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必修1第一章第1节集合的含义与表示;集合间的基本关系






高一 沈凯





数学





人教实验 A 版

内容标题 编稿老师

集合的含义与表示;集合间的基本关系

【本讲教育信息】
一. 教学内容: 1. 集合的含义与表示 2. 集合间的基本关系 二. 重点、难点: 1. 集合的定义及集合三要素 2. 元素与集合的关系( ? , ? ) 3. 集合的表示方法(列举法,描述法) 4. 集合与集合的关系(子集,真子集,相等) 5. 特定符号( ? ,N, N ,Z,Q,R)
*

【典型例题】
[例 1] 集合三要素 , 答案:确定性,互异性,无序性 , 。

[例 2] 下面各条件不能确定一个集合的是( ) A. 小于 100 的质数 B. 数轴上到原点的距离大于 1 的点的集合 C. 充分接近 3 的所有实数的全体 D. 身高不高于 1.70m 的所有人的全体 答案:C,确定性 [例 3] 用列举法表示下面集合 (1) A ? {x | x 2 ? 3x ? 4 ? 0} (2) A ? {x | x ?

a b c abc ? ? ? , a ? b ? c ? 0, a, b, c ? R} a b c abc

(3) A ? {x ? N * | (4) A ? { x |

2 ? x ? 2 ? 5}

x ? Z 且 x ? 20} 3

解: (1) A ? {?1,4} (2) A ? {?4,0,4} (3) A ? {2,3} (4) A ? {?18,?15,?12,?9,?6,?3,0,3,6,9,12,15,18} [例 4] 集合 A ? {1, a, b} , B ? {a, a , ab} ,若 A=B,求 a, b 的值。
2

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解:

?a ? ?1 ?a ? 1 (舍) ? ?? ?b ? 0 ?a ? 1 ?b ? R ?b ? a 2 ? a ? b ? 1 (舍) (2) ? ?1 ? ab ∴ a ? ?1, b ? 0
(1) ?
2

?b ? ab

[例 5] 若集合 A ? {x | kx2 ? 4x ? 4 ? 0} 中有且仅有一个元素、求实数 k 的值。 解: (1) k ? 0 (2) k ? 0 ∴ k ? {1,0}

A ? {?1} ? ? 16 ? 16 k ? 0

k ?1

[例 6] 若 A ? {x | x ? 4k ? 1 k ? Z } , B ? {x | x ? 2k ? 1 k ? Z } ,则有( A. A ? B ? 答案:C B. B ? A ? C. A=B D. 以上均不对



[例 7] 满足条件的集合 A 有多少个? (1)A ? {1,2,3,4,5} (2){1,2} ? A ? {1,2,3,4,5} ? 解: (1) 2 ? 32
5

(2) 2 ? 1 ? 7
3

[例 8] M ? {x | 2 x 2 ? 5x ? 3 ? 0} , N ? {x | m x ? 1} ,若 N ? M ,求 m 的取值集合。 ? 解:

1 M ? {? ,3} 2 (1) N ? ? ? m ? 0 1 (2) N ? {? } ? m ? ?2 2 1 (3) N ? {3} ? m ? 3 1 ∴ m ? {?2,0, } 3
[例 9] A ? {x | a ? x ? 5} ( a ? 5 ) B ? {x | 3 ? x ? b} ( b ? 3 )且 A ? B ,求 a, b 的取 , 值集合。 解:

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b?5 ∴ 3?a?5 [例 10] A ? {x | ?3 ? x ? 5}, B ? { y | y ? a} ,若 A、B 有公共元素,且 A ? B ,求 a 的取 /
值集合。 解:

∴ ?3? a ? 5 [例 11] 集合 A ? {x, x 2 , y 2 ? 1 B ? {0, x , y} ,且 A=B,求 x, y 的值。 },
2 解:∵ x ? 0 或 x ? 0 (舍)

∴ y 2 ? 1 ? 0 , y ? ?1

(1) y ? 1 (2) y ? ?1

x ? 1 或 x 2 ? 1 ? x ? 1(舍)
∴ x ? ?1

x2 ? 1

∴ x ? ?1, y ? ?1

【模拟试题】 (答题时间:30 分钟) 1. 若 {5} ? A ? {3,4,5,6,7} 且对于集合 A 中的任一元素 a ? A , (10 ? a) ? A , 则 同时成
立,则符合条件的 A 有 个。 C 2. A ? {x | x ? 2k k ? Z}, B ? {x | x ? 2k ? 1 k ? Z} , ? {x | x ? 4k ? 1 k ? Z } 任 取 b ? B, a ? C ,则一定有( A. a ? b ? A
2

) C. a ? b ? C D. 以上均不正确

B. a ? b ? B

3. A ? {?1,1 B ? {x | x ? 2ax ? b ? 0} ? ? ,若 B ? A ,求 a ? b 的值。 }, 4. A ? {x | ?3 ? x ? a}, B ? { y | y ? 3x ? 10 x ? A} , C ? {z | z ? 5 ? x x ? A} 且

C ? B ,求 a 的范围。 ?
5. S 是满足下列两个条件的实数组成的集合 ① 1? S ② 若 a ? S ,则

1 ?S 1? a

(1)若 2 ? S ,试写出 S 的其它必有元素; (2)若 a ? S ,求证 1 ?

1 ?S ; a

(3)S 是否会为单元素集。

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【试题答案】
1. 3+7=4+6=5+5=10 ∴ 2 ? 4 2. b ? 2m ? 1 a ? 4m ? 1 a ? b ? 2m ? 1 ? 4n ? 1 ? 2(m ? 2n ? 1)
2

∵ m ? 2n ? 1 ? Z 3.

∴ a ?b? A

(1) B ? {?1,1} ? a ? 0, b ? ?1 ? a ? b ? ?1 (2) B ? {1} ? a ? 1, b ? 1 ? a ? b ? 2 (3) B ? {?1} ? a ? ?1, b ? 1 ? a ? b ? 0 ∴ a ? b ? {?1,0,2}

4. A ? {x | ?3 ? x ? a} ; B ? {x | 1 ? x ? 3a ? 10} ; C ? {x | 5 ? a ? x ? 8}

?5 ? a ? 1 2 ? (1) C ? B ? ?3a ? 10 ? 8 ? ? ? a ? 4 3 ?5 ? a ? 8 ?

?5 ? a ? 1 ? a 无解 ?8 ? 3a ? 10 2 ∴ C ? B ? a ? {x | ? ? x ? 4} ? 3
(2) C ? B ? ? 5. (1) 2 ? S ∴

1 ? ?1 ? S 1? 2



1 1 ? ?S 1?1 2



1 1 1? 2

? 2?S

1 必在 S 内 2 1 ?S (2) a ? S ? 1? a
∴ ? 1, (3)若 S 中仅有一个元素 ∴ a?



1 1? 1 1? a

?

1? a 1 ? 1? ? S 1? a ?1 a

1 1? a

∴ a ? a ?1 ? 0
2

a 无解

∴ S 不可能仅有一个元素

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