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2011年北京市中学生数学竞赛高一年级决赛试题及参考解答


中学生数学

2011 年 9 月上

第 425 期( 高中)

2011 年北京市中学生数学竞赛 高一年级决赛试题及参考解答
试 题
1. 解

参考答案
我们 发现, 实际上, 数 a 和 b 是 2 的非负 整
k

一、 选择题(

满分 40 分, 每小题 8 分) 1. 二次三项式 x 2 + ax + b 的根 是 实数, 其 中 a、 b 是自 然 数, 且 ab = 2 个. 2. 如图 1, 在半径为 1 的圆 O 中内接有锐角 三角形 A BC, H 是 A BC 的垂心, 角 平分 线 A L 垂 直于 OH , 则 BC=
2 2011

数指数 的幂, 即 a= 2k , b= 2 2011- k , 则判别 式 = a 2 - 4b = 2 2k - 422011- k = 22k - 22013此k 2013 = 671, 但 k 3 0, 得 2k 2013- k, 因

, 则这样的二 次三项式共有

2011, 所 以 k 能 够取 2011 -

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671+ 1= 1341 个不 同的整 数值. 每个 k 恰对应 一个 所 求 的二 次 三 项式, 所以 这 样的 二 次 三项 式 共 有 1341 个. 2. 解
图1

.

3. 已 知 定义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) = x 和 g( x ) = 2x + 2m, 若 F( x ) = f ( g ( x ) ) - g ( f ( x ) ) 的 最小值为 1 , 则 m= 4 . .

易 知, 圆 心 O 及 垂心 H 都 在 锐 角三 角 形 CA N 和 R t 2. A H 1B

A BC 的内部, 延长 A O 交 圆于 N , 连 接 A H 并延 长 至 H 1 与 BC 相交, 连接 CN , 在 Rt 中, A N C= 由 条件 A P A BC, 于是 有 AL 是 A BC 的角平分线, 得 1= CA N = B AH 1, 再由

4. tan37. 5 =

OH , 得 A H = A O= 1.

1+ x 5. 设 f ( x ) = , 定义 f 1 ( x ) = f ( f ( x ) ) , f n ( x ) 1- 3x = f ( f n- 1 ( x ) ) ( n= 2, 3, 设 A BD 与 ) , f 2011 ( 2011) = . 二、 满分 15 分) D 是正 ( A BC 的边 BC 上一 点,

连 接 BO 交圆于 M , 连接 A M 、 、 , CM CH 可 知 A M CH 为平行四边形, 所 以 CM= A H = A O= 1, BM = 2, 因为 M BC 是直角三角形, 22 - 1 2 = 3. A D B= 90 , A D = 1, 作 Rt A D B, 使得 由 勾股定理得 BC= 4. 解 1 A B= 2, 则 B= 30 , BD = 3.

A CD 的内 心分别 为 I 1 , I 2 , 外心 分别为 2 2 3 3= 6,

O1 , O2 , 求证: ( I 1 O1 ) 2 + ( I 2 O2 ) 2 = ( I 1 I 2 ) 2 . 三、 满分 15 分) n 是 正整 数, 记 n! = 1 ( n, 如 1! = 1, 2! = 1 2= 2, 3! = 1

x 又记[ a] 表 示 不 超 过 a 的 最 大 整 数, 求 方 程 + 1! x + 2! 整数解. 四、 满分 15 分) 平面 上的 n 个 点, 若其 中任 3 个 ( 点中 必有 2 个点的距离不大于 1, 则称 这样的 n 个点为 标准 n 点 组 . 要使 一个 半 径为 1 的圆 纸 片, 对 任意 标准 n 点组 都能至少 盖住其中的 25 个点, 试求 n 的 最小值. 五、 满分 15 分) 已知函数 f : R ( 数 x , y , z 都有 R, 使得对任意实 1 , 4 1 1 f ( xy)+ f ( xz) - f ( x)f ( yz) 2 2 f ( 2) ] + [ 3 f ( 3) ] + x + 3! + x + 10! x = 2011 的所有正 11!

延 长 BD 到 C , 使 BC= 2, 则 DC= 2- 3. 连 接 A C, 则 作 则 A CB= ( 180 - 30 ) 2= 75 . A CD 的平分线交 A D 于 E , ECD = 37. 5 .

由 于 A C2 = A D 2 + D C2 = 1+ ( 2- 3) 2 = 8- 4 3, 所 以 A C= = = = 6- 2 8- 4 3 12+ 2
图2

( 6- 2) 2 6- 2.

求[ 1 f ( 1) ] + [ 2 最大整数.

+ [ 2011

由 三角形的角平分线定理, 得 A E = A C , ED DC 于是 A E + ED A C+ DC = , ED DC

f ( 2011) ] 的值. 其 中对 于实 数 a, [ a] 表 示不 超过 a 的

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中学生数学 即 ED AD = = D C A C + CD 6AD 2+ 2R ( A , 60 ) , 使 3 A D 1 C=
R( A , 60 )

2011 年 9 月上

第 425 期( 高中) A DC +

A BD 到

A CD1 , 由 于

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A DC +

A DB = 180 , 所 以 A 、 C、 1 D、 D A D1 C 的 外 心, 也 就 是 O1

=

1 = ( 3( 3+ 2) ( 2- 1)

2) ( 2+ 1) ,

共 圆, 因 此 O2 是

所以 tan37. 5 = ED = ( 3 - 2 ) ( 2 + 1) DC = 使 作 6- 2+ 32. 解 2 作等腰直角三角形 A BC, C= 90 , A C= BC= 1, 2. CA D= 30 , 3 2 3 , A D= , 3 3 则 A B=

O2 , 因此 A O1 = DO1 = A O2 = DO2 = O1 O2 , O1 A O2 = A O1 O2 + O1 D O2 = 60 . A CB= 120 + 60 = 180 , O2 上. 1 ( 180 2 120 = 120 , O1 I 1 D = 180 A B D)

所以 由 O1 在 由于

A CD 的外接圆 AI1D = A BD + 1 2

= 60 + 所 以 I1 在 I 1 O1 D +
图3

则 CD= 则 作

O2 上, 因 此

O1 A D = 180 - 30 = 150 , I 1 D O1 = 180 - 150 = 30 . A BD 的外接圆 1 2 O1 上, 同 理可证, I 2 在 所以 由于

DA B= 15 . BA D 的平 分 线 A E ,

记 CE= x , 则 BE= 1- x , D E= x 3 3 1- x 所以 = , 2 3 2 3 x整理得 x = = t an37. 5 = 5. 解 3 . 3

DI 2 O2 = 150 . I 1 DI 2 = 180 = 90 , I1DI2I 2 D O2 . O1 D O2

I 2 DO2 + 比 较可得 在

I 1 D O1 = I 1 O1 D=

= 90 - 60 = 30 , O1 I 1 D 与 DI 2 O2 中,

2+ 1 ( 2+ 1) ( 3- 2) = 3- 2 3+ 2 6- 2+ 32. 3- 2.

因 为已证 O1 D = DO2 , O1 I 1 D = 又 因此 I 1O 1D = O1 I 1 D D I 2 O2 = 150 , I 2 D O2 . D I 2 O2 .
图4

CE x = = 6- 2+ AC 1

记 f ( x)= f 0( x)=

1+ x , 1- 3x

所 以 I 1 O1 = DI 2 , DI 1 = I 2 O2 . 由 于 I 1 DI 2 = 90 ,

1+ x 1- 3x = - 1- x ; 则 f 1(x) = f ( f ( x)) = 1- x 1+ 3x 1- 3 1- 3x 1+ 1- x 1+ 3x f 2( x ) = f ( f 1 ( x ) ) = = x; 1- x 1+ 3 1+ 3x 1f 3 ( x ) = f ( f 2 ( x ) ) = 1+ x = f ( x ) = f 0 ( x ) ; 1- 3x 接下来有 f 4 ( x ) = f 1 ( x ) , f 5 ( x ) = f 2 ( x ) , f 6 ( x ) = f 3( x ) , 周期. 所以, f 2011 ( x ) = f 3
670+ 1

I 1 DI 2 是直角三角形.

根 据勾股定理, 有( DI 1 ) 2 + ( D I 2 ) 2 = ( I 1 I 2 ) 2 , 而 I 1 O1 = DI 2 , D I 1 = I 2 O2 . 因 此( I 1 O1 ) 2 + ( I 2 O2 ) 2 = ( I 1 I 2 ) 2 . 三、 解 [ 由于当 x 是正整数时, [ x ] = [ x] , 1!

x x x- 1 x x x ]= [ ] , [ ] = [ ]> - 1, 2! 2 2 3! 6 6 x- 1 x 5x 1 所以 x+ + - 1< 2011, 即 < 2012 , 2 6 3 2 得 方程的正整数解 x 满足 0< x < 1207. 5. 由 于 6! = 720, 7! = 5040, 所 以方程的正整数解 x < 7!, 即 [ x x x x x ]= [ ] = [ ] = [ ]= [ ] = 0. 7! 8! 9! 10! 11! x x x x x ]+ [ ]+ [ ]+ [ ]+ [ ] + 1! 2! 3! 4! 5!

, f n ( x ) 的 表达式是 循环重 复的, 以 3 项为一 x- 1 , 1+ 3x

( x ) = f 1( x ) =

2011- 1 2010 1005 f 2011 ( 2011) = = = . 1+ 3 2011 6034 3017 二、 证明 作以 A 为中 心、 逆时 针旋转 60 的变换

因此, 方程[

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第 425 期( 高中) + [ x ] = 2011 的唯一正整数解. 11! 四、 解 首先证明, nmin > 48. 如 图 5, 在平面上画长为 5 的线段 A B , 分 别以 A 、 B 为圆心, 画半 径为 0 5 的 两个 圆, 在 每一 个圆 内, 取 24 个点, 则平面上有 48 个 点满足 题设条 件( 其 中任 意 3 点中必有 2 点的距离不大于 1) , 显然, 不可能画出 一 个半径 为 1 的 圆, 其包 含有 25 个 所选 的 点, 所以 n > r 2 < 5!, ( 0 b 5, b 48.

[

x ] = 2011 的解与原方程的解是一样的. 6! 设小于 7! 的 正整 数 x 为 上 述方 程的 解, 我 们写

x 出 ( k = 1, 2, 3, 4, 5, 6) 的带余除法表达式: k! 设 x r = a+ 1 , 0 6! 6! x ]= a 6! r 1 < 6! , ( 0 a 6, a N ) ;

因此[

x r r = 6a+ 1 = 6a+ b+ 2 , 0 5! 5! 5! N) , 因此[ x ] = 6a+ b 5!

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x r r = 30a+ 5b+ 2 = 30a+ 5b+ c+ 3 , 0 4! 4! 4! (0 c 4, c N) , x 因此[ ] = 30a+ 5b+ c 4!

r 3 < 4!,
图5

下 面证明 nmi n = 49. 若 n= 49, 设 A 是其中的一点, 作以 A 为圆心半 径 为 1的 条件. 若 不是所有的点都在圆 A 中, 则至少 有一点 B 不 在圆 A 中, 再作以 B 为圆 心、 半径为 1 的 B, 则 A 、 B 的 距离大于 1( 如图 6) , 除 A , B 外, 余 下的 47 个点中每 一点 P 都与 A 、 组成 3 点组, 必有两个 点的距离不 大 B 于 1, 所 以要 么 PA A 中, 要么 在 1, 要 么 PB 1, 即点 P 要 么 在 B 中, 根 据抽屉 原理, 必 有一 个圆 至 A , 若所有的 点都在圆 A 中, 那么就 满足题 设

r3 x = 120a+ 20b+ 4c+ = 120a+ 20b+ 4c+ d+ 3! 3! r4 ,0 3! r 4 < 3!, ( 0 d 3, d N) ;

x 因此[ ] = 120a+ 20b+ 4c+ d 3! x r = 360a+ 60b+ 12c+ 3d+ 4 = 360a+ 60b+ 12c 2! 2! r + 3d+ e+ 5 , 0 r 5 < 2, ( e= 0, 1, 2) ; 2! 因此[ x ] = 360a+ 60b+ 12c+ 3d+ e 2!

少包含 了这 47 个 点中 的 24 个点, 不 妨设 这个 圆就 是 A , 再加上 圆心 A 点, 就 有不 少 于 25 个 点在 这个 半 径为 1 的 A 中( 圆内或圆周上) . 所 以 n 的最小值是 49.

r5 x = 720a + 120b + 24c + 6d + 2e + = 720a+ 1! 1! 120b+ 24c+ 6d+ 2e+ f , ( f = 0, 1) ; x 因此[ ] = 720a+ 120b+ 24c+ 6d+ 2e+ f 1! ~ 2011. 显然 a= 1, 因 此 206b+ 41c+ 10d+ 3e+ f = 2011 - 1237= 774; 易知 b= 3, 因此 41c+ 10d+ 3e+ f = 774- 206 = 156; 易知 c= 3, 于是 10d+ 3e+ f = 156- 41 3= 33; 类似求得 d= 3, e= 1, f = 0. 所求的 x = 1 720+ 3 2+ 0 1= 1172. x = 1172 是方程[ x x x ]+ [ ] + [ ] + 1! 2! 3! + [ x ] 10! 120+ 3 24+ 3 6+ 1 3 相 加得 1237a+ 206b+ 41c+ 10d+ 3e+ f =

图6

五 、解

由于已知函数 f : R

R, 使 得对任意实 数 1 , 4

1 1 x , y , z 都满足 f ( x y ) + f (x z) - f ( x) f (yz ) 2 2 可令 x = y = z = 0, 有 1 1 f ( 0) + f ( 0) - ( f ( 0) ) 2 2 2 1 , 4

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中学生数学 即 f ( 0) 1 2
2

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第 425 期( 高中)

0, 1 . 2

代 入 f ( 1) =

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1 得 2 1 2 1 . 2

由于 f ( 0) 是一个 实数, 所以 f ( 0) = 再令 x = y = z = 1, 1 1 有 f ( 1) + f ( 1) - ( f ( 1) ) 2 2 2 1 即 f ( 1) 2
2

对 任意实数 x , 都有 f ( x ) 综合

、 可得, 对任意实数 x , 都有 f ( x ) =

1 , 4

验证: 函数 f ( x ) =

1 满 足题设 条件, 取 的是 等 2 1 . 2 +

0, 号, 所以满足题设条件的 函数 的唯一 解为 f ( x ) = 于是 [1 1 , 4 [ 2011 = 1 2 1 , 4 f ( 1) ] + [ 2 1 + 2 2 + 2 f ( 2) ] + [ 3 3 2 4 2 f ( 3) ] + 2011 2 f ( 2011) ] + + +

1 由于 f ( 1) 是一个 实数, 所以 f ( 1) = . 2 又令 y = z = 0, 有 1 1 f ( 0) + f ( 0) - f ( x ) f ( 0) 2 2 1 得 2

代入 f ( 0) =

= 0+ 1+ 1+ 2+ 2+ 3+ 3+ = 2 ( 1+ 2+ 3+ 1005 + 1005) = ( 1+ 1005) = 1011030.

+ 1005+ 1005

对任意实 数 x , 都 有 f ( x ) 又令 y = z = 1, 有

1 1 f ( x)+ f ( x ) - f ( x ) f ( 1) 2 2

( 北京数学会普及委员会提供)

( 上接第 43 页)
为此, 我们用穷举的方法, 把 各种排列 写出来: ( 前 面已讨论过 1、 排在最前面的情 形, 这里可以略去. ) 2 3, 1, 2, 4, 4, 1, 1, 3, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 4, 3, 1, 2, 3, 1, 4, 2, 3, 4, 2, 1; 4, 2, 1, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 3, 2, 4, 3, 2, 1. 3, 2, 1, 4, 3, 2, 来稿须知 1. 稿 件的 内容 要新 颖、 形式 要活 泼, 以适 合 中学生阅读, 应避免写成教学交流文章. 2. 提倡短小精悍 的文章, 讲清 一、 个问 题, 两 不要追求"大 而全" . 稿 一般不 超过 1500 字, 中学 生习作栏目的稿件更要注意求简求精. 3. 来稿请用 300 或 400 字稿 纸誊清, 打 印稿 应留有一定的行距、 距( 每行 40 个 字) ; 文 稿中 字 的外文字母 要分清语 种、 大写 、 小写 、 正体 、 体; 斜 数学符号、 图形 要清 楚、 范, 容 易混 淆的 字 母、 规 符号在第一次出现时请 用铅笔 注明; 文稿中 的计 算要准确. 4. 来稿请在 左上 方 注明 文稿 适 合初 中生 还 是高 中 生 阅读, 标题 下 方请 写 明 作者 的 通讯 地 址、 邮编、 作者姓名. 如果排列 是 4, 3, 2, 1, 那么上述三种方法都无法 找到最好旅馆 . 第二种方 法找到最好旅馆的概率最大. 5. 来稿切 忌一稿多 投, 如 发现抄袭现 象我们 将作出公开 批评. 来 稿一 律不 退, 请 作者 自留 底 稿. 4, 2, 1, 3, 4, 2, 3,

欢迎投稿

不难看出 用第二种 方法 能找 到最好 旅馆 的排 列, 除了前面所说 2 排在最前面 的 6 种外, 还有这里的下 述 排法: 3, 1, 2, 4, 2, 3, 11 . 24 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 4, 1, 4, 1, 3, 2, 共 5 种. 因此, 用第二种方法找到最

好旅馆的概率 是

用第三种 方法能找到最好旅馆的排列是: 3, 2, 1, 4, 1, 1 . 4 3, 2, 4, 1, 4, 3, 1, 2, 共 6 种. 因 此, 第三 种方法找 到最好旅

馆的概率, 和 第一 种 方法 找 到旅 馆 的概 率 一样 , 也是

( 北京高中数学知识应用竞赛组委会提供)

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