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浙江省杭州市重点高中2013年4月高考命题比赛高中数学参赛试题-11


2013 年高考模拟试卷

数学卷(理科)

本试题卷分选择题和非选择题两部分.考试时间 120 分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案 填写在答题卷上. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P (B )

如果事件 A、B 相互独立,那么
P (

A ? B ) ? P ( A) ? P (B )

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率:
P n ( k ) ? C n p (1 ? p )
k k n?k

( k ? 0 ,1, 2 , ??, ) n

台体的体积公式
V ? 1 3 h(S1 ? S1S 2 ? S 2 )

其中 S 1 , S 2 分别表示台体的上、下底面积,
h 表示台体的高

柱体的体积公式
V ? sh

其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 锥体的体积公式
V ? 1 3 sh

其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 球的表面积公式
S ? 4? R
2

球的体积公式 V ?

4 3

?R

3

其中 R 表示球的半径

1

选择题部分(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 【原创】已知 P ? { a | a ? (1, 2 ) ? ? ( 3 , 4 ), ? ? R } , Q ? { a | a ? ( ? 2 , ? 2 ) ? ? ( 4 , 5 ), ? ? R } , 则P ? Q ? ( A. ?(1,1 ) ? ) D. ? 正视图 侧视图

B. ?(1,1 ), ( ? 2 , ? 2 ) ? C. ?( ? 2 , ? 2 ) ?

2. 【原创】如图是某几何体的三视图, 其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形, 俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是( A.
4 3 3

) 俯视图
3 6

?

B. ?
2 3 x

1

C.

3 3

?

D.

?

3. 【原创】函数 f ( x ) ? 2 x ? A. y 轴对称

的图像关于 C.直线 y ? x 对称





B. 直线 y ? ? x 对称
1 n ?

D.坐标原点对称

4. 【原创】数 列 ? a n ? 的 通 项 公 式 a n ? A.98
? 5. 【原创】在 ? ? ?

n ?1

, 该 数 列 的 前 n 项 和 等 于 9 , n= 则 (



B.99
1 ? x ? ? ? 3 x ?
24

C.96

D.97 ) 开始

的展开式中, x 的幂指数是整数的项共有( C.5 项 D.6 项

A.3 项

B.4 项

i=1,m=0,s=0 ( ) 否 输出 s 结束 m=m+1 s=s+1/(m*i)
第 6 题图

6. 一个算法的程序框图如右图所示,则该程序输出的结果为 A.
3 4

i? 5

B.

4 5

C.

5 6

D.1

是 i=i+1

? 1 ? | x ? 1 |, x ? ( ?? , 2 ) ? 7. 【改编】 若函数 f ( x ) ? ? 1 , 则函数 F ( x ) ? xf ( x ) ? 1 f ( x ? 2 ), x ? [ 2 , ?? ) ?3 ?

零点个数为 A.2 B.3

( ) C.4 D.5

8.若 M 为 ? A B C 所在平面内一点,且满足 ( MB ? MC ) ? ( MB ? MC ) ? 0 ,
MB ? MC ? 2 MA ? 0 , 则 ? ABC 的形状为



) D.等腰直角三角形

A.正三角形

B. 等腰三角形
2

C.直角三角形

9. 【改编】过双曲线 C : x ?

y b

2 2

? 1 ? b ? 0 ? 的左顶点 P 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 C

的两条渐近线分别相交于点 Q , R ,且 OP ? OR ? 2 OQ ,则双曲线 C 的离心率是(
5 2 10 3 a { , 记 m i n , b} ? { a (a ? b) b(a ? b)



A. 5

B. 1 0

C.

D.

10. 【 改 编 】 对 于 任 意 的 实 数 a , b

. 若

F ( x ) ? min{ f ( x ), g ( x )}( x ? R ) ,其中函数 y ? f ( x )( x ? R ) 是奇函数,且在 x ? ? 1 处

取得极大值 2 ,函数 y ? g ( x )( x ? R ) 是正比例函数,则下列关于函数 y ? F ( x ) 的说法 中,正确的是 ( )

A. y ? F ( x ) 为奇函数 B. y ? F ( x ) 有极小值 F (1 ) C. y ? F ( x ) 的最小值为 ? 2 ,最大值为 2 D. y ? F ( x ) 在 ( 0 , 3 ) 上为增函数

非选择题部分(共 100 分) 二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.【原创】计算
1? i

?1 ? i ?

2

?

1? i

?1 ? i ?

2

?

__▲__
2 2 2

12.【改编】若过点 P ( a , a ) 可作圆 x ? y ? 2 ax ? a ? 2 a ? 3 ? 0 的两条切线,则实数 a 的 取值范围为 ▲ . 13.【改编】无穷数列 1,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4??的首项是 1,随后 2 项是 2,接下 来 4 项是 3, 再接下来 8 项是 4, ??, 以此类推, 记该数列为{ a n }, a n ? 1 ? 8 , a n =9, n ? ___ 若 则 ▲____
? x ? 4 y ? 3 ? 0, ? 14. 【改编】 O 为坐标原点, M 坐标为 ( 2 ,1 ) , N ( x , y ) 满足不等式组: 2 x ? y ? 12 ? 0 , 设 点 若 ? ? x ? 1, ?

则 OM ? ON 的最大值为


1 2

15.

【 改 编 】 已 知 集 合
2 2 2

A={ ( x , y ) | x ( x ? 1 ) ? y ( y ? 1 ) ? r ?
2

} , 集 合

B={ ( x , y ) | x ? y

? r }.若 A ? B 是单元素集合,则正实数 r=



16.【改编】设函数 f ( x ) ? | log
1

a

x | ( a ? 1 ) 的定义域为 ? m , n ?( m ? n ) ,值域为 ?0 ,1 ? .若 n ? m

的最小值为 , 则实数 a 的值为___ ▲
3

___

17.四面体 ABCD 中,有如下命题: ①若 AC⊥BD,AB⊥CD 则 AD⊥BC; ②若 E、F、G 分别是 BC、AB、CD 的中点,则∠FEG 的大小等于异面直线 AC 与 BD 所成角 的大小; ③若点 O 是四面体 ABCD 外接球的球心,则 O 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的外心; ④若四个面是全等的三角形,则四面体 ABCD 是正四面体。 其中正确命题的序号是 ▲ (填上所有正确命题的序号) 。 2 0 三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 0 18. (本小题满分 14 分) 9 ? 2 0 【原创】设函数 f ( x ) ? 6 sin x ? 3 cos( ? 2 x) (x ? R) 2 5 1 (1) 求函数 f ( x ) 最小正周期及对称轴. 8 (2) 在 ? ABC 中,角 A 满足 f ( A ) ? 3 ? 2 3 , b ? 2 , c ? 3 , 求 ? ABC 的面积.

19. (本小题满分 14 分) 【改编】某班学生春假需要选择春游线路,已知甲寝室与乙寝室各有 6 位同学,每人选择一 条线路。甲寝室选择去乌镇游玩的有 1 人,选择去横店游玩的有 5 人,乙寝室选择去乌镇游 玩的有 2 人,选择去横店游玩的有 4 人,现从甲寝室、乙寝室中各任选 2 人分析游玩线路问 题. (Ⅰ)求选出的 4 人均选择游玩横店的概率; (Ⅱ)设 ? 为选出的 4 个人中选择游玩乌镇的人数,求 ? 的分布列和数学期望 E ? 20.(本小题 14 分) 如图,已知 ABCD 为平行四边形, ? A ? 60 ? , A F ? 2 F B , AB ? 6 ,点 E 在 CD 上, EF // BC ,BD ? AD , BD 与 EF 相交于 N .现将四边形 ADEF 沿 EF 折起,使点 D 在平面 BCEF 上的射影恰在直线 BC 上. (Ⅰ) 求证: BD ? 平面 BCEF ; (Ⅱ) 求折后直线 DE 与平面 BCEF 所成角的余弦值.

21.(本小题满分 15 分) 【改编】 已知椭圆的一个焦点 F1 ( 0 , ? 2 2 ) , 对应的准线方程为 y
e
? ? 9 4 2

, 且离心率 e 满足

2 3





4 3

成等比数列.

(1)求椭圆的方程; (2)试问是否存在直线 l ,使 l 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,且线段 MN 恰被直线
x ? ? 1 2

平分?若存在,求出 l 的倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 15 分) 【改编】已知函数 f ( x ) ? ln ( x ?
3 2 )? 2 x

, g ( x ) ? ln x .

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)如果关于 x 的方程 g ( x ) ?
1 2 x ? m 有实数根,求实数 m 的取值范围;

(3) 是否存在正数 k , 使得关于 x 的方程 f ( x ) ? k g ( x ) 有两个不相等的实根?如果存在, 求的 k 取值范围,如果不存在,说明理由?

2013 年高考模拟试卷 一. 1 选择题 2 3 4 5

数学(理科)答题卷

6

7

8

9

10

二.

填空题

11.__________

12. __________

13. __________

14. __________

15. __________

16.__________

17. __________

三. 18.

解答题

19.

20.

21.

22.

2013 年高考模拟试卷 一. 1 C 选择题 2 C 3 D 4 B

数学(理科)参考答案与评分标准

5 C

6 B

7 B

8 B

9 B

10 B

二. 11. 三.

填空题 -1 12. (1,
3 2 )

13. 256

14.

12

15.

2 4

16.

3 2

17. ①③④

解答题

18. (本小题满分 14 分)

(1)

f ( x ) ? 3 ? 3 cos 2 x ?

3 sin 2 x ? 2

3 sin( 2 x ?

?
3

)? 3

????????????

?3 分
?T ? 2? 2 ? ? ? ?

?????????????4 分
?

对称轴 2 x
? x ?

?
3 k? 2

?
2

? k?

5? 12

(k ? Z )

?????????????6 分

(2)

f ( A) ? 3 ? 2

3

? sin( 2 A ?

?
3

) ? ? 1 ?????????????7



0 ? A ? ?
2A ?

,?
3? 2

?
3

? 2A ? 11 ? 12

?
3

?

5? 3

,

?
3

=

,A
2? 3

?

?????????????9 分
6 ? 4 6 ? 4 2) 2

sin

11 ? 12
1 2

? sin(

?

?
4
3(

) ?

?????????????12 分

? S ?

bc sin A ?

?????????????14 分

19. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)设“从甲寝室选出的 2 人选横店”为事件 A,“从乙寝室选出的 2 人选 横店”为事件 B.

由于事 件 A、B 相互独立, 且 分 所以选出的 4 人均选择横店的概率为

,

.??????4

??????????? 6 分

(Ⅱ)设 可能的取值为 0,1,2,3.得

,

,

????? 12 分

的分布列为

0

1

2

3

P



的数学期望

????14 分 20. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)∵EF⊥DN,EF⊥BN,DN∩BN=N ∴EF⊥面 DNB ∵EF?平面 BCEF, ∴平面 BDN⊥平面 BCEF, ∵BN=平面 BDN∩平面 BCEF, ∴D 在平面 BCEF 上的射影在直线 BN 上, ∵D 在平面 BCEF 上的射影在直线 BC 上, ∴D 在平面 BCEF 上的射影即为点 B, ∴BD⊥平面 BCEF.??????????????????????6 分 (Ⅱ)连接 BE,由 BD⊥平面 BCEF,得∠DEB 即为直线 DE 与平面 BCEF 所成角. 在原图中,由已知,可得 AD=3,BD=3 折后,由 BD⊥平面 BCEF,知 BD⊥BN 则 BD2=DN2-BN2=9,即 BD=3 则在 Rt△DEB 中,有 BD=3,DE=4,则 BE= 故 cos∠DEB=
7 4 7 4
7 3

,BN=

3

,DN=2

3

,DE=4



即折后直线 DE 与平面 BCEF 所成角的余弦值为 分 21. (本小题满分 15 分)

????????????14

解: (1)∵

2 3

, e,

4 3

成等比数列

∴e 2

?

2 3

?

4 3

e ?

2 3

2

设 p ( x , y ) 是椭圆上任意一点,依椭圆的定义得

x

2

? (y ? 2 y ? 9 4 2

2)

2

?

2 3

2

, 化简得 9 x

2

? y

2

? 9

即x

2

?

y

2

? 1 为所求椭圆方

9

程。????5 分 (2)假设 l 存在,因 l 与直线 x
? ? 1 2

相交,不可能垂直 x 轴

因此可设 l 的方程为: y

? kx ? m



? y ? kx ? m 2 2 消去 y , 得 9 x ? ( kx ? m ) ? 9 整理得 ? 2 2 ?9 x ? y ? 9
(k
2

? 9)x

2

? 2 kmx ? ( m

2

? 9) ? 0



方程①有两个不等的实数根 ∴?
? 4k m
2 2

? 4(k

2

? 9 )( m

2

? 9 ) ? 0即 m

2

? k

2

? 9 ? 0

②??????????7 分 设两个交点 M 、 N 的坐标分别为 ( x 1 , y 1 )( x 2 , y 2 ) ∵线段 MN 恰被直线 x
2

∴ x1
即 ?

? x2 ?

? 2 km k
2

? 9

? ?

1 2

平分

∴?

1 2

?

x1 ? x 2 2
k
2

2 km k
2

? 9

? ?1

∵k

? 0

∴m

?

k

? 9



把③代入②得

(

? 9

)

2

? (k

2

? 9) ? 0

2k k
2

2k ?9
2

∵k 2

? 9 ? 0



?1? 0

∴k 2
)? (

? 3

解得 k

?

3

或k

? ?

3

4k

∴直线 l 的倾斜角范围为 ( 15 分

?
3

,

?
2

?
2

,

2? 3

)

??????????????

22. (本小题满分 15 分)解: (1)
f ?( x ) ? 1 x?
f (x)

f ( x ) ? ln ( x ?

3 2

)?

2 x

(x ? ?

3 2

,且 x

? 0)



3 2

?

2 x
2

?

2 2x ? 3

?

2 x
2

,令

f '( x ) ? 0

,解得: x

? ?1 或3

.



f '( x )

随 x 变化情况如下表:
3 2 , ? 1)

(?

x

?1

( ? 1, 0 )

(0, 3)

3

(3, ? ? )

f '( x )

?

0

?

?

0

?

f (x)


3 2









f (x)

的单调递增区间是( ?

, ? 1 )和( 3 , ? ?

) ,单调递减区间是( ? 1, 0 )

和( 0 , 3 ) 。 ?????????????????????????????4 分 (2) g ( x )
? ln x ? 1 2 x? m 1 2
t(x)

,∴ m

? ln x ? ?

1 2

x ?

( x ? 0) 1 2 ( x ? 0)

取t(x)

? ln x ?

x

(x ? 0)

, t '( x )

1 x

,令 t '( x )

? 0

,x

? 2



, t '( x ) 随 x 变化情况如下表: x 2 (0, 2 ) (2, ?? )
t '( x )



t m a x ( x ) ? t ( 2 ) ? ln 2 ? 1
?



又 x ? 0 ,t( x) ? ?? ,
?

0

?

∴ m 的取值范围是 ( ? ? , ln 2 ? 1] .

t(x)





????????????????????????????8 分 (3) h ( x )
? f ( x ) ? k g ( x ) ? ln ( x ? 3 2 )? 2 x ? k ln x ( x ? 0)

∴ h '( x )

?

1 x? 3 2

?

2 x
2

?

k x

?

2 2x ? 3

?

2 x
2

?

k x

?

2 x ? 2 (2 x ? 3) ? kx (2 x ? 3)
2

x (2 x ? 3)
2

?

2 (1 ? k ) x ? ( 3 k ? 4 ) x ? 6
2

x (2 x ? 3)
2
2

取 p(x)

? 2 (1 ? k ) x ? (3 k ? 4 ) x ? 6

( x ? 0)

?????????10 分

对称轴 x

? ?

? (3 k ? 4 ) 4 (1 ? k )

? ?

3k ? 4 4 ( k ? 1) 3k ? 4 4 ( k ? 1)

当k

? 1 时, p ( x ) 图象开口向下, ?

? 0

∴ p ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 上单调递减, p ( x ) ?

p (0) ? ? 6 ? 0 ? 0

∴ h '( x ) ? 0 ,∴ h ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 上单调递减,h ( x )

不可能有两个不等实根.

当k

? 1 时, p ( x ) ? ? 7 x ? 6 ? 0



同理 h '( x ) ? 0 ,∴ h ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 上单调递减, h ( x ) ? 0 不可能有两个不等实 根. 当0
? k ? 1 时, p ( x ) 图象开口向上,
? ?6 ? 0

又 p (0 )

,此时 p ( x )
0

? 0

在 ( 0 , ? ? ) 有且仅有一根,设为 x 0 .

对 x ? (0, x0 ) , p ( x ) ? 对 x ? ( x0 , ? ? ) , p ( x )

, h '( x ) ? 0 , h ( x ) 在 ( 0 , x 0 ) 上单调递减; , h '( x )
)? 2 x0
? 0

? 0

, h ( x ) 在 ( x 0 , ? ? ) 上单调递增;

h m in ( x ) ? h ( x 0 ) ? ln ( x 0 ?

3 2

? k ln x 0

又 p (1)

? 2 (1 ? k ) ? 1 ? (3 k ? 4 ) ? 1 ? 6 ? ? 8 ? 5 k ? 0
2

,∴ x 0

? 1 , ln x 0 ? 0

ln ( x 0 ?

3 2

) ? ln x 0 ? k ln x 0

( 0 ? k ? 1)



2 x0

? 0

,∴ h ( x 0 )

? 0

此时 h ( x ) ? 0 没有实数根 综上所述,不存在正数 k ,使得关于 x 的方程 根????15 分

f ( x) ? kg ( x)

有两个不相等的实


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