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上海自主招生 微积分讲座


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微积分初步
微积分概述: 微积分学是微分学和积分学的统称,早期微积分主要应用于天文、力学、几何中的计算问 题. 后来也将微积分学称为分析学或无穷小分析,专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处 理计算问题的学问. 一、函数极限 1、 邻域:满足不等式 x ? a ? ? 的全体实数称为点 a

的 ? 邻域,即区间 ? a ? ? , a ?? ? ; 空心邻域:满足不等式 0 ? x ? a ? ? 的全体实数称为点 a 的 ? 空心邻域,即区间

x ? x0

lim ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? lim f ? x ? ? lim g ? x ? lim g ? x ? ? 0
x ? x0 x ? x0
x ? x0

?

?

(2) (夹逼性) 若 存 在 r ? 0 , 使 得 当 0 ? x ? x0 ? r 时 , 成 立 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? , 且
x ? x0

lim g ? x ? ? lim h ? x ? ? A ,则 lim f ? x ? ? A .
x ? x0 x ? x0

4.函数的连续性 从几何形象上粗略地说,如果函数是连续的,那么它的图像是一条连绵不断的曲线. (1) 定义: 设函数 f ? x ? 在点 x0 的某个邻域内有定义, 若 lim f ? x ? ? f ? x0 ? , 则称函数 f ? x ? 在点 x0 连
x ? x0

a ? ? a, a ?? ? . ?a ?? ,
2.函数极限 (1) x 趋于无穷大时函数的极限 设定义在 ? a , ? ? ? 上的函数 f ? x ? , A 是一个定值. 若对任意的正数 ? ,总存在正数 M ,使 得当 x ? M 时有 f ? x ? ? A ? ? , 那么称函数 f ? x ? 当 x 趋于 ?? 时极限存在, 并以 A 为极限, 记作 lim f ? x ? ? A .
x ???

续. 若函数 f ? x ? 在区间上每一点都连续,则称 f 为该区间上的连续函数. 任何初等函数都在它的有定义的区间上是连续的. (2)连续函数的一些性质: 最大值最小值定理:若函数 f ? x ? 在闭区间 ?a, b? 上连续,则 f 在 ?a, b? 上有最大值和最小值. ; ?0



1 lim ? ? 0A ? x ?? A x? B

lim C ? C ( C 是常数)
x ??

根的存在性定理:若函数 f ? x ? 在闭区间 ?a, b? 上连续,且 f ? a ? 和 f ? b ? 异号,则在 ? a, b? 内 至少存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? 0 .

(2) x 趋于某个定数时函数的极限 设函数 f 在点 x0 的某个空心邻域 0 ? x ? x0 ? ? ? 内有定义, A 是一个确定的数. 若对任给的 正数 ? ,总存在某个正数 ? ? ? ? ?? ,使得当 0 ? x ? x0 ? ? 时,都有 f ? x ? ? A ? ? ,则称 f 当 二、变化率与导数 1.一般地,设函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 及其附近有定义,给 x0 处的改变量 ?x ,得 f ( x0 ) 处的相 应改变量 ?y ,如果当 ?x 无限趋近于 0 时,平均变化率

x 趋向于 x0 时极限存在,且以 A 为极限,记作: lim f ? x ? ? A .
x ? x0

?y 无限趋近于一个常数,那么称这个常 ?x

3.函数极限的性质有类似于数列极限的性质. (1)若极限 lim f ? x ? 、 lim g ? x ? 存在,则有:
x ? x0 x ? x0

数 为 函 数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处 的 瞬 时 变 化 率 (instantaneous rate of change) , 也 称 为 函 数

y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数(derivative),记作 f ?( x0 ) .


x ? x0

lim ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? lim f ? x ? ? lim g ? x ?
x ? x0 x ? x0

f ?( x0 ) ? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim .并说 y ? f ( x) 在 x ? x0 处可导. ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

x ? x0

lim ? ? f ? x ? g ? x ?? ? ? lim f ? x ? ? lim g ? x ?
x ? x0 x ? x0

1

高三自主招生辅导 如果函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内的任意 x 处都可导,则称 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内可 导,此时对于每一个确定的 x0 ,都对应着一个确定的数值 f ?( x0 ) ;而对于变化的 x,则构成一 个新的函数 f ?( x ) .我们称这个函数 f ?( x ) 为函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内的导函数(derived function) ,在与 f ?( x0 ) 不发生混淆时,简称为导数,也可记作 y? ,即 一些常用函数的导数公式表 1. c? ? 0 ( c 为常数) ; 2. ( x? )? ? ? x? ?1 ( ? ? R ) ; 3. (sin x)? ? cos x ; 4. (cos x)? ? ? sin x ; 5. (a x )? ? a x ln a ( a ? 0 ,且 a ? 1 ) ; y
y ? f ( x)

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f ( x ? ?x) ? f ( x) y? ? f ?( x) ? lim . ?x ?0 ?x
2.导数的几何意义 设 曲 线 y ? f ( x) 上 有 一 定 点 P( x0 , y0 ) 和 动 点

6. (e x )? ? e x ; 7. (log a x)? ?

Q( x0 ? ?x, y0 ? ?y) ,直线 PQ 称为曲线的割线,如果当点 Q 无限
趋近于点 P 时, 割线 PQ 无限趋近于一条确定的直线 PT, 我们称直 线 PT 为曲线 y ? f ( x) 在点 P 处的切线(tangent line) , P 为切
y0 ? ?y

1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 ) ; x ln a

Q P
x0 ? ?x

T

8. (ln x )? ?

1 . x

?y 点.并且割线 PQ 的斜率 无限趋近于直线 PT 的斜率.即 ?x
k PT ? lim
?x ?0

y0
O

3.导数的四则运算法则 一般地,可用导数定义证明下面的导数的四则运算法则:

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ? f ?( x0 ) . ? x ? 0 ?x ?x

x0
图2

x

1. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) ; 2. [ f ( x) g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ;
特别地: [cf ( x)]? ? cf ?( x) ( c 为常数) ;

由此得出导数的几何意义是:函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数 f ?( x0 ) 就是其图象在对应点

P( x0 , y0 ) 处的切线斜率.
三、导数公式与导数的运算法则
1.几种函数的导数 例 函数 f ( x) ? kx ? c ( k , c 为常数)的导数 设 y ? f ( x) ,由 可以得

? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) . 3. ? ? ? g 2 ( x) ? g ( x) ?

?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) k ( x ? ?x) ? c ? kx ? c ?k, ? ? ?x ?x ?x
四、函数的单调性与极值 1.函数单调性: 设函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内可导,如果在 ( a, b) 内 恒有 f ?( x) ? 0 ,那么 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内是增函数; 如果在 ( a, b) 内恒有 f ?( x) ? 0 , 那么 y ? f ( x) 在 ( a, b) O
c ? c(t )

?y f ?( x)? l i m ? k. ?x ? 0 ?x

c y

特别地,当 k ? 0 时,函数 f ( x) ? c 的导数 c? ? 0 ; 2.一些常用函数的导数公式 今后在求导数时可以直接运用这些公式.

t1 t 0
图1

t2

a

t x
2

高三自主招生辅导 内是减函数. 2.极值与最值 函数的极值概念: 如果函数 f ? x ? 在点 x0 附近有定义,且 f ? x0 ? 的值比在 x0 附近所有各点的函数值都大 (小) ,那么称 f ? x0 ? 是函数 f ? x ? 的一个极大值(极小值) ,把 x0 叫做函数 f ? x ? 的一个极大 点(极小点). 如果函数 f ? x ? 在 x0 处取得极值,并且在 x0 处可导,那么 f ? ? x0 ? ? 0 ;把 f ? ? x ? ? 0 的 根叫做函数 f ? x ? 的驻点.(极值点一定是驻点,但驻点不一定是极值点.) 若函数 f ? x ? 在闭区间 ?a , b? 上有定义,在开区间 ? a , b ? 上可导,则函数 f ? x ? 在闭区间 零.但是反过来,驻点一定是函数的极值点吗? 例题: 例1. 求证: lim

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sin x ?0 x ?0 x

证明:设 ?AOB 的弧度数为 x ,则 0 ? x ?

?
2



由于 ?AOB 的面积 ? 扇形 AOB 的面积 ? ?OBC 的面积, 可以得到 sin x ? x ? tan x , 0 ? x ? 从而有 cos x ? 显然上式对 ?

?
2



sin x ? ?1, 0 ? x ? , x 2

?a , b? 上的最值只可能在驻点或端点处取得.
y
y ? f ( x)

?
2

? x ? 0 也成立,
x x2 ? 2 2

由于 cos x ? 1 ? 2sin 2 可知 limcos x ? 1
x?0

根据极限的夹逼性定理,可得 lim
x ?0

sin x ?0 x

O

a

x1

x2

x3

x4

b

x

例2. 求函数的单调区间 (1) f ? x ? ? x3 ? x2 ? x ? 3 解: f ? ? x ? ? 3x2 ? 2x ? 1 ? ? 3x ? 1?? x ? 1?

思考 函数的极大值一定比极小值大吗? 一般地,判断可导函数 y ? f ( x) 的极值的方法是:设函数 y ? f ( x) 在开区间 I 内有定义, 在 I 内满足 f ?( x0 ) ? 0 的点 x0 称为 y ? f ( x) 的驻点,若驻点 x0 附近两侧的导数值 f ?( x ) 异号, 则 x0 是 f ( x) 的一个极值点, f ( x0 ) 是 f ( x) 的一个极值. (1) 若 f ?( x) 在 x0 附近的左侧满足 f ?( x) ? 0 ,右侧满足 f ?( x) ? 0 ,则 x0 是 f ( x) 的一个极 大值点, f ( x0 ) 是 f ( x) 的一个极大值; (2) 若 f ?( x) 在 x0 附近的左侧满足 f ?( x) ? 0 ,右侧满足 f ?( x) ? 0 ,则 x0 是 f ( x) 的一个极 小值点, f ( x0 ) 是 f ( x) 的一个极小值. 由上图可以看出,在函数取得极值处,如果对应曲线有切线,则切线是水平的,即导数值为

1? ? 在 ? ??, ? ? 和 ?1, ?? ? 上, f ? ? x ? ? 0 3? ? ? 1 ? 在 ? ? ,1 ? 上, f ? ? x ? ? 0 ? 3 ?
1? ? 所以函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ??, ? ? 和 ?1, ?? ? 3? ? ? 1 ? 单调递减区间是 ? ? ,1 ? ? 3 ?

3

高三自主招生辅导 (2) f ? x ? ? x2 ?

高二自主招生辅导 解:函数 f ? x ? ? x3 ? 4 x ? 4 的定义域为 R ,
2

432 x

1 3

432 2 ? x ? 6 ? ? x ? 6 x ? 36 ? 解: f ? ? x ? ? 2 x ? 2 ? x x2
在 ? 6, ?? ? 上, f ? ? x ? ? 0 在 ? 0,6 ? 和 ? ??,0 ? 上, f ? ? x ? ? 0 所以函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 6, ?? ? ,单调递减区间是 ? 0,6 ? 和 ? ??,0 ? 例 3.求证:当 x ? 0 时, x ? ln ?1 ? x ? 证明:设 f ? x ? ? x ? ln ?1 ? x ?

求得 f ? ? x ? ? x2 ? 4 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? ?2 当 x 变化时, f ? ? x ? 和 f ? x ? 的变化情况如下表:

x
f ?? x? f ? x?

? ??, ?2?
?
单调递增

?2
0

? ?2,2?
?

2
0

? 2, ?? ?
?
4 3
单调递增

极大值为

28 3

单调递减

极小值 ?

1 x 则 f ?? x? ? 1 ? ? x ?1 x ?1
当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? ? x ? ln ?1 ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增 又 f ? 0? ? 0 ,所以 f ? x ? ? 0 在 x ? ? 0, ?? ? 上恒成立,即 当 x ? 0 时, x ? ln ?1 ? x ? . 例 4.求函数 f ? x ? ? x ? ln x 的最值 解:函数 f ? x ? ? x ? ln x 的定义域为 ? 0, ?? ? 求得 f ? ? x ? ?

综上,函数 f ? x ? ? x3 ? 4 x ? 4 当 x ? ?2 时,取得极大值为

1 3

4 28 ;当 x ? 2 时,取得极小值 ? . 3 3

例 6.过点 ? ?1,1? 的直线 l 与曲线 y ? x3 ? x2 ? 2 x ? 1 相切,且 ? ?1,1? 不是切点,求直线 l 的斜率. 解:设切点为 P a, a3 ? a 2 ? 2a ? 1

?

? ? ? ? ?
? 1? ? a

因为 y? ? 3x2 ? 2 x ? 2 ,所以切线方程为 y ? a3 ? a 2 ? 2a ? 1 ? 3a 2 ? 2a ? 2 ? x ? a ? 由切点过点 ? ?1,1? ,则
2 1 ? ? a3 ? a2 ?2 a ?? 1 ?? 3a ?2a ? ? ?2

ln x ? 2 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? e?2 2 x

解得 a ? 1 或 a ? ?1 (舍) 所以直线 l 的斜率为 ?1. 例 7.设当 x ? 0 时,方程 kx ? 解:设 f ? x ? ? kx ?

当 x 变化时, f ? ? x ? 和 f ? x ? 的变化情况如下表:

x
f ?? x? f ? x?

? 0, e ?
?2

e ?2
0 极小值 ?

?e
?
1 e

?2

, ?? ?

1 ? 1 仅有一个实根,求 k 的取值范围. x2

?
单调递减

1 2 ? 1 ,则 f ? ? x ? ? k ? 3 2 x x

单调递增

(1) 当 k ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 为减函数

???, k ? 0 lim? f ? x ? ? ?? , lim f ? x ? ? ? x ?? x ?0 ??1, k ? 0

所以当 x ? ?e?2 时,函数 f ? x ? ? x ? ln x 的最小值为 ? .

1 e

所以当 k ? 0 时, f ? x ? ? kx ?

1 ? 1 在 ? 0, ?? ? 上仅有一解; x2
3

1 例 5.求函数 f ? x ? ? x3 ? 4 x ? 4 的极值 3

(2) 当 k ? 0 时,由 f ? ? x ? ? 0 得 唯一的驻点 x0 ?

2 ,且当 0 ? x ? x0 时, f ? ? x ? ? 0 k
4

高三自主招生辅导 又因为 lim? f ? x ? ? ?? , lim f ? x ? ? ??
x ?0

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x ??

当 a ? 0 时, f ? ? x ? ?

?x ?

? a x ? ?a x

??
?

?,
? ? ?
? a , ?? 上单调递增;

? 2? 2 3 所以 当 f ? x0 ? ? f ? 3 ? ? 0 时,原方程仅有一解,所以 k ? ? k? 9 ? ?
当k ?

f ? x ? 在 ??, ? ?a 和 0, ? a 上单调递减,在 ? ?a ,0 和
(3) 记 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ?

?

? ?

?

2 3 时,原方程无解或有两个解 9

1 2 2 3 1 x ? x ? ,定义域为 ? 0, ?? ? 2 3 6

所以 k 的取值范围是 ? ??,0?

? ?2 3 ? ? ? ?. 9 ? ? ? ?
2

h? ? x ? ?

1 1 ? x ? 2x2 ? ? ? x ? 1? ? 2x2 ? x ? 1? x x

例 8.设矩形 ABCD 的一边在 x 轴上,且内接于抛物线 y ? 6 x ? x ,求矩形面积的最大值及面积最 大时矩形的边长. 解:设点 A ? a,0 ? , 0 ? a ? 3 由题意知, AB ? 2 ? 3 ? a ? ,点 D 的坐标为 a,6a ? a 2 , 所以 AD ? 6a ? a2 矩形面积 S ? AB AD ? 2 ? 3 ? a ? 6a ? a 2 ? 2a3 ? 18a 2 ? 36a 则 S ? ? 6a 2 ? 36a ? 36 ? 6 a 2 ? 6a ? 6 令 S? ? 0

因为 x ? 0 ,所以 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 当 x ? ? 0,1? 时, h? ? x ? ? 0 ;当 x ? ?1, ?? ? , h? ? x ? ? 0 所以当 x ? 1 时, h ? x ?max ?

1 2 1 ? ? ?0 2 3 6

?

?

所以当 x ? ? 0, ?? ? 时, h ? x ? ? 0 ,即 f ? x ? 的图像不在 g ? x ? 的上方. 例 10.已知函数 f ? x ? ? ax ?

?

?

b ? c ? a ? 0? 的图像在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程为 y ? x ? 1 . x

(1) 用 a 表示出 b 、 c ; (2) 若 f ? x ? ? ln x 在 ?1, ?? ? 上恒成立,求 a 的取值范围; (3) 证明: 1 ?

?

?

得 a ? 3 ? 3 或 a ? 3 ? 3 (舍)

且当 0 ? a ? 3 ? 3 时, S ? ? 0 ,当 3 ? 3 ? a ? 3 时, S ? ? 0 所以 当 a ? 3 ? 3 时, Smax ? 12 3 ,此时 AB ? 2 3 , AD ? 6 . 例 9.已知函数 f ? x ? ? a ln x ?

1 1 ? ? 2 3

?

1 n ? ln ? n ? 1? ? ? n ? 1? . n 2 ? n ? 1?

解: (1) f ? ? x ? ? a ? 由于 所以

b , x2

1 2 x 2

f ? x ? 在点 ?1 , f ? 1 ?? 处的切线方程为 y ? x ? 1 ,
a ? b ? 1 ,又 f ?1? ? a ? b ? c ? 0 ,

(1) 求函数 f ? x ? 的单调区间; (2) 函数 g ? x ? ? 解: (1) f ? ? x ? ?

2 3 1 x ? ? x ? 0? ,求证: a ? 1 时的 f ? x ? 的图像不在 g ? x ? 的上方. 3 6

所以 b ? a ? 1, c ? 1 ? 2a (2)令 g ? x ? ? f ? x ? ? ln x ? ax ?

a a ? x2 ?x? x x

a ?1 ? 1 ? 2a ? ln x x

当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上单调递减,在 ? 0, ?? ? 上单调递增; 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上单调递减,在 ? 0, ?? ? 上单调递增;

1? a ? ? a ? x ? 1? ? x ? ? a ?1 1 a ? ? 则 g?? x? ? a ? 2 ? ? , g ?1? ? 0 2 x x x

5

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当 当

1? a 1 ? 1 时,即 a ? 时, g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数, g ? x ? ? g ?1? ? 0 恒成立; a 2 1? a 1? a 1 时, g ? ? x ? ? 0 , ? 1 时,即 0 ? a ? 时,则当 1 ? x ? a a 2

? 1? a ? 所以 g ? x ? 在 ? 1, ? 上是减函数, g ? x ? ? g ?1? ? 0 , f ? x ? ? ln x 在 ?1, ?? ? 上不恒成立; a ? ?
?1 ? 所以 a 的取值范围是 ? , ?? ? ?2 ?
(3) 取 a ? 取x?

1? 1? 1 ,得 ? x ? ? ? ln x 在 ?1, ?? ? 上恒成立, 2? x? 2

1 ? k ?1 k ? k ?1 k ?1 ? ,则 ? ? ? ln 2? k k ?1? k k

1?1 1 ? k ?1 即 ? ? ? ? ln 2 ? k k ?1? k
当 k ? 1, 2,3,

, n ,累加得

1 1 ?1 1 ? ?? ? ? 2 2n ? 2 ? 2 3
所以 1 ?

1? ? ? ? ln ? n ? 1? n?

1 1 ? ? 2 3

?

1 1 1 n ? ln ? n ? 1? ? ? ? ln ? n ? 1? ? . n 2n ? 2 2 2 ? n ? 1?

6


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