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2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-3【配套备课资源】第一章 4


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§4

学习要求 1.进一步理解计数原理和排列、组合的概念. 2.能够运用原理和公式解决简单的计数问题.
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学法指导 两个计数原理是解决计数问题的根本, 在解决中要抓住“分 类”还是“分步”,“组合”(无序)还是“排列”(有序). 本节学习过程中,注意

以下原则: (1)特殊元素(或位置)优先安排; (2)“相邻”用“捆绑”,“不邻”就“插空”; (3)混合问题,先“组”后“排”.

试一试· 双基题目、基础更牢固

§4

1.下列问题中是组合问题的个数是
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( B )

①从全班 50 人中选出 5 名组成班委会; ②从全班 50 人中选出 5 名分别担任班长、副班长、团支部 书记、学习委员、生活委员; ③从 1,2,3,?,9 中任取出两个数求积; ④从 1,2,3,?,9 中任取出两个数求差或商. A.1 B.2 C.3 D.4

解析 ①③与顺序无关,属于组合问题, ②④与顺序有关,属于排列问题.

试一试· 双基题目、基础更牢固

§4

2.有三张参观券,要在 5 人中确定 3 人去参观,不同方法的
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10 种数是________.

解析 不同方法为 C3=10(种). 5

试一试· 双基题目、基础更牢固

§4

3.要从 5 件不同的礼物中选出 3 件分送 3 位同学,不同方法
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的种数是________. 60
3 解析 不同方法为 A5=5×4×3=60(种).

试一试· 双基题目、基础更牢固

§4

4.5 名工人要在 3 天中各自选择 1 天休息,不同方法的种数
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243 是________.

解析 不同方法为 35=243(种).

研一研· 题型解法、解题更高效

§4

题型一
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排列与组合的简单应用

例1

(1)5 个相同的球,放入 8 个不同的盒子中,每盒至多放

1 个球,共有多少种放法? (2)某项化学实验, 要把 2 种甲类物质和 3 种乙类物质按照先 放甲类物质后放乙类物质的顺序,依次放入某种液体中,观 察反应结果. 现有符合条件的 3 种甲类物质和 5 种乙类物质 可供使用.问:这个实验一共要进行多少次,才能得到所有 的实验结果?

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§4

解 题.

(1)由于球都相同,盒子不同,每盒至多放一个球,所以,

只要选出 5 个不同的盒子,就可以解决问题.这是一个组合问
本 因此,5 个相同的球,放入 8 个不同的盒子中,每盒至多放一 课 时 个球,共有 C5=56 种选法. 8 栏 目 (2)第一步:放入甲类物质,共有 A2种方案. 3 开 关 3

第二步:放入乙类物质,共有 A5种方案.

2 根据乘法原理,共有 A3· 3=3×2×5×4×3=360 种方案. A5

因此,共要进行 360 次实验,才能得到所有的实验结果.

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§4

小结

(1)解简单的排列、 组合应用题时, 首先要判断它是排列

还是组合问题, 组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题
本 而组合问题与取出元素的顺序无 课 与取出元素之间的顺序有关, 时 栏 关. 目 即分类与分步的灵活运用, 在 开 (2)要注意两个基本原理的运用, 关

分类和分步时,一定要注意有无重复或遗漏.

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§4

跟踪训练 1 (1)5 个不同的球,放入 8 个不同的盒子中,每盒 至多放一个球,共有________种放法. 6 720
本 解析 由于球与盒子均不同,每盒至多放一个球,所以这是一 课 时 个排列问题. 栏 目 可直接从 8 个不同的盒子中取出 5 个盒子进行排列(即放球), 开 关 5

所以,共有 A8=8×7×6×5×4=6 720 种放法.

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§4

(2)7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活
本 课 数字作答) 时 栏 解析 C3C3=140. 7 4 目 开 关

动. 若每天安排 3 人, 则不同的安排方案共有________种. (用 140

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§4

题型二

有限制条件的排列、组合问题

例 2 将 5 个不同的元素 a,b,c,d,e 排成一排. (1)a,e 必须排在首位或末位,有多少种排法? (2)a,e 既不在首位也不在末位,有多少种排法?
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(3)a 不排在首位,e 不排在末位,有多少种排法?

解 (1)按首位是 a 还是 e 分类计数.
第一类:a 排在首位,那么 e 必须排在末位,中间三位是把 b,c,d 进行排列,一共有 A3=3×2×1=6 种排法. 3
第二类:e 排在首位,那么 a 必须排在末位,中间三位是把 b,c,d 进行排列,一共有 A3=3×2×1=6 种排法. 3
根据加法原理,a,e 必须排在首位或末位,一共有 6+6= 12 种排法.

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§4

(2)按照先排首位和末位,再排中间三位分步计数.

第一步:排出首位和末位. 由于 a,e 既不在首位也不在末位,那么首位和末位是在 b,c,
2 d 中选出两个进行排列,一共有 A3=3×2=6 种排法. 本 课 时 第二步:排出中间三位.

栏 目 开 关

由于在 a,b,c,d,e 5 个元素中,已经有 2 个元素排在了首 位和末位,
3 因此,中间三位是把剩下的 3 个元素进行排列,一共有 A3=

3×2×1=6 种排法. 根据乘法原理,a,e 既不在首位也不在末位,一共有 6×6= 36 种排法.

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§4

(3)按照 a 是否排在末位分类计数. 第一类:a 排在末位,此时 e 不排在末位,
4 故一共有 A4=4×3×2×1=24 种排法.

第二类:a 不排在末位,此时可按照先排 a,再排 e,最后排 b,
本 课 c,d 分步计数: 时 1 第一步:a 排在中间,有 A3种排法. 栏 目 第二步:e 排在除末位及 a 所占位置外的其余位置,有 A1=3 3 开 关

种排法.

第三步:b,c,d 排在其余位置,有 A3=3×2×1=6 种排法. 3 根据乘法原理,第二类有 3×3×6=54 种排法.
最后,根据加法原理,a 不排在首位,e 不排在末位,一共有 24+54=78 种排法.

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§4

小结 排列与组合的综合问题,首先要分清何时为排列,何时
本 课 再进行排列.对特殊元素的位置有要求时,在组合选取时,就 时 栏 要进行分类讨论,分类的原则是不重、不漏.在用间接法计数 目 开 时,要注意考虑全面,排除干净. 关

为组合. 对含有特殊元素的排列、 组合问题, 一般先进行组合,

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§4

跟踪训练 2 (1)现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海 世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四 项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能 从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安
本 课 排方案的种数是 时 B.126 C.90 D.54 栏 A.152 目 开 解析 按从事司机工作的人数进行分类: 关

(

)

①有 1 人从事司机工作:

1 1 2 C1C2A3(或 C3C3C4A2)=108(种); 3 4 3 2

②有 2 人从事司机工作:C2· 3=18(种). 3 A3 ∴不同安排方案的种数是 108+18=126.

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§4

(2)从 6 名短跑运动员中选 4 人参加 4×100 米接力赛,如果甲 不能跑第一棒, 乙不能跑第四棒, 问共有________种参赛方法. 252
解析 把所选取的运动员的情况分为三类.
4 第一类:甲、乙两人均不参赛,有 A4=24(种); 本

课 时 第二类:甲、乙两人有且只有 1 人参赛, 栏 1 3 4 3 目 共有 C2C4(A4-A3)=144(种); 开 关 第三类:甲、乙两人都参赛,有 C2(A4-2A3+A2)=84(种). 4 4 3 2

由分类加法计数原理知,所有的参赛方法共有 24+144+84= 252(种).

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§4

例 3 用 0,1,2,?,9 这 10 个数字. (1)可以组成多少个 5 位数? (2)可以组成多少个没有重复数字的 5 位数?
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(3)可以组成多少个没有重复数字且能够被 5 整除的 5 位数?

解 (1)第一步:首位数字可以在 1~9 这 9 个数字中选取, 有 9 种可能. 第二步:其他 4 个数位可以在 0~9 这 10 个数字中选取,由 乘法原理有 10×10×10×10=104 种可能. 最后,根据乘法原理,用 0,1,2,?,9 这 10 个数字,一共 可以组成 9×104=90 000 个 5 位数.

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§4

(2)采用分步计数的方法,先确定首位数字再确定其他数位.
第一步:首位数字,可以在 1~9 这 9 个数字中选择,有 9 种
本 可能. 课 时 第二步:其他 4 个数位,可以在剩下的 9 个数字中选择,有 栏 4 目 A9种可能. 开 关 根据乘法原理,用 0,1,2,?,9 这 10 个数字,

一共可以组成 9· 4=27 216 个没有重复数字的 5 位数. A9

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§4

(3)能够被 5 整除的数, 末位有且仅有 0 或 5 两种可能, 分两类 进行计数.
第一类:末位是 0,由于没有重复数字,所以其他 4 个数位共
4 本 有 A9种可能. 课 时 第二类:末位是 5,对其他 4 个数位进行分步计数: 栏 目 第一步:由于首位不能为 0,首位有 C1种选择. 8 开 3 关

第二步:其他 3 个数位有 A8种可能.
4 所以,共有 A9+C1· 3=5 712 种. 8 A8

因此,用 0,1,2,?,9 这 10 个数字,一共可以组成 5 712 个没 有重复数字且能够被 5 整除的 5 位数.

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§4

小结 解决数字问题时,应注意题干中的限制条件,恰当地进 行分类和分步,尤其注意特殊元素“0”的处理.解决该类问
本 即优先排特殊元素或优先满 课 题的方法主要是按“优先”原则, 时 若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素 栏 足特殊位子, 目 开 个数时,应分类讨论. 关

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§4

跟踪训练 3 用 0 到 9 这 10 个数字, (1)可以组成多少个没有重复数字的四位数?在这些四位数中, 奇数有多少个? (2)可以组成多少个只含有 2 个相同数字的三位数?
本 3 课 解 (1)可以组成 9A9=4 536 个四位数. 时 1 栏 适合题意的四位奇数共有 A5· 1· 8=2 240 个. A8 A2 目 开 (2)0 到 9 这 10 个数字构成的三位数共有 900 个,分为三类: 关

第 1 类:三位数字全相同,如 111,222,?,999,共 9 个; 第 2 类:三位数字全不同,共 648 个,
第 3 类:由间接法可求出,只含有 2 个相同数字的三位数,共 有 900-9-648=243(个).

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

§4

1.身高各不相同的 7 名同学排成一排照相,要求正中间的同
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学最高,左右两边分别顺次一个比一个低,这样的排法种 数是 A.5 040 B.36 C.18
解析 最高的同学只能站在中间,它别无选择;
从剩下的 6 名同学中任选 3 名,有 C3种不同的方法,他们 6 由高到低的排列次序唯一; 剩下的 3 名同学由高到低的排列次序也唯一. ∴不同的排法共有 C3=20(种). 6

( D ) D.20

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§4

2.某中学要从 4 名男生和 3 名女生中选 4 人参加公益活动, 若男生甲和女生乙不能同时参加,则不同的选派方案共有 ( A ) A.25 种
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B.35 种 D.840 种

C.820 种
选法;

解析 分 3 类完成:男生甲参加,女生乙不参加,有 C3种 5

男生甲不参加,女生乙参加,有 C3种选法; 5 两人都不参加,有 C4种选法. 5 所以共有 2C3+C4=25(种)不同的选派方案. 5 5

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§4

3.某学校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学 从中共选 3 门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同
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的选法共有________种.(用数字作答) 30

解析 分两类,A 类选修课 2 门,B 类选修课 1 门,
或者 A 类选修课 1 门,B 类选修课 2 门, 因此,共有 C2· 1+C1· 2=30(种)选法. 3 C4 3 C4

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§4

4.正六边形顶点和中心共 7 个点,可组成________个三角形. 32

解析 不共线的三个点可组成一个三角形, 个点中共线 7
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的是:

正六边形过中心的 3 条对角线,即共有 3 种情况, 故组成三角形的个数为 C3-3=32. 7

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§4

5.某电视台连续播放 5 个广告,其中有 3 个不同的商业广告 和 2 个不同的全运会宣传广告,要求最后播放的必须是全 运会宣传广告,且 2 个全运会宣传广告不能连续播放,则
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36 不同的播放方式有________种.
解析 先安排后 2 个,再安排前 3 个, 由分步乘法计数原理知, 共有 C1C1A3=36(种)不同的播放方式. 2 3 3

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§4

1.计数应用问题,首先要分清楚是排列问题还是组合问题,
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即看取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”;其次 要看这件事是分类完成还是分步完成. 2.有限制条件的问题,遵循特殊优先原则. 3.要正确理解题目中的“至多”“至少”等词语的含义,正 确分类,合理分步.


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