热量为
?Q ? 1 2
2

LI

?

r r ? rL

(1)

此热量使试管中的气体加热、升温。因为是等压过程,所以气体吸热为
?Q ? m C p?T

?

(2)

式中 m 为气体质量, ? 为其摩尔质量, ? T 为温升,因为是等压过程,设气体体积改变量为 ? V ,则由理想 气体状态方程可得
p?V ? m R?T

?
2

(3)

而 由以上各式可得

?V ?

?d
4

?x

(4)

第十九届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第 4 页

L ?

?x I
2

?

rL ? r 2r

?

C p p? d R

2

(5)

五、参考解答 利用焦点的性质,用作图法可求得小物 P Q 的像 P ?Q ? ,如下图所示。

Q
y

n1 f1 u

n2

F2
f2 v

P?
y?

P

F1

Q?

图复解 19-5-1

(1)用 y 和 y ? 分别表示物和像的大小,则由图中的几何关系可得
y y? u ? f1 f1 f2 v ? f2

?

?

(1)

( u ? f 1 )( v ? f 2 ) ? f 1 f 2

简化后即得物像距公式,即 u , v , f1 , f 2 之间的关系式
f1 u ? f2 v ?1

(2)

(2) 薄透镜中心附近可视为筹薄平行板, 入射光线经过两次折射后射出, 放大后的光路如图复解19-5-2 所示。 图中 ? 1 为入射角,? 2 为与之相应的出射角,? 为平行板中的光线与法线的夹角。 设透镜的折射率为 n , 则由折射定律得
n1 sin ? 1 ? n sin ? ? n 2 sin ? 2

(3)

对傍轴光线, ? 1 、 ? 2 ≤1,得 s in ? 1 ? ? 1 , sin ? 2 ? ? 2 ,因而得
?2 ?
n1 n2

?1

(4)

?1

n1 n
? ?

n2
?2

(3)由物点 Q 射向中心 O 的入射线,经 L 折射后,出射线 应射向 Q ? ,如图复解19-5-3所示,

图复解 19-5-2

Q
y

n1

L

?1

n2

F2
?2

P?
y?

P

F1 u

v u
图复解 19-5-3

Q?

第十九届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第 5 页

在傍轴的条件下,有
y u ? ta n ? 1 ? ? 1, y? v ? ta n ? 2 ? ? 2

(5)

二式相除并利用(4)式,得
y ?u yv ? n1 n2

(6)

用(1)式的 y ? / y ? f1 /( u ? f 1 ) 代入(6)式,得
f1u ( u ? f1 ) v ? n1 n2



f1 ?

n1 u v n 2 u ? n1 v

(7)

用(1)式的 y ? / y ? ( v ? f 2 ) / f 2 代入(6)式,得
(v ? f 2 )u f2v n2uv n 2 u ? n1 v ? n1 n2



f2 ?

(8)

从而得 f1 , f 2 , n1 , n 2 之间关系式
f2 f1 ? n2 n1

(9)

六、参考解答 (1)由能量与速度关系及题给条件可知运动电子的能量为
m0c
2 2 2

1 ? (v / c )

? 1 .1 0 m 0 c

2

(1)

由此可解得
v ? 0 .2 1 1 .1 0 ? 0 .4 1 7 c ? 0 .4 2 c

(2)
h? c

入射光子和散射光子的动量分别为 p ?

和 p? ?

h? ? c

,方向如图复解19-6所示。电子的动量为 m v , m

为运动电子的相对论质量。由动量守恒定律可得
m0v 1 ? (v / c )
2 2

cos? ?

h? c

(3)

光子散射方向 电子 光子入射方向

?

第十九届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第 6 页

A 光子入射方向
图复解 19-6

m0v 1 ? (v / c )
2 2

s in ? ?

h? ? c

(4)

已知

2 h? ? h? ? ? 0 .1 0 m 0 c

(5)

由(2)、(3)、(4)、(5)式可解得
? ? 0 .3 7 m 0 c / h
2

(6) (7)
27 37 ) ? 3 6 .1 ?

? ? ? 0 .2 7 m 0 c / h
2

? ? ta n

-1

?? ?

? a rc ta n (

(8)

电子从 O 点运动到 A 所需时间为
?t ? L0 v ? 2 .4 L 0 / c

(9)

(2)当观察者相对于 S 沿 O A 方向以速度 v 运动时,由狭义相对论的长度收缩效应得
L ? L0 1 ? (v / c )
2 2

(10) (11)

L ? 0 .9 1 L 0

七、参考解答 1. 珠子运动的轨迹 建立如图复解19-7所示的坐标系, 原点 O 在过 A 点的竖直线与细杆相交处,x 轴沿细杆向右,y 轴沿 O A 向下。当珠子运动到 N 点处且绳子未断时,小环在 B 处, B N 垂直于 x 轴,所以珠子的坐标为
x ? PN ,y ? BN

由 ?APN 知
( AP ) ? (PN ) ? ( AN )
2 2 2

即有 ( h ? y ) 2 ? x 2 ? ( l ? y ) 2 ,得
x
2

? ? 2 (l ? h ) y ? (l ? h )
1 2

2

2

(1)
( l ? h ) 处,焦点与顶点的距离为 1 2 (l ? h )

这是一个以 y 轴为对称轴,顶点位于 y ? 19-7-1 所

的抛物线,如图复解 示,图中的

O
h P

B F T T
? ? ?

xM 切线

x

C?

H A? O

法线

?

N?
mg

H

N

xM
切线

x

A C
y

法线

P A T C
y

mg

N

第十九届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第 7 页mg

图复解 19-7-1

图复解 19-7-2

H ?

1 2

(l ? h )

, A 为焦点。

2. 珠子在 N 点的运动方程 因为忽略绳子的质量, 所以可把与珠子接触的那一小段绳子看做是珠子的一部分, 则珠子受的力有三个, 一是重力 m g ;另外两个是两绳子对珠子的拉力,它们分别沿 N B 和 N A 方向,这两个拉力大小相等,皆用 T 表示,则它们的合力的大小为
F ? 2 T co s ?

(2)

? 为 N 点两边绳子之间夹角的一半, F 沿 ? A N B 的角平分线方向。

因为 A N 是焦点至 N 的连线, B N 平行于 y 轴,根据解析几何所述的抛物线性质可知, N 点的法线是
?ANB

的角平分线.故合力 F 的方向与 N 点的法线一致。 由以上的论证.再根据牛顿定律和题中的注,珠子在 N 点的运动方程(沿法线方向)应为
2T c o s ? ? m g c o s ? ? m 2T c o s ? ? mv R
2

v

2

(3) (4)

R ? m g cos ?

式中 R 是 N 点处轨道曲线的曲率半径; v 为珠子在 N 处时速度的大小。根据机械能守恒定律可得
v ? 2 gy

(5)

3. 求曲车半径 R 当绳子断裂时 T ? T d ,由(4)式可见,如果我们能另想其他办法求得曲率半径 R 与 y 的关系,则就可能 由(4)、(5)两式求得绳子断裂时珠子的纵坐标 y 。现提出如下一种办法。做一条与小珠轨迹对于 x 轴呈 对称状态的抛物线,如图复解19-7-2所示。由此很容易想到这是一个从高 H 处平抛物体的轨迹。平抛运动 是我们熟悉的,我们不仅知道其轨迹是抛物线,而且知道其受力情况及详细的运动学方程。这样我们可不必 通过轨道方程而是运用力学原理分析其运动过程即可求出与 N 对称的 N ? 点处抛物线的曲率半径 R 与 y 的关 系,也就是 N 处抛物线的曲率半径 R 与 y 的关系。 设从抛出至落地的时间为 t ,则有
v0t ? l ?h
2 2

由此解得
v0 ? g (l ? h )

(7)

? 设物体在 N ? 处的速度为 v ,由机械能守恒定律可得

? v

2

? v 0 ? 2 g ( H ? B N ?)
2

(8)

物体在 N ? 处法线方向的运动方程为
m g cos ? ? ? mv R
2

(9)
1 2

式中 R 即为 N ? 处抛物线的曲率半径,从(7)、(8)、(9)式及 H ?

(l ? h )

,可求得

第十九届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第 8 页

R ?

2 ( l ? B N ?) cos ?

这也等于 N 点抛物线的曲率半径, B N ? B N ? ? y ,故得
R ? 2 (l ? y ) cos ?

(10)

4. 求绳被拉断时小珠的位置和速度的大小 把(5)式和(10)式代入(4)式,可求得绳子的张力为
T ? m gl 2 (l ? y )

(11)

当 T ? T d 时绳子被拉断,设此时珠子位置的坐标为 ( x d , y d ) ,由(11)式得
y d ? l (1 ? mg 2Td

)

(12)

代入(1)式,得
xd ? m gl( l?h Td ) ? (l ? h )
2

(13)

绳子断开时珠子速度的大小为
vd ? 2 gyd ? 2 g l (1 ? mg 2Td )

(14)

第十九届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 第 9 页


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