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结构体系失效概率计算的一种快速有效方法


第24卷第1期
2007 年 2 月

  计 算 力 学 学 报

 

Vol . 2 4 , No . 1 February 2007

Chinese Journal of Computational Mechanics

结构体系失效概率计算的一种快速有效方法
郭书祥
( 空军工程大学 理学院 ,西安 710051)

摘   : 提出了结构体系可靠性计算的一种快速 、 要 有效的新方法 。通过失效模式之间相关度的确定 ,把系统失效 概率的计算归结为各失效模式对应失效概率的权系数的确定 。由于不涉及二阶和高阶联合概率的计算 ,不但有 效地减小了计算工作量 ,且可消除相应的误差 。实例对比研究表明 ,文中方法有足够的精度 ,且求解方便 ,计算 量小 ,是实用和有效的 。 关键词 : 结构体系 ; 失效概率 ; 失效模式 ; 相关度 中图分类号 : TB114. 3 ;O213. 2     文献标识码 :A

1    引 言
结构体系的可靠性分析涉及体系主要失效模 式的枚举 、 各失效模式的失效概率计算和系统的失 效概率计算等 。体系失效概率的计算历来是结构 可靠 性 分 析 中 的 重 要 问 题 之 一 , 已 有 很 多 研 究 [ 1212 ] 。通常 ,结构体系可看作是由各失效模式所 组成的串联系统 ,因而可按串联系统失效概率的计 算方法计算体系的失效概率 。但由于各失效模式 之间存在可能的相关性 ,使其计算较为复杂 。1969 年 ,Cornell [ 1 ] 按独立和完全相关两种极端情况给 出了系统失效概率的宽界限 。Ditlevsen [ 2 ] 则提出 了著名的窄界限法 ,分别给出了二阶联合概率和系 统失效概率的窄界限 。窄界限法在结构体系的可 靠性评估中发挥了重要作用 ,但其界限一般随失效 模式的增多和失效模式间相关性的增大而扩大 。 因此 ,许多学者提出了联合概率和系统失效概率的 点值估计方法 。Feng [ 3 ] 提出了二阶联合概率的点 值近似公式和可考虑到三阶联合概率的系统失效 概率的高精度算法 。So ng[ 4 ] 提出了计算二阶和三 阶联合概率的数值积分法 ,进一步完善了体系失效 概率的高精度算法 。李 [ 5 ] 和姚[ 6 ] 等按照几何关系 , 分别提出了计算二阶联合概率和体系失效概率的 近似计算公式 。这些方法的提出 ,较好地解决了结 构体系的可靠性计算问题 。 但目前的大多数计算
收稿日期 :20042092071 修改稿收到日期 :2005207221. 基金项目 : 中国博士后科学基金 ( 2003034410) ; 空军工程大学 理学院科学基金 (2005ZK12) 资助项目 1 作者简介 : 郭书祥 (19642) ,男 ,教授 ,博士后 ,博士生导师 1

方法都涉及到二阶联合概率甚至高阶联合概率的计 算 ,计算工作量较大。本文提出了计算结构体系失效 概率的一种有效的新方法。通过各失效模式间相关 度的确定 ,可给出系统失效概率的高精度点值。由于 不涉及联合概率的计算 ,其求解方便 ,计算量小。

2  体系失效概率的计算
的功能方程为

设结构系统有 n 个主要失效模式 , 各失效模式
M i = g i ( x1 , …, x m ) = 0  ( i = 1 , 2 , …, n) ( 1)

为计算方便 , 将这些失效模式按照失效概率从大到 小的顺序排列 。 假设有 其中
Pf 1 ≥ Pf 2 ≥ … ≥ Pf n ( 2) ( 3)

P f i = P{ M i ≤0 }   ( i = 1 , 2 , …, n)

为与第 i 个失效模式对应的失效概率 , 可由常规的 结构可靠性方法计算 。 由一般串联系统的概率计算 方法 , 结构系统的失效概率可表示为
P f s = P{ ( M 1 ≤0 ) ∪( M2 ≤0) ∪ … ∪( M n ≤0) } ( 4) ( 5)

为简便 , 记

  P{ M i ≤0} = P ( M i )  ( i = 1 , 2 , …, n) 的失效概率可表示为

则由两个失效模式 M i 和 M j ( i < j ) 组成的子系统   P f i j = P ( M i ∪M j ) = P ( M i ) + P ( M j ) P ( M i ∩M j ) = P f i + P f j - Pij

计算系统失效概率的主要困难在于需要考虑 各失效模式间的相关性 , 如式 ( 6) 中失效模式 M i 和 M j 同时发生的二阶联合概率 P ij 的计算 。 现将

文章编号 :100724708 ( 2007) 0120107204
( 6)

108













  24 卷   第

Pij 表示为 Pij = rij Pf j ( 7)

P ( M 12 ) + P ( M3 ) - r123 ? ( M3 ) = P

 P f 12 + P f 3 - r123 P f 3 = P f 12 + ( 1 - r123 ) P f 3
( 12)

其中 , 条件失效概率
rij = P ( M i / M j ) ( 8)

其中
M 12 = M 1 ∪M 2 , P ( M 12 ) = P f 12 ( 13) r123 为模式 M12 和 M3 之间的相关度 , 可利用式 ( 9)

表达了失效模式 M i 和 M j 之间的一种相关程度 。 当
rij = 0 时 , 在失效模式 M j 发生的条件下 , 失效模式 M i 不会发生 , 即模式 M i 和 M j 完全独立 ; 当 rij = 1

和式 ( 10) 进行计算 。 其中所需要的对应于失效模 式 M 12 的可靠性指标可利用失效概率 P f 12 进行计 算。 其中的相关系数可取为 ρ = max{ρ ,ρ } 123 13 23
( 14)

时 , 在模式 M j 发生的条件下 , 模式 M i 必然发生 , 即
M i 和 M j 最大程度地相关 。 一般有 0 < rij < 1 , rij 越

大 , 模式 M i 和 M j 之间的相关程度越高 。 因此 , 可称
rij 为失效模式 M i 和 M j 之间的相关度 ( degree of

式 ( 12) 和式 ( 11) 在形式上是完全相同的 。 以 此类推 , 由前 n 个失效模式 M 1 , M2 , …, M n 组成的 子系统的失效概率可表示为
P f s = P ( M 1 ∪M2 ∪ … ∪ M n - 1 ∪ M n ) = P ( M 12 …n - 1 ∪ M n ) = P f 12 …n - 1 + ( 1 - r12 …n ) P f n ( 15)

dependence) 。 正如 Cui

[7 ]

等所指出的 , 随机事件集

合间的相关性不同于随机变量之间的相关性 , 后者 可由随机变量的联合概率密度函数或所有统计矩 描述 , 而前者由事件集合的交集描述 。 这里定义的 失效模式之间的相关度本质上是构成失效模式的 随机事件集合间加权交叠程度的度量 。 Cui [ 7 ] 等 在 提出的区间概率理论中 , 也定义了一种含义相同的 事件集合间的相关度 。 但对这一在计算中起决定作 用的参量 , 未给出有效的确定方法 。 Sarveswaran [ 8 ] 等在将区间概率理论用于腐蚀结构的可靠性评估 时 , 对相关度作了进一步的解释说明 , 但也未解决 如何准确的确定相关度的问题 。 根据 rij 的定义式 和条件概率的计算方法 , 对正态随机变量问题 , 当 ρ 失效模式之间正相关 ( 0 ≤ ij ≤1) 时 , 通过解析推 导 , 本文给出 rij 的一种近似计算公式为
rij Pf i = Φ( - β ) + C ijΦ( - β ) ij ji Pfj ( 9)

其中   M12 …n - 1 = ( M 1 ∪ M 2 ∪ … ∪ M n - 1 )   P f 12 …n - 1 = P ( M 12 …n - 1 )
( 16)

式中 r12 …n 为失效模式 M 12 …n - 1 和 M n 之间的相关 度 , 同样可利用式 ( 9) 和式 ( 10) 进行计算 。 其中所 用到的相关系数可取为 ρ …n = max{ρn ,ρn , …,ρ - 1 , n } 12 1 2 n 从而 , 可得系统的失效概率为
P f s = P f 12 …n - 1 + ( 1 - r12 …n ) P f n = P f 1 + ( 1 - r12 ) P f 2 + ( 1 - r123 ) P f 3 + ( 17)

… + ( 1 - r12 …n ) P f n

( 18)

从本质上讲 , 式 ( 18) 是准确的 , 其计算误差仅取 决于各项权系数中的相关度 。 从理论上不难判断 , 根 据式 ( 9) 定义的相关度所计算的二阶联合概率必位 于 Ditlevsen 的窄界限内 。 , 相关度的精度乃至系 因而 统失效概率的精度是有保证的 。 实际计算时 , 式 ( 18)

其中 β - ρβj β - ρβi i ij j ij β β     ij = ,   ji = 2 2 ρ ρ 1 - ij 1 - ij    Cij ρ = 0 . 5 ( ij +ρ ij
2 2 1 - ρ) ij

( 10 )

中各项是依次渐进求解的 , 不涉及二阶和高阶联合 概率。 其计算简便 , 计算量小 , 很容易实施 。

) 式中 Φ( ? 为标准正态分布函数 ,β 和βj 分别为失 i

效模式 M i 和 M j 对应的可靠性指标 ,ρ 为按一般 ij 随机可靠性理论所定义的模式 M i 和 M j 之间的相 关系数 。 由式 ( 6) , 式 ( 7) 和式 ( 9) 可得 , 由前两个失 效模式 M 1 和 M 2 组成的子系统的失效概率为
P f 12 = P f 1 + P f 2 - r12 P f 2 = P f 1 + ( 1 - r12 ) P f 2 ( 11 )

3  算例分析
算例 1  某系统由四个失效模式组成 。 已知其 [9 ] β 可靠性指标分别为 : 1 = β = 2 . 5 ,β = 3 . 0 , 2 3 β = 3. 5 。 各模式间的相关系数为 ρ = 0 . 86 。 文中 4 方法的计算结果与窄界限法和数值积分法的比较列
( 入表 1 。文中方法的二阶联合概率仅是为了比较而

类似地 , 由前三个失效模式 M1 , M 2 和 M3 组成 的子系统的失效概率为
P f 123 = P ( M 1 ∪M 2 ∪M3 ) = P ( M 12 ∪M3 ) =

计算。 实际上 , 文中方法无需计算二阶和高阶联合概 率) 。

  1期 第

郭书祥 : 结构体系失效概率计算的一种快速有效方法 表 1  失效概率计算结果的比较
Tab. 1   mpariso n of t he failure p ro babilities o btained by different met hods Co

109

    Ditlevsen 窄界限法 [ 9 ] 1 . 5301 ×10 - 3 ≤ P12 ≤3 . 0601 ×10 - 3 7 . 5905 ×10 - 4 ≤ P13 , P23 ≤10 . 564 ×10 - 4 1 . 9596 ×10 - 4 ≤ P14 , P24 ≤2 . 2101 ×10 - 4 1 . 1813 ×10 - 4 ≤ P34 ≤1 . 6638 ×10 - 4 9 . 3593 ×10 - 3 ≤ P f s ≤11 . 5170 ×10 - 3

  本文方法
P12 = 2 . 43156 ×10
-3

P13 , P23 = 9 . 34241 ×10 - 4 P14 , P24 = 2 . 10610 ×10 - 4 P34 = 1 . 46531 ×10 - 4 P f s = 10 . 26894 ×10 - 3

  数值积分法 [ 9 ] P12 = 2 . 7340 ×10 - 3 P13 , P23 = 9 . 669 ×10 - 4 P14 , P24 = 2 . 1150 ×10 - 4 P34 = 1 . 5270 ×10 - 4 P f s = 9 . 8902 ×10 - 3

文中方法求得的各失效模式间的相关度分别为 :
r12 = 0 . 3916 , r123 = 0 . 7997 , r1234 = 0 . 9536 。 由表 1

表 2  失效概率的计算结果及比较
Tab. 2  Result s of failure p ro babilities and co mpariso n
Ditlevsen 窄界限法 1 . 04697 ×10 - 4 ≤ P12 ≤1 . 62595 ×10 - 4 8 . 67716 ×10 - 5 ≤ P13 ≤1 . 35785 ×10 - 4 3 . 27133 ×10 1 . 73811 ×10
-5 -3

可看出 , 文中方法求得的结构体系失效概率与数值 积分法的相对误差为 3 . 83 % 。   算例 2  已知某系统各失效模式对应的可靠 性指标分别为
[4 ]

本文方法
P12 = 1 . 36890 ×10 - 4 P13 = 1 . 13364 ×10 - 4 P23 = 5 . 00368 ×10 - 5 P f s = 1 . 85205 ×10 - 3

: β = 0 . 1 , β = 0 . 25 , β = 0 . 5 , 1 2 3

β = 0 . 75 ,β = 10 。 各模式间的相关系数为 ρ = 4 5 ij
0 . 5 ( i , j = 1 , …, 5 , i ≠ j ) 。 文献 [ 4 ] 用仿射空间的

≤ P23 ≤6 . 42695 ×10 ≤ Pf s ≤1 . 92186 ×10 - 3

-5

数值积分法计算二阶和三阶联合概率 , 用可考虑到 三阶联合概率的高精度算法计算系统失效概率 , 求 得的结果为 Pf s = 0 . 6456 。 文中方法计算的体系失效 概率为 Pfs = 0 . 6539 。 两者的相对误差仅1 . 286 % 。 由 于此问题涉及的失效概率值较大 , 用 Ditlevsen 窄界 限法计算的界限较宽 , 为 Pfs ∈[ 0 . 4681 , 0 . 9254 ] 。 算例 3  某 10 杆桁架结构所受集中力和各杆 强度均为正态随机变量 。 有关参量分别为
R1 - = R2 - = … = R6 - = 10 T7 + = R8 + = … = R10 + = 5 R7 - = R8 - = … = R10 - = 2 . 5

表 3  失效概率的计算结果及比较
Tab. 3  Result s of failure p ro babilities and co mpariso n
Ditlevsen 窄界限法 9 . 51976 ×10 - 8 ≤ P12 ≤1 . 51178 ×10 - 7 6 . 73591 ×10 - 8 ≤ P13 ≤1 . 07375 ×10 - 7 1 . 86648 ×10 5 . 83880 ×10
-8 -6

本文方法
P12 = 1 . 26324 ×10 - 7 P13 = 8 . 90703 ×10 - 8 P23 = 2 . 84690 ×10 - 8 P f s = 5 . 92803 ×10 - 6

≤ P23 ≤3 . 65238 ×10 ≤ Pf s ≤5 . 99191 ×10 - 6

-8

文中方法的结果仍位于其界限内 ,表明文中方法有 足够精度 ,是可靠和有效的 。

4    结 论
结构体系失效概率的计算历来是结构可靠性 领域的重要问题 。对含有众多失效模式的大型结 构体系的可靠性计算 ,速度 、 效率和精度都很重要 。 目前的计算方法大多都涉及到二阶联合概率甚至 高阶联合概率的计算 , 其计算量大 , 较为复杂 。在 计算系统失效概率时 ,也不得不进行高阶联合概率 的截断 , 截断误差难以准确估计 , 不易控制 。文中 提出了计算结构体系失效概率的一种快速 、 有效的 新方法 。通过各失效模式间相关度的确定 ,把系统 失效概率的计算归结为各失效模式对应失效概率 的权系数的确定 ,而该权系数可由失效模式之间的 相关度来计算 。由于不涉及二阶和高阶联合概率 的计算 ,且所给系统失效概率的计算公式本身是准 确的 ,不但有效地减小了计算工作量 ,提高了效率 , 且可消除相应的误差 。实例计算表明 ,文中方法有 足够的精度 ,且求解方便 ,是实用和有效的 。

σ- = … = σ- = 0 . 5 1 6 σ- = … = σ- = 0 . 125 ,σ - = 0 . 15 7 9 10 σ+ = … = σ + = 0 . 25 , P = 3 ,σ = 0 . 3 7 10 P 用优化准则法
[ 10 ]

见表 2 。 为了验证文中方法 , 再取 P = 2 . 5 , 其他数 据不变 , 以减小失效概率的值 , 求得的有关结果见 表 3。 显然 , 两种情况下 , 采用文中方法求得的二阶 联合概率和体系的失效概率均完全位于 Ditlevsen 的窄界限内 。 对第二种情况 , 窄界限法的上下界限非 常窄 ( 体系失效概率的界限宽度仅 0 . 1531 × 10 ) ,
-6

10 29 , 8 27 对应的功能方程分别为

M 1 = 0 . 333 R4 - + 0 . 277 R10 - - P = 0 M 2 = 0 . 556 R9 + + 0 . 556 R10 - - P = 0 M 3 = 0 . 556 R7 + + 0 . 556 R8 - - P = 0

文中方法求得的有关结果与窄界限法的比较

枚举出的主要失效模式 10 24 ,

110













  24 卷   第

参考文献( References) :
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p uting t he weighting coefficient s of failure p ro babilities t hat correspo nding to all failure modes , via de2 low , but al so t he correspo nding error s may be eliminated. Essentially , t he formulatio n used in t he paper p rocedure. termining t he degree of dependence bet ween failure modes t hat defined in t he paper. Because t he co mp u2 tatio n of t he joint p ro babilities of failure mo des is not required , not o nly t he co mp utatio nal co st may be tained. Three numerical examples were p rovided to illust rate t he validit y and feasibilit y of t he p resented to calculate failure p ro babilit y of st ruct ural system is accurate. So , a high accuracte result s can be o b2 Key words : st ruct ural system ; failure p ro babilit y ; failure mode ; degree of dependence

ted. In t he p rocedure , co mp utatio n of failure p ro babilit y of st ruct ural systems was carried o ut by co m2

Abstract : A fast efficient p rocedure for co mp uting failure p ro babilit y of st ruct ural systems was p resen2

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A fast eff icient procedure f or computing fa ilure probability of uncerta in structural systems
GUO Shu2xiang

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