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高中数学人教A版选修2-1同步练习:2.3.1双曲线及其标准方程


第二章

2.3.1 双曲线及其标准方程

一、选择题 1.在方程 mx2-my2=n 中,若 mn<0,则方程的曲线是( A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆 [答案] D y2 x2 [解析] 方程 mx2-my2=n 可化为: - =1, n n - - m m n ∵mn<0,∴- >0, m ∴

方程的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线. x2 y2 2.双曲线 - =1 上的点到一个焦点的距离为 12,则到另一个焦点的距离为( 25 9 A.22 或 2 C.22 [答案] A [解析] ∵a2=25,∴a=5,由双曲线定义可得 ||PF1|- |PF2||=10,由题意知|PF1|=12,∴|PF1|- |PF2| B.7 D.2 ) )

B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

=± 10,∴|PF2|=22 或 2. x2 y2 3.若 k∈R,方程 + =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则 k 的取值范围是( k+3 k+2 A.-3<k<-2 C.k<-3 或 k>-2 [答案] A [分析] 由于方程表示焦点在 x 轴上的双曲线,故 k+3>0,k+2<0.
? ?k+3>0, [解析] 由题意可知,? 解得-3<k<-2. ?k+2<0, ?

)

B.k<-3 D.k>-2

x2 y2 x2 y2 4.椭圆 + 2=1 与双曲线 2- =1 有相同的焦点,则 m 的值是( 4 m m 2 A.± 1 C.-1 [答案] A [解析] 验证法:当 m=± 1 时,m2=1, 对椭圆来说,a2=4,b2=1,c2=3. B.1 D.不存在

)

对双曲线来说,a2=1,b2=2,c2=3, 故当 m=± 1 时,它们有相同的焦点. 直接法:显然双曲线焦点在 x 轴上, 故 4-m2=m2+2. ∴m2=1,即 m=± 1. 3π x2 y2 5.设 θ∈( ,π),则关于 x、y 的方程 - =1 所表示的曲线是( 4 sinθ cosθ A.焦点在 y 轴上的双曲线 B.焦点在 x 轴上的双曲线 C.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 x 轴上的椭圆 [答案] C x2 y2 3π [解析] 方程即是 + =1,因 θ∈( ,π), sinθ -cosθ 4 ∴sinθ>0,cosθ<0,且-cosθ>sinθ,故方程表示焦点在 y 轴上的椭圆,故选 C. 6.已知双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 的直线与双曲线的左支交于 A、B 两点,线段 AB 的 长为 5,若 2a=8,那么△ABF2 的周长是( A.16 C.21 [答案] D [解析] |AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a =8, ∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16, ∴|AF2|+|BF2|=16+5=21, ∴△ABF2 的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5 =26. 二、填空题 7.双曲线 2x2-y2=m 的一个焦点是(0, 3),则 m 的值是__________________. [答案] -2 x2 y2 [解析] 双曲线的标准方程为 - =1, m m 2 m 3 由题意得 a2=-m,b2=- ,∴c2=- m=3, 2 2 ∴m=-2. ) B.18 D.26 )

x2 y2 8.过双曲线 - =1 的焦点且与 x 轴垂直的直线被双线截取的线段的长度为________. 3 4 [答案] 8 3 3

[解析] ∵a2=3,b2=4,∴c2=7,∴c= 7, 该直线方程为 x= 7,

? ?x= 7 16 由?x2 y2 得 y2= , 3 ? ? 3 - 4 =1
∴|y|= 4 3 8 3 ,弦长为 . 3 3

x2 y2 9.已知双曲线与椭圆 + =1 有相同的焦点,且与椭圆的一个交点的纵坐标为 4,则双曲线的方程 27 36 为________. [答案] y2 x2 - =1 4 5

y2 x2 [解析] 椭圆的焦点为 F1(0,-3),F2(0,3),故可设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),且 c=3,a2+ a b b2=9. 由条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为 4,可得两交点的坐标为 A( 15,4)、B(- 15,4), 16 15 由点 A 在双曲线上知, 2 - 2 =1. a b a +b =9, 2 ? ? ? ?a =4, ? 解方程组?16 15 得 2 ?b =5. ? ? a2 - b2 =1, ? y2 x2 ∴所求曲线的方程为 - =1. 4 5 三、解答题 10.如图所示,已知定圆 F1:x2+y2+10x+24=0,定圆 F2:x2+y2-10x+9=0,动圆 M 与定圆 F1、 F2 都外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.
2 2

[解析] 圆 F1:(x+5)2+y2=1, ∴圆心 F1(-5,0),半径 r1=1.圆 F2:(x-5)2+y2=42,∴圆心 F2(5,0),半径 r2=4. 设动圆 M 的半径为 R,则有 |MF1|=R+1,|MF2|=R+4,

∴|MF2|-|MF1|=3. 3 91 ∴M 点轨迹是以 F1、F2 为焦点的双曲线左支,且 a= ,c=5.∴b2=c2-a2= . 2 4 4x2 4y2 3 ∴双曲线方程为 - =1(x≤- ). 9 91 2

一、选择题 11.已知点 F1(-4,0)和 F2(4,0),曲线 C 上的动点 P 到 F1、F2 距离之差为 6,则曲线 C 的方程为( x2 y2 A. - =1 9 7 x2 y2 x2 y2 C. - =1 或 - =1 9 7 7 9 [答案] D [解析] 由双曲线的定义知,点 P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支,其方程为: x2 y2 - =1(x>0). 9 7 x2 y2 12.已知双曲线 - =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,若双曲线的左支上有一点 M 到右焦点 F2 的距 25 9 离为 18,N 是 MF2 的中点,O 为坐标原点,则|NO|等于( 2 A. 3 C.2 [答案] D 1 [解析] NO 为△MF1F2 的中位线, 所以|NO|= |MF1|,又由双曲线定义知,|MF2|-|MF1|=10,因为|MF2| 2 =18,所以|MF1|=8,所以|NO|=4,故选 D. y2 13. (2014· 海南省文昌市检测)设 F1, F2 是双曲线 x2- =1 的两个焦点, P 是双曲线上的一点, 且 3|PF1| 24 =4|PF2|,则△PF1F2 的面积等于( A.4 2 C.24 [答案] C [解析] 由 3|PF1|=4|PF2|知|PF1|>|PF2|,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=8,|PF2|=6,又 c2 =a2+b2=1+24=25,∴c=5,∴|F1F2|=10, 1 ∴△PF1F2 为直角三角形,S△PF1F2= |PF1||PF2|=24. 2 x2 y2 14.设 F 为双曲线 - =1 的左焦点,在 x 轴上 F 点的右侧有一点 A,以 FA 为直径的圆与双曲线左、 16 9 ) B.8 3 D.48 B.1 D.4 ) x2 y2 B. - =1(y>0) 9 7 x2 y2 D. - =1(x>0) 9 7 )

|FN|-|FM| 右两支在 x 轴上方的交点分别为 M、N,则 的值为( |FA| 2 A. 5 5 C. 4 [答案] D 5 B. 2 4 D. 5

)

[解析] 对点 A 特殊化,不妨设点 A 为双曲线的右焦点,依题意得 F(-5,0),A(5,0), |FN|-|NA|=8,|FM|=|NA|, 所以|FN|-|FM|=8, 二、填空题 x2 y2 15.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-6,0)和 C(6,0),若顶点 B 在双曲线 - =1 的 25 11 sinA-sinC 左支上,则 =________. sinB [答案] 5 6 |FN|-|FM| 8 4 = = ,选 D. |FA| 10 5

sinA-sinC [分析] 由正弦定理可将 转化为边的比,而△ABC 的顶点 A、C 已知,故边 AC 长可求,B 在 sinB 双曲线上,由定义可求|BC|-|BA|. [ 解析 ] 由条件可知 |BC| - |BA|= 10 ,且 |AC|= 12 ,又在△ ABC 中,有 |BC| |AB| |AC| = = = 2R ,从而 sinA sinC sinB

sinA-sinC |BC|-|AB| 5 = = . sinB |AC| 6 [点评] 圆锥曲线的定义是主要考查目标之一,当涉及圆锥曲线的焦半径时,常考虑应用定义解决. 16.已知圆(x+4)2+y2=25 的圆心为 M1,圆(x-4)2+y2=1 的圆心为 M2,动圆与这两圆外切,则动圆 圆心的轨迹方程为______________________. [答案] x2 y2 - =1(x≥2) 4 12

[解析] 设动圆圆心为 M,动圆半径为 r,根据题意得,|MM1|=5+r,|MM2|=1+r,两式相减得|MM1| -|MM2|=4<8=|M1M2|,故 M 点在以 M1(-4,0),M2(4,0)为焦点的双曲线的右支上,故圆心 M 的轨迹方程为 x2 y2 - =1(x≥2). 4 12 三、解答题 17.当 0° ≤α≤180° 时,方程 x2cosα+y2sinα=1 表示的曲线怎样变化? [解析] (1)当 α=0° 时,方程为 x2=1,它表示两条平行直线 x=1 和 x=-1. (2)当 0° <α<90° 时,方程为 x2 y2 + =1. 1 1 cosα sinα

1 1 ①当 0° <α<45° 时,0< < ,它表示焦点在 y 轴上的椭圆. cosα sinα ②当 α=45° 时,它表示圆 x2+y2= 2. 1 1 ③当 45° <α<90° 时, > >0,它表示焦点在 x 轴上的椭圆. cosα sinα (3)当 α=90° 时,方程为 y2=1,它表示两条平行直线 y=1 和 y=-1. (4)当 90° <α<180° 时,方程为 y2 x2 - =1,它表示焦点在 y 轴上的双曲线. 1 1 sinα -cosα

(5)当 α=180° 时,方程为 x2=-1,它不表示任何曲线. 1 18.在△ABC 中,A、B、C 所对三边分别为 a、b、c,B(-1,0)、C(1,0),求满足 sinC-sinB= sinA 时, 2 顶点 A 的轨迹,并画出图形. 1 1 1 [解析] ∵sinC-sinB= sinA,∴c-b= a= ×2=1, 2 2 2 即|AB|-|AC|=1<|BC|=2. ∴动点 A(x,y)的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线 2a′=1, ? ? ∴?2c′=2, ? ?b′2=c′2-a′2.

?a′=2, ∴? 3 ?b′= 2 .

1

x2 y2 ∴A 点轨迹方程为 - =1. 1 3 4 4 1 由于 c>b 就是|AB|>|AC|,可知 A 点的轨迹是双曲线的右支,还需除去点( ,0)如图所示. 2


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