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1.4.3正切函数的性质与图象


正切函数的性质与图象
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试根据研究正、余弦函数的图象与性质的 经验,以同样的方法研究正切函数的图象 与性质.

函数
y

y=sinx
y
1 1

y=cosx

图形 定义域 值域 最值

??

>2

0
-1

?

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

??

0
-1

?

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

x?R
y ?[?1,1]

x?R
y ?[?1,1]

单调性 奇偶性 周期 对称性

x ? ? ? 2k? 时, ymax ? 1 x ? 2k? 时, ymax ? 1 2 x ? ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1 x ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1 2 x?[- ? ? 2k? , ? ? 2k? ] 增函数 x?[?? ? 2k? , 2k? ] 增函数 2 2 x?[ ? ? 2k? , 3? ? 2k? ] 减函数 x?[2k? , ? ? 2k? ] 减函数 2 2

2? 对称轴: x ? ? ? k? , k ? Z
2 对称中心: (k? ,0) k ? Z

奇函数

偶函数

2?

对称轴: x ? k? , k ? Z 对称中心:( ? ? k? , 0) k ? Z

2

周期性
由诱导公式得 ? tan( x ? ?) ? tan x, x ? R,x ? ? k ?, k ? Z 2 所以,正切函数是周期函数,周期是 ? .

奇偶性
由诱导公式得 ? tan(? x) ? ? tan x, x ? R,x ? ? k ?, k ? Z 2

所以正切函数式奇函数.

三角函数线
? α在第一象限时:
? 正弦线: sinα=MP>0 ? 余弦线: cosα=0M>0 请同学们画出其它象限的三角函数线

? 正切线:tanα=AT>0

单调性
v
T

如图(1)(2),由正切线
v

的变换规律可得,正
x
A

x
O

A

u

O

u
T

? ?? 内 切函数在 ? ?? , ?

是增函数,又由正切 函数的周期性可知,

?

2 2?

(2)
v x
O
A

(1)
v x u
O

T
A

正切函数在开区间
u
? ? ? ? ? ? k ? , ? k ? ? ?, 2 ? 2 ?

T

(3)

(4)

k ? Z 内都是增函数.

v
O

值域

? ? A 如图(1) , 当x大于 ? 且无限接近 ? 时, x 2 2 u 正切线AT向Ov轴的负方向无限延伸; T

(1) v
T

x
O

A

u

? ? 如图(2) ,当x小于 且无限接近 时, 2 2 正切线AT向Ov轴的正方向无限延伸;

(2)

所以正切函数的值域是实数集R.

2. 函数

y ? sin x, x ? ?0,2? ?图象的几何作法
y

作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
/ p1

1P 1
?
6

(3) 平移 (4) 连线
?
?
2

o1

M -1 1

A

o
-1 -

? 6

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

-

-

-

-

如何利用正切线画出函数 y

?

? ?? ? tan x,x ? ? ? , ? 的图像? ? 2 2?

T

角 的终边 3

?

Y

(? , tan ? )
3 3

A

0

? 3

X

? ? ?? y ? tan x x ? 利用正切线画出函数 , ? ? , ? 的图像: ? 2 2? 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分: ? ? ? 3? 3? ? (2) 作正切线 ? , , , ? ? , , 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线

o

? 3? ? ? 0 ? ? ? ? 2 8 4 8

? 8

? 4

3? 8

? 2

由正切函数的周期性,把图象向左、向右扩展,得到 正切函数的图象,称为正切曲线

y

1
-3?/2 -? -?/2

0 -1

?/2

? 3?/2

x

正切 图象特征: 函数 ? 正切曲线是由相互平行的直线 x ? ? k? (k ? Z ) 的渐 2 所隔开的无穷多支曲线组成,每支曲线向上、向下可无限接 近线 近相应的两条直线。

正切函数图象的简单画法: 三点两线法。

“三点”: “两线”:

? ? ? (0,0)、( , 1 )、 ? , ? 1 ? ? 4 ? 4 ? ? ?
x? 2 和x ? ? 2

?

y

?
3? ? 2

?
4

1




??

? ? 2


0 ?

-1

4

? 2

?

3? 2

x

性质

你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗? y

1
-3?/2 -? -?/2

-1

0

?/2

?

x
3?/2

函数 定义域

值域
周期性 奇偶性 单调性

y=tanx ? {x | x ? k? ? , k ? Z } 2 R T= ? 奇函数 图象关于原点对称 ? ? (k? ? , k? ? )k ? Z 内都是增函数 在每一个开区间, 2 2

(1)正切函数在整个定义域内是增函 数吗?为什么?

(2)正切函数会不会在某一区间内是 减函数呢?为什么?

例1、 求下列函数的周期:

? (1) y ? 3 tan( 2 x ? ); 4 ?

解: ? f ( x) ? 3 tan( 2 x ? ) 4

1 ? (2)变式: y ? 3 tan( x ? ); 2 4
1 ? 解 :? f ( x) ? 3 tan( x ? ) 2 4

?

? f (x ? ) 2 ? ? 周期 T ? 2

? 3 tan[ 2( x ? ) ? ] ? 2 4

? ? 3 tan( 2 x ? ? ? ) 4 ? ?

1 ? ? 3 tan( x ? ? ? ) 2 4 1 ? ? 3 tan[ ( x ? 2? ) ? ]

? f ( x ? 2? ) ? 周期T ? 2?

2

4

? 周期T ? |? |

? ?? 例2 求函数 y ? tan ? 的定义域、周期和单调区间. ? x? ? 3? ?2 ? ? ? 解:函数的自变量 x应满足 x ? ? k ? ? , k ? Z, 2 3 2



? x ? 2k ? , k ? Z, 3

? ? ? 所以,函数的定义域是 ? x x ? 2k ? , k ? Z? . 3 ? ? ?? ? ?? ?? ? 由于 y ? tan ? x ? ? ? tan ? x ? ? ? ? 3? 3 ?2 ?2 ?
?? ?? ? tan ? ? x ? 2 ? ? ? ? f ( x ? 2), 3? ?2

因此函数的周期为2.



? ? ? ? k ? ? < x ? <k ? ? , k ? Z, 2 2 3 2 ? ? 2k ? <x<2k ? , k ? Z. 3 3

解得

因此,函数的单调递增区间是:
? ?? ? ? 2k ? ,2k ? ? , k ? Z. 3 3? ?

巩固与提高
1.观察正切曲线,写出满足下列条件的x的值的范围: (1)tan x>0; (2)tan x=0; (3)tan x<0. 2.求函数y=tan 2x的定义域. 3.求下列函数的周期:
(1) (2)
k? y ? tan( 2 x ? ), x ? ? (k ? Z ) 4 8 2

?

?

x ?? y ? 5 tan , x ? 2k? (k ? Z ). 2

4.不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小: 13 17 ? ? (1) t an138 与 t an143 ; ? )与 tan( ? ? ). (2) tan( ? 4 5


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