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概率论公式总结


概率论与数理统计 公式(全) 2012

第1章
n Pm =

随机事件及其概率 随机事件及其概率 及其
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。

(1)排列 组合公式
n Cm =

m! (m ? n)!

m! 从 m 个人中挑出 n

个人进行组合的可能数。 n!(m ? n)!

(2)加法 和乘法原 理

加法原理(两种方法均能完成此事) :m+n 加法原理(两种方法均能完成此事) m+n : 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成,第二种方法可由 n 种方法来完成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事) :m 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事) m×n : 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由 m 种方法完成,第二个步骤可由 n 种方法来完成,则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个) 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个, 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试 验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有 如下性质: ①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; ②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用 ω 来表示。 基本事件的全体,称为试验的样本空间,用 ? 表示。 一个事件就是由 ? 中的部分点(基本事件 ω )组成的集合。通常用大写字母 A,B,C,…表示事件,它们是 ? 的子集。 ? 为必然事件,? 为不可能事件。 不可能事件(?)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理, 必然事件(Ω)的概率为 1,而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系: 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分, A 发生必有事件 B 发生) ( : 如果同时有 A ? B , B ? A ,则称事件 A 与事件 B 等价,或称 A 等于 B: A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件:A ∪ B,或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件,称为 A 与 B 的差,记为 A-B,也可 表示为 A-AB 或者 A B ,它表示 A 发生而 B 不发生的事件。

(3)一些 常见排列 (4)随机 试验和随 机事件

(5)基本 事件、样本 空间和事 件

A? B

(6)事件 的关系与 运算

A、B 同时发生:A ∩ B,或者 AB。A ∩ B=?,则表示 A 与 B 不可能同时发生,
称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
1 1

概率论与数理统计 公式(全) 2012

? -A 称为事件 A 的逆事件,或称 A 的对立事件,记为 A 。它表示 A 不发生
的事件。互斥未必对立。 ②运算: 结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率: i =1

∩A =∪A
i i =1





i

A∪ B = A∩ B, A∩ B = A∪ B

(7)概率 的公理化 定义

设 ? 为样本空间, A 为事件,对每一个事件 A 都有一个实数 P(A),若满 足下列三个条件: 1° 0≤P(A)≤1, 2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件 A1 , A2 ,…有

?∞ ? ∞ P? ∪ Ai ? = ∑ P( Ai ) ? ? ? i =1 ? i =1
常称为可列(完全)可加性。 则称 P(A)为事件 A 的概率。 1° ? = { 1 , ω 2 ?ω n }, ω 2° P (ω 1 ) = P (ω 2 ) = ? P (ω n ) =

(8)古典 概型

设任一事件 A ,它是由 ω 1 , ω 2 ?ω m 组成的,则有

1 。 n

P(A)= {(ω 1 ) ∪ (ω 2 ) ∪ ? ∪ (ω m )} = P (ω 1 ) + P (ω 2 ) + ? + P(ω m )

=

m A所包含的基本事件数 = n 基本事件总数

(9)几何 概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀, 同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述, 则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A,

P ( A) =
(10)加法 公式 (11)减法 公式

L( A) 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积) 。 L (? )

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)=0 时,P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B ? A 时,P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω时,P( B )=1- P(B) 定义 设 A、B 是两个事件,且 P(A)>0,则称

P ( AB ) 为事件 A 发生条件下,事 P ( A) (12)条件 P ( AB ) 概率 。 件 B 发生的条件概率,记为 P ( B / A) = P ( A)
1 2

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(13)乘法 公式

条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω/B)=1 ? P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式: P ( AB ) = P ( A) P ( B / A) 更一般地,对事件 A1,A2,…An,若 P(A1A2…An-1)>0,则有

P ( A1 A2 … An ) = P ( A1) P ( A2 | A1) P ( A3 | A1 A2) …… P ( An | A1 A2 … An ? 1) 。
①两个事件的独立性 设事件 A 、B 满足 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) , 则称事件 A 、B 是相互独立的。 若事件 A 、 B 相互独立,且 P ( A) > 0 ,则有

P( B | A) =

P( AB) P( A) P( B) = = P( B) P ( A) P( A)

(14)独立 性

若事件 A 、 B 相互独立,则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互 独立。 必然事件 ? 和不可能事件 ? 与任何事件都相互独立。 ? 与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件,如果满足两两独立的条件, P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 设事件 B1, B 2, ? , Bn 满足 1° B1, B 2, ? , Bn 两两互不相容, P ( Bi ) > 0(i = 1,2, ? , n ) ,

(15)全概 公式

2° 则有

A ? ∪ Bi
i =1

n



P ( A) = P ( B1) P ( A | B1) + P ( B 2) P ( A | B 2) + ? + P ( Bn ) P ( A | Bn ) 。
设事件 B1 , B 2 ,…, Bn 及 A 满足 1° B1 , B 2 ,…, Bn 两两互不相容, P (Bi ) >0, i = 1,2,…, n , 2° 则 (16)贝叶 斯公式
n

A ? ∪ Bi
i =1

, P ( A) > 0 , ,i=1,2,…n。

P ( Bi / A) =

P ( Bi ) P ( A / Bi )

∑ P( B
j =1

n

j

) P( A / B j )

此公式即为贝叶斯公式。

P ( Bi ) , i = 1 ,2 ,…,n ) ( ,通常叫先验概率。 P ( Bi / A) , i = 1 ,2 ,…, ( n) ,通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了
(17)伯努 利概型
1

“由果朔因”的推断。 我们作了 n 次试验,且满足 每次试验只有两种可能结果, A 发生或 A 不发生;
3

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n 次试验是重复进行的,即 A 发生的概率每次均一样; 每次试验是独立的,即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与
否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型,或称为 n 重伯努利试验。 用 p 表示每次试验 A 发生的概率,则 A 发生的概率为 1 ? p = q ,用 Pn (k ) 表 示 n 重伯努利试验中 A 出现 k (0 ≤ k ≤ n ) 次的概率,

Pn ( k ) = C n p k q n ? k
k

, k = 0,1,2, ? , n 。

第二章
(1)离散 型随机变 量的分布 律

随机变量及其分布

设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事 件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk,k=1,2,…, 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出:

X x1, x 2, ? , xk , ? | P( X = xk ) p1, p 2, ? , pk , ? 。
显然分布律应满足下列条件: (1) pk ≥ 0 , k = 1,2, ? , (2)连续 型随机变 量的分布 密度

(2) k =1

∑p



k

=1


设 F (x ) 是随机变量 X 的分布函数,若存在非负函数 f (x ) ,对任意实数 x ,有

F ( x) = ∫ f ( x)dx
?∞

x



则称 X 为连续型随机变量。 f (x ) 称为 X 的概率密度函数或密度函数,简称概 率密度。 密度函数具有下面 4 个性质: 1° 2°

f ( x) ≥ 0 。



+∞

?∞

f ( x)dx = 1



(3)离散 与连续型 随机变量 的关系

P ( X = x ) ≈ P ( x < X ≤ x + dx ) ≈ f ( x ) dx
积分元 f ( x ) dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P ( X = xk ) = pk 在离 散型随机变量理论中所起的作用相类似。

1

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(4)分布 函数

设 X 为随机变量, x 是任意实数,则函数

F ( x) = P( X ≤ x)
称为随机变量 X 的分布函数,本质上是一个累积函数。

P ( a < X ≤ b ) = F (b ) ? F ( a )

可以得到 X 落入区间 ( a, b] 的概率。分布

函数 F (x ) 表示随机变量落入区间(– ∞,x]内的概率。 分布函数具有如下性质: 1° 2° 3° 4° 5°

0 ≤ F ( x ) ≤ 1,

? ∞ < x < +∞ ;

F (x ) 是单调不减的函数,即 x1 < x 2 时,有 F ( x1) ≤ F ( x 2) ;

F ( ?∞ ) = lim F ( x ) = 0 ,
x → ?∞

F ( +∞ ) = lim F ( x ) = 1 ;
x → +∞

F ( x + 0) = F ( x ) ,即 F (x ) 是右连续的; P ( X = x ) = F ( x ) ? F ( x ? 0) 。
xk ≤ x
x

对于离散型随机变量, F ( x) =

∑p

k



对于连续型随机变量, F ( x ) = (5)八大 分布 0-1 分布 二项分布

?∞

∫ f ( x)dx



P(X=1)=p, P(X=0)=q

在 n 重贝努里试验中,设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生 的次数是随机变量,设为 X ,则 X 可能取值为 0,1,2, ? , n 。
k P ( X = k ) = Pn ( k ) = C n p k q n ? k







q = 1 ? p,0 < p < 1, k = 0,1,2, ? , n ,
则称随机变量 X 服从参数为 n , p 的二项分布。记为

X ~ B ( n, p ) 。
当 n = 1 时, P ( X = k ) = p k q 1? k , k = 0.1 ,这就是(0-1)分 布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。

1

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泊松分布

设随机变量 X 的分布律为

P( X = k ) =

λk
k!

e ?λ , λ > 0 , k = 0,1,2 ? ,

则称随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布,记为 X ~ π (λ ) 或 者 P( λ )。 泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ,n→∞) 。 超几何分布
k n C M ? C N?kM k = 0,1,2 ? , l ? P( X = k ) = , n l = min(M , n) CN

随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布,记为 H(n,N,M)。 几何分布

P( X = k ) = q k ?1 p, k = 1,2,3, ? ,其中 p≥0,q=1-p。
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布,记为 G(p)。 设随机变量 X 的值只落在[a,b]内,其密度函数 f (x ) 在[a,b] 上为常数

均匀分布

1 ,即 b?a
a≤x≤b 其他,

? 1 , ? f ( x) = ? b ? a ?0, ?

则称随机变量 X 在[a,b]上服从均匀分布,记为 X~U(a,b)。 分布函数为 0, x<a,

F ( x) = ∫ f ( x)dx =
?∞

x

x?a , b?a
1,

a≤x≤b x>b。

当 a≤x1<x2≤b 时,X 落在区间( x1 , x 2 )内的概率为

P ( x1 < X < x 2 ) =

x 2 ? x1 。 b?a

1

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指数分布

λ e ? λx ,
f (x ) =
0,

x ≥ 0, x < 0,

其中 λ > 0 ,则称随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布。 X 的分布函数为

F (x ) =

1 ? e ? λx ,
0,

x ≥ 0,
x<0。

记住积分公式:
+∞

∫x
0

n

e ? x dx = n!

正态分布

设随机变量 X 的密度函数为 , ? ∞ < x < +∞ , 2π σ σ σ 其中 ? 、 > 0 为常数, 则称随机变量 X 服从参数为 ? 、

f ( x) =

1

e

?

( x?? )2 2σ 2

的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为 X ~ N ( ? ,σ ) 。
2

f (x ) 具有如下性质:


f (x ) 的图形是关于 x = ? 对称的;

2° 当 x = ? 时, f ( ? ) =
2

1 2π σ

为最大值;

( t ? X2 若 X ~ N ( ? ,σ )x,则 ?2) 的分布函数为 ? 1 2σ

F ( x) =

2πσ



?∞

e

dt

。 。

参数 ? = 0 、 σ = 1 时的 正态分布称为标准正态 分布,记为

X ~ N (0,1) ,其密度函数记为 x2 1 ?2 ? ( x) = e 2π , ? ∞ < x < +∞ ,
分布函数为

Φ ( x) =

1 2π

Φ (x) 是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。
Φ(-x)=1-Φ(x)且 Φ(0)= 如果 X ~ N ( ? , σ 2 ) ,则

?∞

∫e

x

?

t2 2

dt 。
1 。 2 X ??

σ ?x ??? ?x ??? P ( x1 < X ≤ x 2 ) = Φ? 2 ? ? Φ? 1 ?。 ? σ ? ? σ ?
7

~ N (0,1) 。

1

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(6)分位 数 (7)函数 分布

下分位表: P ( X ≤ ? α )=α ; 上分位表: P ( X > ? α )=α 。 离散型 已知 X 的分布列为

x1, x 2, ? , xn, ? X , P( X = xi ) p1, p 2, ? , pn, ? Y = g ( X ) 的分布列( y i = g ( x i ) 互不相等)如下: g ( x1), g ( x 2), ? , g ( xn ), ? Y , P (Y = y i ) p1, p 2, ? , pn, ? 若有某些 g ( xi ) 相等,则应将对应的 p i 相加作为 g ( xi ) 的概率。
连续型 先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)=P(g(X)≤ y),再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。

第三章
(1)联合 分布 离散型

二维随机变量及其分布
如果二维随机向量 ξ (X,Y)的所有可能取值为至多可列

个有序对(x,y) ,则称 ξ 为离散型随机量。 设 ξ =(X,Y)的所有可能取值为 ( x i , y j )(i, j = 1,2, ?) , 且事件{ ξ = ( x i , y j ) }的概率为 pij,,称

P{( X , Y ) = ( x i , y j )} = p ij (i, j = 1,2, ?)
为 ξ =(X,Y)的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分 布有时也用下面的概率分布表来表示:

Y X x1 x2

y1 p11 p21

y2 p12 p22

… … …

yj p1j p2j

… … …

?
xi

?
pi1

?


?
p ij

?


?

?

?

?

?

这里 pij 具有下面两个性质: (1)pij≥0(i,j=1,2,…) ; (2)

∑∑
i j

p ij = 1.

1

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连续型

对 于 二 维 随 机 向 量 ξ = (X ,Y ) , 如 果 存 在 非 负 函 数

f ( x, y )(?∞ < x < +∞,?∞ < y < +∞ ) ,使对任意一个其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域 D,即 D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d} 有

P{( X , Y ) ∈ D} = ∫∫ f ( x, y )dxdy,
D

则称 ξ 为连续型随机向量;并称 f(x,y)为 ξ =(X,Y)的分布 密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。 分布密度 f(x,y)具有下面两个性质: (1) f(x,y)≥0; (2) (2)二维 随机变量 的本质 (3)联合 分布函数

∫ ∫

+∞ +∞

?∞ ? ∞

f ( x, y )dxdy = 1.

ξ ( X = x, Y = y ) = ξ ( X = x ∩ Y = y )
设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数 x,y,二元函数

F ( x, y ) = P{ X ≤ x, Y ≤ y}
称为二维随机向量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函 数。 分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 , 以 事 件

{(ω 1 , ω 2 ) | ?∞ < X (ω 1 ) ≤ x,?∞ < Y (ω 2 ) ≤ y} 的概率为函数值的一个实值函
数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质: (1) 0 ≤ F ( x, y ) ≤ 1; (2)F(x,y)分别对 x 和 y 是非减的,即 当 x2>x1 时,有 F(x2,y)≥F(x1,y);当 y2>y1 时,有 F(x,y2) ≥F(x,y1); (3)F(x,y)分别对 x 和 y 是右连续的,即

F ( x, y ) = F ( x + 0, y ), F ( x, y ) = F ( x, y + 0);
(4) F ( ?∞ ,?∞ ) = F ( ?∞, y ) = F ( x,?∞ ) = 0, F ( +∞ ,+∞ ) = 1. (5)对于 x1 < x 2,y1 < y 2,

F ( x 2,y 2 ) ? F ( x 2,y1 ) ? F ( x1,y 2 ) + F ( x1,y1 ) ≥ 0 .
(4)离散 型与连续 型的关系

P ( X = x,Y = y ) ≈ P ( x < X ≤ x + dx,y < Y ≤ y + dy ) ≈ f ( x,y ) dxdy

1

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(5)边缘 分布

离散型

X 的边缘分布为

Pi ? = P ( X = x i ) = ∑ p ij (i, j = 1,2, ?) ;
j

Y 的边缘分布为

P? j = P(Y = y j ) = ∑ p ij (i, j = 1,2, ?) 。
i

连续型

X 的边缘分布密度为

f X ( x) = ∫ f Y ( y) = ∫
(6)条件 分布 离散型

+∞

?∞

f ( x, y )dy;

Y 的边缘分布密度为
+∞ ?∞

f ( x, y )dx.

在已知 X=xi 的条件下,Y 取值的条件分布为

P(Y = y j | X = x i ) =

p ij p i?
p ij p? j



在已知 Y=yj 的条件下,X 取值的条件分布为

P( X = xi | Y = y j ) =
连续型

,

在已知 Y=y 的条件下,X 的条件分布密度为

f ( x | y) =

f ( x, y ) ; fY ( y)

在已知 X=x 的条件下,Y 的条件分布密度为

f ( y | x) =
(7)独立 性 一般型 离散型

f ( x, y ) f X ( x)

F(X,Y)=FX(x)FY(y)

p ij = p i ? p ? j
有零不独立 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断,充要条件: ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形

连续型

二维正态分 布

f ( x, y ) =

1 2πσ 1 σ 2 1 ? ρ 2

?

e

? ? x ? ? ? 2 2 ρ ( x ? ? )( y ? ? ) ? y ? ? 1 1 ? 1 2 2 ?? ? +? ? σ σ 1σ 2 2 (1? ρ 2 ) ? ? σ 1 ? ? ? 2 ??

? ? ? ?

2?

? ? ?

,

ρ =0

1

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随机变量的 函数

若 X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn 相互独立, h,g 为连续函数,则: h(X1,X2,…Xm)和 g(Xm+1,…Xn)相互独立。 特例:若 X 与 Y 独立,则:h(X)和 g(Y)独立。 例如:若 X 与 Y 独立,则:3X+1 和 5Y-2 独立。

(8)二维 均匀分布

设随机向量(X,Y)的分布密度函数为

? 1 ?S ? D f ( x, y ) = ? ?0, ? ?

( x, y ) ∈ D 其他

其中 SD 为区域 D 的面积,则称(X,Y)服从 D 上的均匀分布,记为(X,Y)~ U(D) 。 例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。

y
1

D1 O
图 3.1 1

x

y
1 D2

O

1

2 x

图 3.2

y d
D3

c O a
图 3.3

b

x

1

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(9)二维 正态分布

设随机向量(X,Y)的分布密度函数为

f ( x, y ) =

1 2πσ 1 σ 2 1 ? ρ 2

?

e

? ? x ? ? ? 2 2 ρ ( x ? ? )( y ? ? ) ? y ? ? 1 ? 1 2 2 ?? ? +? ? σ σ 1σ 2 2 (1? ρ ) ? ? σ 1 ? 2 ? ? ?? 1
2

? ? ? ?

2?

? ? ?

,

其中 ? 1 , ? 2, σ 1 > 0, σ 2 > 0, | ρ |< 1 是 5 个参数,则称(X,Y)服从二维正态分 布, 记为(X,Y)~N( ?1 , ? 2,σ 1 , σ 2 , ρ ).
2 2

由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布, 即 X~N( ?1 , σ 1 ), Y ~ N ( ? 2,σ 2 ).
2 2

但是若 X~N( ?1 , σ 1 ), Y ~ N ( ? 2,σ 2 ) ,(X,Y)未必是二维正态分布。
2 2

(10)函数 分布

Z=X+Y

根据定义计算: FZ ( z ) = P( Z ≤ z ) = P( X + Y ≤ z )
+∞

对于连续型,fZ(z)=

?∞

∫ f ( x, z ? x)dx

2 2 。 两个独立的正态分布的和仍为正态分布( ?1 + ? 2 , σ 1 + σ 2 )

n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。

? = ∑ C i ? i , σ 2 = ∑ C i2σ i2
i i

Z=max,min( X1,X2,…Xn)

若 X1, X 2 ? X n 相 互 独 立 , 其 分 布 函 数 分 别 为

Fx1 ( x ),Fx2 ( x) ? Fxn ( x ) ,则 Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布
函数为:

Fmax ( x ) = Fx1 ( x ) ? Fx2 ( x ) ? Fxn ( x ) Fmin ( x ) = 1 ? [1 ? Fx1 ( x )] ? [1 ? Fx2 ( x )]?[1 ? Fxn ( x )]

1

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χ 2 分布

设 n 个随机变量 X 1 , X 2 , ? , X n 相互独立,且服从标准正态分 布,可以证明它们的平方和

W = ∑ X i2
i =1

n

的分布密度为
n u ?1 ? ? 1 2 u e 2 ? n ? n? f (u ) = ? 2 2 Γ? ? ? ? ?2? ?0, ?

u ≥ 0, u < 0.

我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的 χ 2 分布, 记为 W~ χ 2 ( n) , 其中

? n ? + ∞ ?1 Γ? ? = ∫ x 2 e ? x dx. ?2? 0
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量 分布中的一个重要参数。

n

χ 2 分布满足可加性:设
Yi ? χ 2 ( n i ),


Z = ∑ Yi ~ χ 2 ( n1 + n 2 + ? + n k ).
i =1

k

1

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t 分布

设 X,Y 是两个相互独立的随机变量,且

X ~ N (0,1), Y ~ χ 2 (n),
可以证明函数

T=
的概率密度为

X Y /n

? n + 1? n +1 Γ? ? ? 2 ? ? t2 ? 2 ? ?1 + ? f (t ) = n? ?n?? ? ? nπ Γ? ? ? 2?
t1?α (n) = ?tα (n)
F 分布 设X ~

( ?∞ < t < +∞ ).

我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布,记为 T~t(n)。

χ 2 (n1 ), Y ~ χ 2 (n 2 ) , 且 X 与 Y 独 立 , 可 以 证 明

F=

X / n1 的概率密度函数为 Y / n2

? ? n1 + n 2 ? ? ? Γ? ? ? 2 ? ? n1 ? ? f ( y ) = ? ? n1 ? ? n 2 ? ? n 2 ? ? Γ? ?Γ ? ? ? ?2? ? 2 ? ? ?

? 2 n21 ?1 ? n ? ? y ?1 + 1 y ? ? ? n2 ? ? ? ? 0, y < 0

n1

?

n1 + n 2 2

,y≥0

我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1,第二个自由度为 n2 的 F 分布,记为 F~f(n1, n2).

F1?α ( n1 , n 2 ) =

1 Fα ( n 2 , n1 )

第四章
(1)

随机变量的数字特征
离散型 连续型

1

14

概率论与数理统计 公式(全) 2012

一 随 变 的 字 征

维 机 量 数 特

期望 期望就是平均值

设 X 是离散型随机变量, 其分布 律 为 P( X = x k ) = pk , k=1,2,…,n,

设 X 是连续型随机变量, 其概率密 度为 f(x),

E( X ) =

+∞

E ( X ) = ∑ xk pk
k =1

n

?∞

∫ xf ( x)dx

(要求绝对收敛)

(要求绝对收敛) 函数的期望 Y=g(X) Y=g(X)
n

E (Y ) = ∑ g ( x k ) p k
k =1

E (Y ) =

+∞

?∞

∫ g ( x) f ( x)dx
+∞

方差 2 D(X)=E[X-E(X)] , 标准差

D ( X ) = ∑ [ x k ? E ( X )] p k
2 k

D ( X ) = ∫ [ x ? E ( X )] 2 f ( x)dx
?∞

σ ( X ) = D( X ) ,
矩 ①对于正整数 k,称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩,记为 vk,即 νk=E(X )=
k

①对于正整数 k,称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点 矩,记为 vk,即 νk=E(X )=
k

∑x
i

k i

pi ,



+∞

?∞

x k f ( x)dx,

k=1,2, …. ②对于正整数 k,称随机变量 X 与 E(X)差的 k 次幂的数学期

k=1,2, …. ②对于正整数 k,称随机变量 X 与 E(X)差的 k 次幂的数学期望为 X

望为 X 的 k 阶中心矩, 记为 ? k , 的 k 阶中心矩,记为 ? k ,即 即

? k = E ( X ? E ( X )) k .
=

? k = E ( X ? E ( X )) k .
= ,

∑ (x
i

i

? E ( X )) p i
k



+∞

?∞

( x ? E ( X )) k f ( x)dx,

k=1,2, ….

k=1,2, ….

1

15

概率论与数理统计 公式(全) 2012

切比雪夫不等式

设随机变量 X 具有数学期望 E(X)=μ,方差 D(X)=σ ,则对于 任意正数ε,有下列切比雪夫不等式

2

P( X ? ? ≥ ε ) ≤

σ2 ε2
P( X ? ? ≥ ε )

切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下,对概率

的一种估计,它在理论上有重要意义。 (2) 期 望 的 性 质 (1) E(C)=C (2) E(CX)=CE(X) (3) E(X+Y)=E(X)+E(Y), E (

∑ Ci X i ) = ∑ Ci E ( X i )
i =1 i =1

n

n

(4) E(XY)=E(X) E(Y),充分条件:X 和 Y 独立; 充要条件:X 和 Y 不相关。 (3) 方 差 的 性 质 (1) (2) (3) (4) (5) D(C)=0;E(C)=C 2 D(aX)=a D(X); E(aX)=aE(X) 2 D(aX+b)= a D(X); E(aX+b)=aE(X)+b 2 2 D(X)=E(X )-E (X) D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件:X 和 Y 独立; 充要条件:X 和 Y 不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。 而 E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。 期望 0-1 分布 B (1, p ) 二项分布 B ( n, p ) 泊松分布 P (λ ) 方差

(4) 常 见 分 布 的 期 望 和 方差

p np

p (1 ? p) np (1 ? p )

λ
1 p
nM N a+b 2 1

λ
1? p p2
nM ? M ?? N ? n ? ?1 ? ?? ? N ? N ?? N ? 1 ? (b ? a ) 2 12 1

几何分布 G ( p )

超几何分布 H ( n, M , N )

均匀分布 U ( a , b ) 指数分布 e(λ )

λ

λ2

1

16

概率论与数理统计 公式(全) 2012

正态分布 N ( ? , σ )
2

?
n 0

σ2
2n

χ 2 分布
t 分布 (5) 二 维 随 机 变 量 的 数 字 特 征 期望
n

n (n>2) n?2

E ( X ) = ∑ xi p i ?
i =1

E( X ) =

+∞

?∞ +∞

∫ xf

X

( x)dx

E (Y ) = ∑ y j p ? j
j =1

n

E (Y ) =

?∞

∫ yf

Y

( y )dy

函数的期望

E[G ( X , Y )] =

E[G ( X , Y )] = ) p ij
+∞ +∞

∑ ∑ G( x , y
i i j

j

-∞ -∞

∫ ∫ G( x, y) f ( x, y)dxdy
+∞

方差

D ( X ) = ∑ [ x i ? E ( X )] p i ?
2
i

D ( X ) = ∫ [ x ? E ( X )] 2 f X ( x)dx
?∞

D (Y ) = ∑ [ x j ? E (Y )] 2 p ? j
j

D (Y ) = ∫ [ y ? E (Y )] 2 f Y ( y )dy
?∞

+∞

协方差

对于随机变量 X 与 Y, 称它们的二阶混合中心矩 ?11 为 X 与 Y 的协方 差或相关矩,记为 σ XY 或 cov( X , Y ) ,即

σ XY = ? 11 = E[( X ? E ( X ))(Y ? E (Y ))].
与记号 σ XY 相对应, 与 Y 的方差 D X (X) D 与 (Y) 也可分别记为 σ XX 与 σ YY 。

1

17

概率论与数理统计 公式(全) 2012

相关系数

对于随机变量 X 与 Y,如果 D(X)>0, D(Y)>0,则称

σ XY
D ( X ) D (Y )
为 X 与 Y 的相关系数,记作 ρ XY (有时可简记为 ρ ) 。 | ρ |≤1, ρ |=1 时, X 与 Y 完全相关: ( X = aY + b ) = 1 当| 称 P 完全相关 ?

?正相关,当ρ = 1时(a > 0), ?负相关,当ρ = ?1时(a < 0),

而当 ρ = 0 时,称 X 与 Y 不相关。 以下五个命题是等价的: ① ρ XY = 0 ; ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵

? σ XX ? ?σ ? YX

σ XY ? ? σ YY ? ?

混合矩

对于随机变量 X 与 Y,如果有 E ( X k Y l ) 存在,则称之为 X 与 Y 的

k+l 阶混合原点矩,记为ν kl ;k+l 阶混合中心矩记为:

u kl = E[( X ? E ( X )) k (Y ? E (Y )) l ].
(6) 协 方 差 的 性质 (7) 独 立 和 不 相关 (i) (ii) (iii) (iv) (i) (ii) cov (X, Y)=cov (Y, X); cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 若随机变量 X 与 Y 相互独立,则 ρ XY = 0 ;反之不真。
2 若(X,Y)~N( ? 1 , ? 2 , σ 12 , σ 2 , ρ ) ,

则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。

第五章

大数定律和中心极限定理

1

18

概率论与数理统计 公式(全) 2012

(1)大数定律

X →?

切比雪 夫大数 定律

设随机变量 X1,X2,…相互独立,均具有有限方差,且被同一 常数 C 所界:D(Xi)<C(i=1,2,…),则对于任意的正数ε,有

?1 n ? 1 n lim P? ∑ X i ? ∑ E ( X i ) < ε ? = 1. ?n ? n→∞ n i =1 ? i =1 ?
特殊情形:若 X1,X2,…具有相同的数学期望 E(XI)=μ, 则上式成为

?1 n ? lim P? ∑ X i ?? < ε ? = 1. ? n→∞ ? n ? i =1 ?
伯努利 大数定 律 设μ是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数,p 是事件 A 在 每次试验中发生的概率,则对于任意的正数ε,有

?? ? lim P? ? p < ε ? = 1. ? n ? n→∞ ? ?
伯努利大数定律说明,当试验次数 n 很大时,事件 A 发生 的频率与概率有较大判别的可能性很小,即

?? ? lim P? ? p ≥ ε ? = 0. ? n→∞ ? n ? ?
这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛钦大 数定律 设 X1,X2,…,Xn,…是相互独立同分布的随机变量序列,且 E (Xn)=μ,则对于任意的正数ε有

?1 n ? lim P? ∑ X i ?? < ε ? = 1. ?n ? n→∞ ? i =1 ?
(2)中心极限定 理 列维- 林德伯 格定理 设随机变量 X1,X2,…相互独立,服从同一分布,且具有 相 同 的 数 学 期 望 和 方 差 :

X → N (? ,

σ2
n

)

E ( X k ) = ? , D( X k ) = σ 2 ≠ 0( k = 1,2, ?) ,则随机变量

Yn =

∑X
k =1

n

k

? n?



的分布函数 Fn(x)对任意的实数 x,有

? n ? ? ∑ X k ? n? ? 1 ? ? lim Fn ( x) = lim P ? k =1 ≤ x? = n→∞ n→∞ nσ 2π ? ? ? ? ? ?
此定理也称为独立同分布 独立同分布的中心极限定理。 独立同分布



x

?∞

e

?

t2 2

dt.

1

19

概率论与数理统计 公式(全) 2012

棣莫弗 -拉普 拉斯定 理

设随机变量 X n 为具有参数 n, p(0<p<1)的二项分布,则对于 任意实数 x,有
2

(3)二项定理

t ? X n ? np ? 1 x ?2 ? ? = lim P ? ≤ x? = ∫ e dt. n →∞ 2π ?∞ ? np (1 ? p ) ? ? ? M 若当 N → ∞时, → p ( n, k不变) ,则 N k n C M C N? kM k ? → C n p k (1 ? p ) n ? k n CN

( N → ∞ ).

超几何分布的极限分布为二项分布。 (4)泊松定理 若当 n → ∞时, np → λ > 0 ,则
k C n p k (1 ? p ) n ? k →

λk
k!

e ?λ

( n → ∞ ).

其中 k=0,1,2,…,n,…。 二项分布的极限分布为泊松分布。

第六章 样本及抽样分布
(1)数理 统计的基 本概念 总体 在数理统计中,常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全 体称为总体 (或母体) 我们总是把总体看成一个具有分布的随 。 机变量(或随机向量) 。 总体中的每一个单元称为样品(或个体) 。 我们把从总体中抽取的部分样品 x1 , x 2 , ? , x n 称为样本。样本 中所含的样品数称为样本容量, 一般用 n 表示。 在一般情况下, 总是把样本看成是 n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机 变量,这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结 果时, x1 , x 2 , ? , x n 表示 n 个随机变量(样本) ;在具体的一次 抽取之后, x1 , x 2 , ? , x n 表示 n 个具体的数值(样本值) 。我们 称之为样本的两重性。 样本函数和 统计量 设 x1 , x 2 , ? , x n 为总体的一个样本,称

个体 样本

? =?

( x1 , x 2 , ? , x n )

为样本函数,其中 ? 为一个连续函数。如果 ? 中不包含任何未 知参数,则称 ? ( x1 , x 2 , ? , x n )为一个统计量。

1

20

概率论与数理统计 公式(全) 2012

常见统计量 及其性质

样本均值 样本方差

x=

1 n ∑ xi . n i =1

1 n S = ∑ ( xi ? x) 2 . n ? 1 i =1
2

样本标准差 样本 k 阶原点矩

S=

1 n ∑ ( x i ? x) 2 . n ? 1 i =1

Mk =

1 n k ∑ xi , k = 1,2, ?. n i =1

样本 k 阶中心矩

′ Mk =

1 n ∑ ( xi ? x) k , k = 2,3, ?. n i =1

E ( X ) = ? , D( X ) =

σ2
n



E (S 2 ) = σ 2 , E (S *2 ) =
其中 S * 2 = (2)正态 总体下的 四大分布 正态分布

n ?1 2 σ , n

1 n ∑ ( X i ? X ) 2 ,为二阶中心矩。 n i =1

设 x1 , x 2 , ? , x n 为来自正态总体 N ( ? , σ 2 ) 的一个样本,则样 本函数

u
t 分布

def

x??

σ/ n

~ N (0,1).

设 x1 , x 2 , ? , x n 为来自正态总体 N ( ? , σ 2 ) 的一个样本,则样 本函数

t

def

x?? s/ n

~ t (n ? 1),

其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。

1

21

概率论与数理统计 公式(全) 2012

χ 2 分布

设 x1 , x 2 , ? , x n 为来自正态总体 N ( ? , σ ) 的一个样本,则样
2

本函数

w

def

( n ? 1) S 2

σ

2

~ χ 2 ( n ? 1),

其中 χ 2 ( n ? 1) 表示自由度为 n-1 的 χ 2 分布。 F 分布 设 x1 , x 2 , ? , x n 为来自正态总体 N ( ? , σ 12 ) 的一个样本,而
2 y1 , y 2 , ? , y n 为来自正态总体 N ( ? , σ 2 ) 的一个样本,则样本

函数

F
其中

def

S 12 / σ 12
2 2 S2 /σ 2

~ F ( n1 ? 1, n 2 ? 1),

1 n1 S = ∑ ( x i ? x) 2 , n1 ? 1 i =1
2 1

1 n2 S = ∑ ( yi ? y) 2 ; n 2 ? 1 i =1
2 2

F ( n1 ? 1, n 2 ? 1) 表示第一自由度为 n1 ? 1 ,第二自由度为 n 2 ? 1 的 F 分布。
(3)正态 总体下分 布的性质

X 与 S 2 独立。

第七章

参数估计

1

22

概率论与数理统计 公式(全) 2012

(1) 点 估计

矩估计

设总体 X 的分布中包含有未知数 θ 1 , θ 2 , ? , θ m , 则其分布函数可以表成

F ( x; θ 1 , θ 2 , ? , θ m ). 它的 k 阶原点矩 v k = E ( X k )(k = 1,2, ? , m) 中也
包 含 了 未 知 参 数 θ 1 , θ 2 , ? , θ m , 即 v k = v k (θ 1 , θ 2 , ? , θ m ) 。 又 设

x1 , x 2 , ? , x n 为总体 X 的 n 个样本值,其样本的 k 阶原点矩为
1 n k ∑ xi (k = 1,2, ? , m). n i =1
这样,我们按照“当参数等于其估计量时,总体矩等于相应的样本矩” 的原则建立方程,即有
∧ 1 n ? ∧ ∧ v1 (θ 1 , θ 2 , ? , θ m ) = ∑ x i , ? n i =1 ? ? ∧ ∧ ∧ 1 n ? v 2 (θ 1 , θ 2 , ? , θ m ) = ∑ x i2 , ? n i =1 ? ? ? ?????????? ? ? n ∧ ∧ ∧ ?v (θ , θ , ? , θ ) = 1 ∑ xim . m ? m 1 2 n i =1 ?

由上面的 m 个方程中,解出的 m 个未知参数 (θ 1 , θ 2 , ? , θ m ) 即为参数 ( θ 1 , θ 2 , ? , θ m )的矩估计量。







? 若 θ 为 θ 的矩估计, g ( x ) 为连续函数,则 g (θ ) 为 g (θ ) 的矩估计。



1

23

概率论与数理统计 公式(全) 2012

极大似 然估计

当总体 X 为连续型随机变量时,设其分布密度为

f ( x;θ 1 , θ 2 , ? , θ m ) , 其 中 θ 1 ,θ 2 ,?,θ m 为 未 知 参 数 。 又 设 x1 , x 2 ,?, x n 为总体的一个样本,称
L(θ 1 , θ 2 , ? , θ m ) = ∏ f ( x i ; θ 1 , θ 2 , ? , θ m )
i =1 n

为样本的似然函数,简记为 Ln. 当总体 X 为离型随机变量时,设其分布律为

P{ X = x} = p( x;θ 1 , θ 2 , ? , θ m ) ,则称
L( x1 , x 2 , ? , x n ;θ 1 ,θ 2 , ? ,θ m ) = ∏ p ( x i ;θ 1 ,θ 2 , ? ,θ m )
i =1 n

为样本的似然函数。 若似然函数 L ( x1 , x 2 , ? , x n ;θ 1 ,θ 2 , ? ,θ m ) 在 θ 1 ,θ 2 , ? ,θ m 处取 到最大值,则称 θ 1 ,θ 2 , ? ,θ m 分别为 θ 1 ,θ 2 , ? ,θ m 的最大似然估计值, 相应的统计量称为最大似然估计量。
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

? ln Ln ?θ i


θ i =θ i



= 0, i = 1,2, ? , m

? 若 θ 为 θ 的极大似然估计, g (x ) 为单调函数,则 g (θ ) 为 g (θ ) 的极大
似然估计。 (2) 估 计量的 评选标 准 无偏性 设 θ = θ ( x1 , x 2 , ? , x n ) 为未知参数 θ 的估计量。若 E ( θ )= θ ,则称
∧ ∧


θ 为 θ 的无偏估计量。
E( X )=E(X) E(S )=D(X) , 有效性 设 θ 1 = θ 1 ( x1 , x, 2 , ? , x n ) 和 θ 2 = θ 2 ( x1 , x, 2 , ? , x n ) 是未知参数 θ 的两个无偏估计量。若 D (θ 1 ) < D (θ 2 ) ,则称 θ 1 比 θ 2 有效。
∧ ∧
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
2



1

24

概率论与数理统计 公式(全) 2012

一致性

设 θ n 是 θ 的一串估计量,如果对于任意的正数 ε ,都有



lim P(| θ n ? θ |> ε ) = 0,
n →∞



。 则称 θ n 为 θ 的一致估计量(或相合估计量)





? 若 θ 为 θ 的无偏估计,且 D (θ ) → 0( n → ∞ ), 则 θ 为 θ 的一致估计。
只要总体的 E(X)和 D(X)存在,一切样本矩和样本矩的连续函数都是相 应总体的一致估计量。 (3) 区 间估计 置信区 间和置 信度 设总体 X 含有一个待估的未知参数 θ 。 如果我们从样本 x1 , x, 2 , ? , x n 出 发 , 找 出 两 个 统 计 量

θ 1 = θ 1 ( x1 , x, 2 , ? , x n ) 与

θ 2 = θ 2 ( x1 , x, 2 , ? , x n ) (θ 1 < θ 2 ) , 使 得 区 间 [θ 1 , θ 2 ] 以
1 ? α (0 < α < 1) 的概率包含这个待估参数 θ ,即

P{θ 1 ≤ θ ≤ θ 2 } = 1 ? α ,
那么称区间 [θ 1 , θ 2 ] 为 θ 的置信区间, 1 ? α 为该区间的置信度(或置 信水平) 。 单 总 期 方 区 计 正 体 望 差 间 态 的 和 的 估 设 x1 , x, 2 , ? , x n 为总体 X ~ N ( ? , σ 2 ) 的一个样本,在置信度为 1 ? α 下,我们来确定 ?和σ 2 的置信区间 [θ 1 , θ 2 ] 。具体步骤如下: (i)选择样本函数; (ii)由置信度 1 ? α ,查表找分位数; (iii)导出置信区间 [θ 1 , θ 2 ] 。

1

25

概率论与数理统计 公式(全) 2012

已知方差,估计均值

(i)选择样本函数

u=

x??

σ0 / n

~ N (0,1).

(ii) 查表找分位数

? ? x?? P? ? λ ≤ ≤ λ ? = 1 ? α. ? ? σ0 / n ? ?
(iii)导出置信区间

σ0 σ ? ? ,x+λ 0 ? ?x ? λ n n? ?
未知方差,估计均值 (i)选择样本函数

t=

x?? S/ n

~ t (n ? 1).

(ii)查表找分位数

? ? x?? P? ? λ ≤ ≤ λ ? = 1 ? α. ? ? S/ n ? ?
(iii)导出置信区间

? S S ? ,x+λ ?x ? λ ? n n? ?
方差的区间估计 (i)选择样本函数

w=

(n ? 1) S 2

σ

2

~ κ 2 (n ? 1).

(ii)查表找分位数

? ? (n ? 1) S 2 ? λ1 ≤ P? ≤ λ2 ? = 1 ? α. ? σ2 ? ?
(iii)导出 σ 的置信区间

? n ?1 n ?1 ? S, S? ? λ1 ? ? λ2

第八章

假设检验

1

26

概率论与数理统计 公式(全) 2012

基本思想

假设检验的统计思想是,概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是 不会发生的,即小概率原理。 为了检验一个假设 H0 是否成立。我们先假定 H0 是成立的。如果根据这个假 定导致了一个不合理的事件发生,那就表明原来的假定 H0 是不正确的,我们拒 绝接受 H0;如果由此没有导出不合理的现象,则不能拒绝接受 H0,我们称 H0 是 相容的。与 H0 相对的假设称为备择假设,用 H1 表示。 这里所说的小概率事件就是事件 {K ∈ Rα } ,其概率就是检验水平α,通 常我们取α=0.05,有时也取 0.01 或 0.10。

基本步骤

假设检验的基本步骤如下: (i) 提出零假设 H0; (ii) 选择统计量 K; (iii) 对于检验水平α查表找分位数λ; (iv)


由样本值 x1 , x 2 , ? , x n 计算统计量之值 K;
∧ ∧

将 K 与λ 进行比较,作出判断:当 | K |> λ (或 K > λ ) 时否定 H0,否则认为 H0 相容。 两类错误 第一类错误 当 H0 为真时,而样本值却落入了否定域,按照我们规定的 检验法则,应当否定 H0。这时,我们把客观上 H0 成立判为 H0 为不成立(即否定了真实的假设) ,称这种错误为“以真 当假”的错误或第一类错误,记 α 为犯此类错误的概率, 即 P{否定 H0|H0 为真}= α ; 此处的α恰好为检验水平。 当 H1 为真时,而样本值却落入了相容域,按照我们规定的 检验法则,应当接受 H0。这时,我们把客观上 H0。不成立判 为 H0 成立(即接受了不真实的假设) ,称这种错误为“以假 当真”的错误或第二类错误,记 β 为犯此类错误的概率, 即 P{接受 H0|H1 为真}= β 。 两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。 但是, 当 容量 n 一定时,α 变小,则 β 变大;相反地,β 变小,则 α 变大。取定 α 要想使 β 变小,则必须增加样本容量。 在实际使用时,通常人们只能控制犯第一类错误的概 率, 即给定显著性水平α。 α大小的选取应根据实际情况而 定。当我们宁可“以假为真” 、而不愿“以真当假”时,则 应把α取得很小,如 0.01,甚至 0.001。反之,则应把α取 得大些。

第二类错误

1

27

概率论与数理统计 公式(全) 2012

单正态总体均值和方差的假设检验 条件 零假设 统计量 对应样本 函数分布 否定域

H 0 : ? = ?0
已知 σ
2

| u |> u

1?

α
2

H 0 : ? ≤ ?0 H 0 : ? ≥ ?0 H 0 : ? = ?0

U=

x ? ?0

σ0 / n

N(0,1)

u > u1?α u < ?u1?α
| t |> t
1?

α
2

( n ? 1)

未知 σ

2

H 0 : ? ≤ ?0 H 0 : ? ≥ ?0

T=

x ? ?0 S/ n

t ( n ? 1)

t > t1?α (n ? 1) t < ?t1?α (n ? 1)
2 w < κ α (n ? 1)或

H 0 :σ 2 = σ 2
未知 σ
2
2 H 0 :σ 2 ≤ σ 0 2 H 0 :σ 2 ≥ σ 0

2

w=

(n ? 1) S 2

w>κ

2 1?

α
2

(n ? 1)

σ

2 0

κ 2 (n ? 1)

w > κ 12?α ( n ? 1)
2 w < κ α ( n ? 1)

1

28


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