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黑龙江省哈师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试数学理试题 Word版含答案


哈师大附中 2013--2014 高二上学期期末考试

理科数学试题
一 。选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.圆 O1:x ? y ? 2 x ? 0 和圆 O2:x ? y ? 4 y ? 0 的位置关系是(
2 2 2 2



A.相离

B.相交


C.相切 )

D.不确定

2.命题: “存在 x0 ? R , sin xo ? 2 ”的否定是( A. 不存在 x0 ? R, sin xo ? 2 C. 对任意 x ? R, sin x ? 2
2

B. 存在 x0 ? R, sin xo ? 2 D. 对任意 x ? R, sin x ? 2
2

3.直线 3 x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x ? y ? 4 得的劣弧所对圆心角为(



? ? B. 6 4 4. “ x ? 1”是“ x ? 1”的(
A. A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件 5. 椭圆

C. )

? 3

D.

? 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2 , N 为 MF1 的中点, O 为原点,则 25 9
) B. 4 C. 6 D.

ON ? (
A. 2

3 2


6.从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为奇数的概率为(

A.

4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

7.椭圆 (

x2 y2 ? ? 1 上的两点 A、B 关于直线 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 对称,则弦 AB 的中点坐标为 16 4


A. (?1, )

1 2

B. ( ,?1)

1 2

C. ( ,2)

1 2

D. (2, )

1 2

8.

?a ? x ?5 的展开式中 x 3 的系数等于 10,则 a 的值为(



A. a ? 1

B. a ? ?1
2

C. a ? ?1

D. a ? ?2 )

9. 过点 M (2,0) 的直线 l 与抛物线 y ? x 交于 A,B 两点,则 OA ? OB 的值为( A.0 B.1 C.2 D.3

2 10.直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 有且仅有一个公共点,则 b 的取值范围是(



A. b ? ? 2

B. ? 1 ? b ? 1或b ? ? 2

C. -1< b ? 1

D. - 1 ? b ? 1

11. 将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则不同的分 配方案有( ) A. 30 种 B. 90 种 C. 180 种 D. 270 种 12. 设 F1、F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线的右支上存在 a2 b2

一点 P,使 PF1 ? PF2 ? 0 ,且 ?F1 PF2 的三边长构成等差数列,则此双曲线的离心率为 ( A. 2 ) B.

3

C. 2

D.5

二.填空题: (每小题 5 分,共 20 分)ks5u 13.以抛物线 y ? 12 x 的焦点为圆心,且与双曲线
2

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线相切的圆的方 16 9

程为__________________________.ks5u 14.从区间 ?0,1? 内任取两个数,则这两个数的和小于

1 的概率为________________. 2

15. 由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的个数有 ____________个. 16. ?1 ? x ? ? x ?
2

? ?

1? ? 展开式中的常数项为________________. x?

6

三、解答题: (共 7 0 分) 17.(本题 10 分)

设 p : 2 ? x x ? a ? 1 ; q : 曲线 y ? x ? ? 2 a ? 3? x ? 1 与 x 轴交于不同的两点,如果
2

?

?

p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求实数 a 的取值范围.
18.(本题 12 分) 在新年联欢晚会上,游戏获胜者甲和乙各有一次抽奖机会,共有 10 个奖品,其中一等 奖 6 个,二等奖 4 个,甲、乙二人依次抽取。 (1)甲抽到一等奖,乙抽到二等奖的概率是多少?

(2)甲、乙二人中至少有一人抽到一等奖的概率是多少?

19. (本题 12 分) 在直角坐标系中,直线 l 经过点 P(3,0) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程; (2) 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C:? ? 4 cos? 与直线

?
4

.

l 相交于 A、B 两点,求 AB 中点坐标及点 P 到 A、B 两点距离之积.

20. (本题 12 分)
2 抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,抛物线 C 上点 M 的横坐标为 2,且 MF ? 3.

(1)求抛物线 C 的方程; (2)过焦点 F 作两条相互垂直的直线,分别与抛物线 C 交于 M、N 和 P、Q 四点,求四 边形 MPNQ 面积的最小值.

21. (本题 12 分) 已 知 四




0

P? A

B

的 C

底 D











形, AB // DC , ?DAB ? 90 , PA ? 底面ABCD , 且 PA ? AD ? DC ?

(1) 证明: AB ? CM ;

1 AB ? 1 ,M 为 PB 中点. 2

(2) 求 AC 与 PB 所成的角的余弦值;

(3)求二面角 A ? MC ? B 的余弦值. P M A B

D

C

ks5u 22. (本题 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F (0, 2 ) ,且长轴长与短轴长的比为 2 : 1 . (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 若椭圆 C 上在第一象限内的一点 P 的横坐标为 1,过点 P 作倾斜角互补的两条不同 的直 线 PA,PB 分别交椭圆 C 于另外两点 A,B. 求证: 直线 AB 的斜率为定值.

高二上学期期末考试数学答案
一、选择题 1 2 B C
2 2

2014.1
9 C 10 B 11 B 12 D

3 C

4 A

5 B

6 B

7 D

8 C 16. ? 5

二、填空题 13. ?x ? 3? ? y ?

81 25

14.

1 8

15. 300

三、解答题 17. (本题满分 10 分)

解:? 2 ? x x ? a ? 1 ? 2 ? a ? 1 ? p : a ? 3或a ? 1
2 曲线 y ? x ? ? 2a ? 3? x ? 1 与 x 轴交于不同的两点 ? ? ? 0 ? q:

?

?

……3 分

? q:a ?

1 5 或a ? 2 2

……6 分

由 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,可知? 18. (本题满分 12 分) 解:(1)
1 1 C6 ? C4 4 ? ……6 分 2 15 A10

5 1 ? a ? 3或 ? a ? 1 2 2

……10 分

(2)

1 1 2 2C 6 ? C4 ? A6 13 ? 2 15 A10

……12 分

19. (本题满分 12 分)

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 (t为参数) 解:(1) ? ?y ? 2 t ? 2 ?
(2) ? C:? ? 4 cos? ? x ? y ? 4 x
2 2

……4 分

……6 分

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 (t为参数) 代入 x 2 ? y 2 ? 4 x 得 t 2 ? 2t ? 3 ? 0 将? ?y ? 2 t ? 2 ?

……8 分

? ? ? 0 ? t1 ? t 2 ? ? 2

? 2 x ? 3? t ? t ?t 2 ? 2 (t为参数) ? 1 2 ?? 代入 ? 2 2 2 ?y ? t ? 2 ?
……10 分

得 AB 中点坐标为 ?

?5 1? ,? ? . ?2 2?

P 到 A、B 两点距离之积为 t1 ? t 2 ? 3 20. (本题满分 12 分) 解: (1)由已知: 2 ?

……12 分

P ?3 2
2

?P ? 3
……4 分

故抛物线 C 的方程为: y ? 4 x (2)由(1)知: F (1,0) 设 MN : x ? my ? 1

1 P Q: x ? ? m

y?1

( m? 0 )

……6 分

由?

? x ? my ? 1 ? y ? 4x
2

得: y ? 4my ? 4 ? 0
2

QV? 16m2 ? 16 ? 16(m2 ? 1) ? 0
? MN ? 1 ? m 2 g4g m 2 ? 1 ? 4(m 2 ? 1)
……8 分

同理: PQ ? 4(

1 ? 1) m2

……10 分 ks5u

所以:四边形 MPNQ 的面积:

S?

1 1 MN PQ ? 8(m2 ? 1)( 2 ? 1) 2 m 1 1 ? 8(m2 ? 2 ? 2) ? 32 (当且仅当 m2 ? 2 即: m ? ?1 时等号成立) m m
……12 分

所以:四边形 MPNQ 的面积的最小值为 32.

21. (本题满分 12 分) 解:以 A 为原点,以 AD,AB,AP 所在的直线为 x, y, z 轴(如图)建立空间直角坐标系。 由已知:A(0,0,0) , B(0,2,0) ,C(1,1,0) ,D (1,0,0) , P (0,0,1) , M (0,1, (1) Q AB ? (0, 2, 0)

uu u r

uuur 1 CM ? (?1, 0, ) 2
即: AB ? CM …… 4 分

1 ) 2

……2 分

uu u r uuur ? AB ? CM ? 0
(2) Q AC ? (1,1, 0)

uuu r

uur PB ? (0, 2, ?1)

uuu r uur ? COS ? AC , PB ??

2 10 ? 5 2g 5

故 AC,PB 所成角的余弦值为

10 5

…… 8 分

(3)设 n ? ( x, y, z ) 为平面 AMC 的法向量,则:

r

r u u ur ng A C ?( , x , y g) z ( 1 , 1? , 0) ? x ? y

0

r uuur 1 1 ngAM ? ( x, y, z )g(0,1, ) ? y ? z ? 0 2 2 r 取 z ? 2 ,则 y ? ?1 x ? 1 即: n ? (1, ?1, 2)
同理可求得平面 MCB 的一个法向量为 m ? (1,1, 2)

u r

……10 分

r u r Q cos ? n, m ??

4 2 ? 6g 6 3

?二面角 A—MC--B 所成角的余弦值为 ?

2 3

……12 分

22. (本题满分 12 分)

y 2 x2 解: (1)由已知可设椭圆 C 的方程为: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b
依题意:

a ? 2 且 a 2 ? b2 ? 2 b
y 2 x2 ? ?1 4 2

解得: a ? 4
2

b2 ? 2
……4 分

故椭圆 C 的方程为:

(2)由(1)知:P (1, 2 ) 由已知设 PA: y ? 2 ? k ( x ? 1) PB: y ? 2 ? ?k ( x ? 1) 由? 即: y ? kx ? (k ? 2) 即: y ? ?kx ? (k ? 2)
2 2 2

……6 分

? ? y ? kx ? (k ? 2) ? ?2 x ? y ? 4
2 2

得: (k ? 2) x ? 2k (k ? 2) ? k ? 2 2k ? 2 ? 0

设 A( x1 , y1 )

B( x2 , y2 ) 则: x1 ? 1 ?

2k 2 ? 2 2 k k2 ? 2

ks5u

故: x1 ?

k 2 ? 2 2k ? 2 k2 ? 2

同理: x2 ?

k 2 ? 2 2k ? 2 k2 ? 2

……10 分

直线 AB 的斜率 k AB ?

y1 ? y2 k ( x1 ? x2 ) ? 2k ? ? x1 ? x2 x1 ? x2

k

2k 2 ? 4 ? 2k k2 ? 2 ?4 2k k2 ? 2

?

?8k ? 2 ?4 2k
……12 分

所以:直线 AB 的斜率为定值。 ks5u


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